PARTE SEGUNDA.

Do Methodo Geometrico de comparar as Figuras rectilineas.

Quem reflectisse no que fica dito a respeito do modo, com que se chegou a poder medir os Terrenos, necessariamente devia reparar, que as posições das linhas, respeito humas ás outras, davam materia para fazer observações dignas por si mesmas de attenção, independentemente da utilidade, que dellas podia resultar na prática: e he de presumir, que estas observações obrigáram os primeiros Geometras a passar a mais nos seus descubrimentos; porque não he sómente pela necessidade das cousas, que os homens se determinam a procurallas; muitas vezes a curiosidade he tambem outro grande motivo para os excitar a novos descubrimentos.

O que tambem contribuiria para os progressos da Geometria, he o gosto, que naturalmente se tem da sua exactidão rigorosa, sem a qual o espirito já mais se satisfaz.

Assim quando ao medir das figuras se vio que em huma infinidade de casos os petipés, e semicirculos não davam os valores das linhas, ou dos angulos, senão pouco mais, ou menos, se procuráram methodos, que supprissem ao defeito destes instrumentos.

Aqui tornaremos ás figuras rectilineas; porém nas operações, que fizermos para descubrir as suas justas proporções, não nos serviremos senão da regra, e compasso.

Succede muitas vezes que he necessario ajuntar em huma só figura várias outras, que lhe sejam semelhantes; ou desmembrar huma figura em outras da mesma especie; o que se póde fazer, operando logo pelos rectangulos, pois que todas as figuras rectilineas não são senão ajuntamentos de triangulos, e que cada triangulo he metade de hum rectangulo, que tem a mesma altura, e a mesma base.

I.

Dous rectangulos, que tem a mesma altura, estam na mesma razão das suas bases.

Para se compararem os rectangulos, he preciso saber reduzir qualquer rectangulo a outro, que tenha a mesma superficie; porém que tenha huma altura differente. Porque quando dous rectangulos se reduzirem a outros dous da mesma altura, elles não differiráõ mais que pelas suas bases; o maior será aquelle, que tiver a maior base, e elle conterá o mais pequeno, do mesmo modo que a sua base conterá a do mais pequeno rectangulo; o que ordinariamente se exprime assim: dous rectangulos, que tem a mesma altura, estam na mesma razão das suas bases.

II.

Para ajuntar estes dous rectangulos não será preciso mais do que pôr hum ao pé do outro.

III.

Nem mais difficil será o diminuir o menor do maior.

IV.

E para repartir hum rectangulo em hum numero determinado de rectangulos iguaes, será preciso repartir a sua base em hum semelhante numero de partes iguaes; depois levantar perpendiculares sobre os pontos de divisão.

V.

EST. VII.

Maneira de reduzir hum rectangulo em outro, que tenha huma altura dada.

Agora proponha-se o reduzir o rectangulo ABCD (Estampa VII. Fig. 1.) em outro BFEG, que tenha a mesma superficie, e que seja a sua altura BF, notar-se-ha que pois que o seu valor será o producto da sua altura pela sua base, será preciso que o rectangulo procurado BFEG, cuja altura será maior que BC, tenha a sua base mais pequena que AB; isto he, que se BF, por exemplo, he duplo de BC, será preciso que BG não seja senão metade de AB.

Se BF fosse triplo de BC, BG não seria senão o terço de AB.

EST. VII.

Da mesma sorte se verá que se BF, em lugar de conter BC hum numero certo de vezes, o contivesse com fracção, como duas vezes, e hum terço, o rectangulo BFEG não poderia ser igual ao rectangulo ABCD, sem que a sua base BG fosse tambem comprehendida duas vezes, e hum terço na base AB. E em geral, será facil de ver que a fim de que dous rectangulos ABCD, BFEG sejam iguaes, será necessario que a base BG de hum seja comprehendida na base AB do outro, como a altura BC na altura BF.

Logo não será preciso mais do que dividir a linha AB, de sorte que AB seja para BG, como BF para BC; o que se fará, (Parte I. Artigo XLI.) tirando a linha FA, e do ponto dado C a parallela CG.

VI.

Segunda maneira de reduzir hum rectangulo em outro, cuja altura seja dada.

EST. VII.

Para se reduzir o rectangulo ABCD (Fig. 2.) em outro rectangulo BFEG, que tenha huma altura dada FB, póde-se usar de huma maneira menos natural do que a precedente, porém mais cómmoda. Tendo-se prolongado AD até que ella encontre em I a recta FEI, tirada pelo ponto F, parallelamente a AB, se tirará a diagonal BI; e pelo ponto O, onde ella encontrará o lado DC, se tirará GOE parallela a FB, e o rectangulo BFEG será igual ao rectangulo ABCD.

Para o provar bastará que demonstremos, que tirando-se dos rectangulos ABCD, BFEG a parte commua OCBG, o rectangulo ADOG igualará o rectangulo EOCF.

EST. VII.

Ora reflectindo-se na igualdade dos dous triangulos IBF, IBA, se verá que diminuindo-se destes triangulos quantidades iguaes, os restos serão iguaes. Mas o triangulo IAB se mudará no rectangulo ADOG, diminuindo-se-lhe os dous triangulos IDO, OGB; como tambem o triangulo IBF virá a ser o rectangulo EOCF, pela diminuição dos dous triangulos IEO, OBC, iguaes aos dous primeiros. Logo os dous rectangulos ADOG, EOCF, restos dos dous triangulos, serão entre si iguaes, como tambem os rectangulos ABCD, BFEG.

VII.

Demonstra-se rigorosamente, que se dous rectangulos são iguaes, a base do primeiro he para a base do segundo, como a altura do segundo para a altura do primeiro.

Esta segunda maneira de mudar hum rectangulo em outro confirma o principio, que pela primeira se suppõe, o qual poderia parecer não ser fundado, senão em huma simples inducção.

Da igualdade dos dous rectangulos ABCD, BFEG se tinha concluido que era necessario que AB fosse para BG, como BF para BC; o que agora se póde provar pelo Artigo precedente.

Porque os triangulos IAB, e OGB, sendo manifestamente semelhantes, a base AB do grande será para a base GB do pequeno, como altura IA para a altura OG, ou como BF para BC suas iguaes. Logo AB será para BG, como BF para BC, conforme ao principio do Artigo V.

VIII.

EST. VII.

Se quatro linhas forem taes, que a primeira seja para a segunda, como a terceira para a quarta, o rectangulo formado pela primeira, e pela quarta será igual ao que se formar pela segunda, e pela terceira.

Do mesmo modo de que usámos para demonstrar, que da igualdade dos rectangulos ABCD, BFEG se seguia que a altura BF era para a altura BC, como a base AB para a base BG, se demonstraria tambem, que quando quatro linhas BF, BC, AB, BG forem taes, que a primeira seja para a segunda, como a terceira para a quarta, o rectangulo, que tivesse por altura, e por base a primeira, e a quarta destas linhas, seria igual ao rectangulo, que tivesse por altura, e por base a segunda, e a terceira.

IX.

Quatro quãtidades, das quaes a primeira he para a segunda, como a terceira para a quarta, se diz que estão em proporção, ou que formam huma proporção.

EST. VII.

Quando quatro quantidades, assim como as linhas precedentes BF, BC, AB, BG, são taes, que a primeira he para a segunda, como a terceira para a quarta, se diz que estas quatro quantidades estam em proporção, ou que ellas formam huma proporção, porque 6 he comprehendido em 9, da mesma sorte que 18 he incluido em 27. O mesmo he de 15, 25, 75, 125, &c.

X.

Dos quatro termos de huma proporção, o primeiro, e o quarto se chamam termos extremos, e medios o segũdo, e o terceiro.

A primeira, e a quarta das quatro quantidades de huma proporção se chamam termos extremos, ou simplesmente extremos; a segunda, e a terceira se chamam termos medios, ou simplesmente medios.

