SECTION II. ANALYSE MATHÉMATIQUE.
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SECTION II. ANALYSE MATHÉMATIQUE.
Extrait du Rapport lu par M. CAMILLE JORDAN, en décernant a M. GASTON DARBOUX, au nom de l'Académie des Sciences, le Prix PETIT D'ORMOY pour les Sciences mathématiques, le 5 mai 1884.
L'Académie se trouve appelée à décerner, pour la première fois, l'un des prix que la généreuse munificence de M. Petit d'Ormoy lui a permis de fonder.
Les progrès remarquables accomplis depuis quelques années, et notamment en France, dans le domaine des Mathématiques pures, ont déterminé la Commission à proposer à l'Académie de fixer son choix sur un géomètre. Plusieurs auraient été dignes de cet honneur; mais nous avons dû prendre celui que l'étendue de sa réputation, la maturité de son talent, le nombre et la variété de ses travaux désignaient plus particulièrement à nos suffrages.
L'œuvre de M. Gaston Darboux est trop étendue pour que nous essayions de l'analyser en détail, car elle se compose de plus de 100 Mémoires, dont le cercle embrasse presque toutes les branches du Calcul intégral et de la Géométrie, diverses parties de l'Algèbre et de la Mécanique. Tous ces travaux se distinguent par une extrême lucidité, par une profonde connaissance de toutes les ressources de l'Analyse, par une rare habileté à relier entre elles des questions en apparence distinctes, et à remonter aux véritables principes des théorèmes, pour leur donner toute la généralisation dont ils sont susceptibles; ils contiennent un grand nombre de résultats nouveaux et importants, dont nous ne pouvons signaler ici qu'un petit nombre....
Nous signalerons tout d'abord un Mémoire important sur les fonctions discontinues, où M. Darboux soumet à une analyse approfondie les principes de la théorie des fonctions, et établit, entre autres, une proposition remarquable, qui permet de définir de la manière la plus nette la condition d'intégrabilité d'une fonction.
Plusieurs autres Mémoires sont consacrés aux développements en série. M. Darboux y donne une démonstration nouvelle de la convergence des développements suivant les fonctions de Laplace, ou les polynomes de Legendre. Il a établi un peu plus tard d'autres développements plus généraux suivant les polynomes de Jacobi, en se fondant sur l'expression asymptotique qu'il avait trouvée pour ces polynomes.
Les équations différentielles où les variables se trouvent mêlées, et qui ne se ramènent pas à la forme homogène ou linéaire, ont été jusqu'à ce jour peu étudiées. Une équation remarquable, intégrée par Jacobi, était restée jusque-là isolée. M. Darboux a montré qu'elle constitue le premier terme d'une classe étendue d'équations différentielles, dont on pourra écrire l'intégrale générale toutes les fois qu'on aura réussi à obtenir des intégrales particulières algébriques en nombre suffisant. Cette importante proposition permet de construire une foule d'équations différentielles dont l'intégrale générale s'obtienne, pour ainsi dire, à la simple vue.
M. Darboux a fait cette remarque simple, mais importante, qu'une équation différentielle n'admet d'intégrale singulière que dans des cas exceptionnels, et que la méthode indiquée avant lui pour déterminer l'intégrale singulière en partant de l'équation différentielle fournit en général le lieu des points singuliers des courbes intégrales, et non leur enveloppe.
Il a encore montré que, si un système d'équations linéaires admet une intégrale algébrique, il admettra également comme intégrale tous ses covariants.
L'Académie avait proposé, il y a quelques années, comme sujet du grand prix de Mathématiques, l'étude des solutions singulières des équations aux dérivées partielles du premier ordre. Le Mémoire transmis par M. Darboux en réponse à cette question et couronné par l'Académie est une œuvre considérable. Il contient, entre autres résultats, la fixation précise des caractères des solutions singulières; la détermination des règles qui permettent de les déduire directement de l'équation différentielle; l'étude des relations de contact qui existent entre cette solution et les autres intégrales complètes ou générales; enfin l'extension aux équations aux dérivées partielles de la méthode d'intégration par différentiation.
Dans un travail antérieur, sur les équations aux dérivées partielles du second ordre, M. Darboux avait indiqué un procédé nouveau d'intégration qui supplée à la méthode de Monge lorsque celle-ci n'est pas applicable, et permet de déterminer l'intégrale, toutes les fois qu'elle ne contient pas de signe d'intégration....
C R, t. 98, 5 mai 1884, p. 1159, 1160-1162.
OUVRAGES.
1. Notice sur les Travaux scientifiques de M. GASTON DARBOUX.
Rédigée par lui-même à l'appui de sa candidature comme membre de l'Académie des Sciences, dans la Section de Géométrie.
Paris, G.-V., in-4; 1881, 46 p.; 2e édit., 14 oct. 1884, 69 p.
2. Sur le Problème de PFAFF.
La méthode que Pfaff a fait connaître en 1814, pour l'intégration d'une équation aux dérivées partielles à un nombre quelconque de variables indépendantes, a été longtemps négligée....
Cependant, la méthode de Pfaff, qui est, d'ailleurs, la généralisation de celle qu'on doit à Lagrange pour le cas de deux variables indépendantes, offre de sérieux avantages....
Je me suis proposé d'expliquer la solution du problème de Pfaff sans rien emprunter à la théorie des équations aux dérivées partielles, et je me suis surtout attaché à mettre en évidence les propriétés d'invariance qui jouent un rôle fondamental dans cette solution. G. D.
La première Partie de ce Mémoire a été écrite en 1876 par M. G. Darboux et exposée en janvier 1877 par M. J. Bertrand au Collège de France.
Paris, G.-V., 1882; gr. in-8, IV-42p.
C R, t. 94, 27 mars 1882, p. 835-837.
B S M, 2e s., t. 6, 1re p., janv., fév. 1882, p. 14-36, 49-68.
Analyse par Hamburger: J F M, Bd. 14, J. 1882, S. 294-298.
MÉMOIRES. NOTES.
Analyse pure.
1. Sur la série de Laplace.
Lagrange a donné une importante série servant au développement en série convergente des racines d'une certaine équation. Laplace a exposé une formule plus générale, mais moins simple que celle de ce géomètre. M. G. Darboux est parvenu à simplifier la formule de Laplace et a ainsi trouvé un résultat analogue à celui de Lagrange.
C R, t. 68, 8 fév. 1869, p. 323-327.
2. Sur les séries dont le terme général dépend de deux angles et qui servent à exprimer des fonctions arbitraires entre des limites données.
J L, 2e s., t. 19, janv. 1874, p. 1-18.
Analyse par Hoppe: J F M, Bd. 6, J. 1874, S. 290-294.
Titre sans développement: Sur les séries trigonométriques. Sur les séries ordonnées suivant les fonctions Yn de Laplace et Xn de Legendre: B S P, 6e s., 22 mars 1873, p. III.
3. 4. Mémoire sur l'approximation des fonctions de très grands nombres et sur une classe étendue de développements en série.
C R, t. 82, 7, 14 fév., 1876, p. 365-368, 404-406.
J L, 3e s., t. 4, janv., fév. 1878, p. 5-56, 377-416.
Analyse par F. Müller: J F M, Bd. 8, J. 1876, S. 304-305;—Bd. 10, J. 1878, S. 279-280.
Analyse: B S M, 2e s., t. 3, 2e p., janv. 1879, p. 5-6, 18-19.
5. Sur les développements en série des fonctions d'une seule variable.
J L, 3e s., t. 2, sept. 1876, p. 291-312.
Analyse par Stolz: J F M, Bd. 8, J. 1876, S. 124-127.
Analyse par J. Tannery: B S M, 2e s., t. 1, 2e p., déc. 1877, p. 333-335.
6. Sur les différentielles des fonctions de plusieurs variables indépendantes.
B S M, 2e s., t. 5, 1re p., sept., oct. 1881, p. 376-384, 395-417.
7. Note sur une fonction numérique.
B S M, 2e s., t. 5, 1re p., oct. 1881, p. 417-424.
8. Sur les différentielles successives des fonctions de plusieurs variables indépendantes.
C R, t. 93, 26 déc. 1881, p. 1123-1125.
9. Sur les différentielles successives des fonctions de plusieurs variables et sur une propriété des fonctions algébriques.
C R, t. 94, 27 fév. 1882, p. 575-577.
10. 11. Mémoire sur les fonction discontinues.
Je reprends, en donnant tous les développements nécessaires, la définition de l'intégrale définie d'après Riemann, et je montre comment cette définition doit conduire à une infinité de fonctions continues n'ayant pas de dérivée.
Laissant ensuite de côté la définition des fonctions continues comme intégrales, j'expose quelques principes sur les séries dont les termes sont des fonctions de la variable indépendante. G. D.
A S E N, 2e s., t. 4, 1875, 20 janv. 1874, p. 57-112.
A S E N, 2e s., t. 8, juin 1879, p. 195-202.
Analyse par Stolz: J F M, Bd. 7, J. 1875, S. 243-247;—Bd. 11, J. 1879, S. 274-275.
Analyse: B S M, t. 10, fév. 1876, p. 76-82;—2e s., t. 4, 2e p., janv. 1880, p. 21-24.
Titres sans développements: Sur les fonctions discontinues et sur les fonctions continues qui n'ont pas de dérivées; Sur la théorie des fonctions: B S M F, t. 1, 1872-1873, 19 mars 1873, p. 121;—t. 2, 1873-1874, 28 janv. 1874, p. 66.
12. 13. Sur les solutions singulières des équations aux dérivées ordinaires du premier ordre.
Dans le second Mémoire, M. G. Darboux complète les résultats indiqués dans le premier, et donne un théorème précis faisant connaître dans quelles circonstances une équation différentielle peut admettre une intégrale ou solution singulière.
I, n. s., 1re a., no 6, 5 fév. 1873, p. 49-50.—B S P, 6e s., 23 nov. 1872, p. 180-186.
B S M, t. 4, mars 1873, p. 158-173.
14. Mémoire sur les solutions singulières des équations aux dérivées partielles du premier ordre.
M S A S, t. 27, no 2, 1880, 243 p.
Ce Mémoire, présenté au Concours pour le grand prix des Sciences mathématiques (Géométrie), a été couronné.
Rapport de M. J. Bertrand: C R, t. 84, 23 avr. 1877, p. 804.
15. Sur les équations aux dérivées partielles du second ordre.
Dans l'état actuel de la Science, on connaît peu de choses sur les équations aux dérivées partielles du second ordre....
Je me propose d'exposer les principes seulement d'une nouvelle méthode qui, sans donner la solution complète du problème, me paraît constituer un progrès dans la théorie des équations aux dérivées partielles. G. D.
C R, t. 70, 28 mars 1870, p. 675-678.
16. Sur la théorie des équations aux dérivées partielles.
C R, t. 70, 4 avr. 1870, p. 746-749.
17. Sur les équations aux dérivées partielles du second ordre.
Dans ce Mémoire, qui contient les Notes nos 15 et 16, M. G. Darboux développe une troisième application de la méthode qu'il a proposée.
A S E N, t. 7, 1870, p. 163-173.
Appréciation par Émile Picard: R O, t. 1, 30 nov. 1890, p. 705.
Ce Mémoire a été traduit en allemand et forme la Note III de l'Ouvrage intitulé Theorie der Partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung von Dr. M. Paul Mansion, Herausgegeben von H. Maser: Berlin, Julius Springer, 1892, gr. in-8, S. 471-482.
18. Sur l'existence de l'intégrale dans les équations aux dérivées partielles d'ordre quelconque.
C R, t. 80, 1er fév. 1875, p. 317-319.
19. 20. Sur les équations aux dérivées partielles.
M. G. Darboux montre que l'on peut adjoindre à une équation quelconque aux dérivées partielles une équation auxiliaire, linéaire, dont l'étude conduit à des résultats très importants se rapportant à l'équation proposée; puis il applique cette méthode à deux problèmes de Géométrie: l'un se rapporte à une famille d'un système triple orthogonal, l'autre à la recherche des surfaces applicables sur une surface donnée.
C R, t. 96, 19 mars 1883, p. 766-769.
L T S D, IVe P., n. X, 1896, p. 497-504.
Analyse par J. Hadamard: R O, t. 7, 15 oct. 1896, p. 835.
21. Sur l'équation auxiliaire.
Voir nos 19 et 20.
L T S D, IVe P., n. XI, 1896, p. 505-516.
Analyse par G. Kœnigs: B S M, 2e s., t. 22, 1re p., juin 1898, p. 157-158.
Analyse par J. Hadamard: R O, t. 7, 15 oct. 1896, p. 835.
22. 23. Sur une équation différentielle du quatrième ordre.
C R, t. 141, 28 août 1905, p. 415-417.
C R, t. 141, 11 sept. 1905, p. 483-484.
24. Application d'une méthode de M. Hermite à l'équation linéaire à coefficients constants avec second membre.
B S M, 2e s., t. 3, 1re p., juil. 1879, p. 325-328.
25. 26. Sur les systèmes formés d'équations linéaires à une seule variable indépendante.
C R, t. 90, 8 mars 1880, p. 524-526.
C R, t. 90, 15 mars 1880, p. 596-598.
Analyse par Hamburger: J F M, Bd. 12., J. 1880, S. 271-273.
27. Remarque sur une Lettre de Laplace à Condorcet.
M. G. Darboux rectifie une règle pour l'intégration des équations différentielles linéaires, donnée par Laplace dans une Lettre à Condorcet.
B S M, 2e s., t. 3, 1re p., mai 1879, p. 209-216.
28. Sur une proposition relative aux équations linéaires.
C R, t. 94, 29 mai 1882, p. 1456-1459.
Analyse par Hamburger: J F M, Bd. 14, J. 1882, S. 264-266.
29. Sur une équation linéaire.
C R, t. 94, 19 juin 1882, p. 1645-1648.
30. Sur une équation linéaire aux dérivées partielles.
C R, t. 95, 10 juil. 1882, p. 69-72.
31. Sur les équations linéaires à deux variables indépendantes.
C R, t. 105, 25 juil. 1887, p. 199-201.
32. Sur certains systèmes d'équations différentielles linéaires.
C R, t. 148, 4 janv. 1909, p. 16-22.
33. 34. Sur les systèmes d'équations différentielles homogènes.
C R, t. 148, 15 mars 1909, p. 673-679.
C R, t. 148, 22 mars 1909, p. 745-754.
Reproduction des Notes nos 32, 33 et 34: A S E N, 3e s., t. 25, 1909, p. 449-472.
35. Sur la première méthode donnée par Jacobi pour l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre.
C R, t. 79, 21 déc. 1874, p. 1488-1489;—t. 80, 18 janv. 1875, p. 160-164.—B S M, t. 8, mai 1875, p. 249-255.
36. Mémoire sur l'existence de l'intégrale dans les équations aux dérivées partielles contenant un nombre quelconque de fonctions et de variables indépendantes.
C R, t. 80, 11 janv. 1875, p. 101-104.
37. Note sur deux intégrales elliptiques qui se présentent sous forme indéterminée.
M S S B, 2e s., t. 3, 1880, 13 nov. 1879, p. 373-376.
38. Remarque sur une Note de M. Ch. Méray,
Intitulée Sur des systèmes d'équations aux dérivées partielles qui sont dépourvues d'intégrales, contrairement à toute prévision.
C R, t. 106, 5 mars 1888, p. 651-652.
39. Sur les équations différentielles du premier ordre et du premier degré.
C R, t. 86, 25 fév. 1878, p. 533-536.
40. Mémoire sur les équations différentielles algébriques du premier ordre et du premier degré.
B S M, 2e s., t. 2, 1re p., fév., mars, avr. 1878, p. 60-96, 123-144, 151-200.
41. De l'emploi des solutions particulières d'une équation différentielle du premier ordre et du premier degré dans la recherche de l'intégrale générale.
C R, t. 86, 4 mars 1878, p. 584-586.
Analyse par Tœplitz des Notes nos 40 et 41: J F M, Bd. 10, J. 1878, S. 214-219.
42. De l'emploi des solutions particulières algébriques dans l'intégration d'un système d'équations différentielles algébriques.
C R, t. 86, 22 avr. 1878, p. 1012-1014.
43. Sur l'intégration de l'équation dx2 + dy2 = dz2 et de quelques équations analogues.
J L, 2e s., t. 18, juil. 1873, p. 236-240.
44. Sur la résolution de l'équation dx2 + dy2 + dz2 = ds2 et de quelques équations analogues.
Dans ce Mémoire, M. G. Darboux complète les résultats qu'il a indiqués en 1873 (no 43) et en déduit de nouvelles conséquences.
J L, 4e s., t. 3, f. 3, 1887, p. 305-325.
Analyse par Hamburger: J F M, Bd 19, J. 1887, S. 343-344.
45. Sur l'équation de Riccati.
Ce Mémoire est inséré dans In Memoriam Dominici Chelini Collectanea Mathematica.
C M C, Paris, juin 1880, p. 199-204.
Analyse: B S M, 2e s., t. 5, 1re p., nov. 1881, p. 433.
Analyse par Hamburger: J F M, Bd. 13, J. 1881, S. 273.
46. Sur l'application du théorème fondamental d'Abel relatif aux intégrales algébriques à la recherche de systèmes complètement orthogonaux dans un espace à n dimensions.
Ce Mémoire est inséré dans le premier des deux Tomes des Acta mathematica imprimés Niels Henrik Abel in Memoriam.
A M, t. 26, 30 juin 1902, p. 227-240.
Analyse par Hessenberg: J F M, Bd. 33, J. 1902, S. 640-641.
Analyse appliquée à l'Algèbre.
1. Sur la résolution de l'équation du quatrième degré.
J L, 2e s., t. 18, juil. 1873, p. 220-235.
Analyse par F. Müller: J F M, Bd. 5, J. 1873, S. 80-81.
2. Mémoire sur la théorie algébrique des formes quadratiques.
J L, 2e s., t. 19, oct., nov. 1874, p. 347-396.
Analyse par Netto: J F M, Bd. 6, J. 1874, S. 68-70.
Titre sans développement: Sur divers points relatifs aux formes quadratiques, sur leur décomposition en carrés la plus générale, et sur les questions de même nature relatives à deux formes quadratiques. Application à la démonstration du théorème fondamental de l'Algèbre: B S P, 6e s., 28 fév., 14 mars 1874, p. III.