PARTE TERCEIRA.

Da medição das Figuras circulares, e das suas propriedades.

Depois de se ter chegado a medir toda a sorte de figuras rectilineas, se quiz tambem ter o modo de determinar aquellas, que se limitam em linhas curvas. Os terrenos, e em geral os espaços, que se intentam medir, não são sempre terminados por linhas rectas.

EST. VIII.

Muitas vezes as figuras curvilineas, e as figuras mixtilineas, isto he, aquellas, que são terminadas por linhas rectas, e por linhas curvas, se podem reduzir a figuras inteiramente rectilineas, como já dissemos; porque havendo para se medir huma figura tal, como ABCDEFG, (Estampa VIII. Fig. 1.) se poderia tomar o lado AD por hum ajuntamento de duas, tres, &c. linhas rectas; e substituindo depois a recta FD á curva FDE, se teria a figura rectilinea ABCDEFG, a qual differiria tão pouco da figura mixtilinea, que se poderia tomar huma por outra sem erro sensivel.

EST. VIII.

Operar-se-hia pois sobre estas figuras, segundo os methodos precedentes. Mas os Geometras de nenhuma maneira se accommodariam com esta sorte de operações: elles querem sómente as que são rigorosas. Demais, ha taes casos, em que a transformação de huma figura curvilinea, ou mixtilinea, em huma figura inteiramente rectilinea, demandaria que se repartisse o seu contorno em tão grande numero de partes, que então o methodo commum sería impraticavel; e ninguem se tentaria a seguillo, tendo para medir hum espaço tal como Z, (Fig. 7.) ou o circulo inteiro X; (Fig. 3.) sería preciso seguir outro methodo para se achar a medida de taes espaços. Aqui sómente trataremos daquelles, que tem os seus contornos terminados por arcos de circulo.

I.

EST. VIII.

A medida do circulo he o producto da sua circumferẽcia por ametade do seu radio.

Supponhamos que haja para medir a área do circulo X. (Fig. 3.) Observe-se, que inscrevendo-se-lhe hum polygono regular ABCDE, &c. quantos mais lados este polygono tiver, mais se approximará a ser igual ao circulo. Ora temos visto que a área desta figura (Parte I. Art. XXII.) he igual a tantas vezes o producto do lado BC por a metade do apothêma AH, como o polygono tem de lados; ou, que he o mesmo, que esta área tem por medida o producto do contorno inteiro BCDE, &c. por metade do apothêma. Logo, pois que levando até o infinito o numero dos lados do polygono, a sua área, o seu contorno, o seu apothêma igualaráõ a área, o contorno, e o radio do circulo; a medida do circulo será o producto da sua circumferencia por a metade do seu radio.

II.

A área do circulo he igual a hum triangulo, que tem por altura o radio, e por base huma recta igual á circumferẽcia.

Do que se segue, que a superficie de hum circulo BCD (Fig. 4.) he igual á de hum triangulo ABL, a altura do qual sería o radio AB, e a base huma recta BL igual á circumferencia.

III.

EST. VIII.

Não se trata pois senão de ter o radio, e a circumferencia. A respeito do radio, este he facil de medir; porém não he o mesmo da circumferencia: não obstante para se ter a sua medida, póde-se envolver o circulo com hum fio, o que em muitas occasiões he sufficiente para a prática.

Porque até agora não se pode chegar a medir geometricamente a circumferencia do circulo, isto he, a determinar a razão, que ella tem com o seu radio. Acha-se esta razão perto de centenas de milhares de milhares, e até se lhe approxima quanto se quer, sem que ella com isto se possa determinar rigorosamente.

IV.

Tendo o diametro 7 partes, a circumferencia tem perto de 22.

EST. VIII.

A approximação mais simples, que se tem achado, he a que temos de Archimedes. Tendo o diametro 7 partes, o que a circumferencia contém destas partes, he entre 21, e 22; e sabe-se que ella se approxima muito mais a 22, do que a 21.

V.

As circumferencias dos circulos são entre si como os seus radios.

No mais he evidente, que se certamente se soubesse a razão, que huma só circumferencia tem com o seu radio, se saberia a de todas as mais circumferencias com os seus radios, devendo esta razão ser a mesma em todos os circulos. Esta proposição parece tão simples, que não ha necessidade de a demonstrar; pois se vê que quaesquer que fossem as operações, que se fizessem para medir huma circumferencia, servindo-se das partes do seu radio, sería preciso que se fizessem as mesmas para medir qualquer outra circumferencia, e que assim se lhe acharia o mesmo numero de partes do seu radio.

VI.

EST. VIII.

As áreas dos circulos são proporcionaes aos quadrados dos seus radios.

He evidente que os circulos tem tambem a propriedade geral de todas as figuras semelhantes; (Parte I. Art. XLVII.) quero dizer, que as suas superficies estam na mesma proporção, em que estam os quadrados dos seus lados homologos; mas como para se applicar esta proposição aos circulos se não poderáõ tomar os seus lados, será preciso servirmo-nos dos radios, e então se verá que os circulos terão as suas áreas proporcionaes aos quadrados dos seus radios.

EST. VIII.

Se á primeira vista parecer que esta proposição se não deve deduzir do que dissemos no Artigo XLVII. da primeira Parte, e se queira huma particular demonstração, se note, que absolutamente viria a ser o mesmo a comparação das áreas dos dous circulos BCD, (Fig. 4. e 5.) EFG, ou as dos triangulos ABL, AEM, que lhes seriam iguaes, (Art. II.) suppondo que as suas bases BL, e EM fossem desenvolvidas das circumferencias BCD, e EFG, e que as suas alturas fossem os radios AB, e AE. Ora segundo o precedente Artigo, estes triangulos seriam semelhantes. Logo as suas áreas estariam na mesma proporção, em que estam os quadrados dos seus lados homologos AB, AE, radios dos circulos BCD, e EFG. Logo, &c.

VII.

De tres circulos, a que servirem de radios os tres lados de hum triangulo rectangulo, aquelle, de que for radio a hypothenusa, valerá tanto, como os outros dous.

Os circulos, por causa da sua semelhança, terão tambem, como as figuras semelhantes, esta propriedade, que tomando os tres lados de hum triangulo rectangulo como radios, para com elles se descreverem tres circulos, aquelle circulo, a que a hypothenusa servir de radio, igualará os outros dous circulos tomados juntamente.

Assim se poderá sempre fazer hum circulo igual a dous circulos dados, e isto sem se tomar o trabalho de medir cada hum dos circulos.

EST. VIII.

Queira-se, por exemplo, fazer hum tanque, que contenha em si tanta agua, como outros dous, tendo a mesma profundidade; ou se queira achar a abertura de hum cano de fonte, pelo qual passe tanta agua, como por dous canos dados, sem trabalho se conseguiria isto, seguindo o caminho, que temos indicado.

VIII.

Huma coroa he o espaço comprehendido entre dous circulos concentricos.

Havendo para medir a superficie de huma coroa V, (Fig. 6.) figura comprehendida entre dous circulos concentricos EFG, BCD, isto he, entre dous circulos, que tivessem ambos hum centro commum, o que logo nos occorreria, sería o medir separadamente as superficies dos dous circulos, e diminuir a mais pequena da maior. Mas he facil de perceber, que se póde resolver o problema de huma maneira mais commoda para a prática.

EST. VIII.

Imaginemos hum triangulo ABL, que tenha o radio AB por altura, e a sua base a recta BL igual á circumferencia BCD. Tirando-se pelo ponto E a recta EM parallela a BL, esta recta será igual á circumferencia EFG; porque pela semelhança dos triangulos AEM, ABL haverá a mesma proporção entre AB, e BL, que houver entre AE, e EM. Ora por supposição, BL igualará a circumferencia, da qual AB será radio: logo EM igualará tambem a circumferencia, da qual será radio a linha AE, parte de AB. O mesmo sería de qualquer outra linha KI, parallela a BL, a qual sería sempre igual á circumferencia, da qual fosse radio AK.

EST. VIII.

Da igualdade supposta entre a circumferencia EFG, e a recta EM se segue necessariamente a igualdade do triangulo AEM com o circulo EFG: logo he preciso que o espaço rectilineo EBLM seja igual á coroa proposta V. Ora este espaço EBLM pôde-se facilmente reduzir ao rectangulo EBPH, cortando ML em duas partes iguaes MI, e IL, e tirando pelo ponto I sobre BL a perpendicular HIP, a qual dará o triangulo accrescentado MHI, igual ao triangulo diminuido PLI.

Logo se pelo ponto I se tirar a BL a parallela IK, que cortará EB em duas partes iguaes, a coroa proposta igual ao espaço EBLM, ou a EBPH, terá por medida o producto de EB por KI, de cuja circumferencia será radio AK.

Para se ter a medida de huma coroa, he necessario multiplicar a sua grossura pela circumferencia media.

Logo para se medir a coroa V, he necessario multiplicar a sua grossura EB pela circumferencia KOQ, chamada media, entre as circumferencia BCD, e EFG, porque ella excede a pequena circumferencia EFG, ou a recta EM na quantidade MH, iguala PL, quantidade, de que ella he excedida pela grande circumferencia BCD, ou pela recta BL.

IX.

EST. VIII.

O segmento de circulo he hum espaço terminado por hum arco, e pela sua corda.

A medição de todas as figuras circulares se reduz áquella do segmento.

Tratando-se de se medir huma figura Y, (Fig. 2.) composta de arcos de differentes circulos, e de linhas rectas, ou huma figura Z, (Fig. 7.) composta unicamente de arcos de circulos, toda a difficuldade se reduz a medir segmentos de circulos, isto he, a espaços taes, como ABCE, (Fig. 8.) terminados pelo arco ABC, e pela corda AC. Porque as figuras inteiramente compostas de arcos de circulos, ou de arcos, e linhas rectas, todas se podem considerar como figuras rectilineas, augmentadas, ou diminuidas de certos segmentos.

X.

EST. VIII.

O sector he huma porção de circulo terminada por dous radios, e pelo arco, que elles comprehendem. A sua medida he a do segmento.

A medida de qualquer segmento ABCE (Fig. 8.) he facil de se achar, quando se sabe a do circulo; porque tirando-se as linhas AT, CT ao centro T do arco, se formará huma figura ABCT, chamada sector, cuja área será para o circulo, como o arco ABC para toda a circumferencia; e por consequencia terá por medida o producto de ametade do radio AT pelo arco ABC. Ora tendo-se determinado o sector, não será preciso mais do que diminuir-lhe o triangulo ACT para se ter o segmento ABCE.

XI.

Como succede muitas vezes, que quando se propõe de medir huma figura tal como Y, (Fig. 2.) não se tem o centro do arco HIK, e que sem este centro não se poderia medir a figura, pois que o methodo precedente requer o conhecimento do radio, he preciso que saibamos procurar o centro de hum arco de qualquer circulo.

Achar o centro do arco de qualquer circulo.

EST. VIII.

Seja ABC (Fig. 9.) o arco de circulo proposto; se sobre este arco se tomarem dous pontos á vontade A, e B; e que destes pontos, como centros, se descreverem os quatro arcos goi, foh, lpk, mpn, os dous primeiros, com qualquer radio, e os dous segundos com o mesmo radio, ou qualquer outro que se quizer, he evidente que o centro procurado do arco ABC será na linha op, tirada pelos pontos das intersecções o, p.

Escolhendo-se depois o terceiro ponto C no arco ABC, e servindo-se de B, e de C, da mesma sorte que se fez de A, e de B, se terá a recta qr, na qual se achará o centro pedido. Logo este centro será o ponto de encontro T das linhas op, qr.

XII.

EST. VIII.

Da mesma sorte, qualquer situação, que se der a tres pontos, com tanto que não fiquem em linha recta, se poderá sempre fazer passar por elles hum arco de circulo, ou, que vem a ser o mesmo, qualquer que seja a proporção dos lados AC, BC de hum triangulo ABC (Fig. 10.) com a sua base, se poderá sempre circumscrever hum circulo a este triangulo.

XIII.

EST. VIII.

O methodo, que acabamos de dar, para circumscrever hum circulo a hum triangulo, sendo successivamente applicado a differentes triangulos ACB, AEB, AGB (Fig. 11.) mais, ou menos elevados a respeito da base delles AB, muito bem se percebe, que em passando de hum triangulo ACB, cujo angulo do vertice he muito agudo, a outros triangulos AEB, AGB, que tem os angulos dos seus vertices mais abertos, o centro do circulo circumscrito se avizinha continuadamente para AB, e que este centro passa depois para baixo de AB, quando o angulo do vertice AGB chega a huma certa abertura. Ora vendo-se passar este centro para baixo de AB, depois de se ter visto por sima, parece-me que deve vir ao pensamento o procurar de qual especie he o triangulo AFB, (Fig. 12.) quando o circulo circumscrito tem o seu centro sobre AB.

Para se conhecer este triangulo AFB, se principiará notando, que neste caso particular a porção de circulo circumscrito a hum triangulo, deve ser exactamente hum semicirculo: com effeito o centro do circulo devendo estar sobre a base AB, a qual tem por supposição as duas extremidades na circumferencia, o centro M não poderá deixar de estar situado precisamente no meio de AB, de sorte que AB será necessariamente hum diametro.

Se de qualquer ponto da circumferencia de hum semicirculo se tirarem duas rectas ás extremidades do diametro, se terá hum angulo recto.

EST. VIII.

Ver-se-ha depois, que tirando-se as linhas FA, FB de qualquer ponto F do semicirculo, o angulo AFB será recto. Porque tirando FM, os dous triangulos AFM, MFB serão isosceles. Logo os dous angulos AFM, MFB serão respectivamente iguaes aos angulos FAM, FMB; ou, que vem a ser o mesmo, o angulo total AFB igualará a somma dos dous angulos FAM, FBM; porém os tres angulos AFB, FAM, FBM, todos juntos, valem dous rectos. Logo o angulo AFB será recto.

Assim descrevendo-se na base AB hum triangulo rectangulo, qualquer que seja, este triangulo terá a propriedade pedida de ser inscrito em hum circulo, cujo centro esteja na base.

XIV.

EST. IX.

Esta propriedade do circulo de que o angulo, que tem o seu vertice na semicircumferencia, e que assenta sobre o diametro, he sempre recto, nos conduz a procurar se as outras partes do circulo terão alguma propriedade analoga; se, por exemplo, os angulos ACB (Estampa IX. Fig. 1.) AEB, AFB, tomados em hum segmento ACEFB, seriam todos entre si iguaes, como o são aquelles do semicirculo.

Para nos certificarmos disto, principiaremos procurando o valor de hum destes angulos, e depois veremos se cada hum dos outros tem o mesmo valor. Tomemos, por exemplo, o angulo AEB, (Fig. 2.) o vertice do qual E está no meio do arco AEB. Como a linha EDG, que passa pelo centro D, reparte este angulo em duas partes iguaes, bastará medir o angulo AEG, sua metade; ou, o que he o mesmo, bastará saber-se qual parte he o angulo AEG, de hum angulo já medido, tal como ADG; digo pois, que o angulo ADG já está medido, porque nós sabemos que o arco AG he a sua medida. (Part. I. Art. LII.)

EST. IX.

Fazendo-se reflexão em que o triangulo AED he isosceles, facilmente se verá que o angulo AEG he metade do angulo ADG, porque os angulos AED, EAD (Part. I. Art. XXXI.) são iguaes; mas (Parte I. Art. LXVIII.) estes dous angulos juntos valem o angulo exterior ADG. Logo o angulo AED, ou AEG, he a metade do angulo ADG.

Pela mesma razão, o angulo DEB será a metade do angulo GDB. Logo o angulo total AEB igualará a metade do angulo ADB. Logo a sua medida será a metade do arco AGB.

XV.

EST. IX.

Todos os angulos, que tem os seus vertices na circumferencia, e que assentão sobre o mesmo arco, são iguaes, e tem por medida cõmua a metade do arco, em que assentam.

Tendo-se medido o angulo AEB, para se saber se elle he igual a cada hum dos outros angulos, que tem os seus vertices no mesmo segmento, he preciso examinar se hum destes angulos tomado á vontade, AFB (Fig. 3.) por exemplo, he tambem a metade do angulo no centro ADB. Facilmente nos certificaremos disto, tirando a recta FDG pelo centro; porque então se verá que o angulo AFB será composto de outros dous AFD, DFB, que pelo Artigo precedente serão as metades dos angulos ADG, GDB; do que se concluirá que o angulo total AFB será a metade do angulo ADB; e applicando o mesmo discurso a todos os angulos ACB, (Fig. 1.) AEB, AFB, que tem os seus vertices na circumferencia, e que assentam sobre o mesmo arco AGB, se poderá concluir, que estes angulos são iguaes entre si, assim como no Artigo precedente o tinhamos suspeitado.

XVI.

EST. IX.

Entre os differentes angulos, que tem os seus vertices no arco ACEFB, (Fig. 1.) ha alguns, que poderiam á primeira vista parecer não serem comprehendidos na demonstração precedente; são estes angulos, taes como AFB, (Fig. 4.) em que a recta FDG tirada pelo centro passa por fóra do angulo ADB. Não obstante, observando sempre que o angulo GFA he a metade do angulo GDA, e o angulo DFB a metade do angulo GDB, se verá que o angulo AFB, excesso do angulo DFB sobre o angulo DFA, será neste caso a metade do angulo ADB, excesso do angulo GDB sobre GDA.

XVII.

EST. IX.

Pelas figuras, de que nos temos servido, se poderia tambem entender que a demonstração precedente não conviria senão aos segmentos maiores do que hum semicirculo; porém he facil de ver que hum angulo qualquer, tal como AFB, (Fig. 5.) que tivesse o seu vertice em hum segmento mais pequeno do que o semicirculo, seria sempre composto de outros dous DFB, DFA, metades dos angulo BDG, ADG, e por consequencia que este angulo AFB teria por medida a metade dos dous arcos BG, AG, isto he, a metade do arco AGB.

XVIII.

EST. IX.

Depois de termos visto que em hum mesmo segmento os angulos AEB, (Fig. 6.) AFB, AHB, suppostos na circumferencia, são todos iguaes, tentamo-nos a examinar em que se torna o angulo AQB, quando o seu vertice Q se confunde com o ponto B, extremidade da base AB. Este angulo desvanecer-se-hia então? Porém não parece possivel, que sem elle se ir fechando por gráos, viesse de repente a extinguir-se. Não se percebe qual seja o ponto, depois do qual este angulo cessasse de existir; como se virá pois a achar a sua medida? He esta huma difficuldade, que não se póde resolver, sem que se recorra á Geometria dos infinitos, da qual todos os homens tem ao menos huma imperfeita idéa, a qual basta sómente aclarar.

Observemos pois, que quando o ponto E se avizinha para B, mudando-se em F, H, Q, &c. a recta EB se diminue continuadamente; e que o angulo EBA, que ella faz com a recta AB, se abre cada vez mais. Porém por mais curta que venha a ser a linha QB, o angulo QBA não deixará com tudo de ser hum angulo, pois que para o fazermos sensivel, bastará produzir a linha diminuta QB para R. Mas deve tambem ser assim, quando a linha QB, á força de se diminuir, se reduzir em fim a nada? Em que veio então a parar a sua posição? A linha produzida em que se tornou?

A tangente ao circulo he a linha, que sómente o toca em hum só ponto.

He evidente que não he outra cousa senão a recta BS, que toca o circulo em hum só ponto B, sem o encontrar em alguma outra parte, e que por esta razão se chama Tangente.

EST. IX.

O angulo no segmento he aquelle, que he feito pela corda, e pela tangente.

Tem por medida a metade do arco do segmento.

Demais. Claro está, que em quanto a linha EB se diminue continuadamente até em fim se extinguir, a recta AE, que successivamente se muda em AF, AH, AQ, &c. se avizinha sempre para AB, e que por fim se confunde com ella. Logo o angulo na circumferencia AEB, depois de se ter mudado em AFB, AHB, AQB, vem a ser em ultimo lugar o angulo ABS, feito pela corda AB, e pela tangente BS; e este angulo, a que chamam angulo no segmento, deve conservar sempre a propriedade de ter por medida a metade do arco AGB.

Ainda que esta demonstração seja talvez hum pouco abstracta para os Principiantes, entendi ser a proposito de a dar, porque será utilissimo áquelles, que quizerem adiantar os seus estudos até á Geometria dos infinitos, o terem-se costumado anticipadamente a semelhantes considerações.

EST. IX.

Se, não obstante, os Principiantes acharem que esta demonstração he assima das suas forças, he facil de os pôr em estado de descubrirem outra, em lhes explicando a principal propriedade das Tangentes.

XIX.

A tangente he perpendicular ao diametro, que passa pelo ponto, em que ella toca na circumferencia.

Esta propriedade he, que huma tangente ao circulo, de qualquer ponto que seja B, (Fig. 7.) deve ser perpendicular ao diametro IDB, que passa por este ponto. Porque como a curvidade do circulo he tão uniforme, que qualquer diametro IDB o reparte em dous semicirculos IAB, IOB, iguaes, e igualmente situados respeito a este diametro, he preciso que as duas partes BS, BH da tangente commua a estes dous semicirculos, sejam tambem igualmente situadas a respeito deste diametro. Ora isto não podia ser, sem que IDB fosse perpendicular á tangente HBS.

XX.

EST. IX.

Disto se verá facilmente a razão, por que o angulo no segmento ABS tem por medida a metade do arco AGB.

Porque o angulo ADB, junto com os dous angulos iguaes DAB, DBA, fazem (Part. I. Art. LXIV.) dous angulos rectos. Logo a metade do angulo ADB, junto com o angulo DBA, faz hum recto. Mas ajuntando o angulo DBA ao angulo ABS, dá tambem hum recto.

Logo o angulo ABS he igual á metade do angulo ADB. Logo a medida de ABS será a metade do arco AGB.

XXI.

A segunda demonstração, que acabamos de dar da propriedade do circulo, de que o angulo ABS tem por medida a metade do arco AGB, nos dá a solução do seguinte problema.

EST. IX.

Que cousa seja hum segmento capaz de hum angulo dado.

Descrever sobre AB (Fig. 8. e 9.) hum segmento capaz do angulo formado L; isto he, hum segmento AFB, no qual todos os angulos AFB na circumferencia sejam iguaes ao angulo L.

Maneira de fazer hum segmento capaz de hum angulo dado.

Para se resolver este problema, será preciso fazer em A, e em B os angulos BAS, e ABS, cada hum igual ao angulo L; e levantar sobre AS, e sobre BS as duas perpendiculares AD, e BD, que encontrando-se em D, darão o centro do arco procurado AFB.

EST. IX.

Porque pelo Artigo XIX. as rectas BS, e AS serão as tangentes do circulo, o centro do qual he D, e o radio AD, ou BD; pois que BD, ou AD são perpendiculares a BS, e a AS. Demais, pelo Artigo precedente o angulo ABS tem por medida a metade de AGB, e pelo Artigo XV. os angulos taes, como AFB, são tambem medidos por a metade de AGB. Logo estes angulos AFB serão iguaes a ABS, isto he, ao angulo L, como elle se pedia.

XXII.

O descubrimento das propriedades dos segmentos do circulo, que acabamos de explicar, he devido verisimilmente á simples curiosidade dos Geometras, mas teve este descubrimento o effeito, que outros muitos sempre tem. O que ao principio parecia não ser util, o veio a ser depois, tendo-se feito na prática excellentes applicações das propriedades do circulo, que acabamos de demonstrar. Eu não darei senão huma destas applicações, a qual se achará na solução do seguinte problema, que he muitas vezes necessario na Geografia.

Achar a distancia de hum lugar a outros tres, dos quaes se sabem as posições.

EST. IX.

A, B, C, (Fig. 10.) são tres lugares, dos quaes se sabe as respectivas distancias AB, BC, AC. Quer-se saber em que distancia destes lugares está o ponto D, de donde se podem ver todos os tres; mas de donde se não póde sahir para operar sobre o terreno.

Principiar-se-ha a traçar em papel tres pontos a, b, c, (Fig. 10. e 11.) que sejam entre si situados do modo, que estam os tres pontos A, B, C, isto he em linguagem geometrica, se fará o triangulo a b c semelhante ao triangulo ABC.

EST. IX.

Tendo-se depois observado com o semicirculo a grandeza dos angulos ADB, BCD, se fará sobre a b o segmento de circulo a d b, capaz do angulo ADB; e sobre a recta b c o segmentos de circulo b c d, capaz do angulo BDC, o encontro d destes dous segmentos desenhará no papel a posição do lugar D, isto he, que as linhas d a, d b, d c estarão na mesma proporção a respeito de a b, b c, a c, como as distancias procuradas DA, DB, DC, a respeito das distancias dadas AB, BC, AC; o que não tem necessidade de demonstração, depois do que se vio sobre as figuras semelhantes.

XXIII.

Facilmente se podia demonstrar, que na prática se tem tirado varios outros soccorros das propriedades do circulo, que se acabam de demonstrar; porém he mais a proposito passar a outras propriedades do circulo, as quaes foram tiradas das precedentes, e que tambem tiveram a sua utilidade.

EST. X.

Para proceder com ordem no descubrimento destas propriedades, principiaremos, observando que dous angulos, quaesquer que sejam EDC, (Estamp. 10. Fig. 1.) EBC, que assentam sobre o mesmo arco EC, sendo iguaes, se segue que os triangulos DAE, BAC tem os angulos iguaes; isto he, (Part. I. Art. XXXIX.) que estes triangulos são semelhantes.

EST. X.

Pois pela mesma razão, por que o angulo EDC he igual no angulo EBC, o angulo DEB será igual ao angulo DCB; e quanto aos angulos DAE, BAC, elles serão visivelmente iguaes; seja porque são feitos com as mesmas linhas, ou porque dous triangulos, hum dos quaes tem dous angulos respectivamente iguaes a dous angulos do outro, tem tambem necessariamente o terceiro angulo igual. (P. I. Art. XXXVIII.)

Para depois mais facilmente se reconhecer nos triangulos ADE, (Figur. 1. e 2.) ABC as propriedades geraes dos triangulos semelhantes, applicaremos o triangulo DAE sobre o triangulo BAC, pondo AD sobre AB, e AE sobre AC, a sim que DE seja parallela a BC. Nós então nos lembraremos.

1.º Que se dous triangulos ADE, ABC são semelhantes, os quatro lados AC, AE, AB, AD estão em proporção. (Part. I. Art. XXXIX.)

EST. X.

Se duas cordas se cortarem em hum circulo, o rectangulo das partes de huma he igual ao rectangulo das partes da outra.

2.º Que em toda a proporção, o producto dos extremos he igual ao producto dos medios; (Part. II. Art. VIII.) e disto concluiremos, que o rectangulo, ou o producto de AC por AD he igual ao rectangulo de AE por AB; propriedade notabilissima do circulo, que se póde exprimir deste modo: Se em hum circulo se tiram á vontade duas rectas, que se cortem, o producto das duas partes da primeira he igual ao producto das duas partes da segunda.

XXIV.

O quadrado de huma perpendicular qualquer ao diametro de hum circulo, he igual ao rectangulo das duas partes do diametro.

EST. X.

Se as duas rectas BE, DC (Fig. 3.) se cortassem perpendicularmente, e que huma destas duas rectas fosse hum diametro DC, he tambem evidente que as duas partes AB, AE, da outra recta BE, seriam entre si iguaes; de sorte que a propriedade precedente se exprimiria deste modo neste caso particular. Se sobre o diametro DC de hum circulo se levantar huma perpendicular qualquer que seja AB, o quadrado desta perpendicular será igual ao rectangulo de AD por AC.

XXV.

Reduzir hum rectangulo a hum quadrado.

Succede muitas vezes que he necessario mudar hum rectangulo em hum quadrado; o Artigo precedente nos dá hum meio facil: seja ACFE (Figura 4.) o rectangulo proposto, prolongue-se AC para D, de sorte que AD seja igual a AE, e se descreva o semicirculo DBC, o diametro do qual seja DC. Prolongando-se depois o lado EA, até que este encontre o semicirculo, se terá AB, que virá a ser o lado do quadrado pedido ABGH, igual ao rectangulo dado AFCE.

XXVI.

EST. X.

Que cousa seja huma media proporcional entre duas linhas rectas.

Propõe-se muitas vezes hum problema, que não he outra cousa, senão o que acabamos de resolver, apresentado de outro modo, o qual he de achar huma linha, que seja media proporcional entre duas linhas dadas; entende-se então por media proporcional aquella linha, que he tão grande a respeito da mais pequena das duas linhas dadas, quanto ella he pequena a respeito da maior; isto he, que se AB, por exemplo, he media proporcional entre AD, e AC, se poderá dizer, que AD he para AB, como AB he para AC. Ora he bem facil de conhecer que este problema he o mesmo que o precedente, pois que (Part. II. Art. VIII.) o producto de AD por AC, isto he, o rectangulo destas duas linhas, he igual ao producto de AB por AB, isto he ao quadrado de AB.

Maneira de a achar.

Logo quando se quizer achar huma media proporcional entre duas linhas dadas, se mudará o rectangulo destas duas linhas em hum quadrado, o lado do qual será a linha procurada.

XXVII.

EST. X.

Outro modo.

EST. X.

Tambem se póde achar huma media proporcional entre duas linhas de outra maneira, que se segue da propriedade do circulo, explicada no Artigo XIII. Supponhamos que AC (Fig. 5.) seja a maior das duas linhas dadas, e AD a mais pequena; levante-se DB perpendicularmente sobre AC, e o ponto B, onde ella encontrar o semicirculo ABC, traçado sobre o diametro AC, dará a linha AB, media proporcional entre AD, e AC. Porque tirando BC, claro está que o triangulo ABC será rectangulo em B. Logo (Part. I. Art. XXXVIII.) este triangulo será semelhante ao triangulo ABD, pois que além disto estes dous triangulos tem o angulo A de commum; e se os triangulos ABD, e ABC são semelhantes, elles tem os seus lados proporcionaes. Logo AD he para AB, como AB para AC. Lobo AB he media proporcional entre AD, e AC.

XXVIII.

Reduzir huma figura rectilinea a hum quadrado.

Querendo-se reduzir huma figura rectilinea a hum quadrado, não será preciso mais (para reduzir este problema ao Artigo XXV.) do que fazer desta figura hum rectangulo; o que será muito facil, por causa de que as figuras rectilineas não são senão ajuntamentos de triangulos, que cada triangulo he a metade de hum rectangulo, que tem a mesma base, e a mesma altura; e que todos os rectangulos provindos dos triangulos, não farão mais do que hum só rectangulo, em se dando a todos huma altura commua. (Part. II. Art. VI.)

XXIX.

EST. X.

As figuras, que nos seus contornos contiverem arcos de circulos, tambem se poderão reduzir a quadrados, quando práticamente se tiver medido o comprimento dos arcos, de que ellas forem compostas; porque se poderá então reduzir estas figuras, assim como as rectilineas, a rectangulos; para o que se recorrerá aos Artigos IX. e X., onde se ensinou a medir toda a sorte de figuras circulares.

XXX.

Fazer hum quadrado, que seja para outro em razão dada.

Tambem da propriedade do circulo explicada no Art. XXXIV. se tira hum methodo muito facil para fazer hum quadrado, que seja para hum quadrado dado, em razão dada; problema, que tinhamos promettido no Artigo XXII. da segunda Parte.

EST. X.

Supponhamos, por exemplo, que se propõe de fazer hum quadrado, que seja para o quadrado ABCD, (Fig. 6.) como a linha M para a linha N; divida-se (Part. I. Art. XLI.) o lado CB no ponto E, de sorte que CB seja para BE, como a linha N para a linha M; tirando depois a parallela EF a AB, o rectangulo ABEF terá a mesma superficie, que o quadrado pedido. Logo não faltará mais do que reduzir este rectangulo a hum quadrado.

XXXI.

Fazer hum polygono, que esteja em razão dada com hum polygono semelhante.

EST. X.

Querendo-se fazer hum polygono HIKLM, (Fig. 8.) que seja a hum polygono semelhante ABCDE (Fig. 7.) na razão da linha X para a linha Y, se principiará, fazendo sobre o lado AB do polygono dado ABCDE o quadrado ABGF; depois se procurará outro quadrado HIOQ, que seja para o quadrado ABGF, como a linha X para a linha Y. E então descrevendo sobre o lado HI deste quadrado hum polygono HIKLM, semelhante ao primeiro ABCDE, este novo polygono será aquelle, que se pedia. A razão disto he bem facil de achar, lembrando-nos (Part. I. Art. XLVIII.) que as figuras semelhantes são entre si, como os quadrados dos seus lados homologos.

XXXII.

Fazer hum circulo, que seja para outro circulo em razão dada.

Querendo-se fazer hum circulo, a área do qual seja para aquella de hum circulo dado, como X para Y, será preciso construir hum quadrado, que seja para o quadrado do radio deste primeiro circulo, como X para Y, e o lado deste novo quadrado será o radio do circulo pedido.

XXXIII.

Eis-aqui tambem huma propriedade do circulo tirada daquella, que deram os problemas precedentes.

Se de hum ponto tomado fóra do circulo se tiram duas linhas, que o atravessem, os rectangulos destas duas rectas feitos pelas suas partes exteriores, serão iguaes.

EST. X.

Se de hum ponto A, (Fig. 9.) tomado fóra do circulo, se tirão á vontade duas rectas ABC, ADE, que cada huma córte a circumferencia em dous pontos, e que se tirem as rectas CD, BE, os triangulos ACD, AEB serão semelhantes, pois que o angulo A he commum aos dous triangulos; e demais disto elles tem os angulos na circumferencia C, e E iguaes. Ora de serem os triangulos CAD, EAB semelhantes se segue, que as quatro linhas AB, AD, AE, AC estam em proporção, e por consequencia o rectangulo das duas rectas AB, AC he igual ao rectangulo das duas rectas AD, AE; o que se pode exprimir deste modo. Se de hum ponto qualquer que seja A, tomado fóra do circulo, se tiram á vontade duas linhas rectas AC, AE, que atravessem este circulo, o rectangulo da recta AC pela sua parte exterior AB, será igual ao rectangulo da recta AE pela sua parte exterior AD.

XXXIV.

EST. X.

O quadrado da tangente he igual ao rectangulo da secante pela sua parte exterior.

Quando a recta, que parte do ponto A, em lugar de cortar o circulo só simplesmente o toca, como AF, a propriedade precedente se troca nesta: o quadrado de huma tangente AF he igual ao rectangulo produzido pela secante qualquer que seja AE, e pela sua parte exterior AD; o que he bem facil de demonstrar. Porque considerando a recta AF, que toca o circulo, como huma linha, que o cortaria em dous pontos infinitamente vizinhos, as linhas AB, AC não vem a ser senão huma mesma linha AF, e em lugar do rectangulo de AB por AC, se tem o quadrado de AF.

XXXV.

Tirar huma tangente ao circulo de hum ponto dado fóra delle.

EST. X.

A proposição demonstrada no Artigo precedente, instruindo-nos do valor do quadrado da tangente AF, não nos ensina a tirar esta tangente do ponto dado A. Para ella se tirar, nos lembraremos (Art. XIX.) que o radio FG (Fig. 10.) he perpendicular á tangente FA. Assim não falta mais do que achar no circulo dado o ponto F, de tal sorte, que o angulo AFG seja recto. Logo em descrevendo hum semicirculo sobre AG, o ponto, onde elle cortar o circulo FKO, será (Art. XIII.) o ponto procurado F.

fim da Parte Terceira.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA.