PARTE PRIMEIRA.

Dos meios, de que era mais natural se usasse, para se chegar á medição dos Terrenos.

O que parece que primeiramente se mediria, são os comprimentos, e as distancias.

I.

Para se medir qualquer comprimento que seja, o expediente, que nos subministra huma sorte de Geometria natural, he o de comparar o comprimento de huma medida conhecida com a medida do comprimento, que se quer saber.

II.

A linha recta he a mais curta que ha de hum ponto a outro, e por consequencia he a medida da distancia entre dous pontos.

A respeito da distancia, vemos que para se medir aquella, que ha entre dous pontos, he necessario tirar huma linha recta de hum a outro ponto, e que sobre esta recta he que se precisa trazer a medida conhecida; porque todas as outras linhas, tendo necessariamente algum desvio maior, ou menor, são mais compridas do que a linha recta, que não tem desvio algum.

III.

EST. I.

Huma linha, que cahe sobre outra, sem pender sobre ella para alguma parte, he perpendicular a esta linha.

Além da necessidade de medir a distancia de hum ponto a outro, succede muitas vezes que somos tambem obrigados a medir a distancia de hum ponto a huma linha. Hum homem, por exemplo, posto na margem de hum rio em D, (Estampa I. Figura 1.) quer saber a distancia que ha do lugar, em que elle está, á outra margem opposta AB. Bem se vê que neste caso, para medir a distancia que se quer, he preciso tomar a mais curta de todas as linhas rectas DA, DB, &c. que se podem tirar do ponto D sobre a recta AB. Ora he facil de ver, que esta linha a mais curta, de que precisamos, he a linha DC, que suppomos não pender nem para a parte de A, nem para a de B. Sobre esta linha pois, á qual se deo o nome de perpendicular, he que se precisa trazer a medida conhecida para podermos ter a distancia DC, que ha entre o ponto D, e a recta AB. Mas tambem vemos, que para se pôr esta medida sobre a linha DC, he preciso que esta linha se tire antes de tudo: logo era necessario que houvesse hum methodo para traçar perpendiculares.

IV.

EST. I.

O rectangulo he huma figura de quatro lados perpendiculares huns aos outros.

Havia tambem precisão de as traçar em huma infinidade de outras occasiões. Sabe-se, por exemplo, que a regularidade de figuras taes, como ABCD, FGHI, (Fig. 2. e 3.) chamadas rectangulos, compostas de quatro lados perpendiculares huns aos outros, obriga a dar as suas fórmas ás casas, aos seus interiores, aos jardins, ás salas, á cantaria das muralhas, &c.

O quadrado he hum rectangulo, que tem os quatro lados iguaes.

A primeira ABCD destas figuras, cujos quatro lados são iguaes, chama-se commummente quadrado. A outra FGHI, que sómente tem os lados oppostos iguaes, tem o nome de rectangulo.

V.

EST. I.

Modo de levantar huma perpendicular.

Nas differentes operações, que pedem que se tirem perpendiculares, se trata ou de as abaixar sobre huma linha de hum ponto tomado fóra della, ou de as levantar de hum ponto posto sobre a mesma linha.

Se do ponto C, (Fig. 4.) tomado na linha AB, se quizer levantar a linha CD perpendicular a AB, será necessario que esta linha não penda para A, nem para B.

Suppondo-se pois que C esteja igualmente distante de A, e de B, e que a recta CD não penda para alguma parte, claro está que cada hum dos pontos desta linha estará igualmente distante de A, como de B; assim não faltará mais do que procurar hum ponto qualquer como D, de sorte que esteja em igual distancia de A, e de B; porque conduzindo pelo ponto C, e por este ponto D huma linha recta CD, será esta a perpendicular pedida.

Para se achar o ponto D, talvez que por tentativas se conseguisse; porém este modo não satisfaz o espirito, elle quer hum methodo, que o illumine. Ei-lo aqui.

EST. I.

Tomareis huma medida commua, huma corda, por exemplo, ou hum compasso com huma abertura determinada, segundo o em que vós trabalhardes, ou sobre terreno, ou sobre papel.

Tomada esta medida, fixareis no ponto A a extremidade da corda, ou a ponta do compasso; e fazendo gyrar a outra ponta, ou a extremidade da corda, traçareis o arco PDM. (Fig. 5.) Depois, sem mudar de medida, obrareis da mesma sorte respeito ao ponto B, e descrevereis o arco QDN, o qual cortando o primeiro arco em D, dará o ponto procurado.

Porque o ponto D pertencerá igualmente aos dous arcos PDM, QDN descritos por meio de huma medida commua, a sua distancia ao ponto A será igual á que ha ao ponto B. Assim CD não penderá para A, nem para B: logo esta linha será perpendicular sobre AB.

EST. I.

Se o ponto C se não achar em igual distancia de A, e de B, será necessario tomar outros dous pontos a, e b igualmente distantes de C, e servir-vos delles em lugar de A, e de B, para descrever os arcos PDM, QDN.

VI.

O circulo he o traço inteiro, que descreve a ponta movel de hum cõpasso, gyrando á roda da outra ponta.

Se hum dos traços PDM for continuado por O, E, R, &c. (Fig. 4.) até que venha ao mesmo ponto P, este gyro inteiro se chamará circumferencia do circulo, ou simplesmente circulo.

Traçando-se sómente huma parte PDM da circumferencia, esta parte se chamará arco de circulo.

O centro he o lugar da ponta fixa.

O ponto fixo A seu centro, ou centro do circulo.

E o intervallo AD o seu radio.

O radio he o intervallo das pontas do compasso.

O diametro he o dobro do radio.

Toda a linha, como DAE, que passa pelo centro A, e que se termina na circumferencia, chama-se diametro; he evidente que esta linha he dupla do radio, donde vem que o radio se chama ás vezes semidiametro.

EST. I.

VII.

Modo de abaixar huma perpendicular.

O modo de levantar huma perpendicular de huma linha AB (Fig. 6.) nos ensina o de abaixar sobre ella huma perpendicular de qualquer ponto E, tomado fóra da mesma linha; porque pondo em E a extremidade de hum fio, ou a ponta do compasso, e com o mesmo intervallo E b sinalando dous pontos a, e b sobre a linha AB, se procurará, como no Artigo precedente, outro ponto D, a distancia do qual ao ponto a, e ao ponto b seja a mesma; e por este ponto D, e pelo ponto E se tirará a recta DE, que tendo cada huma das suas extremidades igualmente distantes de a, e de b, e não pendendo mais para hum destes pontos do que para o outro, será perpendicular sobre AB.

VIII.

Da operação precedente se segue a solução de hum novo Problema.

EST. I.

Cortar huma linha em duas partes iguaes.

Tratando-se de dividir huma linha recta AB (Fig. 7.) em duas partes iguaes; dos pontos A, e B, tomados como centros, e com qualquer abertura de compasso, se descrevam os arcos REI, GEF, e depois dos mesmos centros, e com a mesma, ou qualquer outra abertura que se queira, se descrevam tambem os arcos PDM, QDN; e então a linha ED, que passará pelos pontos das secções E, e D, dividirá AB em duas partes iguaes no ponto C.

IX.

Construir hum quadrado sobre hum lado dado.

EST. I.

Tendo-se achado o modo de traçar as perpendiculares, nada era mais facil do que servir-se delle para construir as figuras chamadas rectangulos, das quaes se fallou no Artigo IV. Bem se vê, que para construir hum quadrado ABCD, (Fig. 2.) que tenha os lados iguaes á linha dada K, he preciso tomar sobre a linha GE hum intervallo AB, igual a K, depois levantar (Artigo V.) dos pontos A, e B as perpendiculares AD, BC, que seja cada huma igual a K, e depois tirar DC.

X.

Fazer hum rectangulo, do qual sejam dados o comprimento, e a largura.

Querendo-se traçar hum rectangulo FGHI, (Fig. 3.) cujo comprimento fosse K, e a largura L, far-se-hia FG igual a K, depois se levantariam as perpendiculares FI, e GH cada huma igual a L, e depois se tiraria HI.

XI.

As parallelas são linhas sempre igualmente distantes humas das outras.

EST. I.

Tirar huma parallela a huma linha por hum ponto dado.