Servindo-nos das definições precedentes, he evidente que as proposições comprehendidas nos Artigos VII, e VIII se exprimiráõ deste modo.

XI.

Em huma proporção, o producto dos extremos he igual ao producto dos medios.

Quando quatro quantidades estam em proporção, o producto das extremas he igual ao producto das medias.

XII.

EST. VII.

Se o producto dos extremos he igual ao producto dos medios, os quatro termos formam huma proporção.

Se quatro quantidades forem taes, que o producto das extremas seja igual ao producto das medias, estas quatro quantidades estarão em proporção.

XIII.

Disto se tira a Regra de tres.

He necessario reflectir muito nos dous Artigos precedentes, porque são de grande uso: daqui se deduz entre outras cousas a demonstração da Regra, que se chama na Arithmetica a Regra de tres. Para darmos huma idéa desta regra, usemos de hum exemplo, pois he a mais simples maneira de nos explicarmos.

Supponhamos que 24 jornaleiros fizeram 30 braças de obra em hum certo tempo, pergunta-se: Quanta farão 64 jornaleiros em igual tempo?

EST. VII.

He evidente que para resolver a questão, he preciso achar hum numero, que seja para 64, na mesma razão de 30 para 24. Ora, segundo o que temos visto, este numero será tal, que o seu producto por 24, igualará o producto de 30 por 64. Mas se o producto de 30 por 64 he 1920, logo o numero procurado será aquelle, que sendo multiplicado por 24, dará 1920.

Ora por pouca luz, que se tenha das operações da Arithmetica, facilmente se percebe que este numero deve ser o quociente da divisão de 1920 por 24, isto he 80.

Ou a maneira de achar o quarto termo de huma proporção, da qual se dem os tres primeiros.

Em geral, para se achar o quarto termo de huma proporção, da qual forem dados os tres primeiros, será necessario tomar o producto do segundo, e do terceiro, e repartir este producto pelo primeiro termo da proporção.

XIV.

EST VII.

Hum exemplo tão simples, como o que escolhemos, talvez não faça bastantemente conhecer a necessidade do Methodo precedente. A boa razão sómente faria achar o numero pedido. Bem se vê que 30 excede hum quarto a 24, e que por isso he necessario que o numero procurado exceda hum quarto a 64, o que nos dá 80. Porém ha casos, nos quaes se poderia gastar muito tempo a procurar a relação dos dous primeiros numeros da proporção.

Por exemplo, quer-se o quarto termo proporcional aos tres numeros 259, 407, 483.

Para este se achar pelo methodo precedente, he necessario multiplicar 483 por 407, e repartir 196581, que he o seu producto, por 259, o que nos dá 759 para o quarto termo procurado.

EST VII.

Se de outra sorte se procurasse este termo, talvez que por tentativas se achasse. Bem se poderia descubrir, por exemplo, que 148, excesso de 407 sobre 259, contém quatro setimas partes de 259; que assim era tambem preciso ajuntar a 483 o numero 276, que contém quatro das suas setimas partes; porém a generalidade, e segurança do Methodo precedente nos livra sempre do embaraço das tentativas, que até seriam inuteis em muitos casos.

XV.

EST. VII.

Quando houverem dous quadrados para ajuntar, a sua addição se fará da mesma maneira da dos dous rectangulos, pois que os quadrados são rectangulos, cujas alturas, e bases são iguaes. Reduzir-se-ha pois hum dos quadrados, o mais pequeno por exemplo, em hum rectangulo, que tenha o lado do grande por altura, e os dous quadrados não farão mais do que hum rectangulo. Da mesma sorte se poderia dar a altura do quadrado pequeno a ambos, ou qualquer outra á vontade; mas o que absolutamente não podiamos deixar de nos propôr, quando se quizesse reduzir dous quadrados a huma só figura, era o fazer hum quadrado igual a outros dous. Problema este, de que era facil achar a solução seguinte.

XVI.

Fazer hum quadrado duplo de outro.

Supponhamos que os dous quadrados ABCD, (Fig. 3.) CBFE, dos quaes se quer fazer hum só quadrado, sejam iguaes entre si; he facil de perceber, que tirando-se as diagonaes AC, e CF, os triangulos ABC, e CBF farão ambos o valor de hum quadrado. Logo transportando para baixo de AF os outros dous triangulos DCA, e CEF, se fará o quadrado ACFG, o lado do qual AC será a diagonal do quadrado ABCD, e a sua superficie igualará a dos dous quadrados propostos, o que não precisa de demonstração.

XVII.

EST. VII.

Fazer hum quadrado igual a outros dous desiguaes.

Supponhamos agora que se queira fazer hum quadrado igual á somma de dous quadrados desiguaes, como ADCd, (Fig. 4.) CFEf; ou, que vem a ser o mesmo, que se queira reduzir a figura ADFEfd em hum quadrado.

Seguindo a idéa do methodo precedente, se procurará se he possivel achar na linha DF algum ponto H, tal,

1.º Que tirando as linhas AH, e HE, e fazendo-se mover os triangulos ADH, EFH á roda dos pontos A, e E, até que elles tomem as posições Adh, Efh, se ajuntem estes dous triangulos em h.

2.º Que os quatro lados AH, HE, Eh, hA sejam iguaes, e perpendiculares huns aos outros.

EST. VII.

Ora este ponto H se achará, fazendo DH igual ao lado CF, ou EF; porque da igualdade supposta entre DH, e CF, primeiramente se segue, que fazendo-se gyrar ADH á roda do seu angulo A, de forte que se lhe dê a posição A dh, o ponto H chegando a h, estará distante do ponto C de hum intervallo igual a DF.

Da mesma igualdade supposta entre DH, e CF se segue tambem, que HF igualará DC; e que assim o triangulo EFH, gyrando á roda de E para tomar a posição Efh, o ponto H chegará ao mesmo ponto h, distante de C, de hum intervallo igual a DF.

Logo a figura ADFEdf ficará reduzida a huma figura de quatro lados AHEh. Não falta mais senão vermos se os quatro lados serão iguaes, e perpendiculares huns aos outros.

EST. VII.

Ora a igualdade destes quatro lados he evidente, pois que Ah, e hE são os mesmos que são AH, e HE; e a igualdade destes dous ultimos se tirará de que DH, sendo igual a CF, ou a FE, os dous triangulos ADH, HEF serão iguaes, e semelhantes.

Não nos resta senão ver se os lados das figuras AHE h formaráõ angulos rectos; do que facilmente nos certificaremos, notando, que em quanto HAD voltar á roda de A para chegar a hAd, será preciso que o lado AH faça o mesmo movimento, que faz o lado AD. Ora o lado AD fará hum angulo recto DAd, mudando-se em Ad. Logo o lado AH fará tambem hum angulo recto HA h, vindo a ser Ah.

Quanto aos outros angulos H, E, h, he bem visivel que elles serão necessariamente rectos; porque não será possivel que huma figura terminada por quatro lados iguaes tivesse hum angulo recto, sem que os outros fossem igualmente rectos.

XVIII.

EST. VII.

A hypothenusa de hum triangulo rectangulo, he o seu lado maior: e o quadrado feito por este lado, he igual á somma dos quadrados feitos pelos outros dous lados.

Se se observar que os dous quadrados ADCd, CFEf são feitos, hum sobre AD, lado medio do triangulo ADH, e o outro sobre EF, igual a DH, lado menor do mesmo triangulo ADH; e que o quadrado AHEh, igual aos outros dous, he descripto sobre o lado maior AH, que ordinariamente se chama a hypothenusa do triangulo rectangulo, se descubrirá esta famosa propriedade dos triangulos rectangulos, que o quadrado da hypothenusa he igual á somma dos quadrados construidos sobre os outros dous lados.

XIX.

De donde se tira hum modo simples de reduzir dous quadrados a hum sómente.

EST. VII.

Logo quando de dous quadrados HDKL, (Fig. 5. e 6.) ABCD se quizer fazer hum sómente, será desnecessario de os pôr hum ao pé do outro para os reduzir a hum só, como se fez no Artigo XVII. Bastará pôr os seus lados AD, DH, (Fig. 7.) de sorte que elles façam hum angulo recto, e tirar depois a linha AH, porque então esta linha será o lado do quadrado procurado AHIE.

XX.

Se os lados de hum triangulo rectangulo servirem de bases a tres figuras semelhantes, a figura, que se fizer sobre a hypothenusa, será igual ás outras duas.

Se houvesse duas figuras semelhantes DAFGM, (Fig. 8. e 9.) DHPON, e que se propuzesse de fazer dellas a terceira igual em superficie ás duas juntas, bastaria pôr as bases AD, HD destas duas figuras sobre os dous lados de hum angulo recto ADH, (Fig. 10.) e a hypothenusa AH do triangulo ADH seria a base da figura pedida.

EST. VII.

Para darmos a razão disto, considerem-se os quadrados ABCD, DHKL, AHIE feitos pelas bases das tres figuras semelhantes, e logo se verá pelo Artigo XVIII. que o quadrado AHIE sómente valerá pelos outros dous quadrados ABCD, DHKL. Ora as figuras semelhantes são entre si como os quadrados dos seus lados homologos. (Parte I. Art. XLVII.) Logo os quadrados ABCD, DHKL, AHIE se acham ser as mesmas partes das figuras DAFGM, DHPON, AHQRS.

Do que se segue que a figura AHQRS valerá tanto, como as outras duas. Supponhamos, por exemplo, que cada hum destes quadrados fosse a metade da figura, em que elle fosse comprehendido, ninguem duvidaria que a figura AHQRS não fosse igual ás outras duas, pois que a sua metade valeria tanto, como as metades das duas figuras DHPON, DAFGM. Da mesma sorte seria, se os quadrados ABCD, DHKL, AHIE fossem terços, quartos, &c. das figuras DAFGM, DHPON, AHQRS.

XXI.

Reduzir varias figuras semelhantes a huma sómente.

EST. VII.

Se se propuzesse o ajuntar tres, quatro, &c. figuras semelhantes; ou, que vem a ser o mesmo, tres, quatro, &c. quadrados, o methodo seria sempre o mesmo. Querendo, por exemplo, ajuntar tres, far-se-hia primeiramente hum quadrado igual aos dous primeiros; depois a este novo quadrado se lhe ajuntaria o terceiro, e assim se teria hum quadrado igual aos tres quadrados propostos.

XXII.

EST. VII.

Do que se segue, que propondo-se de fazer hum quadrado, que seja sinco, seis, &c. vezes maior do que outro, bastaria seguir o methodo precedente para resolver este Problema, e ainda ás avéssas, isto he, para fazer hum quadrado, que fosse sómente a quinta, sexta, &c. parte de hum quadrado proposto; o que simplesmente demandaria o lembrar-se do modo de achar a quarta proporcional a tres linhas dadas; porém na terceira Parte desta Obra daremos hum methodo mais directo, e mais commodo para resolver esta sorte de Problemas.

XXIII.

A addição das figuras semelhantes serve para huma prova decisiva da necessidade de se abandonarem os petipés, quando se querem fazer as operações de hum modo, que se possa demonstrar rigorosamente.

Supponhamos, por exemplo, que se tivesse para fazer hum quadrado duplo de outro; aquelles, que não soubessem o methodo dado no Artigo XVI. se haveriam nisto verisimilmente da maneira seguinte.

Dividiriam o lado do quadrado, que lhes dessem em hum grande numero de partes, em 100 partes por exemplo; depois multiplicando 100 por 100, achariam 10000 para o valor do quadrado, o que daria 20000 para o do quadrado pedido.

EST. VII.

Porém do valor deste não tirariam o modo de o descrever; sería preciso que tivessem o seu lado exprimido por hum numero, e que este numero fosse tal, que multiplicado por si mesmo, isto he, quadrando-o, o producto désse 20000.

O producto, que resulta da multiplicação de hum numero por si mesmo, he o quadrado deste numero.

Ora este numero, de que elles precisavam, em vão o procurariam em hum petipé, cujas partes fossem centesimas do lado do primeiro quadrado; porque 141 multiplicado por si mesmo, daria 19881; e 142 daria 20164; o que se apartaria de huma, e outra parte do numero, que elles deviam achar.

A raiz de hum quadrado he o numero, que multiplicado por si mesmo, dá o quadrado.

Talvez cuidariam que repartindo o lado do quadrado proposto em mais de 100 partes, achariam hum numero determinado destas partes para o lado do quadrado duplo do primeiro; mas por mais provas que fizessem, sempre achariam que em vão procuravam dous numeros, hum dos quaes exprimisse o lado; ou, segundo a linguagem ordinaria, a raiz de hum quadrado, e o outro o lado, ou a raiz do quadrado duplo.

XXIV.

EST. VII.

Hum numero he multiplice de outro, quando elle o contém varias vezes exactamente.

Com effeito na Arithmetica se demonstra que se dous numeros não são multiplices hum do outro, isto he, se hum não contém o outro hum numero certo de vezes, o quadrado do maior nem por isso será multiplice do quadrado do mais pequeno. Assim 5, por exemplo, não se podendo repartir exactamente por 4, o seu quadrado 25 tambem se não poderá repartir por 16 quadrado de 4.

EST. VII.

O lado de hum quadrado, e a sua diagonal são incommensuraveis.

Assim quadrando-se dous numeros, hum dos quaes seja maior do que o outro; e que não obstante seja menor do dobro delle, sahiráõ por esta operação outros dous numeros, hum dos quaes será menor do que o quadruplo do outro; porém sem que possa ser duplo, nem triplo. Logo ainda que se divida o lado de hum quadrado em tal numero de partes que se quizer, o lado do quadrado duplo, que, segundo o que se demonstrou no Artigo XVI., será a diagonal deste quadrado, não conterá hum numero exacto destas mesmas partes; o que na linguagem dos Geometras se exprimiria, dizendo, que o lado do quadrado, e a sua diagonal são incommensuraveis.

XXV.

Outras linhas incommemensuraveis.

Tambem se póde notar que ha muitas outras linhas, que não tem alguma medida commua.

Porque escrevendo-se as duas series 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, &c. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, &c. a primeira das quaes exprime os numeros naturaes, e a outra os seus quadrados, se verá que assim como os numeros, que estiverem entre 4, e 9, entre 9, e 16, entre 16, e 25, &c. não terão alguma raiz, assim tambem os lados de dous quadrados, hum dos quaes seja triplo ou quintuplo, ou sextuplo, &c. do outro, serão entre si incommensuraveis.

XXVI.

EST. VII.

De serem varias linhas incommensuraveis com outras, poderia nascer alguma suspeita sobre a exactidão das proposições, que nos serviráõ para provar a proporcionalidade das figuras semelhantes. Já se vio que ao comparar estas figuras (Parte I. Artigo XXXIV., e segg.) sempre suppuzemos que ellas tinham hum petipé, que igualmente podia servir para se medirem todas as suas partes, cuja supposição parece que agora se devia limitar por conta do que assima dissemos. He preciso pois que tornemos atrás, e que examinemos se as nossas proposições, para serem certas, necessitam por si mesmas de algumas modificações.

XXVII.

EST. VII.

Tornemos ao que se disse no Artigo XXXIX. da primeira Parte, e vejamos se he exactamente verdade que os triangulos taes como a b c (Fig. 11. e 12.) ABC, cujos angulos são os mesmos, tenham os seus lados proporcionaes. Supponhamos, por exemplo, que a base do primeiro seja a b, e a do segundo huma recta AB, igual á diagonal de hum quadrado, que tenha por lado a b, e nesta supposição investiguemos se a proporção de AC para a c será como a de AB para a b.

EST. VII.

Ainda que, segundo o que temos visto, por maior que fosse o numero de partes, que arbitrariamente se suppuzessem em a b, AB, já mais poderia comprehender hum numero certo destas partes; he não obstante facil de perceber, que quanto este numero for maior, mais AB se approximará a ser medido exactamente pelas partes de a b. Supponhamos a b dividido em 100 partes; o que AB comprehenderá destas partes, se achará entre 141, e 142. (Artigo XXIII.) Contentemonos das 141, e deixemos o pequeno resto. Claro está (Parte I. Artigo XXXIX.) que AC conterá tambem 141 das partes de a c.

Supponhamos depois a b repartido em 1000 partes, o que AB conterá das partes de a b, será entre 1414, e 1415: tomamos sómente as 1414, e deixemos tambem o resto; achar-se-ha da mesma sorte que AC conterá 1414 das millesimas partes de a c; e que em geral AC conterá sempre tantas partes de a c com hum resto, como AB conterá das partes de a b com hum resto.

EST. VII.

Demais, estes restos, como temos observado, serão de huma, e outra parte tanto mais pequenos, quanto o numero das partes de a b for maior. Logo será permittido de os abandonar, imaginando-se a divisão de a b levada até o infinito; e poder-se-ha então dizer, que o numero de partes de a c, que AC comprehender igualará o numero de partes de a b, que AB contiver; e que assim AC será para a c, como AB para a b.

Os triangulos, e as figuras semelhantes tem os seus lados proporcionaes, ainda quando estes lados são incommensuraveis.

Temos pois rigorosamente demonstrado, que quando dous triangulos tem os mesmos angulos, elles tem os seus lados proporcionaes, seja que os seus lados tenham huma medida commua, ou que a não tenham.

A proposição (Part. I. Art. XLV.) donde se tira a proporcionalidade das linhas, que correspondem humas ás outras nas figuras semelhantes, da mesma sorte se justificaria.

XXVIII.

E estas figuras são sempre entre si, como os quadrados dos seus lados homologos.

EST. VII.

Com razões semelhantes se verá, que as proposições explicadas nos Artigos XLIV., e XLVII. da primeira Parte, onde se demonstrou que as áreas dos triangulos, e das figuras semelhantes tem entre si a mesma proporção, que tem os quadrados dos seus lados homologos, são sempre em geral verdadeiras, ainda quando os lados destas figuras são incommensuraveis.

Tomemos por exemplo os triangulos semelhantes ABC, a b c, dos quaes supporemos as alturas incommensuraveis com as suas bases; neste caso não haverá quadrado algum, por pequeno que seja, que possa servir de medida commua a estes triangulos, e aos quadrados feitos sobre as suas bases; isto he, as áreas a b c, e a b d e serão entre si incommensuraveis, como tambem as áreas ABC, e ABDE; porém não será menos certo, que o triangulo ABC será para o quadrado ABDE, como o triangulo a b c para o quadrado a b d e.

EST. VII.

Do que nos certificaremos, observando que quanto mais se suppuzerem ser pequenas as partes do petipé, de que nos servirmos para medir AB, e CK, tanto mais nos approximaremos a ter os numeros, que exprimiráõ a proporção de ABC para ABDE. Logo dividindo sempre o petipé do triangulo a b c no mesmo numero de partes, e abandonando os restos, se verá que os mesmos numeros serviráõ sempre para exprimir a razão do triangulo ABC para o quadrado ABDE, e a do triangulo a b c para o quadrado a b d e. Imaginemos que a divisão dos petipés seja infinita, e ver-se-ha que os restos viráõ a ser absolutamente nada; e poder-se-ha dizer, que os numeros, que exprimirem a razão do triangulo a b c para o quadrado a b d e, exprimiráõ tambem a razão do triangulo ABC para o quadrado ABDE; e que da mesma sorte o triangulos a b c será para o quadrado a b d e, como o triangulo ABC para o quadrado ABDE.

O mesmo será de todas as mais figuras semelhantes.

fim da Parte Segunda.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA.