PARTE QUARTA.

Da maneira de medir os sólidos, e as suas superficies.

Os principios, que estabelecemos nas tres primeiras Partes desta Obra, nos seriam sufficientes para resolver problemas muito mais difficeis, do que aquelles, que vamos propôr-nos; porém he mais da ordem, que temos seguido precedentemente, o passar agora á medição dos sólidos; isto he, das extensões terminadas cada huma por tres dimensões, comprimento, largura, e profundidade.

EST. XI.

Esta investigação foi sem dúvida hum dos primeiros objectos, em que se fixou a attenção dos Geometras. Quereriam saber, por exemplo, quanto teria de pedra de cantaria huma muralha, da qual se sabia a altura AD, (Estamp. XI. Fig. 1.) a largura AB, e a profundidade, ou grossura BG. Teriam proposto comsigo de determinar a quantidade de agua, que em si conteria hum fosso, ou huma cisterna ABCD; (Fig. 2.) quereriam achar a solidez de huma torre, de hum obelisco, de huma casa, &c.

Para tratarmos das figuras, que tem as tres dimensões, da mesma maneira que tratamos as que não tem senão duas, principiaremos, examinando os sólidos, que são terminados por planos.

EST. XI.

Não temos necessidade da maneira de medir as superficies destes corpos, porque ellas não podem ser senão ajuntamentos de figuras rectilineas; e por consequencia depende a sua medição do que na primeira Parte se disse.

I.

O cubo he hum sólido terminado por seis quadrados. Esta he a medida cõmua dos sólidos.

Para se medir a solidez dos corpos, he natural de os reduzir todos ao sólido o mais simples, assim como para se medir as superficies, se reduziráõ todas ao quadrado. Ora o sólido mais simples que ha, he o cubo, que he com effeito em genero de sólidos, o que o quadrado he em superficies; e vem a ser hum espaço tal, como a b c d e f g h, (Fig. 3.) cujo comprimento, largura, e profundidade são iguaes; ou, que he o mesmo, he huma figura terminada por seis faces iguaes, que são huns quadrados.

Chama-se lado do cubo o lado dos quadrados, que lhe servem de faces.

EST. XI.

Por hum pé cubico se entende hum cubo, o lado do qual he de hum pé; da mesma sorte huma pollegada cubica he hum cubo, cujo lado he de huma pollegada, &c.

II.

O parallelepipedo he hum sólido terminado por seis rectangulos.

Os planos parallelos são aquelles, que conservam sempre entre si a mesma distancia.

Os sólidos, que commummente ha para se medir, são figuras, como ABCDEFGH (Fig. 1.) terminadas por seis faces rectangulas ABCD, CBGF, CFED, DEHA, GEFH, ABGH. Chamão-se estes sólidos parallelepipedos, porque as suas faces oppostas conservando em todos os seus pontos a mesma distancia humas das outras, são chamadas parallelas; assim como as linhas se chamam parallelas, quando ellas conservam sempre a mesma distancia.

III.

EST. XI.

Ora propondo-se de medir os sólidos desta especie, a analogia deste problema com aquelle, onde se tratou da medição das superficies rectangulares, nos dará hum meio facil de o resolver.

Medição do parallelepipedo.

Principiar-se-ha medindo separadamente a altura AD, a largura AB, e a profundidade BG da figura proposta, seja por palmos, ou por pollegadas, &c. Depois se multiplicará hum por outro os tres numeros, que se tiverem achado; e o producto, que sahir desta multiplicação, exprimirá quanto conterá o parallelepipedo de palmos, ou de pollegadas cubicas, &c. segundo se tiverem medido as dimensões por palmos, ou por pollegadas, &c. Para melhor mostrarmos como se faz esta operação, daremos hum exemplo della.

EST. XI.

Supponhamos que a altura AD seja de 6 palmos, a largura AB de 5, e a profundidade BG de 4, o rectangulo ABCD (Part. I. Art. XI.) terá 6 vezes 5, ou 30 palmos quadrados. Se depois se imaginar que as linhas BG, CF, DE, AH, que todas igualmente a profundidade do sólido, sejam repartidas cada huma em quatro partes iguaes; e que pelos pontos de divisão correspondentes se façam passar outros tantos planos parallelos huns aos outros, estes planos dividiráõ o parallelepipedo proposto em outros quatro parallelepipedos, que cada hum terá hum palmo de profundidade, e que todos serão iguaes, e semelhantes. Ora a inspecção sómente da figura dá a conhecer que o primeiro destes parallelepipedos contém 30 palmos cubicos, pois que a sua face exterior ABCD contém 30 palmos quadrados. Logo o sólido total ABCDEFGH conterá 4 vezes 30, ou 120 palmos cubicos.

IV.

EST. XI.

Não nos demoramos a explicar os differentes modos, de que na prática se póde usar para se construirem os parallelepipedos, porque estes tão faceis são de achar, que não ha alguem a quem não possam occorrer. Porém daremos o seguinte modo de formar o parallelepipedo, que de todos he o mais util, que se póde considerar.

Os parallelepipedos são produzidos por hum rectangulo, que se move parallelamente a si mesmo.

Imaginando-se que hum quadrado, ou rectangulo ABGH se move parallelamente a si mesmo, de sorte que os seus quatro angulos A, B, G, H passem cada hum por huma das quatro linhas AD, BC, GF, HE, perpendiculares ao plano do rectangulo ABGH, se verá que este rectangulo pelo movimento, que temos descripto, formará o parallelepipedo ABCDEFGH.

V.

A linha perpendicular a hum plano he aquella, que não pende para alguma parte deste plano.

O mesmo he de hum plano perpendicular a outro plano.

EST. XI.

He quasi inutil o advertir, que por huma linha perpendicular a hum plano entendemos huma linha, que não pende para alguma parte sobre este plano; e da mesma sorte, que hum plano, que não pende mais para huma parte do que para a outra sobre outro plano, se diz ser perpendicular a este segundo plano; estas duas definições são analogas áquella, que démos de huma linha perpendicular a outra linha.

VI.

A linha, que he perpendicular a hum plano, he perpendicular a todas as linhas deste plano, que partem do ponto, em que esta linha cahe.

Ora disto se segue, que a linha AB, (Fig. 4.) que he perpendicular ao plano X, deve ser perpendicular a todas as linhas AC, AD, AE, &c. que partem da extremidade A desta linha, e que estam no mesmo plano. Porque he evidente, que se ella pendesse sobre alguma destas linhas, estaria inclinada para alguma parte do plano. Logo ella lhe não seria perpendicular.

VII.

EST. XI.

Para se representar de hum modo bem sensivel, o como a linha AB póde ser perpendicular a todas as linhas, que partem da sua extremidade A, não haverá mais do que fazer huma figura em relevo da maneira seguinte.

EST. XI.

Construa-se de qualquer materia, que seja bem igual, e facil de dobrar, como papel grosso, hum rectangulo FGDE, (Fig. 5.) repartido em duas partes iguaes pela recta AB, perpendicular aos lados ED, FG; dobre-se depois este rectangulo, de sorte que a préga fique na linha AB, e assim dobrado se transporte sobre o plano X. He evidente, que qualquer que seja a abertura, que se der ás duas partes FBAE, GBAD do rectangulo dobrado EADGBF, estas duas partes ficarão sempre applicadas, sobre o plano X, sem que a linha AB mude de posição, respectivamente a este plano. Logo esta recta AB será perpendicular a todas as linhas, que partem do seu pé postas no plano X, pois que os lados AE, AD do rectangulo dobrado, se applicaráõ successivamente sobre cada huma destas linhas pelo movimento, que temos dito.

VIII.

Prática simples para levantar, ou abaixar perpendiculares aos planos.

Da construcção precedente se tira huma prática muito commoda para elevar de hum ponto dado em hum plano huma linha perpendicular a este plano; ou para abaixar de hum ponto dado fóra do plano huma linha, que seja perpendicular a este plano. Porque sendo, por exemplo, o ponto proposto no plano em A, (Fig. 7.) ou seja fóra delle, como em H, se poderá sempre mover o rectangulo EFBGDA sobre o plano X, até que a préga B toque no ponto dado; e AB virá a ser neste caso a perpendicular pedida.

IX.

Huma linha será perpendicular a hum plano, se ella for perpendicular a duas linhas deste plano, que partem do ponto, onde ella cahe.

EST. XI.

Do que tambem se segue, que huma linha AB será perpendicular a hum plano X, todas as vezes que ella for perpendicular a duas linhas AE, e AD deste plano. Porque então AB poderá ser considerada como a dobra de hum rectangulo, do qual se applicasse hum dos lados da dobra sobre AE, e o outro sobre AD. Ora esta dobra não poderia deixar de ser perpendicular a este plano X.

X.

Maneira de levantar hum plano perpendicular a outro.

Querendo-se levantar sobre huma linha, qualquer que seja KL, hum plano perpendicular ao plano X, no qual esteja esta linha, poderá servir para isto o rectangulo dobrado GBFEAD; porque não será preciso mais, do que pôr sobre a linha KL o lado AD de huma das partes ADGB deste rectangulo dobrado, e o plano desta parte ADGB será aquelle, que se pedia.

XI.

EST. XI.

Facilmente se verá, que pondo-se o terceiro plano Y (Fig. 8.) sobre os dous lados FB, e BG do mesmo rectangulo dobrado, este plano Y será tambem perpendicular á linha AB, e por consequencia parallelo ao plano X.

Para se pór hum plano parallelo a outro.

Logo se em hum plano X se levantarem tres perpendiculares EF, AB, DG de igual comprimento, não as pondo em linha recta, o plano Y, que passará pelos tres pontos F, B, G, será parallelo ao plano X.

XII.

EST. IX.

Quando dous planos não estiverem parallelos, será facil de saber o angulo, que elles entre si fazem, servindo-se do nosso rectangulo dobrado. Para isto se conseguir, se applicará huma das duas partes ABGD (Figura 9.) deste rectangulo sobre o plano X; he evidente que o angulo EAD, ou o seu igual FBG, medirá a inclinação, que o plano EABF tiver sobre o plano DABG. Ora notando-se que AB he a secção commua destes planos, e que EA, e AD são cada huma perpendiculares á linha AB, se tirará facilmente a regra seguinte.

Medir a inclinação de hum plano sobre outro.

Dados dous planos, que não são parallelos, he preciso primeiramente buscar a linha recta da sua secção commua; depois de qualquer ponto della linha se lhe tirem duas perpendiculares, que cada huma esteja em hum destes planos; e o angulo, que ellas entre si formarem, medirá o angulo, que os dous planos dados fizerem entre si.

XIII.

Medir a inclinação, que huma linha tem, sobre hum plano.

EST. XI.

Como facilmente se percebe que em quanto ABFE faz o seu movimento á roda da dobra AB, a recta AE, cuja extremidade E descreve hum arco de circulo ED, nunca sahe do plano EAHD, perpendicular ao plano X; e que a inclinação de huma recta, qualquer, EA sobre o plano X, não he outra cousa senão o angulo EAD, tambem muito facilmente se descobre, que a inclinação de huma recta, qualquer, EA sobre o plano X, se mede pelo angulo EAH feito entre esta linha, e a linha AD, que passa por A, e pelo ponto H do plano X, onde cahe a perpendicular EH, abaixada sobre este plano, de qualquer ponto E da recta AE.

XIV.

A inspecção sómente da figura, de que nos servimos no Artigo precedente, faz lembrar hum novo modo de abaixar de hum ponto E, (Figura 9.) fóra do plano X, huma linha EH, perpendicular a este plano.

Nova maneira de abaixar huma linha perpendicular a hum plano dado.

EST. XI.

Tendo-se tirado no plano X huma linha qualquer que seja BAS, se abaixará do ponto E a perpendicular EA a esta linha. Isto feito, do ponto A, onde esta linha perpendicular cahe, se levantará no plano X a recta AD, perpendicular a AB; e abaixando depois do ponto dado E, sobre a recta AD a perpendicular EH, esta linha será a perpendicular ao plano X.

XV.

Segunda maneira de levantar huma linha perpendicular a hum plano dado.

Daqui se tira outro modo de levantar sobre hum plano X huma perpendicular MN, de hum ponto M dado sobre este plano.

Tendo-se abaixado de qualquer ponto E, tomado fóra do plano X, (Fig. 9.) a perpendicular EH, a este plano, se tirará pelo ponto dado M a recta MN, que seja parallela a HE, e esta será a perpendicular ao plano X.

XVI.

O prisma recto he huma figura sólida, que tem por bases dous polygonos iguaes, e as outras faces são rectangulares.

EST. XI.

Depois do parallelepipedo, o sólido mais simples he o prisma recto, que he huma figura ABCDEFGHIKLM, (Figura 10.) cujas duas bases oppostas, e parallelas são dous polygonos iguaes, de tal sorte situados, que os lados GF, FE, &c. de hum são parallelos aos lados BC, CD, &c. do outro, e cujas faces são os rectangulos ABGH, BGFC, &c.

XVII.

Formação dos prismas rectos.

Os Geometras suppõem estas figuras formadas, assim como os parallelepipedos, por huma base ABCDLM, que se move parallelamente a si mesma, de sorte que os seus angulos A, B, &c. seguem as linhas perpendiculares ao plano da sua base.

VIII.

Para distinção das differentes especies de prismas rectos, se lhes ajunta o nome do polygono, que lhes serve de base. Por exemplo, o prisma exagonal he aquelle, que tem por base hum exagono.

XIX.

Dous prismas, que tem as suas bases iguaes, estam na mesma razão das suas alturas.

EST. XI.

Para se achar o modo de medir toda a sorte de prismas rectos, se observe primeiramente, que de dous prismas rectos, cujas bases forem iguaes, aquelle, que tiver maior altura, será maior em solidez, na mesma razão que a sua altura for maior.

XX.

Dous prismas, que tem a mesma altura, estam na mesma razão das suas bases.

Note-se depois, que dous prismas rectos, que tiverem a mesma altura, porém que hum tenha huma base, que contenha hum certo numero de vezes a base do outro, estarão entre si na mesma razão das suas bases. A verdade desta proposição facilmente se percebe, reflectindo-se na formação dos prismas explicada no Artigo XVII.

EST. XI.

Sejam a b c d e f g h i k l m, (Fig. 10. e 11.) ABCDEFGHIKLM dous prismas, que tem a mesma altura, e que a base a b c d l m do mais pequeno seja, por exemplo, hum quarto da base ABCDLM. Como os dous prismas são produzidos pelos movimentos das suas bases, segue-se que hum plano, qualquer que seja, que for parallelo ao plano, em que estam as duas bases, cortará nos dous prismas dous polygonos, cada hum dos quaes será igual á base do prisma, donde for cortado; isto he, que a secção do maior prisma será sempre quadrupla da do menor. Logo o prisma ABCDEFGHIKLM se poderá considerar como composto de porções todas quadruplas das do prisma a b c d e f g h i k l m, e por consequencia a solidez do primeiro prisma será quadrupla da do segundo.

XXI.

Depois destas duas observações, não será difficil o formar a regra seguinte para se medirem todos os prismas rectos.

A medida do prisma recto he o producto da sua base pela sua altura.

EST. XI.

Primeiramente se medirá por palmos quadrados, ou por pollegadas quadradas, &c. a área da base do prisma proposto; depois se multiplicará o numero, que se tiver achado, pelo numero de palmos, ou de pollegadas, &c. que contiver a altura do prisma, e o seu producto dará o numero de palmos, ou de pollegadas cubicas, &c. que o prisma proposto contiver, e este numero será por consequencia a sua medida.

XXII.

Os prismas obliquos differem dos prismas rectos, em que as faces destes são compostas de rectangulos, e as daquelles de parallelogramos.

Tambem se dá o nome de prisma aos sólidos, (Fig. 13.) que tem duas bases polygonas iguaes, como as precedentes, e cujas faces são parallelogramos, em lugar de serem rectangulos. Estes novos prismas para se distinguirem daquelles, de que fallamos, se chamam prismas obliquos, em contraposição aos outros, que se chamáram prismas rectos.

XXIII.

Formação dos prismas obliquos.

EST. XI.

Entende-se por prismas obliquos aquelles, que são formados por huma base a b c k i, que se move parallelamente a si mesma; e de tal sorte, que os seus angulos seguem as linhas parallelas a g, b h, c d, &c. que se elevam fóra do plano da base, mas que lhe não são perpendiculares.

XXIV.

A analogía, que ha entre a formação deste prisma, e a dos prismas rectos, dos quaes temos fallado, (Art. XVII.) nos dá facilmente a medida da solidez dos prismas obliquos; porque se imaginarmos que ao pé de hum prisma obliquo a b c d e f g h i k (Fig. 12. e 13.) esteja hum prisma recto ABCDEFGHIK, que tenha a mesma base, e que estes dous prismas estejam comprehendidos entre duas parallelas, se verá que a solidez destes dous corpos será absolutamente a mesma.

EST. XI.

Porque se por hum ponto, qualquer que seja P da altura, se fizer passar hum plano parallelo á base, as secções NOPQR, n o p q r, que este plano formar em cada hum destes dous prismas, se poderão considerar, como se as bases iguaes ABCKI, a b c k i chegassem a NOPQR, n o p q r, pelo movimento que fizessem estes dous prismas; e assim estas duas secções seriam polygonos iguaes.

Ora se todos os córtes imaginaveis, que nestes dous prismas se podem formar, cortados pelos mesmos planos, são iguaes, segue-se que a somma destas porções, isto he, dos prismas, he igual tambem.

Os prismas obliquos são iguaes aos prismas rectos, quando elles tem as mesmas bases, e as mesmas alturas.

Exprime-se ordinariamente esta proposição deste modo: Os prismas obliquos são iguaes aos prismas rectos, quando elles tem as mesmas bases, e as mesmas alturas. A altura do prisma he a perpendicular abaixada do plano superior sobre o inferior, ou sobre o seu prolongamento.

XXV.

EST. XI.

O mesmo he dos parallelepipedos obliquos, a respeito dos parallelepipedos rectos.

EST. XII.

Como os parallelepipedos devem entrar no numero dos prismas, o que acabamos de dizer ácerca dos prismas se entenderá tambem dos parallelepipedos obliquos, isto he, das figuras a b c d e f g h, (Estampa XII. Fig. 1. e 2.) produzidas pelo movimento de hum quadrado, de hum rectangulo, e ainda de hum parallelogrammo, de sorte que os seus quatro angulos sigam as linhas parallelas, que se elevam obliquamente da sua base. Assim o parallelepipedo obliquo a b c d e f g h será igual ao parallelepipedo recto ABCDEFGH, se a base a b g h for a mesma, ou tiver a mesma superficie, que tiver a base ABGH; e se a perpendicular abaixada do plano d c f e sobre o plano a b g h for igual á perpendicular abaixada do plano DCFE sobre o plano ABGH.

XXVI.

EST. XII.

Tendo-se visto o que respeita aos parallelepipedos, e aos prismas, examinemos agora as pyramides, isto he, os corpos taes, como ABCDEFG, (Fig. 3.) comprehendidos em hum certo numero de triangulos, que partindo todos do mesmo vertice A, se terminam em huma base polygona, qualquer que seja BCDEFG. He necessario considerar esta sorte de sólidos não sómente pelos haver nos edificios, e em outras obras, que ha para construir, mas tambem por que todos os sólidos terminados por planos, são ajuntamentos de pyramides, assim como as figuras rectilineas são ajuntamentos de triangulos. Para nos certificarmos disto, não he preciso mais do que tirar linhas de hum ponto tomado á vontade, no interior do corpo proposto, a todos os angulos delle.

XXVII.

EST. XII.

Distinguem-se tambem as pyramides humas das outras, assim como os prismas, pelo nome da figura, que lhes serve de base.

XXVIII.

Quando a pyramide tem por base huma figura regular, e que o seu vertice corresponde perpendicularmente ao centro H da sua base, como na Figura 3. chama-se então pyramide recta; e ao contrario se chama pyramide obliqua, quando o seu vertice não está perpendicularmente por sima do seu centro, como na Figura 5.

XXIX.

EST. XII.

Para descubrir a maneira de se medir toda a sorte de pyramides, tanto rectas, como obliquas, principiaremos, fazendo sobre estas figuras algumas reflexões geraes, que se nos offerecem pelo conhecimento das propriedades dos prismas.

Quando se faz reflexão na igualdade dos prismas, que tem a mesma base, e a mesma altura, he natural o lembrar-nos, que os parallelogrammos são iguaes entre si, quando elles tem estas mesmas condições, e que o mesmo he tambem dos triangulos. Estas tres verdades apresentando-se de huma vez ao espirito, a analogía nos deve conduzir a crer, que as propriedades, que são commuas aos parallelogrammos, e aos triangulos, o podem tambem ser aos prismas, e ás pyramides; deve-se pois suspeitar que as pyramides, que tem a mesma base, e a mesma altura, tem tambem a mesma solidez.

XXX.

As reflexões seguintes confirmaráõ o que suspeitamos.

EST. XII.

Sejam ABCDE, a b c d e (Fig. 4. e 5.) duas pyramides, cujas alturas AH, a h sejam as mesmas, e as suas bases duas figuras iguaes BCDE, b c d e; imaginando pois que estas duas pyramides sejam cortadas por huma infinidade de planos parallelos ás suas bases, facilmente se comprehenderá que as porções cortadas destas duas pyramides darão os quadrados iguaes IKLM, i k l m; e por consequencia, que as duas pyramides podem ser consideradas como ajuntamentos de hum mesmo numero de porções cortadas, que serão iguaes, cada huma á sua correspondente. Logo disto se deve concluir, que a somma das porções cortadas será igual de huma, e outra parte, isto he, que as duas pyramides serão iguaes em solidez.

EST. XII.

Se as bases das duas pyramides fossem outros polygonos regulares, ou irregulares BCDEF, b c d e f (Fig. 6. e 7.) iguaes entre si, ninguem deixaria tambem de entender, que todas as porções cortadas IKLMN, i k l m n de huma, e outra parte das duas pyramides, seriam iguaes entre si; e por consequencia concluir disto, que as pyramides teriam sempre a mesma solidez, quando ellas tivessem a mesma base, e a mesma altura.

XXXI.

Tudo isto he facil de imaginar, depois da demonstração, que démos da igualdade dos prismas, que tem a mesma altura; com tudo a semelhança, que ha entre qualquer córte IKLMN de huma pyramide, e a sua base BCDEF, e a igualdade dos córtes IKLMN, e i k l m n, entra no numero daquellas proposições, que ainda que intelligiveis para todos, tem em rigor necessidade de huma demonstração. Ora para esta se achar, somos obrigados a entrar em varias considerações sobre a semelhança das figuras sólidas.

XXXII.

EST. XII.

Em que consiste a semelhança de duas figuras.

Tornemos á pyramide ABCDEF, (Fig. 6. e 7.) e supponhamos que esta seja cortada por hum plano IKLMN, parallelo á sua base; vamos a demonstrar que a secção, ou córte formado por este plano na pyramide, he hum polygono perfeitamente semelhante ao polygono BCDEF; e que a pyramide AIKLMN he em si mesma inteiramente semelhante á pyramide ABCDEF; isto he, que os angulos, que todas as linhas destas duas figuras formam, são respectivamente iguaes; e que todos os lados da pyramide pequena tem entre si a mesma razão, que tem os lados da grande.

XXXIII.

EST. XII.

Principiemos observando, que se dous planos X, e Y (Figura 8.) são parallelos, e que se duas linhas quaesquer ALD, AME, partindo de hum mesmo ponto A, atravessam estes dous planos, as rectas LM, e DE, que encontram os pontos L, M, D, E, serão parallelas. A razão disto he, que se estas duas linhas não fossem parallelas, se encontrariam, sendo produzidas em alguma parte; mas se produzindo-as se encontrassem, os planos, em que ellas se acham, e donde não podem sahir, sendo tambem produzidos, quanto fosse necessario, da mesma sorte se encontrariam. Logo elles não seriam parallelos, como se suppunha.

XXXIV.

EST. XII.

Suppondo-se pois que o plano IKLMN (Fig. 6.) seja parallelo ao plano BCDEF, disto se seguirá que todas as linhas ML, LK, KI, IN, NM serão parallelas ás linhas ED, DC, CB, BF, FE; e por consequencia os triangulos ALM, AKL, AIK, &c. serão semelhantes aos triangulos ADE, ACD, ABC, &c. Tomando hum dos lados destes triangulos, AM por exemplo, por medida commua, ou petipé de todos os lados da pyramide pequena, ao mesmo tempo que o lado correspondente AE servir de medida aos lados da grande, facilmente se verá que os lados ML, LK, KI, &c. do polygono IKLMN serão proporcionaes aos lados ED, DC, CB, &c. do polygono BCDEF.

Tambem será facil o comprehender, que todos os angulos IKL, KLM, &c. serão respectivamente iguaes aos angulos BCD, CDE, pois que os primeiros serão formados por linhas parallelas aos lados dos segundos. Logo estes dous polygonos IKLMN, BCDEF serão semelhantes.

XXXV.

EST. XII.

Ora sendo os lados AM, AL, AK, &c. proporcionaes aos lados AE, AD, AC, &c. e os angulos ALM, ALK, &c. respectivamente iguaes aos angulos ADE, ADC, &c. por causa da semelhança dos triangulos ALM, ADE, ALK, ADC, &c. as duas pyramides AIKLMN, ABCDEF serão inteiramente semelhantes.

XXXVI.

Finalmente, se do ponto A se tirar AH, perpendicular ao plano, em que esta construido o polygono BCDEF, e que Q seja o ponto, onde se encontre esta perpendicular com o plano do polygono IKLMN, he evidente que as rectas AQ, AH, alturas das duas pyramides AIKLMN, ABCDEF, estarão entre si na mesma razão dos seus lados homologos AM, AE; AL, AD, &c. ou, o que vem a ser o mesmo tomando-se as alturas AQ, AH por petipés das duas pyramides, os lados AM, AL, &c. conterão tantas partes de AQ, quantas partes de AH contiverem os lados AE, AD, &c.

XXXVII.

EST. XII.

Tornemos agora a considerar ao mesmo tempo as duas pyramides ABCDEF, (Fig. 6. e 7.) a b c d e f, e ver-se-ha que os dous córtes IKLMN, i k l m n, sendo semelhantes ás bases BCDEF, b c d e f, que são as mesmas, serão entre si semelhantes. Demais se verá, que estes dous córtes serão entre si iguaes, pois que os petipés destas duas figuras são as rectas iguaes AQ, a q, alturas das pyramides AIKLMN, a i k l m n.

As pyramides, que tem a mesma base, e a mesma altura, são iguaes.

Logo, sem se saber qual he a solidez das pyramides, se sabe já com certeza, que se ellas tem a mesma altura, e a mesma base, são iguaes, como nós o tinhamos suspeitado. (Art. XXIX.)

XXXVIII.

Duas pyramides são tambem iguaes, se, tendo a mesma altura, as suas bases, sem que sejam polygonos semelhantes, são iguaes em superficie.

EST. XII.

Se as bases das duas pyramides em lugar de serem as mesmas, fossem sómente iguaes em superficie, as pyramides serião tambem iguaes em solidez; porque sejam a b c d e f, e a r s t (Fig. 7. e 9.) duas pyramides, que tenham a mesma altura a h; cortando-se estas duas pyramides por qualquer plano parallelo á base, he evidente que haverá a mesma razão entre a área i k l m n, e a área b c d e f, que houver entre a área u x y, e a área r s t; pois que i k l m n, b c d e f, sendo (Art. XXXIV.) figuras semelhantes, não differem (Part. I. Artigo XLVIII.) senão pelos seus petipés a q, a h, &c. e as figuras u x y, r s t, sendo tambem semelhantes, da mesma sorte não differem senão pelos seus petipés, que são tambem as linhas a q, a h.

EST. XII.

Porém se as bases r s t, b c d e f são iguaes em superficie, as suas partes proporcionaes u x y, i k l m n serão tambem iguaes. Logo todas as porções cortadas das duas pyramides a r s t, a b c d e f terão a mesma extensão. Logo a somma dellas, isto he, as mesmas pyramides, serão iguaes em solidez.

XXXIX.

As pyramides, que tem a mesma altura, estam entre si como as suas bases.

Se a base b c d e f da primeira pyramide contivesse a base r s t hum certo numero de vezes, a solidez da primeira pyramide a b c d e f conteria o mesmo numero de vezes a solidez da segunda a r s t.

Porque neste caso a base b c d e f, sendo dividida em varias partes, cada huma das quaes fosse igual á base r s t, se poderia conceber ser a pyramide a b c d e f composta de varias outras pyramides, que tivessem por bases as partes de b c d e f. Ora cada huma destas novas pyramides seria igual á segunda pyramide a r s t, segundo o provámos no Artigo precedente. Logo, &c.

EST. XII.

Que se a base r s t não fosse exactamente contida na base b c d e f, mas sim estas duas bases tivessem huma medida commua X, se dividiria cada huma das duas bases b c d e f, r s t em partes iguaes X, e se veria que as duas pyramides a b c d e f, a r s t seriam compostas de tantas novas pyramides, todas entre si iguaes, quantas as duas bases contivessem de partes X. Logo as pyramides a b c d e f, a r s t seriam entre si como as suas bases.

E se as bases fossem incommensuraveis, se mostraria sempre que não obstante isto, as pyramides estariam entre si na mesma razão das suas bases, servindo-nos de huma inducção semelhante áquella, de que usámos em caso semelhante, (Part. II. Art. XXVIII.) quando se tratou de comparar as figuras, cujos lados eram incommensuraveis; isto he, que se diminuiria ao infinito a medida X, de modo que ella pudesse ser julgada por medida commua, tanto da base r s t, como da base b c d e f.

XL.

EST. XII.

Tendo-se descuberto que as pyramides, que tem a mesma altura, estam na mesma razão das suas bases, se deve reconhecer que a medida da solidez dellas inclue em si pouquissima difficuldade.

Porque não se trata mais do que de saber medir huma só pyramide para se saberem medir todas as mais. Supponhamos, por exemplo, que sabemos medir a pyramide ABCDE, (Fig. 10. e 11.) e que se nos pede a medida da pyramide ASTVXY, que não tem a mesma altura, nem a mesma base da primeira: principiaremos, fazendo huma pyramide semelhante á pyramide ABCDE, e que tenha a altura da pyramide ASTVXY, o que será muito facil; porque bastará (Art. XXXV.) prolongarem-se os lados AB, AC, AD, AE, e cortallos pelo plano LMNO, cuja distancia AG do vertice A seja igual á altura AO.

EST. XII.

Isto feito, pois que por supposição sabemos medir a pyramide ABCDE, he evidente que tambem saberemos medir a pyramide ALMNO, que lhe he semelhante; porque quaesquer que sejam as operações, pelas quaes se medir a pyramide ABCDE, as mesmas se poderão sempre fazer para se medir a pyramide semelhante ALMNO, excepto que nesta se usará de hum petipé differente.

Supponhamos pois que a pyramide ALMNO esteja medida; a sua medida determinará tambem a da pyramide proposta ASTVXY, porque pelo Artigo precedente estas duas pyramides estam entre si como as suas bases LMNO, STVXY; e demais nós ensinámos na segunda Parte a achar a razão, que ha entre estas duas bases.

XLI.

EST. XII.

Pois que não se trata senão de medir huma só pyramide para saber medir todas as que se podem imaginar, proponhamo-nos huma dellas extremamente simples, que se póde formar, tirando dos quatro angulos A, B, C, H (Fig. 12.) de huma das faces de hum cubo ABCDEFGH quatro linhas ao ponto O, centro deste cubo; isto he, ao ponto igualmente distante de A, D, B, E, &c.

EST. XII.

Facilmente se comprehende que esta pyramide he a sexta parte do cubo, pois que este se póde desfazer em seis pyramides iguaes, tomando cada face por base. Ora o valor do cubo he o producto da altura AF pela base ABCH. Logo para se ter o valor da pyramide, he necessario repartir o producto de AF por ABCH em seis partes iguaes; ou, que he o mesmo, será preciso multiplicar a sexta parte da altura AF pela base ABCH; e como a sexta parte da altura AF he o terço da altura OL da pyramide OABCH, pois que a sua altura OL he a metade do lado do cubo, segue-se que a medida da pyramide OABCH he o producto do terço da sua altura pela sua base.

XLII.

EST. XII.

A solidez de qualquer pyramide, he o producto da sua base pelo terço da sua altura.

Agora supponhamos que haja para medir huma pyramide, qualquer que ella seja, OKMNSTV; (Figura 13.) imaginemos hum cubo, cujo lado AB, (Figura 12. e 13.) ou AF, tenha dobrada altura de OL da pyramide proposta; e imagine-se neste cubo huma pyramide OABCH, a ponta da qual esteja no centro, e que tenha por base huma das faces ABCH do cubo. Esta nova pyramide terá a mesma altura da primeira; e por consequencia (Art. XXXIX.) a solidez de OABCH será para a de OKMNSTV, como a base ABCH para a base KMNSTV. Ora pelo Artigo precedente o producto do terço da altura commua OL pela base ABCH he o valor da pyramide OABCH. Logo o producto do terço da mesma altura commua OL pela base KMNSTV, será o valor da pyramide proposta OKMNSTV.

E com isto se descobre este theorema geral, que huma pyramide tem por medida o producto da sua base pelo terço da sua altura.

XLIII.

A pyramide he o terço do prisma, que tem a mesma base, e a mesma altura.

Como temos visto (Art. XXI.) que a solidez de hum prisma he o producto da sua base pela sua altura, claro está pelo Artigo precedente que as pyramides serão sempre a terça parte dos prismas, que tiverem a mesma base, e a mesma altura.

XLIV.

EST. XII.

Depois de termos medido todos os sólidos terminados por planos, vamos agora a procurar o caminho, que se poderá ter seguido para se medirem os sólidos, que tem as suas superficies curvas. E como na terceira Parte não tratámos senão das figuras, cujos contornos não contém outras curvas, senão as do circulo, aqui tambem não examinaremos senão os corpos, cujas curvidades são circulares.

Teremos dous objectos no exame destes corpos, a medição das suas superficies, e a dos seus sólidos; porque sendo estas superficies ou inteiramente curvas, ou parte planas, e parte curvas, não podemos remetter-nos para a sua medição á primeira Parte, como fizemos para os corpos terminados por planos.

XLV.

EST. XIII.

O cylindro he hum sólido terminando por duas bases oppostas, e parallelas, que são circulos iguaes, e por hum plano curvado á roda das suas circumferencias.

EST. XIII.

O mais simples de todos os sólidos curvos he o cylindro; he este hum corpo como ABCDEF, (Estampa XIII. Fig. 1.) as duas bases do qual ABC, DEF são dous circulos iguaes, e parallelos unidos por huma superficie curva, que se póde imaginar ser formada por hum plano cingido á roda das suas circumferencias.

Distinguem-se em cylindro recto, e em cylindro obliquo.

Quando os dous circulos estam situado de modo, que o centro G do primeiro corresponde perpendicularmente sobre o centro H do segundo, o cylindro então se chama recto.

Pelo contrario o cylindro se chama obliquo, quando a linha tirada pelos dous centros G, e H (Fig. 2.) he obliqua a respeito dos planos ABC, DEF.

XLVI.

Formação do cylindro.

A formação geometrica destes sólidos, analoga áquellas dos prismas, e dos parallelepipedos, dos quaes fallámos (Art. XVII.) consiste em fazer mover hum circulo parallelamente a si mesmo, de sorte que todos os seus pontos descrevam linhas rectas parallelas, que se elevam fóra do plano deste circulo.

XLVII.

EST. XIII.

O modo de medir a superficie de hum cylindro recto, o que he muitas vezes necessario na prática, achar-se-ha na maneira seguinte.

EST. XIII.

Tendo-se repartido as duas circumferencias ABC, (Fig. 1.) DEF, cada huma em igual numero de partes, correspondendo os pontos de divisão perpendicularmente huns por sima dos outros, se tirem as linhas rectas, que unão os angulos correspondentes dos dous polygonos regulares, que se formam por esta operação. He evidente que então se terá hum prisma, cuja superficie será composta de tantos rectangulos comprehendidos na superficie do cylindro, quantos forem os lados comprehendidos em cada huma das circumferencias ABC, DEF. Ora tendo todos estes rectangulos cada hum a sua altura igual a AD, a sua medida total será o producto da altura AD, pela somma de todas as bases, isto he, pelo contorno do polygono comprehendido, ou inscripto no circulo DEF, ou ABC.

A superficie curva de hum cylindro recto, he igual a hum rectangulo, que tem a mesma altura, e que a sua base he igual á circumferencia.

Mas como á medida que o numero de lados deste polygono for maior, o contorno do polygono se avizinhará cada vez mais a ser igual á circumferencia, e a superficie do prisma a ser igual á do cylindro, segue-se que imaginando-se ser infinito o numero dos lados do polygono, em nada differirá o prisma do cylindro. Logo a superficie curva do cylindro recto, he igual a hum rectangulo, cuja altura seria AD, e a sua base huma linha recta igual á circumferencia DEF.

Esta proposição póde servir para se saber, por exemplo, quanto seria preciso de seda para cubrir hum pilar cylindrico, ou para tapeçar o interior de huma Torre redonda.

XLVIII.

EST. XIII.

Quanto á superficie do cylindro obliquo, não se póde esta medir da mesma maneira, porque em lugar de rectangulos se teriam parallelogramos de alturas differentes. Sómente por methodos muito complicados, e muito difficeis se chegou a saber pouco mais, ou menos o valor desta superficie; e os problemas deste genero não competem a elementos.

XLIX.

Os cylindros, que tem a mesma base, e a mesma altura, são iguaes em solidez.

A solidez dos cylindros, sejam rectos, ou obliquos, he cousa muito facil de achar; porque he evidente, que tudo o que temos dito dos prismas, será applicavel aos cylindros, figurando-se serem os cylindros como os ultimos dos prismas, que se lhes possam inscrever.

Assim os cylindros, que tiverem a mesma base, e a mesma altura, serão iguaes em solidez.

L.

EST. XIII.

A medida de qualquer cylindro he o producto da sua base pela sua altura.

E a medida do cylindro, qualquer, consistirá no producto da sua base pela sua altura.

LI.

A pyramide cónica he hum sólido, que tem por base hum circulo.

A pyramide cónica he o sólido curvo mais simples depois do cylindro; sendo huma figura como ABCDE, (Fig. 3. e 4.) cuja base he hum circulo, e cuja superficie he composta de huma infinidade de linhas rectas, que concorrem todas da circumferencia BCDE ao vertice A. Póde-se considerar este sólido como huma pyramide, que tem por base hum circulo.

LII.

Distinguem-se em pyramide cónica recta, e em pyramide cónica obliqua.

EST. XIII.

Se a ponta, ou vertice A da pyramide cónica corresponde perpendicularmente por sima do centro O da sua base, como na Figura 3. a pyramide cónica se chama recta; e se o vertice corresponde a hum ponto differente do centro da base, como na Figura 4. se chama obliqua.

LIII.

Mede-se a superficie da pyramide cónica recta, multiplicando a metade do seu lado pela circumferencia da sua base.

EST. XIII.

Para se medir a superficie de huma pyramide cónica recta ABCDE, (Fig. 3.) se deve esta imaginar, como se fosse a ultima das pyramides, que se lhe possa inscrever, isto he, que se dividirá a circumferencia da sua base BCDE, como se fez á circumferencia do cylindro em huma infinidade de pequenos lados; e tirando linhas de todos os angulos ao vertice A da pyramide cónica, se achará que a superficie da pyramide cónica he hum ajuntamento de huma infinidade de pequenos triangulos isosceles, a altura dos quaes he igual ao lado AB da pyramide cónica, sendo todas as bases dos mesmos triangulos tomadas juntamente, iguaes á circumferencia BCDE; do que he facil de ver, que a medida desta superficie se achará, multiplicando a metade de AB pela circumferencia BCDE.

LIV.

A superficie curva de huma pyramide cónica he hum sector de circulo.

Se agora nos lembrarmos de que a superficie de hum sector deste circulo he (Part. III. Art. X.) igual ao producto do arco deste sector por a metade do seu radio, se verá que para cubrir a pyramide cónica recta ABCDE com huma superficie flexivel, como papel grosso, &c. seria necessario tomar hum sector de circulo, o radio do qual fosse igual a AB, e o arco igual á circumferencia BCDE.

LV.

EST. XIII.

Quando a pyramide cónica he obliqua, a medida da sua superficie, assim como a do cylindro obliquo, he muito difficil de se saber, ainda que não seja mais que por approximação, e tambem he hum problema fóra dos limites dos Elementos.

LVI.

Quanto á solidez das pyramides cónicas, sejam ellas rectas, ou obliquas, serão consideradas como a ultima das pyramides polygonas, que se lhes possa inscrever, e por consequencia se lhes poderá applicar o que das pyramides se disse em geral.

As pyramides cónicas, que tem a mesma base, e a mesma altura, são iguaes.

Assim as pyramides cónicas, que tiverem a mesma base, e a mesma altura, serão iguaes.

LVII.

A sua medida he o producto da sua base pelo terço da sua altura.

E a solidez de huma pyramide cónica, qualquer que seja, será o producto da sua base pelo terço da sua altura.

LVIII.

EST. XIII.

He muitas vezes necessario medir hum corpo tal como BCDEFGH, (Fig. 5. e 6.) a que chamam pyramide cónica troncada, que he a parte, que fica de huma pyramide cónica AFGH, tendo-se-lhe cortado outra pyramide cónica mais pequena ABCDE por huma secção parallela á base FGH. He evidente que a medida deste sólido será a differença que houver entre as duas pyramides cónicas ABCDE, AFGH.

LIX.

Quanto á superficie de huma pyramide cónica troncada, se ella for formada pela secção de huma pyramide cónica recta, póde-se achar cousa, que seja mais simples do que he medirem-se separadamente as superficies das duas pyramides cónicas, e diminuir-se huma da outra, para o que se usará do methodo seguinte, que he facil de imaginar, depois do que dissemos no Artigo LIV.

EST. XIII.

Maneira de medir a superficie de huma pyramide cónica troncada.

EST. XIII.

Supponhamos que ALR (Fig. 6. e 7.) seja o sector, que seria necessario se construisse para cubrir a pyramide cónica AFGH; descrevendo pois do centro A, com o intervallo AM igual a AB, hum arco MP, claro está que o espaço MPRL será huma porção de coroa propria para com ella se cubrir a superficie procurada da pyramide cónica troncada. Ora imaginando-se que as duas circumferencias, das quaes MP, e LR são os seus arcos semelhantes, estejam completas, se terá huma coroa inteira, que terá por medida (Part. III. Art. VIII.) o produto de ML, igual a BF por huma circumferencia, da qual seja radio AN, supposto estar N no meio de ML. Logo a porção de coroa MPLR, ou a superficie da pyramide cónica troncada BCDEFGH, que lhe he igual, se medirá, multiplicando ML pelo arco NQ; ou, que vem a ser o mesmo, multiplicando BF pela circumferencia IKL, que nos dará a secção do sólido proposto por hum plano parallelo á base, e que passa pelo meio I do lado BF.

LX.

A esfera he hum corpo, cuja superficie tem todos os seus pontos igualmente distantes do centro.

O ultimo dos corpos sólidos, de que trataremos, se chama Esfera, ou Globo, que he aquelle, cuja superficie tem todos os seus pontos igualmente distantes de hum mesmo ponto, que he o centro della. Ha muitas vezes necessidade de se medir esta superficie; querer-se-ha saber, por exemplo, quanto será preciso de ouro para se dourar huma bola, quantas planchas de chumbo se tomaráõ para cubrir huma cupula, &c.

LXI.

Seja X (Fig. 8.) a esfera, da qual se queira medir a superficie, he evidente que se póde considerar este sólido como produzido pela revolução de hum semicirculo AMB, (Fig. 8.) ao redor do seu diametro AB.

EST. XIII.

Supponhamos primeiramente que em lugar da semicircumferencia tenhamos hum polygono regular de hum infinito numero de pequenos lados; ou, se quizermos, de hum grandissimo numero de lados, e proponhamo-nos sómente de medir a superficie Z (Fig. 9.) formada pela revolução deste polygono. Depois será facil o passar da medição desta superficie á medição da superficie da esfera, assim como passamos da medição das figuras rectilineas á medição do circulo.

LXII.

EST. XIV.

EST. XIV.

Para se medir a superficie do sólido Z, examinemos a pequena parte desta superficie, que hum só lado produz, qualquer, M mdo polygono inscripto, em quanto este faz huma revolução á roda do diametro AB. He evidente que o lado M m (Estampa XIV. Fig. I.) descreve neste movimento huma superficie de pyramide cónica troncada V. Porque produzindo-se a recta M m até que ella encontre em T o diametro, ou exo da revolução AB, se esta recta TM m gyrar ao mesmo tempo com o semicirculo AMB, descreverá visivelmente huma pyramide cónica recta, da qual será vertice T, e a base o circulo descripto pelo ponto m, de sorte que a superficie V formada pelo movimento de M m será huma porção da superficie desta pyramide cónica, comprehendida entre os planos dos circulos, que os pontos M, e m descrevem, fazendo o seu gyro. Mas como temos visto (Artigo LIX.), a superficie V he igual a hum rectangulo, de que M m he a altura, e a base huma linha igual a circumferencia KLO descripta pelo ponto K, meio de M m. Logo a superficie formada pela revolução do polygono he igual á somma de tantos rectangulos desta natureza, quantos lados este polygono tiver, taes como Mm.

EST. XIV.

Ora como todos os lados M m, alturas destes rectangulos, se suppõem serem iguaes, se poderá considerar ser a superficie que se procura como hum rectangulo total, que terá a altura M m, com huma base igual á somma de todas as circumferencias, taes como KL, isto he, descriptas pelo ponto do meio de cada pequeno lado.

Porém o polygono inscripto no semicirculo AMB, tendo hum grandissimo numero de lados, a pequenez da altura M m, e a excessiva grandeza da base fariam que este rectangulo fosse inconstructivel.

EST. XIV.

Para se remediar este inconveniente, he muito facil de idear o reduzir todos estes pequenos rectangulos em outros, que tenham sempre huma mesma altura, não imperceptivel como M m, mas bastantemente grande, para que cada huma das bases venha a ser muito mais pequena; e mediante isto, a addição de todas as pequenas bases, não farão mais do que hum comprimento comparavel com a altura.

LXIII.

Vejamos pois se poderiamos mudar deste modo os nossos pequenos rectangulos. Supponhamos, por simplificar o problema, que os nossos rectangulos em lugar de terem por bases linhas iguaes ás circumferencias KL, (Fig. 1. e 2.) não tenham por bases senão os radios KI das mesmas circumferencias. Depois não nos será difficil de applicar aos rectangulos verdadeiros, o que tivermos achado nestes ultimos rectangulos suppostos.

EST. XIV.

Logo he necessario achar hum rectangulo, que tenha por medida o producto de M m por KI, mas que tenha por altura huma linha incomparavelmente maior do que M m, e que seja a mesma em qualquer parte que esteja este pequeno lado M m. Façamos escolha, por exemplo, da recta CK, que he o apothema do polygono de que M m he lado, e por consequencia he sempre a mesma a qualquer lado do polygono a que ella pertença. Devemos pois procurar huma linha, cujo producto por CK seja igual ao producto de KI por M m; isto he, (Part. II. Art. VII.) que he necessario achar a quarta proporcional ás tres linhas KC, KI, M m. Ora nós sabemos que por meio dos triangulos semelhantes he que se acham as linhas proporcionaes nas figuras; he pois necessario formar triangulos semelhantes, cujos lados homologos sejam as linhas de que se trata; o que se fará, abaixando MR, perpendicular a m p. Então teremos os triangulos M m R, KIC, que serão semelhantes; porque cada hum delles será rectangulo, hum em R, e o outro em I; e demais, elles terão os angulos m MR, IKC iguaes entre si, porque o primeiro juntamente com o angulo M m R, igual ao angulo MKI, faz hum angulo recto; e o segundo IKC faz tambem hum angulo recto juntamente com MKI.

EST. XIV.

Do que facilmente se póde concluir, que KC he para KI, como M m he para MR; isto he, que MR he a quarta proporcional procurada; ou, que vem a ser o mesmo, que o rectangulo de KC por MR, ou por P p, he igual ao rectangulo de M m por KI.

EST. XIV.

Porém como o rectangulo, que pertendiamos mudar, não he aquelle de Mm por KI, mas sim o de M m pela circumferencia, da qual he radio KI, aqui nos lembraremos que as circumferencias são entre si, como o são os seus radios; e que por consequencia, sendo iguaes os rectangulos de M m por KI, e o de P p por CK, o devem ser tambem os rectangulos de M m pela circumferencia de KI, e o de P p pela circumferencia de CK; porque facilmente se vê, que se dous rectangulos são iguaes, e conservando-lhes as suas alturas se lhes augmentam proporcionalmente as suas bases, estes rectangulos ficaráõ sempre iguaes.

LXIV.

EST. XIV.

Tendo-se demonstrado nos dous Artigos precedentes, que todas as pequenas superficies cónicas troncadas, taes como V (Fig. 1. e 2.) são iguaes a outros tantos rectangulos, que tiverem todos por altura huma mesma recta igual á circumferencia, da qual seja radio KC; e cada hum dos quaes tenha por base huma pequena recta P p correspondente a cada lado Mm, se póde disto deduzir, que huma somma, qualquer, destas pequenas superficies tomada desde A até p, por exemplo, será igual a hum rectangulo, que tiver por altura huma recta igual á circumferencia de CK, e por base a somma de todas as linhas taes, como Pp, tomadas desde A até p, isto he, a recta A p.

Logo para se ter a superficie total produzida pela revolução do polygono inteiro, será preciso fazer hum rectangulo, a base do qual seja igual á circumferencia descripta pelo radio CK, e que tenha huma altura igual ao diametro AB.

LXV.

A superficie da esfera tem por medida o producto do seu diametro pela circumferencia do seu circulo maximo.

EST. XIV.

Agora he muito facil de medir a superficie da esfera; porque he certo que quantos mais lados tiver o polygono, tanto mais o sólido formado pela sua revolução se avizinhará a ser igual á esfera, e tambem o apothema CK se appropinquará mais a ser igual ao radio, de sorte que podendo-se imaginar que o polygono se tenha reduzido a circulo, o apothema CK será o mesmo radio, e a superficie da esfera terá a mesma extensão, que tiver hum rectangulo, cuja altura será o diametro, e a base huma linha igual á circumferencia do circulo, de donde se formou, que ordinariamente se chama o circulo maximo da esfera.

LXVI.

Que cousa seja hum segmento de esfera.

Como se mede a sua superficie.

EST. XIV.

Quanto á superficie curva de hum segmento de esfera AMLNO; (Fig. 3.) isto h, da parte de esfera, que della se diminue, quando se córta por hum plano MLNO, perpendicular ao diametro, esta tem por medida o producto da sua grossura, ou flexa AP pela circumferencia do circulo maximo AMBN. A razão disto he a mesma, com a qual se provou (Art. LXIV.) que a somma das superficies de todas as pequenas pyramides cónicas troncadas, comprehendidas desde A até m, (Fig. 2.) he igual ao rectangulo, cuja altura he A p, e a base huma linha igual á circumferencia, de que he radio CK.

LXVII.

A superficie da esfera he igual á do cylindro circumscripto.

A precedente medição da superficie da esfera nos ensina, que fazendo-se dar huma volta ao rectangulo ABDE, (Fig. 4.) e ao mesmo tempo ao semicirculo AMNB á roda de AB, a superficie curva do cylindro recto EFGIKDH formada pela revolução deste rectangulo, será igual áquella da esfera descripta pelo semicirculo; o que ordinariamente se exprime deste modo; a superficie da esfera he igual a do cylindro circumscripto.

LXVIII.

Os segmentos cortados do cylindro, e da esfera, tem a mesma superficie.

EST. XIV.

Se se cortassem tanto o cylindro, como a esfera por dous planos, quaesquer que sejam, perpendiculares ao diametro AB em P, e em Q, as porções cortadas da esfera, e do cylindro, nascidas do movimento da recta OS, e do arco MN, seriam iguaes em superficie.

LXIX.

A superficie da esfera he igual a quatro vezes aquella do seu circulo maximo.

Tambem do que fica dito se vê que a superficie da esfera he igual á área do seu circulo maximo quatro vezes; porque a superficie deste circulo maximo tem por medida o producto de a metade do radio, ou do quarto do diametro pela circumferencia, e a superficie da esfera he igual ao producto do diametro todo pela mesma circumferencia.

LXX.

EST. XIV.

A solidez da esfera he o producto do terço do seu radio por quatro vezes a área do circulo maximo.

Tendo-se achado a medida da superficie da esfera, he muito facil o medir a sua solidez; porque póde-se considerar a esfera como hum ajuntamento de huma infinidade de pequenas pyramides, os vertices das quaes estejam no centro della, e as suas bases cubram toda a superficie. Ora cada huma destas pyramides tendo por medida o producto do terço da sua altura, isto he do radio, pela sua base, a somma total dellas, ou a solidez da esfera, se medirá, multiplicando o terço do radio pela sua superficie, isto he por quatro vezes a área do circulo maximo.

LXXI.

A solidez da esfera he os dous terços da do cylindro circumscripto.

Como o producto do terço do radio, por quatro vezes o circulo maximo, he a mesma cousa que o producto de quatro vezes o terço do radio, isto he dos dous terços do diametro pelo maximo circulo, e que a solidez do cylindro EFGIKDH tem por medida o producto do diametro pelo mesmo circulo maximo, que lhe serve de base, segue-se que a solidez da esfera he os dous terços daquella do cylindro circumscripto.

LXXII.

EST. XIV.

Medida da solidez de hum segmento de esfera.

Se nos propuzermos o medir a solidez de hum segmento de esfera AMLNO, (Fig. 3.) he evidente que sería preciso medir primeiramente a porção da esfera formada pela revolução do sector CAM; o que se faria, multiplicando o terço do radio pela superficie do segmento de esfera proposto AMLNO: depois se diminuiria desta medida aquella da pyramide cónica formada pela revolução do triangulo CPM, isto he, a pyramide cónica, que tem por base o circulo MLNO, e CP por altura, e o resto seria o valor pedido do segmento.

LXXIII.

EST. XIV.

Daremos fim a estes Elementos com algumas Proposições sobre a solidez, e a superficie dos corpos semelhantes. Estas Proposições se apresentam naturalmente, fazendo-se reflexão sobre o que constitue a semelhança de dous corpos. Até se póde dizer, que se não póde absolutamente deixar de as descubrir por analogia, se nos lembrarmos do que dissemos (Part. I. Art XXXIV. e seguint.) da semelhança das figuras planas, isto he daquellas, que são descriptas sobre planos.

Em que consiste a semelhança de dous corpos terminados por planos.

No Artigo XXXII. temos determinado em que consiste a semelhança de duas pyramides; a definição, que então démos das pyramides semelhantes, se póde estender a todos os corpos terminados por planos, isto he, que dous corpos desta natureza se chamam semelhantes, se todos os angulos formados pelos lados do primeiro são os mesmos, que são os angulos formados pelos lados do segundo, e se os lados de hum destes corpos são proporcionaes aos lados homologos do outro.

LXXIV.

EST. XIV.

Quanto aos corpos, que não são terminados em todas as suas partes por planos, por exemplo, os cylindros, e as pyramides cónicas, tambem he facil de determinar as condições necessarias para serem semelhantes.

Condições, que determinam a semelhança de dous cylindros rectos.

Dous cylindros rectos serão semelhantes, se as suas alturas estiverem na mesma razão dos radios das suas bases.

LXXV.

A de dous cylindros obliquos.

Se os cylindros forem obliquos, será de mais necessario que as linhas, que se unem aos centros dos dous circulos em cada hum destes cylindros, façam os mesmos angulos sobre os planos das suas bases.

LXXVI.

A de duas pyramides cónicas.

EST. XIV.

As mesmas definições se podem applicar ás pyramides cónicas, pondo em lugar das linhas, que passam pelos centros das duas bases do cylindro, aquella, que vai do vertice da pyramide cónica ao centro do circulo, que lhe serve de base.

LXXVII.

A de duas pyramides cónicas troncadas.

Para que duas pyramides cónicas troncadas sejam semelhantes, he preciso em primeiro lugar que as pyramides cónicas, de que ellas são porções, sejam huma a outra semelhantes; e em segundo lugar, que as suas alturas estejam entre si como os radios das suas bases.

LXXVIII.

As esferas, os cubos, e todas as figuras, que não dependem senão de huma só linha, são todas semelhantes.

EST. XIV.

A respeito das esferas, muito bem se vê que ellas são todas semelhantes humas ás outras, como tambem o são todas as figuras, sejam sólidos, ou sejam planos, que não necessitam mais do que huma só linha para serem determinadas, como o circulo, o quadrado, o triangulo equilatero, o cubo, o cylindro circumscripto á esfera, &c.

LXXIX.

Em geral os solidos semelhantes não differem senão pelos petipés, por onde são construidos.

Em geral se poderá dizer das figuras sólidas semelhantes, como se disse das figuras planas, que ellas não differem senão pelos petipés, por onde são construidas.

Isto sómente que se tem exposto, bem considerado, conduz a duas proposições fundamentaes sobre a superficie, e sobre a solidez dos corpos semelhantes.

LXXX.

As superficies dos solidos semelhantes são entre si, como os quadrados dos seus lados homologos.

EST. XIV.

A primeira proposição ensina, que as superficies de dous corpos semelhantes são entre si como os quadrados dos seus lados homologos; que ha, por exemplo, a mesma razão entre as superficies das duas pyramides semelhantes z, e Z, (Fig. 5. e 6.) como entre os quadrados a b c d, ABCD, feitos sobre os lados a b, AB, que se correspondem nestas duas pyramides.

Para se demonstrar esta proposição, não se necessita mais do que dos discursos, que fizemos na I. Parte Art. XLIII. e XLIV. isto he, que basta sómente considerar que se P he o petipé da pyramide Z, e p o petipé da pyramide semelhante z, as linhas, de que se usar para se medir a superficie Z, e a do quadrado ABCD, terão o mesmo numero de P, como haverá de partes p naquellas, de que se usar para medir a superficie z, e a do quadrado a b c d.

EST. XIV.

Porque disto se segue, que o producto das linhas, que entrarem na medida de Z, e de ABCD, dará o mesmo numero de quadrados X feitos por P, como o producto das linhas, de que se usar para medir z; e a b c d, dará de quadrados x feitos por p. Isto he, que os numeros, que exprimirem a proporção da superficie da pyramide Z para o quadrado ABCD, serão os mesmos que os que exprimiráõ a proporção da superficie z para o quadrado a b c d.

O mesmo discurso se faria na comparação de todos os mais corpos semelhantes, seja que estes corpos fossem terminados por planos, ou que elles fossem terminados por superficies curvas; porque as linhas, que servissem para se medirem as superficies de todos estes corpos, teriam sempre o mesmo numero de partes dos seus petipés, e por consequencia os productos destas linhas conterião hum mesmo numero de vezes os quadrados destas mesmas partes.

EST. XIV.

E se as linhas necessarias para se medirem as superficies dos corpos semelhantes fossem incommensuraveis, he evidente que a demonstração sempre subsistiria, com tanto que nisto se usasse dos principios, de que nos servimos (Part. II. Art. XXVIII.) para comparar as figuras semelhantes, cujos lados erão incommensuraveis.

LXXXI.

As superficies das esferas são entre si, como os quadrados dos radios dellas.

Da mesma sorte se provaria que as superficies das esferas são entre si, como são os quadrados dos radios dellas. Porém para de outro modo o vermos mais claramente, bastará lembrar-nos que as superficies dos circulos são entre si, como os quadrados dos seus radios, (Part. III. Art. VI.) e que as superficies das esferas são quadruplas dos seus circulos maximos. (Art. LXIX.)

LXXXII.

A proporcionalidade entre as superficies dos corpos semelhantes, e os quadrados dos seus lados homologos, he tão geral, que ella se applica tanto aos corpos, que se sabem medir, como áquelles, cuja medição ainda não he conhecida.

EST. XIV.

Sem se saber medir, por exemplo, a superficie de hum cylindro obliquo, se póde affirmar que as superficies de dous cylindros obliquos semelhantes são entre si, como os quadrados dos diametros das bases destes cylindros. Porque inscrevendo nestes dous cylindros dous prismas semelhantes de quantas faces se quizer, se verá pelo que fica dito, que as superficies destes prismas estão entre si, como os quadrados dos diametros das bases. Logo os mesmos cylindros, considerados como os ulprismas inscriptos, terão as suas superficies na mesma razão.

LXXXIII.

Os solidos semelhantes são entre si, como os cubos dos seus lados homologos.

A proposição fundamental para a comparação da solidez dos corpos semelhantes he a seguinte.

Os sólidos semelhantes estão entre si, como os cubos dos seus lados homologos.

EST. XIV.

Póde-se demonstrar esta proposição como a precedente, considerando que as figuras semelhantes não differem senão pelos petipés, por onde ellas se construem.

Para o mostrar o mais simplesmente que nos he possivel, nos serviremos, por exemplo, de dous prismas semelhantes Z, e z, (Fig. 7. e 8.) e de dous cubos X, e x, cujos lados são iguaes a AB, ab, linhas analogas nestes dous prismas; e demais tomaremos dous petipés AB, ab, divididos em hum grandissimo numero de partes, para se poderem medir as dimensões destes sólidos. Ora isto supposto, claro está que igualmente se acharáõ tantos cubos feitos pelas partes de ab no prisma z, e no cubo x, quantos se acham feitos pelas partes de AB no prisma Z, e no cubo X.

EST. XIV.

Para todos os mais sólidos se faria o mesmo discurso; e aquelles, que tivessem dimensões incommensuraveis, estariam tambem na mesma razão, em que estão os cubos dos seus lados homologos.

LXXXIV.

As esferas são entre si, como os cubos dos radios dellas.

Os solidos das esferas, por exemplo, são evidentemente entre si, como os cubos dos radios dellas.

FIM.