Na construcção das obras, como parapeitos, canaes, ruas, &c. he necessario tirar linhas parallelas, isto he, linhas a posição das quaes seja tal, que os seus intervallos tenham por toda a parte por medida perpendiculares do mesmo comprimento. Ora para tirar estas parallelas, parece-me que não ha cousa mais natural, do que recorrer ao methodo, de que nos servimos para traçar rectangulos. Seja AB, (Fig. 8.) por exemplo, hum dos lados de hum canal, ou de hum parapeito, &c. ao qual se quizesse dar a largura CA; ou, por exprimir a questão de outro modo mais geometrico, e mais geral, supponhamos que se queira conduzir por C a parallela CD a AB: tomar-se-ha á vontade hum ponto, como B, na linha AB, e se obrará do mesmo modo que se faria, se tendo a base AB, se quizesse fazer hum rectangulo ABCD, que tivesse AC por altura. Então as linhas CD, AB, se fossem infinitamente produzidas, seriam sempre parallelas, ou, que vem a ser o mesmo, nunca se encontrariam.

XII.

EST. I.

Pondo-se a regularidade das figuras rectangulares muitas vezes em execução, como dissemos, ha muitos casos, em que he necessario saber a sua extensão. Tratar-se-ha, por exemplo, de determinar quanto he preciso de tapeceria para huma sala; ou quantas braças quadradas conterá hum terreno murado em fórma de hum rectangulo, &c.

Bem se conhece, que para se chegar a esta sorte de determinações, o meio mais simples, e mais natural he de nos servirmos de huma medida commua, que applicada muitas vezes sobre a superficie, que ha para medir, a cubra inteiramente: methodo, que vem a ser o mesmo, que já servio para determinar o comprimento das linhas.

Ora he evidente que a medida ordinaria das superficies deve ser em si mesma huma superficie, por exemplo, a de huma braça quadrada, de hum pé quadrado, &c. Assim medir hum rectangulo, he determinar o numero de braças quadradas, ou de pés quadrados, &c. que a sua superficie contém.

EST. I.

Ponhamos hum exemplo para iluminar o entendimento. Supponhamos que o rectangulo dado ABCD (Fig. 9.) tenha 7 palmos de altura sobre huma base de 8 palmos; poder-se-ha considerar este rectangulo como repartido em sete bandas, a, b, c, d, e, f, g, e que cada huma contenha 8 palmos quadrados: será pois o valor do rectangulo sete vezes 8 palmos quadrados, ou 56 palmos quadrados.

A medida de hum rectangulo he o producto da sua base pela sua altura.

EST. I.

Se agora nos lembrarmos dos primeiros elementos do calculo Arithmetico, que multiplicar dous numeros he tomar hum tantas vezes, como a unidade se contém no outro, achar-se-ha huma perfeita analogia entre a multiplicação ordinaria, e a operação, pela qual se mede o rectangulo. Ver-se-ha que multiplicando o numero de braças, ou de palmos, &c. que tiver a sua altura, pelo numero de braças, ou palmos, que der a sua base, se determinará a quantidade de braças quadradas, ou de palmos quadrados, que contiver a sua superficie.

XIII.

As figuras, que ha para medir, não são sempre regulares, como o são os rectangulos; e não obstante isto, he muitas vezes necessario ter a sua medida: humas vezes será preciso saber a extensão de huma obra construida sobre hum terreno falto de regularidade; outras se quererá saber o que hum terreno irregularmente limitado conterá de braças quadradas: era pois necessario que ao methodo de determinar a extensão dos rectangulos se ajuntasse o de medir as figuras, que não são rectangulares.

Figuras rectilineas são aquellas, que se terminam em linhas rectas.

EST. I.

Vemos logo que na prática a difficuldade não está senão na medição das figuras rectilineas, taes como ABCDE, (Fig. 10.) isto he das figuras terminadas por linhas rectas; porque se no contorno de hum terreno se acham algumas linhas curvas, como na figura ABCDEFG, (Fig. 11.) he evidente que estas linhas repartidas em tantas partes, quantas forem necessarias para evitar todo o erro sensivel, se poderáõ sempre tomar por hum ajuntamento de linhas rectas.

O triangulo he huma figura terminada por tres linhas rectas.

Isto supposto, vê-se que não obstante a infinita variedade de figuras rectilineas, todas se podem medir do mesmo modo, repartindo-as em figuras de tres lados, chamadas ordinariamente triangulos; o que se fará da maneira a mais simples, e a mais cómmoda, se de qualquer ponto A (Fig. 10.) do contorno da figura ABCDE se tirarem as linhas rectas AC, AD, &c. aos pontos C, D, &c.

XIV.

EST. I.

A diagonal de hum rectangulo he a linha, que o reparte em dous triangulos iguaes.

Logo não será preciso senão ter a medida dos triangulos, que se tiverem formado. Ora sabe-se, que para se achar o que se ignora, o meio mais seguro he de procurar se nas cousas, de que temos conhecimento, ha alguma, que se conforme com o que se quer saber; e já se tem visto que todo o rectangulo ABCD (Fig. 12.) he igual ao producto da sua base AB pela sua altura CB. Demais he facil de perceber, que esta figura cortada transversalmente pela linha AC, chamada diagonal, se acha repartida em dous triangulos iguaes; do que se infere, que cada hum destes triangulos igualará a metade do producto da sua base AB, ou CD pela sua altura CB, ou DA.

Os triangulos rectangulos são aquelles, que tem dous dos seus lados perpendiculares hum ao outro.

He verdade que quasi nunca succede que os triangulos, que ha para medir, tenham dous dos seus lados perpendiculares hum ao outro, como os triangulos ABC, ADC, chamados triangulos rectangulos; porém nada impede que se não possam reduzir todos a triangulos desta especie.

EST. II.

Porque se do ponto A, (Estampa II. Fig. 1.) vertice de hum triangulo qualquer ABC, se abaixar a perpendicular AD sobre a base BC, o triangulo ABC se achará repartido em dous triangulos rectangulos ABD, ADC.

Hum triangulo he a metade de hum rectangulo, que tem a mesma base, e a mesma altura.

Logo a sua medida he a metade do producto da sua altura pela sua base.

Tornando pois ao que dissemos, he evidente, que como os dous triangulos ADB, ADC serão ametades dos rectangulos AEBD, ADCF, o triangulo proposto ABC será da mesma sorte ametade do rectangulo EBCF, que terá BC por base, e AD por altura; e como a superficie do rectangulo EBCF igualará o producto da altura EB, ou AD pela base BC, o triangulo ABC terá por medida a metade do producto da base BC pela perpendicular AD altura do triangulo.

EST. II.

Temos pois o modo de medir todos os terrenos terminados por linhas rectas, pois que se não acha algum, que se não possa reduzir a triangulos, e que dos vertices destes triangulos se sabe abaixar perpendiculares sobre as suas bases.

XV.

Os triangulos, que tem a mesma altura, e a mesma base, tem as superficies iguaes.

Do que dissemos no precedente methodo, que para medir os terrenos, ou as superficies dos triangulos bastava sómente servir-se das suas bases, e das suas alturas, sem attender ao comprimento dos seus lados, se tira esta proposição, ou theorema, que todos os triangulos, como ECB, (Fig. 2.) ACB, que tem huma base commua CB, e cujas alturas EF, AD são iguaes, tem a mesma superficie.

XVI.

EST. II.

Para facilitar a intelligencia do principio, que dá a medida dos triangulos, entendemos que não deviamos escolher por base senão hum lado, sobre o qual pudesse cahir a perpendicular abaixada do vertice opposto, o que sempre se póde fazer, quando sómente se trata da medição dos terrenos. Mas porque na comparação dos triangulos, que tem a mesma base, as perpendiculares abaixadas dos seus vertices podem cahir fóra do triangulo, como na Figura 3, parece que seja necessario ver se os triangulos, taes como BCG, estam no caso dos outros; isto he se elles são sempre a metade do rectangulo ECBF, que tem a perpendicular GH por altura.

He facil o certificar-se disto, notando que o triangulo CGH, somma dos dous triangulos CGB, GBH, he a metade do rectangulo ECHG, somma dos dous rectangulos ECBF, FBHG; e que assim os dous triangulos CGB, GBH valem ambos juntos a metade do rectangulo ECHG. Ora o triangulo GBH he metade do rectangulo FBHG: logo o triangulo proposto BCG he metade do outro rectangulo ECBF, que tem BC por base, e GH por altura.

XVII.

EST. II.

Os triangulos, que tem a mesma base, e estam entre as mesmas parallelas, são iguaes em superficie.

A proposição demonstrada nos tres Artigos precedentes tambem se póde expôr geralmente nestes termos: Os triangulos EBC, (Fig. 4.) ABC, GBC são iguaes; quando elles tem huma base commua BC, e que estam entre as mesmas parallelas EAG, CBH, isto he, quando os seus vertices E, A, G estam em huma mesma linha recta EAG, parallela á recta CB, porque então (Artigo XI.) as suas alturas medidas pelas perpendiculares EF, AD, GH são as mesmas.

XVIII.

EST. II.

Os parallelogramos são figuras de quatro lados, da qual os dous oppostos são parallelos.

Medem-se, multiplicando o producto da sua base pela sua altura.

Entre as differentes figuras rectilineas, que se sabem medir pelo methodo precedente, ha algumas, que se approximam á regularidade dos rectangulos, que são os espaços taes como ABCD (Fig. 5.) terminados por quatro lados, dos quaes cada hum he parallelo ao lado, que lhe está opposto. Estas figuras se chamão parallelogramos; ellas são mais faceis de medir, do que as outras figuras rectilineas, exceptuando os rectangulos; porque repartindo o parallelogramo ABCD em dous triangulos ABC, ACD, estes dous triangulos serão visivelmente iguaes: ora como cada hum destes triangulos valerá a metade do producto da sua altura AF pela base BC, o parallelogramo terá por medida o producto inteiro da base BC pela altura AF.

XIX.

Os parallelogramos, que tem huma base commua, e que estam entre as mesmas parallelas, são iguaes em superficie.

EST. II.

Do que se segue, que todos os parallelogramos ABCD, (Fig. 6. ou 7.) EBCF, que tiverem huma base commua, e estiverem entre as mesmas parallelas, serão iguaes; o que he facil de ver ainda independentemente do que precede, notando que o parallelogramo ABCD se mudará no parallelogramo EBCF, ajuntando-se-lhe

o triangulo DCF, e tirando o triangulo ABE da figura inteira ABCF; que assim, suppondo-se serem iguaes os dous triangulos DCF, ABE, será evidente que o parallelogramo ABCD não terá mudado de extensão, mudando-se em EBCF. Ora para nos certificarmos da igualdade destes dous triangulos, bastará observar que AB, e CD, sendo parallelas, como tambem BE, e CF, o triangulo ABE não será outra cousa senão o triangulo DCF, que se terá adiantado, segundo a direcção da sua base, de sorte que o ponto A terá chegado a D, e E a F.

XX.

Os polygonos regulares são figuras terminadas por lados iguaes, e igualmente inclinados huns sobre os outros.

EST. II.

Ha tambem outras figuras rectilineas, que são faceis de medir, e que se chamam polygonos regulares, figuras, que se terminam em lados iguaes, que todos tem a mesma inclinação huns sobre os outros. Taes são as figuras ABDEF, ABDEFG, ABDEFGH. (Fig. 8, 9, e 10.)

Como se costuma dar a fórma symmetrica destas figuras aos tanques, aos chafarizes, ás praças públicas, &c. parece que antes de as ensinar a medir seja preciso ver de que modo ellas se tração.

XXI.

Maneira do descrever hum polygono, de hum numero determinado de lados.

O pentagono tem 5 lados, o hexagono 6, o heptagono 7, o octogono 8, o eneagono 9, o decagono 10.

Descreva-se huma circumferencia de circulo; reparta-se em tantas partes iguaes, quantos forem os lados, que se quizer dar ao polygono; depois tirem-se as linhas (Fig. 8.) AB, BD, DE, &c. pelos pontos A, B, D, E, &c. que dividindo a circumferencia, darão o polygono, que se quer, o qual se chamará pentagono, ou hexagono, ou heptagono, ou octogono, ou eneagono, ou decagono, &c. segundo tiver, sinco, ou seis, ou sete, ou oito, ou nove, ou dez, &c. lados.

XXII.

EST. II.

Medida da superficie de hum polygono regular.

O apothêma he a perpendicular abaixada do centro da figura sobre hum dos seus lados.

Para se ter a medida de hum polygono regular, podia-se usar do methodo, que já se deo (Artigo XIII.) para todas as figuras rectilineas; porém facilmente se vê, que o mais breve he repartir o polygono em triangulos iguaes, que tenham todos o centro C (Fig. 10.) por vertice; e porque tomando hum destes triangulos, CBD por exemplo, e tirando sobre a base BD a perpendicular CK, que então se chamará o apothêma do polygono, como a área do triangulo valerá o producto da base BD pela metade de CK, este producto tomado tantas vezes quantas forem os lados do polygono, dará a área da figura inteira.

XXIII.

EST. II.

O triangulo equilatero he aquelle, que tem os tres lados iguaes.

Modo de descrever o triangulo equilatero.

Repartindo-se a circumferencia do circulo em tres partes iguaes, se formaria hum triangulo chamado commummente triangulo equilatero; repartindo-se esta circumferencia em quatro partes iguaes, se formaria hum quadrado; porém estas duas figuras as mais simples de todos os polygonos, se podem facilmente traçar, sem que seja necessario recorrer á divisão do circulo, como já se vio (Artigo IX.) para o quadrado. Respeito ao triangulo equilatero, he facil de perceber, que para o descrever sobre huma base dada AB, (Fig. 11.) he necessario que dos pontos A, e B, como centros, e com huma abertura de compasso igual a AB, se tracem os arcos DCF, e GCH; e que depois se tirem dos pontos A, e B as linhas AC, BC ao ponto C, secção commua dos dous arcos DCF, GCH, e vertice do triangulo.

XXIV.

EST. II.

Ao methodo de descrever geometricamente o triangulo equilatero, e o quadrado, que são os primeiros de todos os polygonos, poderia eu ajuntar o de traçar geometricamente hum pentagono, como muitos Authores fizeram nos Elementos, que nos deram; mas porque os Principiantes, para quem sómente aqui trabalhamos, não perceberiam, senão com trabalho, o caminho, que o entendimento devia seguir, procurando a maneira de traçar esta figura, caminho, que a Algebra nos põe em estado de descubrir, será melhor deixar a descripção do pentagono para o Tratado, que a este se seguirá, no qual se ajuntará a descripção delle a de todos os mais polygonos, que tiverem maior numero de lados, que sem o soccorro da Algebra se não poderiam descrever geometricamente.

EST. II.

Dos polygonos, que tem mais de sinco lados, dos quaes digo que não se podem descrever senão por meio do calculo Algebraico, he preciso exceptuar os de 6, de 12, de

24, de 48, &c. lados; e os de 8, de 16, de 31 de 64, &c. lados, que facilmente se podem descrever pelos methodos, que dá a Geometria elementar, como se verá no fim desta primeira Parte.

XXV.

Tórno á medição dos Terrenos, e vejo que aquelles, que se querem medir, são muitas vezes taes, que não admittem as operações, que os methodos precedentes prescrevem.

EST. II.

Supponho que ABCDE (Fig. 12.) seja a figura de hum campo, de hum circuito, &c. do qual se quererá ter a medida. Segundo o que se tem visto, seria preciso repartir ABCDE em triangulos, como ABC, ACD, ADE, e então medir estes triangulos, depois de ter abaixado as perpendiculares EF, CH, BG; porém se no espaço ABCDE se encontra algum obstaculo, huma elevação, hum bosque, hum lago, &c. que impede tirarem-se as linhas, que se precisam, que se fará então? que methodo será necessario seguir para remediar este inconveniente do terreno? O methodo, que logo se apresenta á idéa, he o de escolher algum terreno plano, onde se possa á vontade trabalhar, e descrever sobre elle triangulos iguaes, e semelhantes aos triangulos ABC, ACD, &c. Vejamos como nos haveremos para formar os novos triangulos.

XXVI.

EST. III.

Tendo-se reconhecido os tres lados de hum triangulo, fazer outro, que lhe seja igual.

Principiemos, suppondo que o obstaculo se acha no interior do triangulo ABC, (Estampa III. Fig. 1.) cujos lados sejam reconhecidos; e que se queira traçar hum triangulo igual, e semelhante sobre o terreno escolhido: descreva-se huma linha DE (Fig. 2.) igual ao lado AB, e tomando hum cordel do comprimento BC, firmando huma das suas extremidades em E, se descreva o

arco IFG, do qual será radio o cordel; depois por meio de outro cordel igual a AC, do qual se firmará tambem huma das pontas em D, se traçará o arco KFH, que cortará o primeiro em F; então tirando as linhas DF, e FE, se terá o triangulo DEF, igual, e semelhante ao triangulo proposto ABC; o que he evidente, porque os lados DF, e EF, que se unírão no ponto F, sendo respectivamente iguaes aos lados AC, e BC, unidos no ponto C, e a base DE tendo-se medido igual a AB, não será possivel que a posição das linhas DF, e EF sobre DE seja differente da posição das linhas AC, e BC sobre AB. He verdade que se podiam tomar as linhas Df, Ef por baixo de DE; porém o triangulo sería o mesmo, só seria simplesmente ás avéssas.

XXVII.

EST. III.

Hum angulo he a inclinação de huma linha sobre a outra.

Não sendo possivel medir senão dous dos tres lados do triangulo ABC, (Fig. 3.) por exemplo, os dous lados AB, BC, claro está que com isto sómente não se poderia descrever outro triangulo igual, e semelhante a ABC; porque ainda que se tivesse tomado DE, (Fig. 4.) igual a BC, (Fig. 3.) e DF igual a BA, não se saberia que posição se havia de dar a DF relativamente a BA. Para se tirar esta difficuldade, o modo, que se apresenta, he simples: da mesma sorte se faz pender DF sobre DE, como AB pende sobre BC; ou, por exprimir a consa como os Geometras, ao angulo FDE se dá a mesma abertura, que tem o angulo ABC.⁠[A]

XXVIII.

Modo de fazer hum angulo igual a outro.

EST. III.

Dados dous lados, e o angulo comprehendido, está o triangulo determinado.

EST. III.

Para se fazer esta operação, toma-se hum instrumento tal como a b c composto de duas regras, que se possam mover ao redor do ponto b, e se applicam estas regras sobre os lados AB, e BC. Desta sorte fazem ellas entre si o mesmo angulo, que fazem os lados AB, e BC. Pondo pois a regra b c sobre a base DE (Fig. 4.) de sorte que o centro b corresponda ao ponto D, e que a abertura do instrumento seja sempre a mesma, a regra a b dará a posição da linha DF, a qual fará com a linha DE o angulo FDE igual ao angulo ABC. Ora a linha DF ter-se-ha tomado do mesmo comprimento de AB: logo não faltará mais do que tirar de F a E a recta FE para se ter o triangulo FDE inteiramente igual, e semelhante ao triangulo ABC. Prática simples, pela qual se suppõe este principio evidente, que hum angulo he determinado pelo comprimento de dous dos seus lados, e pela abertura delles; ou, que he o mesmo, que hum triangulo he igual a outro, quando dous dos seus lados são respectivamente iguaes, e que o angulo comprehendido entre estes lados he igualmente aberto.

XXIX.

Tambem se poderia fazer o angulo FDE (Fig. 6.) igual ao angulo ABC (Fig. 5.) da maneira seguinte.

Segunda maneira de fazer hum angulo igual a outro.

A corda de hum arco de circulo he a recta, que se termina nas duas extremidades do arco.

Do centro B, e com qualquer intervallo B a descrevei o arco a h c: e do centro D, (Fig. 6.) e com o mesmo intervallo, traçai o arco e i f; então não vos faltará mais do que procurar hum ponto f, que esteja no arco e i f, do mesmo modo que a se acha no arco c h a. Ora vós facilmente achareis o ponto f, servindo-vos da recta a c, que, segundo a definição ordinaria, se chamará a corda do arco a h c.

Porque se do centro e, e com hum intervallo igual a a c descreverdes o arco k f l, a secção dos dous arcos e i f, k f l vos dará o ponto procurado f.

EST. III.

Tirai depois por D, e f a linha DfF, e tereis o angulo FDE igual ao angulo ABC. O que he evidente, (Artigo XXVI.) pois que os triangulos B a c, D f e terão inteiramente iguaes, e semelhantes em todas as suas partes.

XXX.

Dous angulos, e hum lado determinam o triangulo.

Se quando se quer fazer o triangulo FDE (Fig. 4.) igual ao triangulo ABC, (Fig. 3.) succede que se não póde medir senão hum dos lados, BC por exemplo, recorre-se aos angulos ABC, e ACB. Tendo feito DE igual a BC, situão-se as linhas DF, e FE, de sorte que ellas façam com DE os mesmos angulos que AB, e AC fazem com BC: então pelo encontro destas linhas se tem o triangulo FDE igual, e semelhante ao triangulo ABC. O principio, que suppõe esta proposição, he de si mesmo tão simples, que não precisa de demonstração.

EST. III.

XXXI.

Triangulo isoscele he aquelle, que tem dous lados iguaes.

Se dos tres lados do triangulo ABC (Fig. 7.) se não pudesse medir senão a base BC, e que demais se soubesse que este triangulo era isosceles, isto he, que os dous lados AB, e AC fossem iguaes, he evidente que bastaria medir hum dos dous angulos ABC, ACB, porque então o outro lhe seria igual.

Os angulos, que estes lados fazem com a base, são entre si iguaes.

Facilmente se conhece a razão disto, se nos representarmos o que succederia, suppondo que os dous lados AB, AC do triangulo ABC (Fig. 7.) estivessem primeiramente deitados sobre BD, e sobre CE, prolongações da base BC, e que depois se levantassem para unir as suas extremidades no ponto A; porque então a igualdade destes dous lados os impediria de andar hum mais do que o outro: logo estando unidos penderiam igualmente sobre a base BC: logo o angulo ABC será igual ao angulo ACB.

EST. III.

XXXII.

Tornando á medição dos terrenos, se verá que quaesquer que sejam os obstaculos, que se possam encontrar no interior delles, será facil pelo precedente methodo de transportar para hum terreno desembaraçado todos os triangulos, os quaes repartiráõ o espaço que se quizer medir.

Supponhamos, por exemplo, que quizesseis medir hum bosque, cuja figura fosse ABCDEFG. (Fig. 8.)

Construirêis logo hum triangulo igual a ABC, o que podeis fazer sem entrar no interior deste triangulo, medindo os dous lados AB, BC, e o angulo nelles comprehendido CBA.

EST. III.

Este triangulo descripto dará o angulo BCA, e o comprimento de AC; e como vós podeis medir o lado exterior DC, tereis no triangulo CAD os lados DC, e CA. Quanto

ao angulo DCA, vós o acharêis, tomando logo o angulo IKL (Fig. 9.) igual ao angulo DCB, depois o angulo LKO, igual ao angulo BCA, o que vos dará o angulo, que resta IKO, igual ao angulo procurado DCA.

O triangulo ADC, sendo assim determinado pelos dous lados DC, e CA, e pelo angulo comprehendido DCA, vós conhecerêis do mesmo modo o triangulo DAG, e o resto da figura.

XXXIII.

EST. III.

Do methodo, que se tem dado para se medirem os terrenos, em que se não poderiam tirar linhas, nascem muitas vezes grandes difficuldades na prática. Raras vezes se acha hum espaço plano, e desembaraçado, que seja bastantemente grande, para nelle se fazerem os triangulos iguaes aos do terreno, que se quer medir. E ainda quando este se

achasse, o grande comprimento dos lados dos triangulos poderiam fazer que as operações fossem summamente difficultosas: abaixar huma perpendicular sobre huma linha de hum ponto distante della sómente, v. gr. 500 braças, sería huma obra muito penosa, e talvez impraticavel. Importa pois que haja hum meio, que suppra estas grandes operações.

EST. IV.

Este meio quasi por si mesmo se offerece: logo vem á imaginação o representar a figura que ha para medir ABCDE, (Estampa IV. Fig. 1. e 2.) em huma figura semelhante a b c d e, porém mais pequena, na qual, por exemplo, o lado a b seja de 100 pollegadas, se o lado AB he de 100 braças; o lado b c de 45 pollegadas, se BC he de 45 braças, e daqui concluir depois, que se a extensão da figura reduzida a b c d e tem 60000 pollegadas quadradas, a da figura ABCDE deve ser de 60000 braças quadradas.

EST. IV.

Porém primeiro que tudo, he necessario saber em que consiste a semelhança de duas figuras.

XXXIV.

Em que consiste a semelhança de duas figuras.

Ora por pouco que nisto se faça reflexão, logo se verá que as duas figuras ABCDE, a b c d e, para serem semelhantes, devem ser taes, que os angulos A, B, C, D, E da grande sejam iguaes aos angulos a, b, c, d, e da pequena; e que demais os lados a b, b c, c d, &c. da pequena contenham tantas partes de p, quantas os lados AB, BC, CD, &c. da grande contém de partes P.

XXXV.

EST. IV.

Para exprimir esta segunda condição, dizem os Geometras que he necessario que os lados AB, BC, CD, &c. sejam proporcionaes aos lados a b, b c, c d, &c.; ou que o lado AB contenha a b, da mesma sorte que BC contém b c, &c.; ou que

o lado AB seja tão grande respectivamente a a b, como BC o he respectivamente a b c, &c.; ou tambem que alli haja a mesma razão, ou a mesma relação entre AB, e a b, como entre BC, e b c, &c.; ou finalmente, que AB seja para a b, como BC para b c, &c. Tudo isto são modos differentes de explicar a mesma cousa; porém he preciso familiarizar-se com elles para se entender a linguagem dos Geometras.

XXXVI.

Modo de fazer huma figura semelhante a outra.

Depois de se ter visto em que consiste a semelhança de duas figuras, vejamos qual seja o caminho, que a natureza nos indica para traçar huma figura semelhante a outra. Para o que representemo-nos hum Desenhador, que quer copiar huma figura, reduzindo-a.

EST. IV.

Logo tomando elle a b, para representar a base AB da figura que tem para copiar ABCDE, inclina sobre

a b os lados a e, e b c, do mesmo modo que AE, e BC estam inclinados sobre AB; com tanto que os comprimentos de a e, e de b c sejam para o de a b, como os comprimentos de AE, e de BC os são para o de AB; isto he, que se AE, por exemplo, he a metade de AB, elle faz a e igual á a metade de a b, e usa da mesma sorte para determinar o comprimento de b c relativamente a BC.

Tendo elle assim determinado os pontos e, e c, traça as linhas e d, e c d, inclinando-as sobre e a, e sobre c b, da mesma sorte que ED, e CD estam inclinadas sobre EA, e CB; e prolongando estas linhas até que ellas se encontrem em d, acaba a sua figura a b c d e.

XXXVII.

EST. IV.

Faça-se agora reflexão sobre a construcção desta figura, e ver-se-ha que ella não he fundada senão na igualdade que ha entre os angulos E, A, B, C, e e, a, b, c, e na proporcionalidade dos lados EA, AB, BC, e dos lados e a, a b, b c, que assim se acha a figura terminada, sem que se tenha tomado o angulo d igual ao angulo D, nem os lados e d, c d proporcionaes aos lados ED, CD; reflexão esta, que á primeira vista faria duvidar que o angulo d não fosse com effeito igual ao angulo D, nem os lados e d, c d proporcionaes aos lados ED, CD; e que por consequencia a figura a b c d e não se achasse inteiramente semelhante á figura ABCDE; mas quando não houvesse mais do que a experiencia para nos certificarmos disto, esta dúvida se dissiparia logo; além de que, por pouca attenção que nisto se faça, bem se vê que da igualdade respectiva dos quatro angulos E, A, B, C, e e, a, b, c, e da proporcionalidade dos tres lados EA, AB, BC, e e a, a b, b c resulta necessariamente

a igualdade dos angulos D, d, e a proporcionalidade dos lados ED, CD, e e d, c d.

Não obstante, para tirar toda a dúvida, mostraremos que todas as condições, que pede a semelhança das figuras, são necessariamente dependentes humas das outras; o que nos será facil de fazer, examinando logo os triangulos, que são as figuras mais simples, e que entram necessariamente na composição de todas as mais, cujo exame nos conduzirá a todas as propriedades, e a todos os usos das figuras semelhantes.

XXXVIII.

Se dous angulos de hum triangulo são iguaes a outros dous do outro triangulo, o terceiro angulo de hum igualará o terceiro angulo do outro.

Supponhamos que sobre a base a b (Fig. 3. e 4.) se trace o triangulo a b c; e não tomando senão os angulos c a b, c b a, iguaes aos angulos CAB, CBA do triangulo ABC, haverá primeiramente a certeza, que o terceiro angulo a c b igualará o terceiro angulo ACB.

EST. IV.

Porque pondo-se o triangulo abc sobre o triangulo ABC, de sorte que o ponto a fique sobre o ponto A, a b sobre AB, e a c sobre AC, claro está que o lado c b será parallelo a CB; e isto porque o lado c b prolongado não poderia encontrar-se com o lado CB, sem que as duas linhas pendessem desigualmente sobre AB; e que por consequencia os angulos c b a, e CBA fossem desiguaes, o que seria contra a supposição.

Como da igualdade dos angulos c b a, e CBA se seguirá que as linhas c b, CB serão parallelas, do parallelismo destas linhas se seguirá tambem que os angulos A c b, ACB serão iguaes, que he o que se pertendia provar.

XXXIX.

Dous triangulos, cujos angulos são respectivamẽte iguaes, tem os seus lados proporcionaes.

Agora mostremos que os lados, que se correspondem em dous triangulos a c b, e ACB, que tem os mesmos angulos, são proporcionaes.

EST. IV.

Para nos certificarmos disto, supponhamos que a b seja a metade de AB, será preciso que provemos que a c será tambem a metade de AC, e b c a metade de BC. Que a c b, como no Artigo precedente, tenha tambem a posição de A c b: se se tirar c g parallela a AB, claro está que esta linha igualará b B, ou A b; e que g B igualará tambem c b. Ora como os angulos c g C, e C c g serão manifestamente iguaes aos angulos c b A, e c A b, o triangulo C c g igualará o triangulo c A b. (Artigo XXX.) Logo C c será igual a A c, e C g igual a c b, ou a g B. Logo A c, ou a c será a metade de AC, e c b a metade de CB.

EST. IV.

Se ab (Fig. 3. e 5.) estivesse comprehendido tres, quatro, ou qualquer outro numero de vezes, que se quizesse, em AB, seria igualmente facil de demonstrar, que a c seria comprehendido o mesmo numero de vezes em AC, e c b em CB. Porque dos pontos de divisão b, f da base AB, tirando b c, f h, &c. parallelas a BC, se poderiam pôr pelo comprimento de AC tres, quatro, &c. triangulos A c b, c h g, h C i, &c. iguaes ao triangulo a c b.

Mas ainda que a b em lugar de ser comprehendido exactamente hum numero certo de vezes em AB, (Fig. 3. e 6.) o fosse com algum quebrado, por exemplo, duas vezes e meia, provar-se-hia que a c caberia tambem duas vezes e meia em AC, e b c duas vezes e meia em BC.

EST. IV.

Porque quando por meio das parallelas b c, (Fig. 6.) f h se tivesse posto pelo comprimento de AC, os dous triangulos A c b, c h g, iguaes a a c b, ficaria lugar entre as duas parallelas h f, e CB, para se pôr hum triangulo C h i, cujos lados seriam metades dos lados de c A b; o que he evidente, pois que pela supposição, f B seria a metade de

Ab, e que a base h i do triangulo C h i igualará f B, por causa das parallelas h f, CB: logo, em geral, quando dous triangulos ABC, a b c tem os mesmos angulos, estes triangulos chamados triangulos semelhantes, tem os seus lados proporcionaes; ou, que he absolutamente o mesmo, os lados AB, BC, AC, de hum destes triangulos, ABC contém o mesmo numero de partes P, como os lados a b, b c, a c, do outro triangulo a b c, contém de partes p. P, sendo o palmo, a braça, &c. ou em geral o petipé, com o qual ABC foi construido; e p aquelle, com que se construio a b c.

XL.

Da proposição, que acabamos de demonstrar, se tira naturalmente a solução de hum problema, que he muitas vezes util na prática.

Dividir huma linha em quantas partes iguaes se quizer.

EST. IV.

Pede-se que huma linha se divida em hum numero dado de partes iguaes, o que na verdade se poderia fazer por tentativas; porém já mais com aquella segurança, que nos dá a exacção geometrica.

Supponhamos, por exemplo, que temos para dividir AB (Fig. 5.) em tres partes iguaes; principia-se, tirando huma linha indefinita AC, que faça hum angulo, qualquer que seja, com AB; depois põem-se sobre esta linha tres partes iguaes A c, c h, h C com huma abertura de compasso tomada á vontade; logo tirando a linha CB, se tiram a esta recta as parallelas c b, h f; desta sorte AB, cortada nos pontos b, e f, se acha repartida em tres partes iguaes; o que he manifesto pelo Artigo precedente.

XLI.

Que cousa seja huma quarta linha proporcional a outras tres, e como se acham.

EST. IV.

Se se quizer dividir huma linha em hum numero de partes, que tenha quebrados, como duas e meia, tres e hum quarto, &c. ou tambem que em geral se propuzesse o dividir a linha AB no ponto b, (Fig. 6.) de sorte que AB fosse para A b, como a linha NO para a linha MQ; tambem se vê que a solução do problema dependeria do Artigo XXXIX; isto he, que seria necessario tirar pelo ponto A huma recta qualquer que seja, tomar sobre esta recta Ac, e AC, iguaes a MQ, e a NO, depois tirar c b parallela a CB; e então o ponto b seria o ponto procurado.

Os Geometras exprimem destoutro modo o problema, que acabamos de resolver. Achar a tres linhas NO, MQ, AB a quarta proporcional.

XLII.

As alturas dos triangulos semelhãtes são proporcionaes aos seus lados.

EST. IV.

He evidente que dous triangulos semelhantes ABC, (Fig. 7. e 8.) a b c terão não sómente os seus lados proporcionaes, mas que as perpendiculares CF, c f, que se abaixarem

dos seus vertices C, c, sobre as bases AB, a b, seguiráõ tambem a proporção dos lados; o que he tão facil de demonstrar pelo que precede, que deixamos de nos demorar nisto.

XLIII.

EST. IV.

Quanto á área dos triangulos semelhantes ABC, a b c, vê-se que a do primeiro conterá tantos quadrados X feitos pela medida P, como a área do segundo conterá de quadrados x feitos pela medida p. Porque como CF, e AB terão, pelo Artigo precedente, tantas partes P, quantas c f, e a b terão de p; a metade do producto de CF por AB, medida de ABC, (Artigo XIV.) dará o mesmo numero, como o que resultará da metade do producto de c f por a b medida de a b c; porém com esta differença, que CF, e AB, contando-se por partes P, o seu producto se contará por quadrados X; e que c f, e a b, que se contaráõ por partes p, darão hum producto, que se contará por quadrados x.

XLIV.

As áreas dos triangulos semelhantes são entre si, como os quadrados dos seus lados homologos.

O que acabamos de dizer sobre a medida dos triangulos semelhantes, serve de prova a huma proposição, que nos Elementos de Geometria se exprime ordinariamente desta sorte. Os triangulos semelhantes ABC, a b c são entre si como os quadrados ABDE, a b d e dos seus lados homologos, ou correspondentes AB, a b.

EST. IV.

A demonstração, que o Artigo precedente contém, traz absolutamente esta consequencia; porque o quadrado ABDE, contendo tanto de X, como a b d e contém de x, he evidente que os dous numeros de quadrados X, que exprimem a relação do triangulo ABC, para o quadrado ABDE, são os mesmos, que

os numeros de quadrados x, que dam a relação do triangulo a b c para o quadrado a b d e; ou, o que vem a ser o mesmo, que o triangulo ABC he para o quadrado ABDE, como o triangulo a b c para o quadrado a b d e.

Disto se segue, que se, por exemplo, o lado AB fosse duplo do lado a b, o triangulo ABC seria quadruplo do triangulo a c b; que se AB fosse triplo de a b, o triangulo ACB seria nove vezes maior do que o triangulo a c b, &c.; porque AB não póde ser duplo de a b, sem que o quadrado ABDE seja quadruplo de a b d e, &c.

XLV.

A mesma EST. IV. Propriedades das figuras semelhãtes, tiradas das dos triangulos.

EST. IV.

Para passar agora dos triangulos ás mais figuras, supponhamos que a cada hum dos triangulos semelhantes ABD, (Fig. 1. e 2.) a b d se ajuntem outros dous triangulos ADE, e BDC, ade, e bdc, os dous primeiros

semelhantes aos segundos, ver-se-ha que nas figuras totaes ABCDE, a b c d e,

1.º Os angulos A, B, C, D, E serão os mesmos, que são os angulos a, b, c, d, e; o que he evidente, pois que huns, e outros serão ou angulos correspondentes de triangulos semelhantes, ou angulos compostos destes angulos correspondentes.

EST. IV.

2.º Ver-se-ha que a proporção dos lados homologos, ou correspondentes DE, d e, BC, b c, &c. das figuras ABCDE, a b c d e, será necessariamente a mesma; isto he, que se P, por exemplo, se acha hum certo numero de vezes na base AB, e que p se acha o mesmo numero de vezes em a b; P, e p serão tambem comprehendidos hum mesmo numero de vezes em dous lados homologos, quaesquer que sejam DE, e d e; pois por causa da semelhança dos triangulos ABD, a b d, a quantidade

de P, que contiver AD, igualará a quantidade de p comprehendida em a d; então considerando estes lados como bases dos triangulos semelhantes ADE, a d e, o numero de partes P comprehendidas em DE, será o mesmo que for o numero de partes p, que conterá o lado d e.

3.º Ver-se-ha tambem, que se nas duas figuras se tirarem as linhas correspondentes, taes como CE, c e, ou as perpendiculares DF, d f, &c. estas linhas estarão sempre entre si na mesma razão em que estiverem os lados homologos das duas figuras.

Logo as figuras ABCDE, a b c d e serão inteiramente semelhantes em todas as suas partes.

XLVI.

EST. IV.

Tendo-se assim descripto a figura a b c d e perfeitamente semelhante á figura ABCDE, he evidente que se se quizesse traçar de novo huma figura inteiramente igual a a b c d e, e por consequencia tambem semelhante a ABCDE, seria inutil o medir todos os lados, e todos os angulos de a b c d e, mas que bastaria, por exemplo, tomar os tres lados ab, ea, bc, e os quatro angulos e, a, b, c, e com isto sómente seriamos certos de traçar a mesma figura a b c d e, semelhante a ABCDE; o que fórma huma demonstração completa daquillo, que sómente se presumia. (Artigo XXXVII.) Mas póde-se ir mais adiante; porque claro está que sempre haverá differentes modos de combinar a quantidade dos angulos, e das linhas, que necessariamente se devem medir em qualquer figura, para della se fazer outra, que lhe seja proporcional; porém fatigariamos ao Leitor, querendo tratar este ponto mais diffusamente.

XLVII.

As áreas das figuras semelhantes são entre si, como as quadrados dos lados homologos.

EST. IV.

Com discursos semelhantes aos do Artigo XLIII. se demonstraria que o numero de quadrados X, que contém a figura ABCDE, he o mesmo que o de quadrados x comprehendidos na figura a b c d e; e que assim as áreas das figuras semelhantes são entre si como os quadrados dos seus lados homologos.

XLVIII.

As figuras semelhantes não são differençadas senão pelos petipés, por onde ellas foram construidas.

Tudo o que acabamos de dizer sobre as figuras semelhantes, se póde reduzir a este só, e unico principio, que as figuras semelhantes não differem humas das outras, senão pelos petipés, por onde ellas são construidas.

XLIX.

EST. V.

Agora para melhor se conhecer o uso, que se deve fazer dos triangulos semelhantes, e das reducções, para se ter a medida dos terrenos, sobre os quaes se não poderia commodamente trabalhar, figuremo-nos que ABCDEF (Estampa V. Fig. 1. e 2.) represente o contorno de huma Quinta, de hum Lago, &c. do qual se quizesse saber a extensão. Medir-se-ha logo hum dos lados da figura FE, por exemplo, e ver-se-ha quanto elle terá de varas, de braças, &c. depois tomando o petipé da grandeza que se quizer, se traçará sobre hum papelão, ou papel huma linha f e, igual a tantas partes do petipé, quantas FE contiver de varas, de braças, &c.; e fazendo os angulos d e f, d f e iguaes aos angulos DEF, DFE, se terá o triangulo e d f, no qual se abaixará e g, perpendicular a d f: isto feito, e as linhas d f, e e g, sendo medidas por meio do petipé, se concluirá que tantas partes reduzidas conterão estas linhas, como DF, e EG conterão de braças, de varas, &c. Assim multiplicando DF por a metade de EG, se saberá o valor do triangulo EDF; e medindo do mesmo modo cada

hum dos outros triangulos DCF, BCF, ABF, a área da figura toda se achará determinada.

L.

Maneira de medir a distancia de hum lugar inaccessivel.

Succede muitas vezes na prática ser preciso medir-se a distancia que ha do lugar F, onde se está, a outro lugar, onde algum obstaculo impede que se possa ir; novo Problema; porém já a sua solução se deo anticipadamente no Artigo, que a este precede; porque se para se medir DF não houve necessidade, senão da semelhança dos triangulos d e f, e DEF, claro está que medindo-se qualquer base EF, e podendo-se descubrir dos pontos F, e E o ponto D, estará o Problema resolvido, isto he, se terá a distancia FD.

LI.

EST. V.

O uso, que se póde fazer dos instrumentos particulares, taes como b A c, (Fig. 3.) que eu disse, (Artigo XXVIII.) composto de duas regras unidas no ponto A, á roda do qual ellas podem circular, traz comsigo varios inconvenientes. Humas vezes a abertura do angulo se mudará ao transportallo; outras a fórma, que somos obrigados a dar ao instrumento para facilitar o seu uso, impedirá que se possa applicar sobre o plano, em que se quer fazer a reducção.

Ajuntemos a isto, que cada novo angulo BAC, que se toma deste modo, pede que se transporte de novo o instrumento sobre o papel; e que o unico meio, que ha para comparar dous angulos, he de os pôr hum sobre o outro, sem que deste modo se possa ter justamente nem a relação, que ha entre elles, nem as suas grandezas absolutas.

LII.

Hum angulo tem por medida o arco do circulo, que em si comprehendem os seus lados.

EST. V.

Era pois necessario que se procurasse huma medida fixa para os angulos, como já a havia para os comprimentos. Ora esta medida, que era necessario haver, foi facil de achar. Porque Ab (Fig. 4.) ficando fixa, applica-se-lhe logo o lado Ac; e fazendo gyrar este lado á roda de A, he certo que encostando-se á extremidade c da regra movel A c huma penna, ou hum lapis, que mostre sensivelmente o rasto do ponto c, este rasto, que formará hum arco de circulo, dará exactamente a medida do angulo para cada abertura particular dos lados Ab, Ac; isto he, que por ser uniforme a curvidade do circulo, necessariamente succederá que a huma abertura dupla, tripla, quadrupla de c A b corresponderá hum arco duplo, triplo, quadruplo de cb.

LIII.

EST. V.

Suppondo pois que a circumferencia bcdfg, (Fig. 4.) descripta

pela revolução inteira do ponto c, esteja dividida em qualquer numero de partes iguaes, o numero de partes, de que o arco se compõe, e que estam postas entre as linhas Ac, e Ab, medirá exactamente a abertura destas linhas, ou o angulo cAb, que ellas formarem.

O circulo he dividido em 360 gráos, cada gráo em 60 minutos, cada minuto em 60 segundos, &c.

Convieram os Geometras em dividir o circulo em 360 partes, a que chamáram gráos, cada gráo em 60 minutos, cada minuto em 60 segundos, &c. Assim hum angulo b A c, por exemplo, terá 70 gráos, e 20 minutos, se o arco bc, que lhe servirá de medida, tiver 70 das 360 partes do circulo, e demais 20 das 60 partes de hum gráo.

LIV.

O angulo recto tem 90 gráos, e os seus lados são perpendiculares hum ao outro.

EST. V.

Do que se segue, que hum angulo CAB (Fig. 5.) de 90 gráos, chamado commummente angulo recto, he aquelle, cujos lados AC, e AB comprehendem o quarto BC da circumferencia, os quaes são perpendiculares hum ao outro.

LV.

Hum angulo agudo he mais pequeno do que hum recto.

Chama-se angulo agudo o angulo mais pequeno do que hum angulo recto, ou que tem menos de 90 gráos. Taes são os angulos CAB, (Fig. 6.) FAG, EAG.

LVI.

Hum angulo obtuso he maior do que hum recto.

Pelo contrario chama-se angulo obtuso aquelle, que tem mais de 90 gráos, como FAB.

LVII.

A somma dos angulos feitos da mesma parte sobre huma linha recta, e que tem o mesmo vertice, vale 180 gráos.

He evidente que todos os angulos GAF, (Fig. 6.) FAE, EAC, CAB, que se podem fazer da mesma parte sobre huma linha recta GB, e que tem o mesmo vertice A, tomando-os juntos, são iguaes a 180 grãos, ou a dous angulos rectos, medidos pela semicircumferencia.

EST. V.

LVIII.

Todos os angulos, que se podem fazer á roda de hum mesmo ponto, são, tomando-os a todos juntos, iguaes a quatro angulos rectos.

Da mesma sorte a somma de todos os angulos EAF, (Fig. 7.) FAB, BAC, CAD, DAE, que se podem fazer á roda do ponto A, que lhes serve de vertice commum, he igual a 360 gráos, ou a quatro angulos rectos, medidos pela circumferencia inteira BCDEF.

LIX.

Uso do instrumento chamado Semicirculo dimensorio, para tomar a grandeza de hum angulo.

Depois de termos visto que os angulos tem as partes do circulo por medida, vejamos como faremos para saber quantos gráos conterá hum angulo, que quizermos medir.

EST. V.

Servir-nos-hemos de hum instrumento I, (Fig. 8.) chamado Semicirculo dimensorio: este instrumento he composto de duas regras EAC, DAB, de igual comprimento, que se cruzão em A, e que tem humas pinulas nas suas extremidades. Huma destas regras EC, a que chamam alidada, he movel á roda de A; e a outra DB he fixa, que serve de diametro ao semicirculo DCB dividido em 180 gráos, &c.

Ora querendo-se saber o angulo, que formam duas linhas rectas, tiradas do lugar, em que se estiver, a dous objectos quaesquer F, G, põe-se primeiramente a regra fixa DAB, de sorte que o olho posto em D veja hum dos dous objectos F, pelas duas pinulas D, e B: depois, sem mover o instrumento, se mova a alidada, até que o olho posto em E descubra o outro objecto G pelas pinulas E, e C; e então a alidada notará sobre o semicirculo graduado o numero de gráos, minutos, &c. que contiver o angulo proposto GAF.

LX.

Uso do Transferidor para fazer hum angulo de hum numero determinado de partes.

EST. V.

Querendo-se fazer sobre o papel hum angulo de hum numero determinado de gráos, nos serviremos de hum instrumento K (Fig. 9.) dividido em 180 gráos, chamado Transferidor; e pondo o centro A sobre a ponta do angulo, que se quer traçar, e a linha AB sobre a linha AG, que se toma por hum dos lados do angulo, se marque o ponto C, que corresponde ao numero de gráos, que se quer dar ao angulo proposto; depois por este ponto, e pelo centro A, tirando a linha ACO, se terá o angulo OAG, que conterá o numero de gráos pedido.

LXI.

EST. VI.

Supponhamos agora que tendo-se tomado em hum papel a base FG, (Estampa VI. Fig. 1. e 2.) se queira fazer sobre esta base hum triangulo FGH, semelhante ao triangulo ABC, tomado sobre hum terreno. Para sabermos o que cada hum dos angulos CAB, CBA conterá de gráos, nos serviremos do semicirculo; depois por meio do transferidor se farão os angulos HFG, e HGF, respectivamente iguaes aos angulos CAB, e CBA; e então porque o ponto H, no qual se uniráõ os lados FH, e GH, ficará necessariamente determinado por esta operação, como tambem o angulo FHG se terá o triangulo FGH, inteiramente semelhante ao triangulo ABC.

LXII.

EST. VI.

Como importa muito que na prática, como dissemos, sejam os angulos exactamente medidos, não nos devemos contentar de os tomar, ainda com os instrumentos mais perfeitos; he tambem preciso achar o modo de verificar as suas medidas, para se fazer a correcção dellas, quando seja necessario. Ora este modo he simples, e facil. Tornemos ao triangulo ABC. Conhecemos que a grandeza do angulo C deve resultar da dos angulos A, e B; porque augmentando-se, ou diminuindo-se estes angulos, a posição das linhas CA, BC se alteraria, e por consequencia tambem o angulo C, que estas linhas entre si fazem. Ora se o angulo C depende da grandeza dos angulos A, e B, deve-se presumir que o numero de gráos, que os angulos A, e B comprehendem, deve determinar o numero de gráos, que ha de conter o angulo C; e que assim poderá servir para verificar as operações, que se tiverem feito para determinar os angulos A, e B; pois que nos certificaremos de termos medido bem os angulos A, e B, se medido depois o angulo C, se lhe achar o numero de gráos, que lhe pertencer relativamente á grandeza dos angulos A, e B.

EST. VI.

Para se achar como da grandeza dos angulos A, e B se póde concluir a do angulo C, examinemos o que a este angulo succederia, se as linhas AC, BC se viessem a chegar, ou a apartar huma da outra. Supponhamos, por exemplo, que BC, (Fig. 3.) movendo-se ao redor do ponto B, se aparta de AB para se avizinhar a BE, he evidente que em quanto BC se movesse, o angulo B se abriria continuadamente; e que ao contrario o angulo C se fecharia cada vez mais; do que logo se podia presumir, que neste caso a diminuição do angulo C igualaria a augmentação do angulo B; e que assim a somma dos tres angulos A, B, C seria sempre a mesma, qualquer que fosse a inclinação das linhas AC, BC sobre a linha AE.

LXIII.

Angulos alternos são os angulos, que huma linha recta fórma de huma, e outra parte, cahindo sobre duas parallelas.

Estes angulos são iguaes.

EST. VI.

Ora esta inducção presumida traz a sua demonstração comsigo; porque tirando-se a recta ID (Fig. 4.) parallela a AC, primeiramente se verá que os angulos ACB, e CBD, chamados angulos alternos, serão iguaes, o que he evidente; pois que as linhas AC, e IB, sendo parallelas, serão inclinadas igualmente sobre CBO; e que assim o angulo IBO igualará o angulo ACB. Mas tambem o angulo IBO igualará o angulo CBD, porque a linha ID não será inclinada sobre CO mais de huma parte, do que da outra: logo o angulo DBC igual ao angulo IBO, igualará o angulo ACB seu alterno.

LXIV.

A somma dos tres angulos de hum triangulo he igual a dous angulos rectos.

EST. VI.

Em segundo lugar se verá que o angulo CAE será igual ao angulo DBE, por causa das parallelas CA, e DB. Assim os tres angulos do triangulo se poderiam pôr ao pé huns dos outros, e unidos pelos seus vertices no ponto B, e então se veria que os tres angulos DBE, CBD, e CBA, que igualariam os tres angulos CAB, ACB, CBA, seriam iguaes a dous angulos rectos; (Artigo LVII.) e como tudo o que temos dito se poderá applicar do mesmo modo a qualquer triangulo que seja, haverá a certeza desta propriedade geral, que a somma dos tres angulos de hum triangulo he constantemente a mesma, e que ella he igual a dous rectos, ou, o que vem a ser o mesmo, a 180 gráos.

LXV.

Logo para se concluir o valor do terceiro angulo de hum triangulo, tendo-se medido dous, será preciso diminuir de 180 gráos o numero de gráos, que os dous angulos tomados juntos tiverem; propriedade, que nos dá hum modo commodissimo de verificar a medida dos angulos de hum triangulo, da qual se verá huma infinidade de outras utilidades, segundo formos adiante. Aqui nos contentaremos de tirar as consequencias as mais immediatas.

LXVI.

Hum triangulo não póde ter mais do que hum angulo recto; e com mais forte razão não póde ter mais de hum angulo obtuso.

LXVII.

Se hum dos tres angulos de hum triangulo he recto, a somma dos outros dous he sempre igual a hum recto.

Estas duas proposições são tão claras, que não he preciso demonstrallas.

LXVIII.

O angulo exterior de hum triangulo vale os dous angulos interiores oppostos.

Prolongando-se hum dos lados do triangulo ABC, (Fig. 4.) por exemplo, o lado AB, o angulo exterior CBE sómente, valerá tanto como os dous angulos interiores oppostos BCA, e CAB; porque se ao angulo CBA se ajuntarem os dous angulos BCA, e CAB, ou o angulo CBE, a somma será sempre igual a 180 gráos, ou a dous angulos rectos. (Artigo LXIV.)

LXIX.

EST. VI.

Sabendo-se o valor de hum dos angulos de hum triangulo isosceles ABC, (Fig. 5.) sabe-se o dos outros dous.

Hum angulo de hum triangulo isosceles dá os outros dous.

Tendo-se o angulo do vertice A, he evidente que diminuindo-se o numero de gráos, que este angulo contiver dos 180 gráos, que he a medida dos tres angulos do triangulo, a metade da somma que ficar, será a medida de cada hum dos angulos B, C, tomados sobre a base.

Se fosse hum dos dous angulos B, C, tomados sobre a base, que se tivesse reconhecido o dobro do seu valor diminuido de 180 gráos, daria o angulo do vertice A.

LXX.

Os angulos de hum triangulo equilatero são cada hum de 60 gráos.

EST. VI.

Como hum triangulo equilatero não he outra cousa senão hum triangulo isosceles, ao qual cada hum dos seus lados póde igualmente servir de base, claro está que os seus tres angulos são necessariamente iguaes, e que cada hum vale 60 gráos, terço de 180 gráos.

LXXI.

Descripção do exagono.

Daqui se tira facilmente a descripção do exagono, ou polygono de seis lados, que tinhamos promettido. (Artigo XXIV.)

EST. VI.

Porque para se achar huma linha, que reparta a circumferencia em seis partes iguaes, será preciso que esta linha seja a corda de hum arco de 60 gráos, sexta parte de 360 gráos, valor de toda a circumferencia. Suppondo pois que AB (Figur. 6.) seja esta corda, e do centro I, tirando para as extremidades A, e B, os radios AI, e IB, o angulo AIB valerá 60 gráos; e porque os dous lados AI, e IB ferão iguaes, o triangulo AIB será isosceles. Logo o angulo do centro, sendo de 60 gráos cada hum dos outros dous angulos valerá tambem 60 gráos, metade de 120. Logo (Artigo LXX.) o triangulo AIB será equilatero. Logo AB igualará o radio do circulo. Do que se segue, que para descrever hum exagono, será preciso abrir o compasso com hum intervallo igual ao radio, e pondo-o seis vezes successivamente sobre a circumferencia, teremos os seis lados do exagono.

LXXII.

A metade do angulo ao centro do exagono nos dá o angulo ao centro do dodecagono.

Descripto assim o exagono ABCDEF, facilmente se descreverá o dodecagono, ou polygono de doze lados.

Para o que divida-se o arco AKB, ou o angulo AIB, em duas partes iguaes; e AK, corda de metade do arco AKB, será hum dos lados do dodecagono.

EST. VI.

LXXIII.

Repartir hum angulo em dous igualmente.

Para se repartir o arco AKB em dous arcos iguaes, AK, e KB, se fará a mesma operação, como se se quizesse cortar a corda AB em duas partes iguaes; isto he, que dos pontos A, e B, como centros, e com qualquer intervallo se descrevam os arcos MLN, OLP; e do ponto L, secção dos dous arcos, se tire ao centro I a linha LI, a qual dividirá em dous o arco AKB, e a corda AB.

LXXIV.

Descripção dos polygonos de 24, 48, &c. lados.

Seguindo-se o methodo precedente, e repartindo-se o arco AK em dous arcos iguaes, a corda de hum destes dous arcos será o lado do polygono de 24 lados. Da mesma sorte se terão os polygonos de 48, 96 192, &c. lados.

EST. VI.

LXXV.

Descripção do octogono.

Agora para descrever hum octogono, isto he, hum polygono de 8 lados, se principiará, traçando-se hum quadrado em hum circulo, o que se fará, se depois de se tirarem dous diametros AIB, (Fig. 7.) e CIE, que se cortem em angulos rectos, se ajuntarem as suas extremidades com as linhas AC, CB, BE, AE.

Porque por causa da regularidade do circulo, e da igualdade dos quatro angulos, que formam as perpendiculares AIB, CIE, os quatro lados AC, CB, BE, EA serão necessariamente iguaes, e se acharáõ igualmente inclinados huns sobre os outros, o que não póde convir senão ao quadrado.

Descripto assim o quadrado, se dividirá pelo methodo precedente cada hum dos arcos CKB, BLE, &c. em duas partes iguaes, o que dará o octogono CKBLEMAN.

EST. VI.

E dos polygonos de 16, 32, &c. lados.

Repartindo-se da mesma sorte cada hum dos arcos CK, KB, &c. em 2, em 4, em 8, &c. partes iguaes, se terão os polygonos de 16, 32, 64, &c. lados.

FIM DA PARTE PRIMEIRA.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA.