Bolyai Farkas és Bolyai János életrajza.

A mathematika, – minden tudományok óhajtott segédeszköze, – egykoru az emberiség legrégibb szellemi megnyilatkozásaival. Az abszolut igazságra törő emberi szellem kezdettől fogva érezte, hogy ez amaz út, amelyen függetlenűl a félreértésektől, ellentmondásoktól, biztosan haladhat az igazság keresésében. Ez az az út, amely axiómákkal és posztulátumokkal van kikövezve. Ezek az axiómák alapigazságok, amelyek első pillanatra világosak nekünk; nem szorulnak bizonyításra, sőt annyira evidensek, hogy szinte nem bizonyíthatók; mintegy természetünkbe be lévén oltva igazságuk, szükségképenieknek tünnek föl. Hasonlóan a posztulátumok oly igazságokat fejeznek ki, amelyeknek igaz voltát föl kell tennünk, mivel az ellenkezőjük, vagy azok következménye ellenkezik a tapasztalattal.

Ilyen egyszerü alapokból kiindulva épül föl a mathematika tudománya. Mindig a természetet tartva szem előtt, absztrakcióval alkotja meg azokat a fogalmakat, amelyekkel dolgozik. Ilyen a mennyiség és szám fogalma, mint a mérés eredménye. A mérés pedig összehasonlítás egynemüek között. Ilyen egynemü valami lehet akármi a természetben, pld. idő, tér, hosszuság, stb.

Ilyen mennyiségekkel és számokkal operál a mathematika, természetesen csak szimbólikusan; azaz a különböző mennyiségeket szimbólumokkal, betükkel jelzi.

A természetben vannak állandó és változó mennyiségek. Ilyen állandó pld. a fény terjedésének a sebessége egy jól meghatározott közegben; változó pld. a szabadon eső test sebessége stb. Ilyen állandó és változó mennyiségek között a természetben bizonyos – sokszor igen komplikált – kapcsolatok vannak. Ilyen kapcsolatok, függő viszonyok vezetnek a függvény fogalmához. A mathematika figyelmen kívül hagyva a természetben előforduló függő viszonyokat, ő maga algebrailag létesít ilyen viszonyokat és vizsgálja azok mathematikai természetét. Az itt adódó kérdések szerint keletkeznek a felsőbb mathesis fő ágai, mint a differenciális és integrális számítás, differenciális egyenletek elmélete, a különböző függvények tana stb.

A mathematika másik ága a geometria, amely a tér tudománya és mint ilyen, tapasztalati tudomány: anélkül azonban, hogy ezért bármit is veszítene szigoruságából. Erről kezeskednek az alapjául szolgáló axiómák. Óriási előnye a geometriának a szemlélhetőség. A görögök pld. minden algebrai operációt is geometriailag szemléltettek. Sőt így vagyunk ma is. Bármely mathematikai műveletet is végzünk, a szereplő mennyiségeket szeretjük mint hosszuságokat, vonalakat, síkokat stb. elképzelni. Ez az elképzelés, amely csupán a fantázia működése, mintegy megeleveníti a formulákat és a bennük szereplő mennyiségeket.

A mathematika a tudományok között kettős szerepet játszik. A többi tudományokra nézve – főképpen a fizikára és technikai tudományokra – csak segédeszköz és mint ilyen, alkalmazott tudomány. Ilyen voltának köszöni némely – éppen a praxisban alkalmazható – ágainak rendkívüli részletes kidolgozását. Másfelől önmagában véve is teljesen önálló tudomány, amelyet csupán maga-magáért művelnek, csupán a törvényszerüségekért, amelyeket szolgáltat a használt mennyiségek között. Ebből ered, hogy vannak olyan ágai, – mint a számelmélet pld. – amelyeket egyáltalán sehol sem alkalmaznak és azért mégis igen sokan művelik. Mint ilyen, lehető általánosságokra törekszik és arra, hogy az összes mathematikailag fölmerülő kérdésekre lehetőleg feleletet adjon.

Ennek az óriási épületnek a megalapozása és szigoru fölépítése nem könnyű föladat. A legmélyebben gondolkodó lángelmék adták időnkint koruk mathematikai tudásának ilyen összefoglalását. De voltak és vannak pontok, amelyeket még ezek a lángelmék sem tudtak kielégítő módon megvilágítani. Egy ilyen pont volt éppen Euklidész XI. posztulátuma.

A mathematikának ilyen alapozója volt a két Bolyai. Az idősebb Bolyai (Farkas) a Tentamenben foglalta össze kora mathematikai ismeretét, a lehető legmélyebb filozófiai áttekintéssel. Brassai szerint a Tentamen nem encyklopédiája, hanem kódexe az elméleti mathesisnek.3) Egy ilyen sötét pontot világított meg az ifjabb Bolyai (János) a Tentamen Appendixeként közölt értekezésével. A sötét pontból bámulatosan világító fényforrás lett, amely az egész geometria tudományát új világításban tünteti föl és a régi mezőkhöz új, addig ismeretlen mezőket csatolt. Ezeknek az új mezőknek a szélén áll Bolyai Jánosnak ma már minden földi árnytól megdicsőűlt alakja.

Bolyai Farkas 1775. februárius 9-én született Bolyán, régi középnemesi családból. Atyja Gáspár, anyja Vajna Krisztina volt. A gyermek első környezete olyan, mint kb. ma is egy elzárt vidéki udvarban lehet. A hat és fél éves Farkast atyja a nagyenyedi kollégiumba vitte tanulni. Itt kezdődik egy lángész pályája, amely első megnyilatkozásaival – mint gyermek – bámulatba ejti környezetét, s amidőn hivatva lett volna termékenyítő meleget sugározni maga körül, nem talál megértőkre, annál kevésbbé méltánylókra.

A gyermek Farkas nem szeret játszani, de hamar megtanul latinul s mindenki csodájára, adott thémára rögtönöz verseket. Az egész városban híre megy, becézik tanulótársai, tanárai és a város főúri családai. De tanárai mindjárt tudóst is akartak csinálni belőle s ez az, amit később fia – János – apja gyilkolásának nevez. Egy szünidőn Nemegyei professzortól megtanult görögül, kívülről szavalja és magyarázza Homéroszt.

Igy került 12–13 éves korában tanulótársul báró Kemény Simon mellé. Házitanítójuk Herepei Ádám, később Kolozsvárt Szathmári Papp Mihály. Már itten jelentkezik Bolyai szellemi törekvéseiben az a változékonyság, amely sok idejét rabolja el később is. Olyan, mint az érzékeny mágnestű; minden kis hatás kitéríti irányából, s csak hosszabb idő múlva tér vissza ama pólus irányába. Ez az a kapkodás, amely általában jellemzi a kiforratlan lángészt, s amelyre oly kiváló példák vannak irodalmunkban. (Petőfi, Arany, Jókai stb.)

Későbbi följegyzéseiből sejthetjük, hogy már ekkor a mathesis felé vonzódott lelke, de egynehány szép theológiai előadás után teljes lélekkel a theológiai tudományokra adja magát. Az a lélek azonban, amely egy egész életen át nem tudott kibékülni a XI. euklidészi posztulátummal, amely nem tűrt homályt a mathematikai kérdésekben, a theológiából hamar kijózanodott. Aztán festő; majd rossz szeme dacára is tüzér akart lenni; hallván az első magyar operát, hegedülni kezd tanulni. Akkori közállapotaink és fejletlen tudományos életünk következménye, hogy ez a lángész nem tud határozott irányt venni magának.

1796-ban fölindulnak Kemény báróval a jénai egyetemre. Betegsége miatt a bárótól elmaradt, s csak később követte őt és amikor Bécsben a tüzéri akadémiát meglátja, nyomban föl akar esküdni, amiben csak Keménynek jókor érkezett levele akadályozta meg. Így jött Farkas is Jénába, majd egy hónap múlva Göttingenbe, ahol Bolyai főkép mathematikát és fizikát hallgatott. Itt ér Bolyai életének új epochájába; itt ismerkedik meg Gaussal. Hogy ki ez a Gauss? Ma a mathematikusok „princeps mathematicorum“ névvel illetik; koronája a halhatatlanság, amelynek drágakövei minden idők lángelméinek feléje forduló bámulata és hódolata.

S hogy ki volt a Bolyai korában? Már is szerzője – 17 éves korában – egy, az égitestek mozgását tárgyaló értekezésnek; fölfedezője a körosztás elméletének. De ami Bolyaira fontos: az az ifjui lélek, amely hivatva volt az üresen álló principátusi széket elfoglalni. Az az ifjui lélek, amely így szól Bolyaihoz: „Sie sind ein Genie, sie sind mein Freund.“ Mintegy törvényszerüleg hat a mondás: a zsenik tehát barátok. És ők – a szó nemesebb értelmében – barátok maradtak holtukig. Összekötötte őket a közös tárgy, amely szellemüket foglalkoztatta; a közös cél, amely lelküket sarkalta. Gauss vallomása szerint egyedül Bolyai volt ekkori ismerősei között az, aki metafizikai eszméit a mathematikáról megértette. Bolyai már ekkor járatos a geometriában és – mint később is – a mathematika alapjaival foglalkozik. Gauss – mint Bolyai írja – a felsőbb regiókban már kolosszus, de Bolyaitól sokat tanult. Így, mintegy kiegészítve egymást, barátságuk csak növelte azokat a gyönyöröket, amelyeket a tudományok mélyébe néző lélek szerez magának. Apró érdekek, féltékenykedések nem zavarták meg ezt a szent harmóniát, hisz a tudományok tere végtelen; ott a hódítók nem kénytelenek egymás területeit bitorolni. Ott egyik területe sem gátolja a másik fejlődését; legfölebb elősegíti, anélkül, hogy azt egyáltalán megérezné.

Egy évig voltak együtt Göttingenben Bolyai és Gauss. Bolyai Gauss eltávozta után még ott maradt Kemény Simonért, mint kezes, s csak egy év múlva, a költség megérkezése után indult haza. Ez a nélkülözésekkel tele esztendő az idősebb Bolyai életének legboldogabb kora. Az a kor, amidőn a lélek csak lelkesül; amidőn a lélek először jut tudatára szellemi fenségének; amikor a lélekben csak az isteni szikra dominál, ennek világításában látja még a bajokat is; s ami legfőbb: amikor a lélek erőt, bátorságot, elhatározást, képességet érez magában az istenség felé közelíteni. Ha érezte ezt valaki, úgy az tudja, hogy mit élt át itten Bolyai oly barátai társaságában,4) akik vele együtt éreztek, lelkesedtek és ami fő: dolgoztak. A gyalog haza induló Bolyait a szomszéd falu határáig kísérik; könnyek között válnak el. Gaussal megegyezés szerint egy faluban találkoztak búcsuzóúl. A fölkelő Nap ment nyugatra és a mi Bolyaink keletre Holdnak, aki csak a Naptól kapja fényét.

Bolyai hosszabb viszontagságok után hazajött. Kolozsvárt nevelői állást vállalt.

Víg társak között boldogan teltek napjai, s szőtte merész álmait tovább, életét a Múzsa szolgálatában eltölteni. Barátai unszolására egy táncmulatságra ment; ott megismerkedett Benkő Zsuzsánnával, B. József kolozsvári chirurgus leányával, s bár többször hirdette, hogy szíve vértezett Ámor nyilai ellen, feled mindent, Múzsát, mathesist s talán szerencsétlenségére, de szerencsénkre, feleségül kérte a leányt. Anyagi viszonyai miatt csak két év múlva vehette el, aki „nem igéző szépség, de rendkívül vonzó, szelíd és finom lelkü, zongorázik és kellemesen énekel kottából és a zenében kifogástalan izlése van“. Ez az összes jellemzése Bolyai első feleségének. Nem sok, s talán csak úgy elégít ki, ha meggondoljuk, hogy egy mathematikus és nem egy szerelmes írja. Bármilyen tulajdonságokkal rendelkezett is, amelyek később nem voltak alkalmasak arra, hogy Bolyait boldogítsák, kellett valami rendkívülinek lennie benne, ami a világlátott, előkelő társaságokban forgott, szellemes Bolyait lebilincselte. Megnősülvén, domáldi birtokára vonúlt, gazdálkodott és ami kis idejét az időlopók (barátok) megkímélik, a mathematikának szenteli. Hamar jelentkezik azonban a kiábrándulás. „Én nőül vettem őt és remélem, nemsokára apa leszek; boldog házasembernek is tartom magam, de azért ne indulj el az én példámon; ne bízzál a leányokban“5) írja Gaussnak.

Nemsokára, 1802. december 15.-én megszületett fia, János. Ha az öreg Bolyai szerencsétlenűl élt is feleségével, ne zárjuk ki a szegény asszonyt a két Bolyait övező fénykoszorúból; odatartozik ő kettőjük közé, hisz a fiú dicsősége az édesanya tisztessége is és ő azt a fiut vérével táplálta.

Farkas nem volt a praktikus élet embere; anyagi gondok jelentkeztek nemsokára. 1804-ben meghívták a marosvásárhelyi kollégiumba a mathematika, fizika és chémia tanszékére. El is fogadta, s 47 évig maradt ez állásában, 1851-ben történt nyugalomba vonulásáig. Lelkesedéssel fogott tanári föladatához. Kathedra állott rendelkezésére, ahonnan kiönthette eszméit, gondolatait. A társaságokban szikrázó szellemmel csevegő Bolyaiból itt orator lett. Tudományos munkáin is dolgozott, de folytonos nehézségekkel. Nem jutott könyvekhez. Gausstól folyton jó mathematikai és csillagászati könyvek címeit kéri. Anyagilag folyton zavarokkal küzdött. Páratlan jó szíve van. Senkit sem bocsát el magától segítség nélkül. A városból nem tudja birtokának gondját viselni, jövedelmét élelmes jobbágyai harácsolják el. Sok pénzt emészt föl bizonyos kemencerakó, s más hasonló szenvedélye is. János születésekor hosszabb ideig Kolozsvárt tartózkodnak és itt kezdődik a házastársak között az elhidegülés, aminek oka Bolyai anyósa volt, aki kezdettől fogva ellenszenvvel viseltetett Bolyai iránt. A jó viszony – reménye ellenére – Marosvásárhelyen sem állt vissza köztük. Hiába írja Gauss – aki ekkor élte boldog szerelmének és házaséletének első perceit, – hogy béküljön ki feleségével, az egyszer létrejött szakadást nem lehetett helyre hozni. Bedőházy szerint a közös boldogtalanság oka Bolyai részéről talán az volt, hogy a külső kellemetlenségek okozta keserüségeket otthon öntötte ki; a Bolyainé részéről pedig az, hogy nem rendelkezett a Bolyaiéhoz illő intelligenciával. Nem tudott fölemelkedni az ideális feleség és háziasszony magaslatára; ha férje rosszkedvű, megvidámítani, ha jókedvű, még táplálni azt és vele mulatni, ha tudományos dologról van szó, férjének őszinte bámulója lenni. Nem tudta kezébe venni a ház gazdasági ügyeinek vezetését. Ha ezt eléri, Bolyai semmiesetre sem lett volna boldogtalan és tudományos munkásságára is jótékony hatással lett volna. Még ha megfelelő tudós környezetben élt volna Bolyai, talán megfeledkezett volna a bajokról, – mint annak, idején Göttingenben – de itt is inkább apró személyi surlódásoknak van kitéve. Ezért küldi meg Gaussnak a „Theoria parallelarum“ címü értekezését, amelyben, mint írja Gaussnak: „Én nem tudom a hibát fölfedezni.“ Nem bízik a kétezer éves problema megoldásában, „de ha érdemesnek tartod, küldd be egy megfelelő Akadémiának“, írja tovább. Itthon nincs, kinek adja, nincs az ilyen iránt érzékük az embereknek, s „különben is meg van verve az itteni féltudósoktól“ és nem is adná ki még, „ha nem volna kényszerítve egy kis külső dicsőséget hazardirozni“. S e pár sorban benne van a Bolyai sorsának egész tragédiája. Nem is az ő, hanem a mi tragédiánk. A sziklán a legjobb mag sem kel ki; a zseninek is környezet kell, hogy alkothasson. Igy aki hivatva volt építőmesternek lenni, lett egyszerü napszámos; de hős, vágta a sziklát kitartással, hűen mindhalálig. Már ekkor tervezi az arithmetika és geometria alapjairól szóló munkáját, de azokkal csak később készülhet el a Tentamenben.

Eközben szépen fejlődik az ifju János, akiben már játékai közben kezd megnyilatkozni geometriai tehetsége. Atyja óvatosan neveli; 9 éves koráig csak játékra tanítja. Elve az, hogy a gyerek erősödjék. A kilenc éves Jánost a kollégiumba adja, amikor aztán gyors előmenetelt tesz atyja vezetése alatt a mathematikában és zenében. Az öreg Bolyai is hegedült, de későn fogván hozzá, virtuózitásig nem vihette, azonban elméletileg kitünő zeneértő volt. János már 13–14 éves korában kész virtuóz. Első látásra hibátlanúl játssza a legnehezebb darabokat. Legszebb haladást tett a mathesisben. Mint serdülő ifju, járatos már a differenciális és integrális számitásokban és ami legfontosabb, teljes érdeklődéssel fordul a parallelák elmélete felé. Atyjának legragyogóbb álmai csoportosulnak a serdülő fiú körűl. Tervezi, hogy Gausshoz küldi; mily kár, hogy nem sikerült.

Ilyen körülmények között élt az öreg Bolyai, nyomasztó gondokkal, de szép reményekkel is. Teremtésre hívatott lelke szeretne egyet-mást beváltani az ifjukori álmokból. Költői kisérleteket tesz. Drámákat ír és hogy tehetsége felől meggyőződjék, az Erdélyi Múzeum drámapályázatára küldi három darabját. A döntés soká húzódott, nyugtalan lelke nem tudja megvárni azt és névtelenűl kiadta még két más drámájával őket. Nem a hiuság sarkalta itt, hisz névtelenül jelentek meg drámái; nem is a haszonlesés, hisz ő nagyon is ráfizet a kiadásra és a jövedelemből alapítványt tesz a város szegényei számára: hanem tisztán az alkotás után való vágy és az, hogy meggyőződjék képességeiről. Neki drámái megírásában telt gyönyörüsége. Ott teljesen kiönthette nagy szívét és fantáziája a legragyogóbb képekben nyilatkozott meg személyei nyelvén. Bolyai az egész világon a „virtus“ küzdelmét látja; ebből a szempontból itélte meg az emberi cselekedeteket. Nála az emberi érzelmek, indulatok csak akkor értékesek, akkor használhatók drámában, ha indító okuk a „virtus“, ha azok valamire tanítják az embereket. Ezért minduntalan előtör alakjai szavaiból az „auctor“, a maga emberbaráti mivoltában. Brassai szerint: „Olvasói egyaránt szerették és bámulták és most érettebb ésszel ki kell mondanom, hogy itéletökkel sokkal közelebb jártak az igazsághoz, sem mint akkori pályabírái is és az újabb kor kritikusai. Szerintem a földolgozott tárgyak „tragikuma“ ellen Beöthy Zsolt is aligha tehetne kifogást; a jellemek eléggé kidomborodók és következetesek, a bonyodalom érdekfeszítő és a katasztrófa természetes. Egyetlen egy kétségtelen hibája a tragédiáknak a metaphorák túlhalmozása, miszerint majd minden szereplő és minden helyzetben erősen virágos nyelven beszél.“6) Bírálói is elismerik gondolatainak nagyságát és kiemelik, hogy „egyedül a gondolatok nagyságára nézve nem ismernek jobb munkát drámai litteraturánkban“.7)

Fia ezidőben végezte a marosvásárhelyi kollegiumot és atyja Gausshoz szerette volna küldeni. Kár, hogy ő ezt csak úgy akarta, hogy János Gaussnál is lakjék. Gauss ekkori családi viszonyai ezt nem engedték meg és ezért válaszolatlanul maradt a Bolyai levele. Így a terv, Jánost külföldi egyetemre küldeni, veszendőbe ment. Nem maradt más hátra, mint a katonai mérnöki intézetbe küldeni Bécsbe, ahova ekkor minden mathematikát kedvelő elme törekedett, mint az érvényesülésnek ekkor egyedüli terére. A János anyjának ekkor már kezdett kifejlődni idegbaja. Mikor János elmegy, azt mondja: „Itthon ne maradjon, de ha elmegy, megőrülök.“ A rettentő jóslat bekövetkezett. Négy évig ápolta Farkas a feleségét, akinek közben alig voltak világos pillanatai. Négy évig virrasztott az öreg Bolyai a gyakran éneklő, magát prófétának stb. képzelő nő betegágya mellett. Jegyezgette a csodálatos mondásokat, amelyekből kivillant olykor ama lélek roncsainak egy-egy darabja, amely az ifju Farkast elbűvölte. Négy évig vitte a keresztet Bolyai Farkas és nem esett el alatta, nem is zúgolódott miatta; tűrte oly krisztusi szelídséggel, amely csak egy Bolyaitól telhetett ki. Az ő filozófus lelke most mutatta meg a nagyságát. Hisz azt a néhány boldog órát eléggé megfizette tíz év boldogtalanságával; de ő azért most, amikor éj borult arra az elmére, nem lát benne mást, csak az ő ifjukori, szerencsétlenné lett Zsuzsikáját. Végre a szenvedő asszony boldogult. Az utolsó percekben tébolya – mint egy rossz álom – eltünik, kéz a kézben kibékülnek, s Bolyainé „Ne sírj! higyj nekem, nemsokára boldogabbul találkozunk“ szavakkal vigasztalja férjét, aki „akkor esett el a kereszt alatt, amidőn levétetett róla“. Az elválás megrázó pillanatai soká ott lebegnek az élő előtt. „Bár csak egy nap szenvedhetnék még tőle! Bár csak egy órát adna a fösvény, gazdag örökkévalóság, melyen megmondhatnám neki, hogy vagyok, s adhatnám neki még egyszer azt a jobb kezet, mely szíveinket az örökkévalóság szélén egybefoglalta.“ Ezek a legőszintébb szavak, hisz a saját fájdalmát adta a papirosnak Bolyai, amikor ő már tovább nem birta.

Négy év múlva újra megnősült. Nőül vette Nagy Theresiát, egy marosvásárhelyi vaskereskedő leányát. Egy fia született ettől a nejétől, Gergely, aki azonban már nem rendelkezett semmi kiváló lelkitulajdonokkal, azon kívül, hogy apjának szerető, jó fia volt. Nyolc évi házasság után újra özvegy maradt és ezután egyéb bajai között ez az egy nyugodalma volt, hogy felesége nem volt, mint írja önéletrajzában.

Ezalatt János a katonai iskolában szépen fejlődött. Tisztjei szerették és dicsérték kiváló képességeit. Kezdi bontogatni szárnyait az a szellem, amely örökké világító csillagként az égre hatolt. A két Bolyai sűrü levelezésben áll egymással. Tartalmat a „közös mathesisi szenvedelem“ – mint hajdan Gaussal – ad a leveleknek, harmónikus hangot pedig az apai és fiui viszony, amely az anya halála után még szorosabbá vált. Részint a költői kisérletek csekély sikere, részint János munkássága Farkast is visszatérítették első szerelméhez. Kezdi rendszerezni azokat az eszméket, amelyek még Göttingenben fogamzottak meg agyában; hozzá kezd nagy munkája, a „Tentamen“ kidolgozásához. És csodálatos; az az elme, amely annyifelé fogott és mindent szenvedéllyel végzett, a mathesis terén a lehető legmélyebbre néz és onnan építi föl a lehető legnagyob rendszerességgel az egész mennyiségtant. Az említett „Theoria parallelárumban“ – amelyről később lesz még szó – éppen a legősibb rejtélyt törekszik bontogatni. Az ő, alapjában filozófus lelke a mathematika alapjaiban találta meg azt az anyagot, amely egyaránt kielégíti a filozófust és mathematikust is.

Mondhatjuk, hogy Bolyai kezében a geometria szinte természettudomány. Gauss és más nagyoknak is az volt a nézete, – ellentétben Kant fölfogásával, – hogy a tér nemcsak a szemlélődés formája, hanem önmagában létező. Bolyai a szemléletből indul ki. A testekből elvonás útján jutunk az ür fogalmára. Ebből származtatja ő a mozgás segítségével – ellentétben Euklidésszel – a többi geometriai képződményeket. Először a mozgással adja a kongruencia fogalmát, amelyet Euklidész is így tárgyal, mivel éppen arról van szó, hogy két különváltan lévő test ugyanegy helyre víve, ha pontról-pontra megegyeznek, akkor kongruenseknek mondjuk őket. Gondoljunk egy mozgó térrészt. Más és más képződményeket nyerünk aszerint, amint más mozgókat (mobile) gondolunk és amint ennek mozgását más és más föltételeknek vetjük alá. Bolyainak e tárgyalásai le voltak rakva – szinte mondhatnók, el voltak rejtve – a Tentamenben. Nálunk nem volt, aki méltányolhatta és a külföld figyelmét fölhívhatta volna rá. Külföldön alig volt egypár példány belőle. Azonban később Riemann és Helmholtz hasonló geometriai alapozásai teljes elégtételt szolgáltattak Bolyainak.

A Tentamen másik része az arithmetikával foglalkozik, kezdve a szám fogalmától, föl a legfelsőbb regiókig. Kiindul a szám fogalmából, amely lelkünk produktuma. Aztán jön a mennyiség fogalma és a mérés munkája, amely utóbbi vezet az egység vagy főmérték fogalmára. Amíg a geometriában összes fogalmainkat térbelileg tudjuk elképzelni, az arithmetika oly mennyiségekkel foglalkozik, amelyeknek tulajdonságai egyeznek az idővel, mint mennyiséggel. Ő az arithmetikát ezért idői mennyiségtannak – vagy az ő speciális szavával – id tannak nevezi. Szigoruan különbséget tesz az abszolutus egyenlőség és a relativus – szerinte „tekinteti“ – egyenlőség; a nagyobbság és többség között. Ezek jelölésére maga szerkesztette jeleket vezet be, vagy a már használatban levőket saját céljai szerint módosítja. Kiválóan szép az a mód, amellyel a positivus és negativus számok fogalmát vezeti be. A mennyiség fogalmához bizonyos milyenséget (milyzet) csatol, amely attól függ, hogy milyen meghatározással lép be a mennyiség műveleteink körébe. Így az egy milyzetüek egymást növelik, az ellentétesek egymást kisebbítik. A kétféle egységek összege zérus. Azután adja az alapműveletek értelmezését; mindenütt a szigoru értelmet tartván szem előtt, nem a formalizmust. Annyira törekedik kerülni a képzeletbeli és ezért gyakran tévedésekre vezető dolgokat, hogy a differenciális kalkulusban ki akarja küszöbölni a végtelen kicsinyek fogalmát, mint nem élesen definiált dolgokat. Így mutatja ki rendkívül sajátságos módon az első differenciális hányados létezését véges differenciákra. A magasabb deriváltakra azonban módszere nem alkalmazható.

Bolyai célja a Tentamennel az volt, hogy a tanulni vágyó ifjaknak oly „compendiumot“ adjon, amelyben az axiómák előre ki vannak téve; a képzetek a legegyszerűbbekből fejlesztetnek ki; a tárgyalás egyszerü, rövid és kézzelfogható; az alkotvány a legalsóbb fundamentumokból láthatólag emelkedjék föl, míg az ég tűzkoszorui között a feneketlenbe elmerül.8) Műve tankönyvül is szolgált, de leszámítva kevés tehetségeseket, nem igen értették meg. A közvélemény szinte ellene volt, anélkül, hogy olvasták volna. A kevés méltánylás rosszul esett szerzőjének, habár ez abban a korban nem lehetett máskép. A mathematikusok új dolgot nem igen találtak benne, a tanúlni kezdő ifjak nehezen barátkozván meg vele, nem volt, aki méltányolja.

Ma volna itt az ideje, – fejlett tankönyvirodalmunkban, – hogy mathematikus tankönyvíróink addig ne kezdjenek munkához, míg a Tentament meg nem emésztették. Középiskolai tanárainknak pedig mindennapi olvasmányul kellene használniok. Ez volna az a mező, amelyen a Bolyai elvetette mag szép termést hozna, mert valljuk meg, hogy a mai középiskolai mathematikai tanításunk alig emelkedik fölül az üres formalizmuson. Ezért van az örökös panasz a mathesis ellen; ezért ez a frázis, hogy a „száraz mathematika“. Tény az, hogy a sok formai számitásnak nem vesszük hasznát az életben, de hasznát vennők az azokon megszokott mély és szigoru gondolkodásnak és annak a tudományos látószögnek, amelyet már ily korán megszereznénk. Ez volna a középiskola célja és ennek megközelítésében nem kis hasznára volnának azok a tanárok, akik Bolyait értik; de betartják azt a tanácsát is, hogy „az okos nevelő a természet fejlődését szemérmes tisztelettel kisérje“.

A Tentamen megjelenése igen nehézkesen ment. Az előfizetők lassan jelentkeztek, s mivel anyagi zavarai miatt saját költségén nem nyomatta ki, nagy munkájának rövid foglalatját adta az „Arithmetica eleje“ címü kis munkájában magyarul. A költség összegyült végre – Bögözi Jakab Lajos 500 Rhftot ad, fia 104-et és három évi vajudás után, 1832-ben megjelent a nagy mű első kötete, 1834-ben a második kötete. Az első kötethez függelékül csatolja fia munkáját az abszolutus geometriáról. Ez az „Appendix“ az tulajdonképpen, ami a tudós világ figyelmét a Bolyaiak felé fordította.

A Tentamen megjelenése után Bolyai nem szünt meg dolgozni. Szeretné a Tentament magyarul is kiadni, de nincsen rá költsége. Dicsőséget nem aratott az eddigivel is; nem is a dicsvágy ösztönözte, hisz névtelenül adta ki munkáit, csupán használni kivánt hazájának; de amidőn 1835-ben az Akadémiában Nagy Károly Arithmetikáját 200 arannyal jutalmazták, mégis elkeseredett, mert, amint írja: annak nincs más érdeme, mint hogy Bécsben nyomtatták szép betükkel; pedig egy lapnyi, amelyen valami tisztába van hozva, többet ér foliántoknál. Itt csak az a mentsége van az Akadémiának, hogy az alapszabályok szerint csak magyar nyelvü munka kaphatta a 200 aranyat.9) Azonban érthetetlen az, hogy bár Bolyai kész lett volna munkáját magyarul az Akadémia rendelkezésére bocsátani, még feleletre sem méltatták. Így 1843-ban saját költségén adta ki az Arithmetika elejét átdolgozva. Az Akadémia mindamellett törekedett méltányolni őt és – főképp személyes ismerősei révén – tagjai sorába választotta. Ő tovább dolgozott, tervezett. 1853-ban a Tentamen rövid kivonatát kiadja németül „Kurzer Grundriss…“ cím alatt.

Ezen kisebb munkái főképpen tankönyveknek voltak szánva, de ezekben is, mint a kathedrán, nem találta el a helyes mértéket. Tanár volt ő szívvel, lélekkel, de nem arra szánva, hogy tömeget tanítson, hanem inkább arra, hogy zseniket neveljen. Bármilyen szépen is megírta nevelési elveit, azokat csak egy esetben valósította meg, fián, Jánoson. Az iskolában már nem sikerült ez neki, pedig ő ott is törekedett eszerint járni el, sőt talán nagyon is eszerint járt el. A tizenhárom-tizennégy éves János már járatos a felső mathesisben és ő az iskolában is azt hitte, hogy mind csupa zseninek magyaráz. Ezért volt, hogy leszámítva egyeseket, általában nem értették meg tanítványai, mint azt többen följegyezték. Igaz, hogy tanítványai nagyobbrészt a már serdült ifjakból kerültek ki, akiknél éppen elvei szerint, már a tudományok legmélyebbb titkai is kitárhatók. Ő ezeknél már nem is „szemérmes“ tisztelettel fordúlt a természethez, hanem szinte tobzódott a gondolatokban. A magyarázat közben az ő mindig új gondolatokat termő szelleme elérhetetlen régiókba szárnyalt. Ilyenkor talán elfeledte azt is, hogy hol van, csak a fényes gondolatok lebegtek előtte gomolygó halmazban. Mindent filozófiai oldaláról fogott föl és épp ezért nem értették mathematikai előadásait, mert ennek a filozófiája kivánja a legélesebb látást. Arra, hogy a tudományt népszerűsítse, hogy az előtte tömören jelentkező gondolatokat részeikre szedve közölje hallgatóival, nem gondolt, ezt nem látta szükségesnek. Gyakran eltér a tárgytól és áttér a tudományok és filozófia mezejére, tanítványai meghatva ülnek előtte, elbűvölten attól a lelkesedéstől, attól a határtalan imádattól, amellyel az előttük beszélő ember felöleli az egész szellemi világot; gondolkodóba ejtve attól, hogy ennek az embernek arca pirban, szeme tűzben ég azon dolgok említésekor, amelyeket a köznyelven hideg és száraz szavakkal jellemeznek. Hogy tanítványai sok dolgot nem értettek meg, szinte mellékes azon nyereség mellett, amit Bolyaitól kaptak. Hisz melyik mathematika tanárunk állíthatja ma is, hogy tanítványainak legalább a fele érti őt, pláne a felsőbb osztályokban. De a Bolyai tanítványai között nem volt egy sem, akit meg ne hatott volna a lelkesedés tüze, aki ne esett volna gondolkodóba, hogy mégsem lehetnek közönséges dolgok azok, amikért így lehet lelkesedni. Ha talán kevés mathematikát tanultak is tőle tanítványai, de megtanulták mégis azt becsülni, megtanulták a tudományokat értékeseknek tartani. Az apróbb szabályokat elfelejtjük, de a fiatal lelkünkbe égetett lelkesedés és nem közönséges értékelés egész életünkre vezetőnk lesz.

A Tentamen készülésének idejére esik a János munkássága is. János 1822-ben végezte a bécsi akadémiát és innen a tényleges szolgálatba lépett. Már az akadémián foglalkozott a parallelák elméletével és 1823-ban Temesvárról – mint alhadnagy – a következőket írja atyjának: „’A pillanatban nints kitalálva, de az út, melyen mentem, bizonyosan igérte a tzél elérését, ha az egyébaránt lehetséges; nints meg, de ollyan felséges dolgokat hoztam ki, hogy magam elbámultam…“ Két év múlva ellátogat Marosvásárhelyre, ahol már kész rendszerét közli atyjával. Itt megbeszélik a közlés módozatait is és Farkas nagyon sürgeti a minél előbb való nyilvánosságra hozatalt, mert könnyen megelőzheti valaki más. A János munkájának a közlése mégis késik és a Tentamen első kötetének Appendixeként (függelék) jelenik meg 1832-ben. Farkas ezt a kötetet megküldte Gaussnak és birálatot kért. Mint írja: János többet ád a Gauss itéletére, mint az egész világéra. A válasz késett – Gauss nem kapta meg a küldött példányt – amire Farkas az Appendix külön lenyomatát újra megküldte Gaussnak. Gauss örömmel és meglepetéssel olvassa át a kis füzetet és rögtön válaszol. Szokott egyszerűségével és őszinteségével megírja, hogy a tárgyalások egyeznek az ő gondolataival, amelyeket ebben az irányban tett és nagyon örül, hogy régi jó barátjának a fia az, aki őt megelőzte. Jánost elsőrangu zseninek nyivánítja és mindjárt fölhívja a figyelmét bizonyos problémákra.

Gauss levele Jánosnál nagy elkeseredést szült. A talán mathematikai őszinteségű és igazságú levél nem elégítette ki a mathematikus szívét és becsvágyát. János érezte alkotása nagyszerűségét és ha az a fiatal lélek vágyott egy elismerő szó után azon ember ajkáról, akit legtöbbre becsült a világon, azért nem itélhetjük el. Hisz hosszu évek fárasztó, lázas munkájának honorálásáról volt szó és egy meleg, elismerő szó, csak egy kézfogás – ha gondolatban is – volt a várt díj. Nem sok – még egy Gausstól is – azért a munkáért, amelyet az utókor – és abban egy-egy gaussi lángész is – örök bámulattal és halhatatlansággal jutalmazott. Megértjük, hogy János féltékeny lesz és félti a prioritását. Megértjük, hogy elkeseredik éppen Gauss ellen, aki nem szorult rá, ha még olyan szép gyöngyökért is, ilyen módon fáradni. Bár Gauss később nyilvánosságra került levelei igazolják, hogy Gaussnak már voltak ilyenféle gondolatai, hogy volt sejtelme a készülő „új világról“, de mégis csak Bolyai János teremtette azt meg. Ha mathematikailag gondolkozva tán igazat adunk is Gaussnak, de szívünk legtitkosabb redőiben mégis ott él a gyanu, hogy az önzés beszél Gaussból. Bármennyire is igaza volt, szívtelenség volt tőle így felelni, pláne az ő régi barátjának. Gauss nem nyert vele semmit, de összetörte János becsvágyát és odadobta az Éris almáját az apa és fiu közé, mert János haláláig nem békült ki a gyanúval, hogy atyja elárulta eszméit Gaussnak és egyfelől ez volt oka az apa és fiú között később beállott viszályoknak. Az abszolutus geometria históriájához tartozik a másik nagy fölfedezőnek – Lobacsefszkij-nek – a neve is, aki alapjában szintén rájött a dologra, munkálatát közölte is az Appendix megjelente előtt orosz nyelven, de ez a tudós világ előtt ismeretlen maradt, s csak öt évvel az Appendix után jelent meg közérthető nyelven.

Lássuk már most, hogy mi körül forog itten a kérdés és miben áll a fölfedezés nagysága. A fölfedezés egy kétezeréves probléma megoldása. Euklidész V., némelyek szerint XI. axiómája a következő:

„Legyen egy síkban két egyenesünk és messük ezeket egy harmadik egyenessel. A két egyenes határtalanul kinyújtva, azon az oldalon metszi egymást, amely oldalon a belső szögek összege kisebb két derékszögnél.“

Ezt Euklidész posztulátumként állítja oda, mint olyat, amelyet a priori evidensnek látunk, sőt szükségképeninek. Ezen az axiómán ő fölépítette geometriáját, amelyet mindnyájan ismerünk, amely a tapasztalattal soha ellenkezésbe nem jött. Ha a priori nem is tartanók igaznak az V. posztulátumot, a poszteriori még sem kételkedhetnénk annak helyességében. Kevés ember van azonban, aki már a priori ne tartaná szükségképpen igaznak Euklidésznek ezt a követelményét. Ugyanis bármeddig hosszabbítsuk meg a két egyenest, a tapasztalat határán belül azok mindig a tételnek megfelelően viselkednek. Már most, ha a végesből a végtelenre vonunk következtetést, a tétel helyes. De éppen ez a pont az, amely mélyen gondolkodó mathematikusoknak már igen régen (Ptolemaiosz volt az első) föltünt és ezért az V. posztulátumot a bizonyítandó tételek sorába helyezték. A végesről a végtelenre következtetést vonni nem szabad és így a szemlélet révén a V. euklidészi posztulátum helyes vagy helytelen voltáról meggyőződni nem lehet.10)

A mathematikusok előtt tehát ez állott: van egy tételünk, amelynek összes következményei helyesek, de a tétel – mint axióma – a priori nem látható be, bizonyítva pedig még nincsen. 2000 éven át a kérdéssel foglalkozó mathematikusoknak a törekvése ezt a hiányzó bizonyítást megadni. Megpróbálták a legkülönbözőbb útakat. Új posztulátumokkal törekedtek a régit helyettesíteni: sokan hitték, hogy elérték céljukat, de mindenikről kiderült, hogy valamiben hibáztak. Kästner, Bolyai és Gauss egykori tanára, mintegy hétezer művet gyüjtött össze, amelyek a szóban levő kérdéssel foglalkoznak. Mint minden bizonyításnál, kétféle útja volt az eljárásnak: direkte bizonyítani a tételt, vagy kimutatni az ellenkező lehetetlenségét. Ez utóbbi útat követi Farkas a Theoria Parallelarumban. Fölvesz egy egyenest és erre egy merőleges vonaldarabot állít. Ettől egyenlő távolban jobbra és balra szintén egyenlő merőlegeseket. Már most – föltéve, hogy nem igaz az V. axióma – ezeknek a merőlegeseknek végpontjai egy sokszöget határoznak meg; ha pedig a merőlegeseket egész sűrön rakjuk, akkor a végpontok összeköttetése görbe vonal lesz, amelyről Bolyai F. bizonyítja, hogy ez csak önmagába visszatérő görbe lehet. Ebből pedig az következnék, hogy egy egyenesre két pontjában állított merőlegesek egy pontban találkoznak. Ez pedig ellentétben van azzal a tétellel, hogy egy egyenesre egy pontból csak egy merőlegest lehet vonni. Bolyai ezt bizonyítja, de bizonyításában – mint Gauss egy levelében megmutatta – hibát követ el, amikor fölteszi, hogy a keletkező sokszög egyenlő szögü, vagy a keletkező görbe kör, ami nem szükségképeni. Farkast ez nem kedvetlenítette el, mert maga is kételkedett benne, hogy kihozta volna a dolgot, habár a tétel bizonyíthatóságáról teljesen meg volt győződve. Hasonló módon szenvedtek hajótörést mindazok a mathematikusok – köztük Legendre, Lagrange – akik az V. posztulátumot bizonyítani törekedtek. Mindamellett a sok fáradságnak igen nagy haszna volt a geometriai alapfogalmak – egyenes, görbe stb. – tisztázására.

Bolyai János volt az első, aki – miután a bizonyítás neki sem sikerült – arra az álláspontra helyezkedett, hogy a parallelák tételétől függetlenül építse föl a geometriát. Eljárásának egyik része a Farkastól kontsruált egyenlő távolu vonal vizsgálata. Csakhogy amíg Farkas ezt a vonalat segédeszköznek használja, János magát ezt a vonalat vizsgálja. És ez új álláspont 1823-ban még nincs kész, de már látja az „új másvilágot“. Ez a gondolat, amely most olyan egyszerűnek látszik, páratlan mély látásra vall. János emancipálni tudta magát az egész euklidészi geometria parancsoló hatása alól és fölemelkedett arra a magaslatra, amelyet így jellemezhetünk, mint az ő álláspontját: A geometria oly tudomány, amelyet teljesen absztrakt fogalmakból mi magunk, függetlenül a külvilágtól, alkotunk meg. A geometria ilyen megalkotásakor egyetlen vezető eszménk az, hogy alkotmányunk a térbeli szemlélettel összhangzásban legyen és így amellett, hogy igen általános összefüggéseket ad az alapul vett fogalmak között, egyszersmind alkalmas a tér geometriai tüneményeinek leírására. Ennélfogva nem szabad a szemléletből vett tételeket általánosítani és így az euklidészi tételre egyebet nem mondhatunk, mint azt, hogy az áll a tapasztalás határain belül. Mindenesetre van egy határ, amelyen túl a két szög összege kisebb két deréknél, de mi még nem tudjuk az összehajlást kimutatni. Ezt a határt gyakorlatilag nem állapíthatjuk meg.

Hogy a Bolyai János alkotását megérthessük és méltányolhassuk, egynéhány szót bocsátunk előre a felületek geometriájából. Olyan felületekről beszéljünk, amelyek bizonyos szabály szerint vannak alkotva és így egy véges darabjuk is magán viseli a felület jellemző tulajdonságait. Egy ilyen felület geometriáján értjük azon tételek összeségét, amelyek a fölület, a benne jól meghatározott módon húzható vonalak és ezen vonalak által alkotott idomok tulajdonságait fejezik ki. Gondoljunk pl. a sík vagy gömb geometriájára. Ha egy általános felület geometriáját akarjuk megalkotni, a felület olyan vonalaival kell dolgoznunk, amelyek nem tetszésszerintiek, hanem a felületre jellemzők, amelyek mintegy a felülettel adva vannak. Ilyen vonalak a felületek legrövidebb vonalai. Vegyünk föl a felületen két pontot és az ezt a két pontot összekötő vonalak közül válasszuk ki a legrövidebbet (eltekintve egyes szinguláris esetektől, ilyen mindig van). Ez épp oly szerepet játszik a felületen, mint az egyenes a síkban és ezért nevezik ezeket a felület egyenes vonalainak is. Hogy egy ilyen legrövidebb vonalat megnyújtunk pl. a végtelenig, azt úgy kell érteni, hogy ezen vonal bármely két pontját összekötő vonalak között tényleg ez a vonal a legrövidebb. Egy ilyen felületen két legrövidebb vonalat parallelnek mondunk, ha a végtelenbe meghosszabbítva nem metszik egymást. Egy felületbeli vonal két igen közeli pontján átfektetett egyenest mondjuk a vonal érintőjének. Két egymást metsző görbe vonal hajlásszögén értjük a metsző pontból a vonalak irányában húzott érintők hajlásszögét. A gömbön a legrövidebb vonalak a legnagyobb gömbkörök. Egy felület trigonometriáján értjük a felület legrövidebb vonalaiból alkotott háromszögek tanát. Az euklidészi sík háromszög szögeinek összege 180°. A gömb-háromszög szögeinek összege nagyobb 180°-nál. Vannak felületek, amelyeken a legrövidebb vonalak alkotta háromszögek összege kisebb 180°-nál. Ilyen felület pl. egy nyeregfelület, amelyet kezünkön is szemlélhetünk szétfeszített ujjaink között.

Már most Euklidész V. posztulátumának vizsgálatában gondoljunk egy pillanatra általánosan felületekre és azok egyeneseire (legrövidebb vonalaikra). Nyilvánvaló, hogy itt megeshetik pl. az, hogy a két egyenes nem találkozik, dacára annak, hogy a belső szögek összege kisebb 180°-nál.

Már most képzeljünk egy ilyen nyeregfelületet igen nagyon ellapítva, mikor is azt egyezőnek találjuk az euklidészi síkkal, dacára annak, hogy az eredeti viszonyok megmaradnak.

Távol attól, hogy ilyen nyeregfelületnek képzelnők a Bolyai-féle abszolutus síkot, ezt csak annak szemléltetésére hoztuk föl, hogy jogosult volt az akkori geometrák kételkedése. Már most hogyan jár el Bolyai János? Az ő korában azok a geometriai tételek, amelyeket én itt fölsoroltam, még csak készülőben voltak Gaussnál. Neki nem volt más fogantyu a kezében, mint annak éles meglátása, hogy megeshetik a két egyenes nem metszése akkor is, ha a belső szögek összege kisebb 180°-nál. Ő ennek következményeit vonja le és ennek következményeiből konstruálja úgynevezett abszolutus síkját.

Jánosnál tehát a kiinduló pont az, hogy két párhuzamos egyenes belső szögeinek összege kisebb 180°-nál. Vegyünk most egy síkban végtelen sok parallel egyenest. Egyik egyenesen vegyünk föl egy pontot és ebből úgy húzzunk egy egyenest az egyik szomszédos parallelhez, hogy a két belső szög egymással egyenlő legyen. Ilyen egyenes mindig van és János álláspontján a keletkező szögek hegyes szögek. Ezt a műveletet folytassuk tovább parallelről parallelre, mindig az előbbi szelő végpontját használva az új szelő kezdőpontjául. Az így kapott szelők együtt egy sokszöget alkotnak; ha pedig a paralleleket végtelen sűrűn vesszük, a sokszög átmegy egy görbe vonalba. Ezt a vonalat nevezi János határvonalnak és L betűvel jelzi. Később ennek a vonalnak a paraciklus nevet adták. Bolyai János kimutatja, hogy e vonal egyenlő görbültségü. Euklidész síkjában ennek a görbének egyenes fele meg, amely forgatva a parallelek egyike, mint tengely körül, síkot ír le. A paraciklus hasonló forgatással egy felületet ír le és ez a felület a Bolyai János paraszférája, amely olyan tulajdonságu, hogy rajta pontosan érvényes az Euklidész geometriája, ha az euklidészi egyenesk helyett a Bolyai-féle paraciklusokat használjuk. Nevezetes az, hogy míg az Euklidész síkjában az V. posztulátum nem bizonyítható, Bolyai a paraszférán ezt két paraciklusra szigorúan bebizonyítja. Ezután megszerkeszti Bolyai egy egyenes egyenlő távolu egyenesét, amely nála újra görbevonal lesz. Egy egyenes két pontjában egyenlő merőlegeseket állítunk és a végpontokat összekötjük egy parallellel, de mivel a belső szögek összege kisebb 180°-nál, az összekötő egyenesnek a másik felé be kell görbülnie János szerint. Szerkesztve ezt az egész egyenes hosszában, egy görbét kapunk, amelynek neve hypercyklus, és amelyik Euklidés szerint újra egyenes. Forgatva ezt a merőlegesek egyike körül, egy fölületet nyerünk, amelynek neve hyperszféra. Ennek geometriájával János keveset foglalkozik.

Bolyai János az ő geometriájában határozatlanul hagyja, hogy a belső szögek összege mennyivel kisebb 180°-nál és itt végtelen nagy tetszésszerintiség van. Minden egyes esetben más és más méretekkel bíró para- és hyperszférákat nyerünk, amelyeket az illető esetekben egy-egy állandó individuálizál. Amikor ez az állandó végtelenné válik, a Bolyai-féle geometria átmegy az Euklidész-félébe, amit élesebben úgy fejezhetünk ki, hogy a Bolyai-féle geometria, mint speciális esetet magában foglalja az az euklidészi geometriát.

Most láthatjuk a különbséget a kétféle geometria között és láthatjuk azt a széles látókört, amit Bolyai nyitott meg. Míg Euklidész szerint van egy felületünk, amely leír bizonyos egyszerűbb geometriai tüneményeket, addig Bolyai a felületeknek egy végtelen nagy sokaságát alkotta. A tapasztalás alá eső tüneményeket ez is leírja egy speciális esetben (ha az a bizonyos állandó végtelen nagy lesz). A többi esetek geometriájával a gyakorlat ugyan nem nyert semmit, de nyert a csupán abszolutus igazságra törekvő szellem, mert olyan újabb összefüggéseket kapott így, amelyeket az euklidészi geometria nem képes nyújtani.

Összefoglalva a mai geometriai rendszereket, háromféle geometriánk van: A Riemann-féle, amely a gömb geometriája; jellemzője, hogy a háromszög szögeinek összege nagyobb 180°-nál. Az Euklidészé, mely általánosan ismeretes és a Bolyai-Lobacsefszkij-féle geometria, amelyet euklidészi álláspontról nézve, a már említett nyeregszerü felületeken szemléltethetünk és amelyben egy háromszög szögeinek összege kisebb 180°-nál.

Ezek után látjuk, hogy az V. posztulátum helyes vagy helytelen voltáról szóló kérdés magától elesik. Ha geometriánk alapjául tesszük, kapjuk az Euklidész geometriáját; ha nem, kapjuk a Bolyaitól abszolutusnak nevezett geometriát. A kétezeréves probléma így nyert megoldást a mi Bolyaink által. Tulajdonképpen nem megoldást nyert, hanem lépcsőül szolgált a geometráknak oly magasra emelkedni, ahonnan új világokat láthatnak. A geometriai látókör az Appendix által óriásit növekedett és a kiépítés munkája ma is folyton tart.11)

Az Appendix megjelenése után Jánost nemsokára nyugdíjazták és ő Domáldra, atyja birtokára költözött. Oly környezetben élt, amely nem is sejti, de ha sejtené is, méltányolni sem tudná a zsenit. A külső elismerés elmaradt és így Jánosnak különben is szélsőségekre hajló természete rendkívüli anomáliákba csapott át. Az egész országban egy ember van, aki őt érti és méltányolni tudja, atyja. Ő azonban összevesz atyjával, részint anyagi dolgok miatt, részint a gyanu miatt, amely szerint atyja elárulta volna eszméit Gaussnak. Munkakedve elvesz és csak szórványosan, kapkodva dolgozik. Egy Leipzigbe küldött, a komplex mennyiségekről szóló pályamunkájában sok dologban megelőz nagy matematikusokat, de bírái munkáját nem értették meg és ez még jobban elkeserítette. Nagyobb munkája még a Lobacsefszkij dolgozatának birálata, „amelyben János egyebek között Lobacsefszkij előállításának olyan pontatlanságára utal, amelyet rajta kívül senki sem vett észre“.12)

Már utolsó katonaéveiben kezd félrevonulni, mogorva lenni. Minden kis dolog kihozza sodrából és ilyenkor óriási féktelenségekre ragadtatja magát. Egy ilyen eset volt oka nyugdíjaztatásának is. Haza kerülvén, azt hiszi, hogy atyja meg akarja rövidíteni örökségében öccse javára, ami elhidegíti az egykor oly meleg és harmónikus viszonyt. Jánosról sok mendemonda kering, jóval több a kelleténél és az apa talán túlságosan is hitelt adván ezeknek, szeretné, ha fia a közvéleményben is oly jó hírnek örvendene, mint esze azt megérdemelné. Ilyenkor János végtelen haragra lobban. Az okot bizonyos hozzá nem illő nővel való viszonya szolgáltatta. Az egyes tények a kisvárosi élet szokásai szerint eltorzítva kerültek közszájra. János hiában kéri atyját, hogy ne higyjen ezeknek, – talán az igaznál többet is elhitt – és így érthetjük János elkeseredését is. Mindenesetre Jánosnak családi élete egyike a legérthetetlenebb viszonyoknak. Bedőházy szerint nem tudni, hogy hol kapta nejét, sem azt, hogy meg volt-e vele esküdve, de ez a nő volt az egyetlen lény, akinek hatalma volt Bolyai János fölött. A szomszédok tanúsága szerint a két sajátságos lélek összeütközései nagy viharokra szolgáltattak alkalmat. Összegében véve tehát, szemben állott az öreg Bolyai jó híre a János épp oly rossz hírével; az öreg jó szíve az ő kemény, semmi szívességre és hálára nem hajló szívével; az apa kevés meglepetéseket keltő tudományos munkássága a János új világával. Szemben állott az apa tekintélye, amelyet néha akaratlanul is érvényesíteni akart, a János saját halhatatlanságába vetett hitével, mintegy bizalommal a jövő igazságszolgáltatása iránt, de épp oly elkeseredéssel a jelen iránt, hogy meg akarják fosztani dicsőségétől (Gauss-féle levél) és még hozzá a gyanúval atyja iránt, hogy ez az ő révén történt. Szemben állanak ilyen szétválasztó lelki motivumokkal, amikhez hozzájárul a széttörhetetlen kapocs, a mathesis iránti közös szerelem.

Bármennyire eltávolodtak is egymástól az első okok miatt, összehozta őket ez utóbbi. Az egész országban nincs még egy hely, nincs még egy matematikus, ahol szerelmüknek áldozhatnának. Ha távol vannak egymástól, leveleznek, de a kritikusabb időkben megszólítást nem használnak; eszméiket közölni kell. Ha pedig együtt laknak, egy meg nem értett szó, egy magyarázat félreértése, egy kis kritika fölszínre dobja az összes ellentéteket. És nem tudnak megegyezni, mint okos emberekhez illik, nem tudnak különbséget tenni bizonyos dolgok között, nem tudnak semmiben elnézést gyakorolni egymás iránt. Az őrültek csökönyösségével ragaszkodnak nézeteikhez. Az apa még engedne, de János makacssága őt is kihozza sodrából. Nyugodt pillanataikban mindketten vágynak a közös békére, hisz szeretik is egymást, ezt is nem rendes méretekben, többször ki is békülnek, de mindig kerül valami kis ellentét és kész a surlódás, sőt a késhegyig menő harc. Ilyenkor János szenvedélyessége nem ismer határt. Igy hívja ki atyját egy ilyen pillanatban párbajra, amire az öreg őt elűzi házától. Kibékülnek újra, de csak további civódásokra, amelyekben mindenesetre több hibája volt Jánosnak.

Férfikorában általában mogorva természetü, az embereket kerüli, akikkel érintkezik, azokkal is nyers. Álláspontja az, hogy az emberek egymással való érintkezése matematikai szigorúsággal történjék. Semmi előzékenység, semmi barátság, de semmi önzés. Ilyen elvek alapján míg atyját sok tekintetben elkeserítette, boldoggá akarta tenni a világot. Az apró sértések, keserűségek, névtelen szenvedések iránt nem volt érzéke, de érezte, hogy ebben a világban a boldogság vajmi ritka. Az ő hatalmas szelleme, amely a geometriában oly magasra tudott emelkedni, a humanitásban is túl akarta szárnyalni az emberi határokat. Az a szeretet és jószívűség, amellyel atyja minden egyes embert, érdemest és érdemetlent egyformán szívére ölel és nem számolva képességeivel, elhalmoz jótéteményekkel, Jánosból az egész emberiség felé sugárzik. Atyja fia volt ő ebben is, csakhogy óriási méretekben. Egy rendszert akar kidolgozni, amelyben szigorúan az ész szabályai szerint él az emberiség: amely világban boldogság honol, mert száműzve van belőle minden, ami az emberi lélek érzelmein alapszik. Nincs költészet, művészet, szeretet, szerelem, csak matematikai formulák szerint símán gördülő élet. Ezt a hideg világot nevezi ő boldognak, amelyből hiányzik a szülői és baráti szeretet melege, hiányzik a szerelem tüze. Rendszerét üdvtannak nevezi és ebben akarja összefoglalni az összes emberi tudományokat, amelyek ezt a célt szolgálják. Csak vázlatok, apróbb fejezetek maradtak ebből, egységes munkára már nem volt képes a szerző. A gondolat, az eszme nagysága annyira elragadta, hogy a részleteket nem tudta kidolgozni. Hozzájárult igen nagy önimádása és minduntalan saját énje nyomul előtérbe.

Atyjától örökli jelleme alaphangjait, de mint mellékhangok vegyülnek az eredetileg harmónikus vonások közé anyja hisztérikus lelkének némely vonásai. Lassanként e mellékhangok lesznek uralkodókká a lélekben és emiatt van, hogy apa és fiú szembeállítva, két ellentétes jellemként tünik föl előttünk. Midőn bámulattal állunk meg a „Geometria absolute vera“ mellett és töprengéssel a Farkas munkája előtt, hogy miben is rejlik e férfiu nagysága,13) vegyük észre, hogy egyek ők: a matematika megalapozói. Farkas egy kérdés megoldását fiára hagyta, mint legszebb díszét talán az általa emelt örökké szilárd épületnek. Mindkét élet szívetszorító példája egy tragikus életnek, de míg a Farkas homlokára a nyugati nap – Gauss – egy fénysugárt von, addig a Jánoséra, – legalább az ő hite szerint, – csak árnyat akart vetni. Talán intő példa mégis, hogy ne mindig a külföldre bízzuk zsenijeink fölfedezését. Élnek olyan talajon, amely semmiképpen sem kedvez a matezis fejlődésének; de míg Farkas túlságos szerénységgel elesettnek vallja magát, filozófikus lelke munkára sarkalja, hogy mégis hasznára legyen hazájának és az emberiségnek, addig János kevésbé rokonszenves módon, de annál nagyobb önbizalommal és bátorsággal kimondja, hogy ő az emberiség legnagyobb szellemeinek egyike. Az a lélekerő, amely Farkast nem engedi teljes desperációba jutni, – mintegy bízva az utókor igazságszolgáltatásában, – a János lelkében erőt akarván venni a sorson és körülményeken, önmagasztalásba ful. Farkas minden egyes embert boldogítani akar, aki hozzá fordul, János elég erősnek érzi magát az emberiség boldogítására. Farkas szétszórja emiatt javait, magát nagy anyagi zavarokba sülyesztve; János erre fordít az anyagiaknál annyiszorta becsesebb sok szellemi energiát, megfosztva magát új alkotások gyönyörűségétől. Ki vesztett többet, ne mondjunk ítéletet. Farkas lelke csordúltig van a keserűséggel, amidőn azt írja Gaussnak: „Bocsásd meg nekem, kedves Gauss, hogy óriási pályafutásodban zavarlak…“, de ezzel a keserűség távozik, pedig a fájdalomnak mily tömege hozhatta tollára e szavakat, összehasonlítva magát az óriás Gaussal. Egy pontból indultak ők ki, egy irányban, egyenlő impulzussal, de míg Gauss nyílegyenesen folytatta pályáját, a Bolyaié a mi, még örökkétartó átkunk bűvkörébe jutván, lehajlott és kínosan szakasztott egypár barázdát a műveletlen ugaron. Ebben a néhány Gausshoz írott szóban benne van mindaz a fájdalom, amelyet az anya érezhet egyetlen gyermeke elvesztén. Benne van, sőt több, mert a lángésznek minden mozzanata rendkívüli. Nem közönséges dolgokat termel, nem közönséges módon örül és nem közönséges módon szenved. Jánosnak nem jöttek ajkára ilyen szavak; talán ezek fojtogatása következtében volt az egykor kedves fiu olyan mogorva, szótalan.

Atyja halála után János teljesen fölhagyott mindennel és teljes elhagyatottságban halt meg 1860-ban Marosvásárhelyt.

Pihennek ők már mind a ketten és ma, amikor ítéletet mondunk fölöttük, törekedjünk elsősorban talán megérteni őket.

*

E kis dolgozatban eredeti gondolat, – leszámítva egypárat, – nincsen; minden meglelhető Bedőházy J.: A két Bolyai; Brassay: Emlékbeszéd Bolyai Farkas fölött; Schlesinger Lajos: Bolyai János (Math. és Phys. Lapok) és egyetemi előadásai; Bolyai és Gauss levelezése címü munkákban és még a Math. és Physikai Lapokban közölt néhány értekezésben. Éppen ezért elhagytam az illető helyeken minduntalan a forrásra utalni, ami az olvasást nehézkessé tette volna.