SECTION IV. MÉCANIQUE ANALYTIQUE, MÉCANIQUE CÉLESTE ET PHYSIQUE MATHÉMATIQUE.
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SECTION IV. MÉCANIQUE ANALYTIQUE, MÉCANIQUE CÉLESTE ET PHYSIQUE MATHÉMATIQUE.
Extrait de l'Analyse due a PHILIPPE GILBERT des Notes insérées par M. GASTON DARBOUX dans le «Cours de Mécanique par M. DESPEYROUS».
Ce qui donne au Cours de Mécanique de Despeyrous une valeur et un intérêt particuliers, ce sont les nombreuses Notes qu'y a jointes M. G. Darboux, en les extrayant de ses propres travaux parus dans les Mémoires de la Société des Sciences de Bordeaux, le Bulletin des Sciences mathématiques, etc. Arrêtons-nous un instant sur ces Notes, aussi remarquables par la forme que par le fond.
Le but de la Note I est d'examiner à fond les démonstrations purement statiques du parallélogramme des forces (Daniel Bernoulli, D'Alembert, Cauchy, etc.), d'indiquer les postulats qu'il est nécessaire d'introduire pour rester rigoureux et ne rien emprunter à la théorie du mouvement. L'Auteur discute avec beaucoup de finesse et de rigueur tous les points, et prouve que les postulats nécessaires et suffisants peuvent se réduire à quatre: 1º la résultante de plusieurs forces appliquées à un même point doit être unique et déterminée, indépendante de l'ordre dans lequel on les compose; 2º indépendante de l'orientation du système des forces dans l'espace; 3º la loi de la composition des forces doit se réduire à l'addition algébrique dans le cas de forces de même direction; 4º une certaine fonction φ(P) doit être continue (ou être toujours positive)....
La Note VII contient la solution complète de ce joli problème: Trouver la figure d'équilibre d'un fil flexible parcouru par un courant, sous l'action d'un pôle d'aimant. La tension du fil est constante; la figure d'équilibre est une ligne géodésique d'un cône de révolution qui a son sommet au pôle. M. Darboux donne le moyen de construire ce cône, connaissant la longueur du fil et ses extrémités.
La Note VIII constitue un beau Mémoire sur le mouvement d'une figure plane dans son plan. Il y est montré que l'aire décrite par le rayon vecteur d'un point de la figure mobile, quand celle-ci passe d'une position à une autre, est égale à la moitié de la rotation de la figure multipliée par la puissance de ce point par rapport à un cercle déterminé de la figure mobile. Dans les mouvements fermés, le centre de ce cercle est au centre de gravité des courbures (Steiner) de la roulette mobile. Si l'on prend trois points en ligne droite, on trouve des relations élégantes comprenant le théorème de Holditch. De même, en étudiant par l'analyse les enveloppes des droites de la figure, on retrouve le théorème bien connu et celui-ci: L'arc enveloppé par une droite quelconque, entre deux positions, a pour mesure l'angle de rotation multiplié par la distance de la droite à un point fixe de la figure mobile. Ce Mémoire a paru (plus complet) dans le Bulletin de 1878, à la suite d'une très intéressante Communication de M. Liguine sur les aires des roulettes.
Dans la Note IX, M. Darboux décrit un nouveau système articulé à cinq tiges, de M. Hart, propre à décrire une ligne droite et se transformant, dans certaines conditions, en un compas à ellipses. Il donne la théorie de cet appareil et l'extension à un système plus compliqué. On consultera sur ce sujet un autre travail de M. Darboux, publié dans le tome III, 2e série, du Bulletin, et les très instructives Conférences de M. J. Neuberg (Liége, 1886)....
Dans la Note XII, l'Auteur traite un problème posé par M. J. Bertrand à propos des lois de Kepler; il démontre géométriquement ce résultat dû à M. Halphen: Quand une force fonction de la position du point lui fait décrire une trajectoire plane quelle que soit la vitesse initiale, cette force passe par un point fixe ou est parallèle à une droite fixe; il résout par l'analyse cette question: Un point sollicité par une force centrale décrit une conique, trouver la loi de la force en fonction de la position. Outre les deux solutions connues
et ,
M. Darboux en trouve deux autres dans lesquelles la force dépend de r et de ω, avec l'équation générale correspondante de la trajectoire; il fait voir qu'il n'y a pas d'autres solutions (Comptes rendus, 1877, 1er semestre, pp. 760 et 936)....
La Note XVI est consacrée au développement d'un théorème énoncé par l'Auteur dans son Mémoire sur les théorèmes d'Ivory: Si l'on sait calculer l'attraction d'un ellipsoïde sur un point quelconque pour une loi d'attraction en fonction ψ'(u) de la distance, on saura la calculer pour la loi
k étant une constante quelconque.
La Note XVII est très importante: elle roule sur l'herpolhodie et sur la théorie de Poinsot. La méthode est entièrement analytique. Après avoir établi les équations de la polhodie, M. Darboux en déduit celles de l'herpolhodie en suivant une voie bien plus commode que celle de Poinsot, habituellement adoptée, et qui consiste à établir entre le rayon vecteur et l'arc de la polhodie une relation qui subsiste nécessairement pour l'herpolhodie. Il se sert de cette remarque: Les aires élémentaires du cône fixe et du cône roulant coïncident, et il en est de même de leurs projections sur le plan tangent à l'ellipsoïde central. Or, on obtient facilement les projections de l'aire élémentaire sur les plans principaux de l'ellipsoïde et les angles de ceux-ci avec le plan tangent, ce qui conduit rapidement et sous forme élégante à l'expression de l'aire élémentaire de l'herpolhodie, le pôle étant à la projection du centre de l'ellipsoïde sur le plan tangent. Joignant cette formule à l'expression de la vitesse rotatoire au moyen du rayon vecteur, on trouve deux équations du mouvement du pôle instantané de rotation du corps sur le plan tangent, de la forme
ρ, θ étant les coordonnées polaires de la courbe, F(ρ2) un polynome du 3e degré en ρ2. Il montre que tout système de deux équations semblables représente une herpolhodie, si l'on a la relation n2 = k2 F(0); mais la surface roulante n'est pas nécessairement un ellipsoïde d'inertie.
M. Darboux met encore l'équation différentielle de l'herpolhodie sous d'autres formes, dont l'une, très simple, lui permet de démontrer presque sans calcul que, dans le cas d'un ellipsoïde d'inertie, la courbe ne peut avoir de point d'inflexion. Ce théorème avait été signalé par M. de Sparre et souvent démontré depuis, mais M. Hess, de Munich, l'avait trouvé dès 1880 (Ueber das Rollen einer Fläche vom zweiten Grade, u. s. w.).
Parmi d'autres résultats importants donnés dans ce travail, notons celui-ci: En combinant la représentation du mouvement par le roulement du cône mobile sur le cône fixe de Poinsot, avec une autre représentation qui lui est due aussi, le roulement d'un troisième cône sur le plan tangent invariable, on peut représenter en même temps la loi du temps, et l'on a une image complète du mouvement du corps. M. Sylvester a donné une solution du même problème (Philos. Trans., 1866): M. Darboux s'en occupe; il établit, au sujet des normales de longueur constante menées à l'ellipsoïde le long de la polhodie, un beau théorème de géométrie, qui lui fournit une infinité de manières de réaliser le mouvement de Poinsot par le roulement d'un ellipsoïde, ou même d'une ellipse, sur un plan fixe. Il déduit de là, sans calcul, la loi du mouvement trouvée par Jacobi au moyen des fonctions elliptiques.
La Note XVIII est intitulée Sur la théorie de Poinsot et sur deux mouvements différents correspondant à une même polhodie. Dans ce travail d'un haut intérêt, la question traitée conduit à des résultats géométriques inattendus et, en combinant un théorème de J. de la Gournerie avec le théorème d'Ivory sur les surfaces homofocales, on obtient le beau théorème de M. Greenhill sur l'hyperboloïde articulé.
La Note XIX, qui exige l'étude de la précédente, est aussi très remarquable. M. Darboux montre d'abord que, dans les deux mouvements de Poinsot qui répondent à une même polhodie, le mouvement relatif d'une herpolhodie par rapport à l'autre est le mouvement d'un corps pesant qui aurait une sphère pour ellipsoïde d'inertie relatif au point fixe. Il ramène à ce cas celui d'un solide de révolution quelconque et retrouve ainsi le beau théorème de Jacobi mis au jour par M. Weierstrass (Œuvres de Jacobi, t. II): Le mouvement le plus général d'un solide pesant autour d'un point de son axe de figure est une combinaison de deux mouvements de Poinsot attribués à un système mobile, l'un par rapport à des axes fixes, l'autre par rapport au corps considéré. Il admet cette représentation géométrique remarquable: le roulement d'un cône qui a pour base une herpolhodie sur une sphère ayant son centre sur la verticale du point fixe, et il étudie la courbe sphérique décrite par le pôle instantané....
La Note XXI, intitulée Étude géométrique sur les percussions et le choc des corps, constitue un Mémoire important sur la théorie des percussions, exposée d'une manière bien plus rigoureuse qu'on ne le fait d'habitude: ce Mémoire renferme plusieurs belles propriétés générales relatives au choc de deux systèmes matériels.
La Note XXII a pour titre: Sur les rapports de la théorie des moments d'inertie avec celle des surfaces homofocales. On connaît, là-dessus, un célèbre théorème de Binet qui donne les axes principaux d'inertie relatifs à un point quelconque de l'espace. En introduisant deux autres espèces de moments d'inertie (relatifs à un point et à un plan), M. Darboux démontre une série de beaux théorèmes concernant les moments d'inertie, les surfaces homofocales, etc.
Ms, t. 7, juil. 1887, p. 157-160.
MÉMOIRES. NOTES.
Mécanique analytique.
1. Sur le centre de gravité de certains volumes.
C M D, t. I, n. III, 1884, p. 383-388.
2. 3. Sur le choc des corps.
C R, t. 78, 18 mai 1874, p. 1421-1425.
C R, t. 78, 1er juin 1874, p. 1559-1562.
4. Sur le frottement dans le choc des corps.
C R, t. 78, 8, 22 juin 1874, p. 1645-1649, 1767.
5. Étude géométrique sur les percussions et le choc des corps.
B S M, 2e s., t. 4, 1re p., avr. 1880, p. 126-160.—C M D, t. II, n. XXI, 1886, p. 547-581.
Analyse par G. Kœnigs: B S M, 2e s., t. 10, 1re p., janv. 1886, p. 12.
6. Sur le tautochronisme quand on a égard au frottement.
B S M, 2e s., t. 3, 1re p., nov. 1879, p. 484-488.—C M D, t. I, n. XIII, 1884, p. 441-446.
7. Recherche de la loi que doit suivre une force centrale pour que la trajectoire qu'elle détermine soit toujours une conique.
C R, t. 84, 16, 30 avr. 1877, p. 760-762, 936-938.
8. Problème de Mécanique.
M. G. Darboux résout le problème suivant: Trouver la figure d'équilibre d'un fil flexible inextensible non pesant, traversé par un courant et soumis à l'influence d'un pôle d'aimant.
B S M, 2e s., t. 2, 1re p., oct. 1878, p. 433-436.—C M D, t. I, n. VII, 1884, p. 399-401.
9. Sur la brachystochrone relative à un point matériel pesant.
C M D, t. I, n. X, 1884, p. 424-426.
10. Étude d'une question relative au mouvement d'un point sur une surface de révolution.
B S M F, t. 5, 1876-1877, 21 mars 1877, p. 100-113.
Analyse par Ohrtmann: J F M, Bd. 9, J. 1877, S. 648-650.
11. Sur le mouvement d'une figure invariable; propriétés relatives aux aires, aux arcs des courbes décrites et aux volumes des surfaces trajectoires.
B S M, 2e s., t. 2, 1re p., août 1878, 333-356.
Analyse par Schumann: J F M, Bd. 10, J. 1878, S. 562-570.
12. Sur le déplacement d'une figure invariable.
Pour le mouvement d'une figure dans l'espace, on possède, en Géométrie, des propositions générales applicables à tout déplacement, mais on connaît peu de mouvements particuliers. Le plus simple des mouvements dans lesquels tous les points de la figure mobile décrivent des courbes unicursales de degré donné, en laissant de côté la translation, est celui dans lequel tous les points de la figure mobile décrivent des coniques. C'est ce mouvement que M. G. Darboux étudie dans cette Note.
C R, t. 92, 17 janv. 1881, p. 118-121.—A S E N, 3e s., t. 7, oct. 1890, p. 323-326.
Analyse par Schumann: J F M, Bd. 13, J. 1881, S. 666-667;—Bd. 22, J. 1890, S. 862-863.
13. Sur le mouvement d'une figure invariable.
C M D, t. I, n. VIII, 1884, p. 402-416.
14. 15. Sur la théorie de Poinsot et sur deux mouvements correspondant à la même polhodie.
C R, t. 100, 29 juin 1885, p. 1555-1561.
C M D, t. II, n. XVIII, 1886, p. 511-526.
Analyse par Schumann: J F M, Bd. 17, J. 1885, S. 844-846.
Analyse par G. Kœnigs: B S M, 2e s., t. 10, 1re p., janv. 1886, p. 10-11.
16. Remarque au sujet d'une Note de M. J.-N. Franke,
Intitulée Sur la courbure de l'herpolhodie.
C R, t. 100, 29 juin 1885, p. 1576-1577.
17. Sur l'herpolhodie et sur quelques propositions relatives à la théorie de Poinsot.
C M D, t. II, n. XVII, 1886, p. 488-510.
Analyse par G. Kœnigs: B S M, 2e s., t. 10, 1re p., janv. 1886, p. 9-10.
18 à 20. Sur le mouvement d'un corps pesant de révolution, fixé par un point de son axe.
Jacobi a énoncé et démontré un théorème d'après lequel le mouvement de rotation d'un corps pesant de révolution, fixé par un point de son axe, peut se ramener à une combinaison des mouvements de rotation de deux solides différents sur lesquels n'agirait aucune force accélératrice. M. G. Darboux, en donnant une démonstration directe et élémentaire de ce théorème, a été conduit à des propositions nouvelles relatives à la représentation cinématique du mouvement.
C R, t. 101, 6, 13 juil. 1885, p. 11-17, 115-119.
J L, 4e s., t. 1, f. 4, 1885, p. 403-430.
C M D, t. II, n. XIX, XX, 1886, p. 527-544, 545-546.
Analyse par Lampe: J F M, Bd. 17, J. 1885, S. 890-892.
Analyse par G. Kœnigs: B S M, 2e s., t. 10, 1re p., janv. 1886, p. 11-12.
21. Sur diverses propositions relatives au mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe.
C R, t. 101, 20 juil. 1885, p. 199-205.
22. Sur une question relative au mouvement d'un point sur une surface de révolution.
C M D, t. II, n. XV, 1886, p. 467-482.
Analyse par G. Kœnigs: B S M, 2e s., t. 10, 1re p., janv. 1886, p. 8-9.
23. Sur les formules d'Euler et sur le déplacement d'un solide invariable.
L T S D, IVe P., n. V, 1896, p. 433-441.
24. Sur la sphère de rayon nul et sur la théorie du déplacement d'une figure invariable.
Cette Note est le résumé de Leçons professées par M. G. Darboux à la Sorbonne en 1900 et en 1904.
B S M, 2e s., t. 29, 1re p., fév. 1905, p. 34-55.
25. Sur les rapports de la théorie des moments d'inertie avec celle des surfaces homofocales.
C M D, t. II, n. XXII, 1886, p. 582-606.
Analyse par G. Kœnigs: B S M, 2e s., t. 10, 1re p., janv. 1886, p. 12-13.
26. Sur un problème de Mécanique.
En 1857, Joseph Bertrand remarque que si l'on connaît une intégrale d'un problème de Mécanique pour lequel on sait seulement que les forces dépendent uniquement des coordonnées de leurs points d'application, et nullement des vitesses de ces points, on peut trouver quel est le problème et déterminer les composantes de la force qui sollicite chaque point...
Dans le cas où l'intégrale supposée connue est entière et du second degré par rapport aux vitesses, J. Bertrand n'a fait qu'ébaucher la solution et l'a ramenée à dépendre d'une équation linéaire aux dérivées partielles dont il n'a pas donné l'intégrale générale. C'est sur ce point particulier de ses recherches que je veux revenir aujourd'hui. G. D.
A N S E N, s. 2, t. 6, 1901, 22 sept. 1901, p. 371-376.
Analyse par Lampe: J F M, Bd. 32, J. 1901, S. 725-726.
Ce Mémoire fait partie du Livre Jubilaire offert à la Société Hollandaise des Sciences à Harlem par les amis de J. Bosscha, à l'occasion de son soixante-dixième anniversaire, le 18 novembre 1901: La Haye, 1901, gr. in-8o.
27. Remarque sur une Note de M. E. Goursat,
Intitulée Sur les transformations isogonales en Mécanique.
C R, t. 108, 4 mars 1889, p. 449-450.
28. Sur la solution particulière que peut admettre le problème du mouvement d'un corps attiré vers deux centres fixes par des forces réciproquement proportionnelles aux carrés des distances.
Œuvres de Lagrange, t. XII, n. III, 1889, p. 349-352.
29. Sur les oscillations infiniment petites d'un système de corps.
M. G. Darboux, en suivant une méthode, due à M. Kronecker, de réduction des formes quadratiques, montre qu'une certaine équation algébrique, établie par Lagrange, admet, contrairement aux affirmations de ce géomètre, des racines égales.
Œuvres de Lagrange, t. XI, n. VIII, 1888, p. 492-497.
Mécanique céleste.
1. 2. Sur des transcendantes qui jouent un rôle important dans la théorie des perturbations planétaires.
C R, t. 90, 14 juin 1880, p. 1416-1419.
C R, t. 90, 21 juin 1880, p. 1472-1474.
Analyse par F. Müller: J F M, Bd. 12., J. 1880, S. 394-395.
3. Sur les lois de Kepler.
C M D, t. I, n. XII, 1884, p. 432-440.
4. Sur une loi particulière de la force signalée par Jacobi.
Dans la théorie des forces centrales, on s'occupe surtout du cas où la force dépend seulement de la distance du point mobile au centre attirant. L'illustre Jacobi a signalé une loi plus compliquée de la force, qui est donnée par la formule , r désignant la distance au pôle et ω l'angle polaire. G. D.
C M D, t. I, n. XI, 1884, p. 427-431.
5. Sur un problème relatif à la théorie des forces centrales.
C M D, t. II, n. XIV, 1886, p. 461-466.
Analyse par G. Kœnigs: B S M, 2e s., t. 10, 1re p., janv. 1886, p. 8.
6. Sur une extension du théorème d'Ivory relatif à l'attraction des ellipsoïdes.
C M D, t. II, n. XVI, 1886, p. 483-487.
Analyse par G. Kœnigs: B S M, 2e s., t. 10, 1re p., janv. 1886, p. 9.
7. Sur les trois intégrales de Laplace.
M. G. Darboux montre que, d'une propriété, qu'il rappelle, de l'hodographe, dérivent immédiatement les trois intégrales de Laplace pour la solution du problème des trois corps.
B A, t. 5, mars 1888, p. 89-91.
Physique mathématique.
1. Sur une nouvelle définition de la surface des ondes.
D'un théorème, dû à M. Niven, relatif à la surface des ondes, M. G. Darboux a déduit, pour cette surface, une définition simple et nouvelle, dont le caractère essentiel est de n'exiger l'emploi d'aucun ellipsoïde. Il montre que la surface des ondes est une simple variété d'une surface du quatrième ordre n'ayant aucun point singulier et contenant 16 coniques isolées.
C R, t. 92, 28 fév. 1881, p. 446-448.
Analyse par Schumann: J F M, Bd. 13., J. 1881, S. 509-510.
2. Sur les lignes asymptotiques de la surface des ondes.
C R, t. 96, 12 nov. 1883, p. 1039-1042.
3. Sur les lignes de courbure de la surface des ondes.
C R, t. 96, 19 nov. 1883, p. 1133-1135.
Analyse par August des Notes nos 2 et 3: J F M, Bd. 15, J. 1883, S. 709-713.
4. Sur la surface des ondes.
Ce Mémoire contient, avec quelques compléments, les Notes nos 2 et 3.
A S E N, 3e s., t. 6, déc. 1889, p. 379-388.
Analyse par August: J F M, Bd. 21, J. 1889, S. 800-801.
5. Sur les lignes asymptotiques et sur les lignes de courbure de la surface des ondes de Fresnel.
L T S D, IVe P., n. VIII, 1896, p. 466-488.
Analyse par G. Kœnigs: B S M, 2e s., t. 22, 1re p., juin 1898, p. 157.
6. Sur l'application des méthodes de la Physique mathématique à l'étude des corps terminés par des cyclides.
C R, t. 83, 27 nov. 1876, p. 1037-1040.
C R, t. 83, 4 déc. 1876, p. 1099-1102.
7. Sur des Mémoires de Poisson relatifs à la distribution de l'électricité.
B S M, 2e s., t. 31, janv. 1907, p. 17-28.