SECTION III. GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE.
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SECTION III. GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE.
Rapport de MICHEL CHASLES sur la Thèse intitulée «Sur les Surfaces orthogonales», soutenue en Sorbonne par M. GASTON DARBOUX le 14 juillet 1866.
Cette Thèse est un travail étendu et fort important sur les surfaces orthogonales. Elle comprend trois Parties.
La première, intitulée: Étude d'un système remarquable de coordonnées orthogonales, contient différentes propriétés des coordonnées curvilignes formées par le triple système orthogonal auquel l'auteur et M. Moutard ont été conduits, chacun de son côté. La seconde Partie renferme des Recherches sur les surfaces orthogonales en général. M. Darboux, prenant pour point de départ le théorème de M. Dupin, d'après lequel dans tout système triple de surfaces orthogonales les courbes d'intersection des surfaces sont leurs lignes de courbure, auquel il ajoute comme complément l'énoncé suivant: Quand deux systèmes de surfaces orthogonales se coupent suivant les lignes de courbure de ces surfaces, il existe un troisième système orthogonal aux deux premiers, donne d'abord une démonstration simple de ce théorème de M. Ossian Bonnet, que la recherche de tous les systèmes orthogonaux revient à l'intégration complète d'une équation aux différences partielles du troisième ordre à trois variables indépendantes. Puis il fait connaître une Nouvelle méthode de recherche des systèmes orthogonaux, fondée sur l'emploi d'une certaine fonction auxiliaire V. La troisième Partie contient des Applications de la méthode exposée dans la deuxième Partie. L'auteur considère d'abord une classe particulière de systèmes orthogonaux dans lesquels les surfaces d'un même système s'obtiennent en déplaçant l'une d'elles parallèlement à elle-même par une simple translation sans altération de forme. La détermination de la fonction V dépend alors de l'intégration d'une équation aux différences partielles du troisième ordre à deux variables indépendantes. Le second cas traité par M. Darboux est celui des surfaces pour lesquelles les lignes de courbure sont planes dans les trois systèmes. Les intégrations s'effectuent alors complètement, et le résultat, d'une forme très simple, contient trois fonctions arbitraires; ces surfaces sont, dans certains cas, un exemple des systèmes orthogonaux étudiés dans le paragraphe précédent, c'est-à-dire que chacun des trois systèmes est formé par une surface de forme invariable qui se déplace parallèlement à elle-même. Le troisième et dernier cas se rapporte aux systèmes pour lesquels chaque surface peut être partagée en carrés infiniment petits par ses lignes de courbure. M. Darboux avait déjà observé, dans la première Partie, que les surfaces du triple système orthogonal antérieurement découvert par M. Moutard et par lui jouissent de la propriété dont il s'agit. Par une analyse savante et extrêmement ingénieuse, il fait voir maintenant que ce dernier système est le seul qui réponde à la question.
R P G C, 1870, p. 363-364.
Analyse par JULES HOÜEL de l'Ouvrage intitulé «Sur une Classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques et sur la Théorie des imaginaires», lue a la séance du 13 juin 1870 de la Société scientifique de Bordeaux.
Dans le travail actuel, notre Correspondant s'est proposé d'étudier une classe remarquable de courbes et de surfaces du quatrième ordre, qui se rapprochent par leurs propriétés des courbes et des surfaces du second degré. Ces propriétés ont fait l'objet des études de plusieurs géomètres; M. Darboux les soumet à une revision d'ensemble, dans laquelle il expose, en même temps que des propriétés nouvelles, des propriétés connues et qui ont déjà été publiées soit par d'autres géomètres, soit par lui.
Ces courbes et ces surfaces jouissent de la propriété de se transformer les unes dans les autres quand on les soumet à une transformation par rayons vecteurs réciproques. Aussi l'Auteur a-t-il consacré la première Partie de son travail à l'étude analytique et détaillée de cette transformation dans ses rapports avec la théorie des imaginaires et avec celle des focales des surfaces, qui lui est due pour les surfaces du degré supérieur, et qu'il a développée pour la première fois dans un travail inséré aux Annales de l'École Normale en 1865. Nous signalerons dans cette Partie la définition des foyers des courbes planes et sphériques, celle des focales des courbes gauches et des surfaces, et la théorie complète d'une classe importante de surfaces développables imaginaires circonscrites au cercle de l'infini, et que l'Auteur a appelées développables focales. On remarquera, dans cette Partie du travail, un moyen simple de trouver l'équation différentielle des surfaces applicables sur une surface donnée, et l'explication des solutions singulières de cette équation, la démonstration du théorème que, lorsque les lignes de courbure d'une surface ont une enveloppe, cette enveloppe, en laissant de côté un cas exceptionnel, se compose d'une suite de droites isotropes, etc.
Dans la deuxième et la troisième Partie de cette étude, se trouve comprise l'étude détaillée des cycliques. C'est ainsi que l'Auteur nomme les courbes sphériques, intersections de la sphère et d'une surface du second degré, et les courbes planes qui en sont les transformées par rayons vecteurs réciproques. Les classifications de ces courbes, leur mode de génération, leurs propriétés métriques et focales sont successivement examinés. Il est facile de comprendre l'intérêt qui s'attache à cette étude, si l'on remarque que les coniques sphériques, les ovales de Descartes, la cissoïde de Dioclès, les spiriques de Perseus, les ovales et l'ellipse de Cassini, les podaires de coniques, le limaçon de Pascal, la fenêtre de Viviani font partie de cette classe très générale de courbes, et sont réunis ici dans une étude commune. Quelques-unes d'entre elles, analogues à l'ellipse de Cassini, ont des propriétés semblables à celles du cercle, et l'Auteur donne pour toutes des propriétés analogues à celle de l'angle inscrit dans le cercle. En même temps l'étude de ces courbes fournit à l'Auteur une occasion d'appliquer des principes généraux relatifs à la transformation des relations où entrent les imaginaires. Je signalerai en particulier un procédé nouveau pour déduire, des théorèmes généraux sur les coniques planes et sphériques, les propriétés focales de ces courbes.
Les cycliques sont, après les courbes du troisième degré, les courbes les plus simples, dont l'étude se ramène à celle des fonctions elliptiques. L'Auteur signale rapidement ce lien, qui a été déjà étudié complètement à un point de vue général par M. Clebsch.
Les surfaces analogues aux courbes cycliques sont les surfaces du quatrième ordre, ayant le cercle de l'infini pour ligne double, et les surfaces du troisième ordre qui contiennent le cercle.
Elles ont d'abord été étudiées en 1864 par M. Moutard, mais déjà en 1863 M. Kummer avait étudié d'une manière générale les surfaces du quatrième ordre à ligne double, qui comprennent les précédentes comme cas particulier. On sait que ces surfaces donnent lieu à un système de coordonnées curvilignes orthogonales tout à fait analogue au système des coordonnées elliptiques, qui a rendu à la Science de si grands services entre les mains de Lamé et de Jacobi.
L'Auteur étudie les propriétés analytiques et géométriques, la classification des sections planes des surfaces que nous venons de définir, et qu'il appelle des cyclides, parce qu'elles comprennent comme cas très particulier la cyclide de M. Dupin qu'on pourra distinguer sous le nom de cyclide à lignes de courbure circulaires. En un mot, on a un exposé complet de la théorie de ces surfaces si importantes, qui trouveront sans aucun doute de belles applications, et qui paraissent être en quelque sorte l'intermédiaire par lequel on étendra aux surfaces de degré supérieur une foule de propositions de la théorie des surfaces du second degré.
M S S B, t. 8, 13 juin 1870, p. CXX-CXXII.
Extrait du Rapport lu par M. CAMILLE JORDAN, en décernant a M. GASTON DARBOUX, au nom de l'Académie des Sciences, le Prix PETIT D'ORMOY pour les Sciences mathématiques, le 5 mai 1884.
Les premières recherches de M. Darboux ont eu pour objet la théorie des surfaces orthogonales, question sur laquelle les beaux théorèmes de Dupin et les travaux de MM. Bonnet et Serret avaient fortement attiré l'attention des géomètres. On connaissait depuis longtemps un système de ce genre, formé de surfaces homofocales du second ordre. La découverte d'un système analogue, faite simultanément par M. Darboux et par M. Moutard, excita un vif intérêt. Un peu plus tard, M. Darboux, généralisant le problème pour l'étendre aux fonctions d'un nombre quelconque de variables, forma les équations aux dérivées partielles analogues à celle que M. Bonnet avait donnée pour le cas des surfaces, et qui sont la condition nécessaire et suffisante pour que la question admette une solution. Il fit voir en outre que d'un système orthogonal à n variables on peut déduire un système analogue à n – 1 variables; théorème important, qui permettait de tirer du système déjà connu à cette époque une infinité de systèmes nouveaux. Enfin, comme corollaire de ces recherches, il détermina les lignes de courbure des surfaces tétraédrales de Lamé.
Dans un autre Mémoire, Sur les systèmes linéaires de coniques et de surfaces de second ordre, il a également déterminé les lignes asymptotiques d'un grand nombre de surfaces (surfaces de Steiner, surface des centres de l'ellipsoïde, surfaces tétraédrales, etc.).
Les théorèmes célèbres de Poncelet et de Chasles sur les polygones inscrits et circonscrits à des coniques ont été pour M. Darboux l'occasion d'une nouvelle et importante série de recherches. Il en donne une démonstration nouvelle, montre leur liaison avec la théorie de la transformation des fonctions elliptiques, et enfin les étend aux polygones inscrits dans un ellipsoïde.
Nous devons citer encore, parmi les travaux géométriques de M. Darboux, un Mémoire justement remarqué sur les groupes de points, de cercles et de sphères; une élégante application des fonctions elliptiques à l'étude des déformations d'un quadrilatère articulé; un Ouvrage sur les théorèmes d'Ivory; un autre Livre plus étendu, intitulé: Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques et sur la théorie des imaginaires. Ce dernier Ouvrage et les notes qui l'accompagnent ont été très favorablement appréciés par les géomètres les plus éminents, et contiennent une foule de résultats remarquables. Nous nous bornerons à signaler une méthode nouvelle et très simple pour former l'équation différentielle des surfaces applicables sur une surface donnée, et cette proposition que les coordonnées d'une surface du troisième ordre (et plus généralement d'une surface cyclide) peuvent s'exprimer par des fonctions hyperelliptiques de deux paramètres variables. L'analogie de ce dernier résultat avec le célèbre théorème de Clebsch sur les courbes du troisième ordre suffit à en faire ressortir l'importance.
Enfin, M. Darboux a publié récemment de nombreuses recherches sur la théorie des surfaces, et notamment sur la détermination des surfaces qui admettent une représentation sphérique donnée....
C R, t. 98, 5 mai 1884, p. 1159-1160.
OUVRAGES.
1. Sur les théorèmes d'IVORY relatifs aux surfaces homofocales du second degré.
Je me propose d'exposer, dans ce travail, certaines propriétés focales des surfaces du second ordre, et aussi des surfaces du quatrième ordre ayant le cercle de l'infini pour ligne double. G. D.
Paris, G.-V., 1872, gr. in-8, IV-84 p.
M S S B, t. 8, 1870, 12 janv. 1872, p. 197-280.
Analyse par J. Hoüel: M S S B, t. 8. 1870, 25 janv. 1872, p. CIII-CIV.
Analyse par August: J F M, Bd. 4, J. 1872, S. 392, 398, 420-422.
2. Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques et sur la théorie des imaginaires.
Cet important travail comprend:
La transformation, par rayons vecteurs réciproques, des foyers et des focales;
L'étude d'une classe remarquable de courbes du quatrième ordre, de certaines propriétés des imaginaires en Géométrie, d'une classe générale de courbes algébriques;
L'étude analytique et géométrique des surfaces cyclides;
Plusieurs Notes importantes.
Paris, G.-V., 1873, gr. in-8, XIII-340 p.
M S S B, t. 8, 1870, p. 291-350;—t. 9, 1873, oct. 1872, p. 1-280.
Paris, Hn., 1896, 2e éd. conforme à la 1re.
Préface et Table: B S M, t. 5, août 1873, p. 52-57.
Analyse par J. Hoüel: M S S B, t. 8, 13 juin 1870, p. CXX-CXXII.
Analyse par August: J F M, Bd. 5, J. 1873, S. 323, 371, 399-408.
Analyse par R. A. Roberts: B A M S, v. 2, 1895-1896, May 1896, p. 249-255.
3. Leçons sur la théorie générale des Surfaces et les applications géométriques du Calcul infinitésimal.
Cours de Géométrie de la Faculté des Sciences de Paris.
Ire Partie: Généralités. Coordonnées curvilignes. Surfaces minima.
IIe Partie: Les congruences et les équations linéaires aux dérivées partielles. Des lignes tracées sur les surfaces.
IIIe Partie: Lignes géodésiques et courbure géodésique. Paramètres différentiels. Déformation des surfaces.
IVe Partie: Déformation infiniment petite et représentation sphérique.
Paris, G.-V., gr. in-8: Ire P., 1887, VI-513 p.; IIe P., 1889, VI-522 p.; IIIe P., 1894, VIII-512 p.; IVe P., 1896, VIII-548 p.
Présentation par M. G. Darboux de la IVe Partie à l'Académie des Sciences: C R, t. 122, 11 mai 1896, p. 1042.
Analyse de la Ire Partie par E. R.: N A M, 3e s., t. 6, août 1887, p. 394-395.
Analyse par Weingarten: J F M, Bd. 19, J. 1887, S. 746-751;—Bd. 25, J. 1893, S. 1159-1165.
Analyse par G. Kœnigs des 4 Parties et des 8 Notes: B S M, 2e s., 1re p., t. 12, janv. 1888, p. 8-17;—t. 13, oct. 1889, p. 241-252;—t. 22, juin 1898, p. 132-158.
Appréciation de la 3e Partie, Ier f., par Émile Picard: R O, t. 1, 30 nov. 1890, p. 708.
Analyse par J. Hadamard: R O, t. 2, 30 sept. 1891, p. 617;—t. 6, 30 juil. 1895, p. 76;—t. 7, 20 fév., 15 oct. 1896, p. 225-226, 835.
Analyse par H. Willgrod des 4 Parties et des 8 Notes: Z M P, 39. J., 1894, Abt., 1., 2. Ht., S. 24-30, 69-79;—43. Bd., 1898, Abt., 4. u. 5 Ht., S. 152-164.
Analyse par Gomes Teixeira: J S T, v. 13, 1897, p. 22-26.
4. Leçons sur les Systèmes orthogonaux et les Coordonnées curvilignes.
Cours de Géométrie de la Faculté des Sciences de Paris.
Tome I.
Paris, G.-V., gr. in-8, 1898, vi-338 p.
Préface et Table: Ms, 2e s., t. 8, 1898, p. 67-68.
Analyse par J. Hadamard: R O, t. 9, 15 août 1898, p. 623-624.
Analyse par E-I: L C D, J. 1898. 3 Dec., S. 1892-1893.
Analyse par Weingarten: J F M, Bd. 29, J. 1898, S. 515-517.
Analyse par Edgar Odell Lovett: B A M S, v. 5, 1898-1899. Jan. 1899, p. 185-202.
Analyse par Ed. Weyr: C M F, R. 28, 1899, p. 285-286.
Analyse par Tauber: M M P, 10. J., 1899, Lit., S. 44-46.
Analyse par H. Willgrod: Z M P, 45. Bd., 1900, Abt., 1. Ht., S. 25-26.
Analyse par G. Kœnigs: B S M, 2e s., t. 31, 1re p., déc. 1907, p. 319-336.
MÉMOIRES. NOTES.
1. Note sur une classe de courbes du quatrième ordre et sur l'addition des fonctions elliptiques.
A S E N, t. 4, 1867, p. 81-91.
Dans son Traité de Calcul intégral, M. Joseph Bertrand a reproduit la méthode d'intégration par l'Analyse de l'équation différentielle de cette classe de courbes: Paris, G.-V. 1870, in-4, p. 571-572.
2. Sur un nouveau système de coordonnées et sur les polygones inscrits et circonscrits aux coniques.
I, 40e a., nos 1962, 1972, 5 juin, 14 août 1872, p. 180-182, 239-263.—B S P, 6e s., t. 9, 25 mai, 8 juin 1872, p. 100-107, 128-142.
Analyse par Maynz: J F M, Bd. 4., J. 1872, S. 319-321.
3. Sur une série de lignes analogues aux lignes géodésiques.
A S E N, t. 7, 1870, p. 175-180.
Analyse par Bruns: J F M, Bd. 2, J. 1869 und 1870, S. 548-550.
4. Sur les cercles géodésiques.
C R, t. 96, 2 janv. 1883, p. 54-56.
Analyse par August: J F M, Bd. 15, J. 1883, S. 665-667.
5. Remarque au sujet d'une Note de M. Jamet,
Intitulée Sur une propriété des courbes à double courbure.
C R, t. 100, 25 mai 1885, p. 1335.
6. Sur la torsion des courbes gauches et sur les courbes à torsion constante.
L T S D, IVe P, n. IV, 1896, p. 423-432.
7. 8. Sur un théorème relatif à la théorie des courbes gauches.
On sait trouver tous les couples de surfaces qui se correspondent point par point, de telle manière que les deux plans tangents en ces points et la droite qui joint les points de contact forment un système invariable. Je me suis proposé de traiter le problème analogue de la théorie des courbes, c'est-à-dire de rechercher deux courbes qui se correspondent point par point, de telle manière que les tangentes aux points correspondants et la droite qui joint ces points forment un système invariable. G. D.
C R, t. 146, 27 avr. 1908, p. 881-885.
M A S, t. 50, 2e s., 1908, no 3, p. 1-31.
9. Sur la rectification des ovales de Descartes.
C R, t. 87, 22 oct., 11 nov. 1878, p. 595-597, 741.
10. Sur la rectification d'une classe de courbes du quatrième ordre.
C R, t. 87, 28 oct. 1878, p. 692-695.
11. Sur le contact des coniques et des surfaces.
C R, t. 91, 13 déc. 1880, p. 969-971.
12. Sur le contact des courbes et des surfaces.
B S M, 2e s., t. 4, 1re p., oct. 1880, p. 348-384.
Analyse par August: J F M, Bd. 12., J. 1880, S. 590-595.
13. Remarques sur la théorie des surfaces orthogonales.
Extrait d'une Lettre adressée à M. J.-A. Serret par M. G. Darboux, élève de 3e année à l'École Normale supérieure.
C R, t. 59, 1er août 1864, p. 240-242.
Analyse par Michel Chasles: R P G C, 1870, p. 360-362.
M. Serret avait présenté le Mémoire de M. G. Darboux à l'Académie des Sciences dans la séance où M. Bonnet présentait une Note de M. Moutard, établissant aussi le résultat obtenu par M. G. Darboux. Dans la séance suivante, M. Serret a ainsi terminé ses Observations relatives aux Communications de MM. Darboux et Moutard: «Il est certain qu'aucun des deux auteurs n'a pu avoir connaissance du travail de l'autre, mais il est de mon devoir de déclarer à l'Académie que M. Darboux m'a remis son Mémoire in extenso dans le courant du mois de juin»: C R, t. 59, 8 août 1864, p. 269-270.
14. Recherches sur les surfaces orthogonales.
M. G. Darboux donne quelques propriétés nouvelles des surfaces formant un système triple orthogonal, puis indique un système de surfaces orthogonales du quatrième degré qui admettent pour ligne double le cercle imaginaire de l'infini. Il rappelle la Note no 13.
A S E N, t. 2, 1865, p. 55-69.
15. Sur les surfaces orthogonales.
Depuis les travaux de MM. Dupin et Lamé sur les surfaces orthogonales, le problème de la recherche des systèmes orthogonaux a pris une grande importance. ... M. O. Bonnet, en 1861, a montré que le problème se ramène à l'intégration d'une équation aux dérivées partielles du troisième ordre linéaire par rapport aux dérivées d'ordre supérieur. ... Je me propose de démontrer ce résultat en suivant une voie tout à fait différente. G. D.
I, 34e a., no 1680, 14 mars 1866, p. 84-86.—B S P, 17 fév. 1866, p. 16-18.
16. Sur les coordonnées orthogonales.
C R, t. 60, 20 mars 1865, p. 560-562.
17. Sur les surfaces orthogonales.
Thèse pour le grade de Docteur ès Sciences mathématiques, soutenue devant la Faculté des Sciences de Paris le 14 juillet 1866.
Cette Thèse comprend l'Étude d'un système remarquable de coordonnées orthogonales, des Recherches sur les surfaces orthogonales en général et des Applications.
Paris, G.-V., 1866, in-4º, 45 p.
A S E N, t. 3, 1866, p. 97-141.
Analyse par J. Bertrand: R P A B, 1867, p. 24.
Analyse par Michel Chasles: R P G C, 1870, p. 363-364.
18. Sur les systèmes de surfaces orthogonales.
C R, t. 67, 30 nov. 1868, p. 1101-1103.
Analyse par Michel Chasles: R P G C, 1870, p. 365-366.
19. Sur une nouvelle série de systèmes orthogonaux algébriques.
C R, t. 69, 9 août 1869, p. 392-394.
20. 21. Sur l'équation du troisième ordre dont dépend le problème des surfaces orthogonales.
C R, t. 76, 6 janv. 1873, p. 41-44.
C R, t. 76, 13 janv. 1873, p. 83-86.
Analyse par Klein: J F M, Bd. 5, J. 1873, S. 213, 374.
22. Sur le problème des surfaces orthogonales.
C R, t. 76, 20 janv. 1873, p. 160-163.
23. Sur une classe de systèmes orthogonaux comprenant comme cas particulier les systèmes isothermes.
C R, t. 84, 12 fév. 1877, p. 298-301.
24. Sur les systèmes orthogonaux comprenant une famille de surfaces du deuxième degré.
C R, t. 84, 19 fév. 1877, p. 336-339.
Analyse par August: J F M, Bd. 9, J. 1877, S. 533-535.
25. Mémoire sur la théorie des coordonnées curvilignes et des systèmes orthogonaux.
A S E N, 2e s., t. 7, 1878, 2 mars 1877, p. 101-150, 227-260, 275-348.
Analyse par Hoppe: J F M, Bd. 10, J. 1878, S. 500-504.
Analyse: B S M, 2e s., t. 3, 2e p., déc. 1879, p. 224-225, 226-228, 230-232.
26. Sur l'équation aux dérivées partielles du troisième ordre des systèmes orthogonaux.
M. G. Darboux montre que la théorie de Lamé conduit à un moyen simple de former l'équation dont il s'agit, et même de l'écrire avec un système de variables quelconques.
A M, t. 4, 15 mai 1884, p. 93-96.
27. Note sur une Communication de M. S. Carrus,
Intitulée Sur les familles de surfaces à trajectoires orthogonales planes.
C R, t. 140, 23 janv., 29 mai 1905, p. 211-216, 1496.
28. Sur les trajectoires orthogonales d'une famille de surfaces.
C R, t. 140, 6 mars 1905, p. 618-622.
29. Sur un problème relatif à la théorie des systèmes orthogonaux et à la méthode du trièdre mobile.
C R, t. 147, 3, 10, 17, 24 août 1908, p. 287-293, 325-333, 367-373, 399-405.
30. 31. Détermination des systèmes triples orthogonaux qui comprennent une famille de cyclides de Dupin et, plus généralement, une famille de surfaces à lignes de courbure planes dans les deux systèmes.
C R, t. 147, 14 sept. 1908, p. 484-488.
M A S, t. 51, 2e s., 1910, no 1, 20 août 1908, p. 1-24.
32. 33. Second Mémoire sur la détermination des systèmes triples orthogonaux qui comprennent une famille de cyclides de Dupin.
C R, t. 147, 21 sept. 1908, p. 507-510.
M A S, t. 51, 2e s., 1910, no 2, p. 1-26.
34. Théorèmes sur les surfaces cyclides.
I, 40e a., no 1945, 7 fév. 1872, p. 45-46.—B S P, 6e s., 27 janv. 1872, p. 9-12.
35. Mémoire sur les surfaces cyclides.
A S E N, 2e s., t. 1, 1872, p. 273-292.
36. Détermination des lignes de courbure de la surface de quatrième classe, corrélative de la cyclide, qui admet le cercle de l'infini comme ligne double.
C R, t. 92, 3 janv. 1881, p. 29-31.
37 à 43. Sur la représentation sphérique des surfaces.
M. G. Darboux donne la solution du problème suivant, qu'il a posé le premier dans toute sa généralité: Trouver toutes les surfaces qui ont une représentation sphérique donnée, après avoir fait remarquer que le problème de la recherche des surfaces à lignes de courbure planes et sphériques en est un cas particulier.
C R, t. 68, 1er fév. 1869, p. 253-256.
C R, t. 94, 16 janv. 1882, p. 120-122.
C R, t. 94, 23 janv. 1882, p. 158-160.
C R, t. 94, 8 mai 1882, p. 1290-1293.
C R, t. 94, 15 mai 1882, p. 1343-1345.
C R, t. 96, 5 fév. 1883, p. 366-368.
A S E N, 3e s., t. 5, mars 1888, p. 79-96.
Analyse par G. Jung et Ohrtmann: J F M, Bd. 2, J. 1869 und 1870, S. 550-551.
Analyses par August: J F M, Bd. 14, J. 1882, S. 662-666;—Bd. 15, J. 1883, S. 645-647;—Bd. 20, J. 1888, S. 764.
Analyse: B S M, 2e s., t. 14, 2e p., oct. 1890, p. 192-195.
44. Des courbes tracées sur une surface et dont la sphère osculatrice est tangente en chaque point à la surface.
C R, t. 73, 18 sept. 1871, p. 732-736.
45. Détermination des lignes de courbure d'une classe de surfaces et en particulier des surfaces tétraédrales de Lamé.
C R, t. 84, 26 fév. 1877, p. 382-384.
Analyse par August: J F M, Bd. 9, J. 1877, S. 523-525.
46. Sur la forme des lignes de courbure dans le voisinage d'un ombilic.
L T S D, IVe P., n. VII, 1896, p. 448-465.
47. Observations sur une Note de M. Eugène Cosserat,
Intitulée Sur les surfaces qui peuvent, dans plusieurs mouvements différents, engendrer une famille de Lamé.
C R, t. 124, 21 juin 1897, p. 1428-1431.
48. Sur les familles de Lamé engendrées par le déplacement d'une surface qui demeure invariable de forme.
C R, t. 148, 11 janv. 1909, p. 65-70.
49. 50. Détermination d'une classe particulière de surfaces à lignes de courbure planes dans un système et isothermes.
C R, t. 96, 23, 30 avr. 1883, p. 1202-1205, 1294-1297.
B S M, t. 7, sept. 1883, p. 257-276.
Analyse par August: J F M, Bd. 15, J. 1883, S. 726-731.
51. Sur la surface des centres de courbure d'une surface algébrique.
C R, t. 70, 20 juin 1870, p. 1328-1333.—B S M, 2e s., t. 3, fév. 1879, Note, p. 59.
52. Réponse aux Observations de M. Catalan,
Contenues dans sa Note intitulée Remarques sur une Note de M. Darboux, relative à la surface des centres de courbure d'une surface algébrique.
Il s'agit d'une proposition que M. G. Darboux a énoncée et d'après laquelle une équation différentielle prise au hasard n'a pas de solution singulière.
C R, t. 71, 25 juil. 1870, p. 267-270.
53. Sur la surface des centres de courbure de l'ellipsoïde et sur les coordonnées elliptiques.
B S M, t. 3, avr. 1872, p. 122-128.
Analyse par Hoppe: J F M, Bd. 4, J. 1872, S. 402.
54. Sur les surfaces dont la courbure totale est constante.
C R, t. 96, 15 oct. 1883, p. 848-850.
55. Sur les surfaces à courbure constante.
C R, t. 97, 22 oct. 1883, p. 892-894.
56. Sur l'équation aux dérivées partielles des surfaces à courbure constante.
C R, t. 96, 29 oct. 1883, p. 946-949.
Analyse par August des Notes nos 54, 55 et 56: J F M, Bd. 15, J. 1883, S. 644-645.
57. Sur les lignes géodésiques de l'ellipsoïde.
C M D, t. I, n. VI, 1884, p. 395-398.
58. Sur la théorie des surfaces minima.
C R, t. 102, 28 juin 1886, p. 1513-1519.
Analyse par August: J F M, Bd. 18, J. 1886, S. 778.
59. Sur un problème relatif à la théorie des surfaces minima.
C R, t. 104, 14 mars 1887, p. 728-733.
Analyse par August: J F M, Bd. 19, J. 1887, S. 822-824.
60. Sur les surfaces dont la courbure totale est constante.
La théorie des surfaces dont la courbure totale est constante a les rapports les plus étroits avec celle des surfaces minima, bien qu'elle soit certainement de beaucoup plus difficile. G. D.
A S E N, 3e s., t. 7, janv. 1890, p. 9-18.
61. Sur les surfaces à courbure constante positive.
C R, t. 128, 24 avr. 1899, p. 1018-1024.
62. 63. Sur la déformation des surfaces du second degré.
C R, t. 128, 27 mars 1899, p. 760-766.
C R, t. 128, 4 avr. 1899, p. 854-859.
64. Sur la déformation des surfaces générales du second degré.
C R, t. 128, 23 mai 1899, p. 1264-1270.
65. Sur les transformations des surfaces à courbure totale constante.
C R, t. 128, 17 avr. 1899, p. 953-958.
66. Sur la déformation des surfaces du second degré et sur les transformations des surfaces à courbure totale constante.
Ce Mémoire est l'ensemble des Notes nos 62, 63, 65 et 61.
A S E N, 3e s., t. 16, nov. 1899, p. 465-490.
67. Sur les déformations finies et sur les systèmes triples de surfaces orthogonales.
P L M S, v. 32, June 14, 1900, p. 377-383.
Analyse par Hessenberg: J F M, Bd. 31, J. 1900, S. 604-605.
68. Sur les transformations conformes de l'espace à trois dimensions.
M. G. Darboux donne une démonstration très simple du théorème suivant, dû à J. Liouville: Toutes les transformations conformes de l'espace se ramènent à une inversion ou à une homothétie, précédée ou suivie d'un déplacement.
A M P G, d. R., 1. Bd., 1901, 20 nov. 1900, p. 34-37.
Analyse par Sommer: J F M, Bd. 32, J. 1901, S. 678-679.
69. Sur les surfaces isothermiques.
Je voudrais étudier une classe spéciale de surfaces isothermiques (c'est-à-dire à lignes de courbure isothermes) qui interviennent dans la théorie de la déformation des surfaces les plus générales du second degré. G. D.
C R, t. 128, 29 mai, 26 juin 1899, p. 1299-1305, 1538.
Analyse: B S M, 2e s., t. 25, 2e p., mai, juin 1901, p. 132-133.
70. Sur une classe de surfaces isothermiques liées à la déformation des surfaces du second degré.
C R, t. 128, 19 juin 1899, p. 1483-1487.
Reproduction des trois Notes nos 64, 69 et 70: A S E N, 3e s., t. 16, déc. 1899, p. 491-508.
71. Des surfaces applicables sur le paraboloïde de révolution.
C R, t. 140, 13 mars 1905, p. 697-702.
72. Sur les surfaces applicables sur le paraboloïde de révolution.
B S M, 2e s., t. 29, 1re p., avr. 1905, p. 109-119.
M. E. Estanave a construit en plâtre des modèles, qui sont à la Sorbonne, des deux surfaces applicables sur la paraboloïde de révolution et définies par M. G. Darboux dans ses Mémoires nos 71 et 72: B S M, t. 29, 1re p., août 1905, p. 225-246.
73. Sur la Géométrie Cayleyenne et sur une propriété des surfaces à génératrice circulaire.
L T S D, 4e P., n. IX, 1896, p. 489-496.
74. Sur une équation différentielle et sur les surfaces spirales.
L T S D, IVe P., n. VI, 1896, p. 442-447.
75. Sur les congruences de courbes et sur les surfaces normales aux droites d'un complexe.
M. G. Darboux a publié en 1870 (B S M, t. 1, p. 348) une Note Sur les systèmes linéaires de coniques et de surfaces du second ordre où se trouvent énoncés sans démonstration un grand nombre de résultats. Dans cette nouvelle Note, il revient sur la proposition suivante: Étant données les normales à une famille de surfaces, on peut déterminer sans intégration toutes les familles de surfaces normales aux mêmes droites, l'énonce autrement, la démontre et lui adjoint quelques autres propositions relatives aux congruences de courbes.
C R, t. 149, 15 nov. 1909, p. 817-821.