PARADOXES ET SINGULARITÉS (continued 3)
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Ce problème, qui avait occupé les Anciens, est traité par Descartes au commencement de sa Géométrie.
Comment passer successivement sur tous les ponts de Paris, sans passer deux fois sur aucun d'eux?
Cas où l'on ne tient pas compte du pont en bois de l'Estacade et cas où l'on en tient compte.
Donner un triangle dont les trois côtés et la surface soient représentés par des nombres entiers. Il suffit de prendre pour côtés 3, 4 et 5 ou 13, 14 et 15.
Voici une autre solution donnée par M. Catalan:
a = 12355, b = 12363, c = 34, s = 204204.
Des enfants dansent en rond en se donnant la main, autour d'un autre placé au centre. Comment faut-il disposer les enfants, dans leurs rondes successives, pour que chacun d'eux se trouve une fois au centre, et deux fois voisin de tous ses camarades?
Quinze jeunes filles se promènent journellement trois par trois; on demande comment il faut arranger leurs promenades de telle sorte que chaque jeune fille se trouve successivement une seule fois en compagnie avec toutes les autres.
On sacrifiait à Apollon sur un autel cubique en or. Pendant une épidémie, on fit demander au dieu, pour l'apaiser, ce qu'il désirait; l'oracle répondit: Doublez l'autel.
Les prêtres construisirent un autel de côté double, mais la peste ne cessa point.
Le problème de la duplication du cube n'est pas élémentaire, c'est-à-dire qu'il ne peut pas se résoudre avec la règle et le compas, en traçant seulement des droites et des circonférences.
Diviser un angle en trois parties égales. Problème de la trisection.
Même observation que pour la question précédente: on ne peut que procéder approximativement.
Construire le carré équivalent à un cercle de rayon donné: tel est le problème de la quadrature du cercle.
Il faudrait savoir d'abord rectifier la circonférence, c'est-à-dire tracer la droite de même longueur qu'une circonférence de rayon donné, puis prendre la moyenne proportionnelle entre cette droite et la moitié du rayon.—Voici une solution très approchée, due au jésuite polonais Koskanski: aux extrémités du diamètre d'une demi-circonférence, élevez les perpendiculaires égales au triple du rayon et au demi-côté de l'hexagone régulier, la distance des deux points obtenus a sensiblement même longueur que la demi-circonférence.
On a démontré récemment que le problème de la quadrature du cercle est impossible avec la règle et le compas. Ce n'est pas seulement parce que π est incommensurable, puisqu'on sait construire rigoureusement certains nombres incommensurables.
Les Anciens avaient imaginé, pour résoudre les trois problèmes précédents, les courbes appelées cissoïde, conchoïde et quadratrice.
Un jardin circulaire renferme un puits à son centre. Le jardinier puise de l'eau dans le puits et s'en sert pour arroser le jardin. Combien mettra-t-il de temps pour l'arroser en entier?
Un bon bourgeois fait faire dans sa cave un casier de neuf cases disposées en carrés; la case du milieu était destinée à recevoir les bouteilles vides provenant de la consommation de soixante bouteilles pleines, qu'il disposa dans les huit autres cases en mettant six bouteilles dans chaque case des angles et neuf dans chacune des autres cases. Son domestique enleva d'abord quatre bouteilles qu'il vendit, et disposa les bouteilles restantes de manière qu'il y en eût toujours vingt et une sur chaque côté du carré. Le maître, trompé par cette disposition, pensa que son domestique n'avait fait qu'une transposition de bouteilles, et qu'il y en avait toujours le même nombre. Le domestique profita de la simplicité de son maître pour enlever de nouveau quatre bouteilles, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'il n'y fût plus possible d'en enlever quatre sans que le nombre vingt et un cessât de se trouver sur chaque côté du carré. On demande comment il s'y prit à chaque fois et de combien de bouteilles il fit tort à son maître.
Bachet de Méziriac.
L'erreur provenait de ce que les bouteilles placées dans les coins comptaient double.
Déterminer toutes les manières possibles de placer huit reines sur l'échiquier ordinaire, de telle sorte qu'aucune des reines ne puisse être prise par une autre.
Gauss.
Faire rapidement la somme des piles de boulets sphériques: piles carrées, rectangulaires ou triangulaires.
Le problème du déblai et du remblai a beaucoup occupé les mathématiciens. Il s'agit de partager la tranchée à creuser et le remblai à élever en volumes élémentaires, se correspondant deux à deux, de façon qu'en multipliant la masse de chacun des volumes élémentaires du déblai par le chemin qui le sépare du volume équivalent du remblai, la somme des produits obtenus soit la plus petite possible. Les frais de transformation du déblai en remblai seront alors minimums.
Discuter l'équation de la courbe du diable:
y4 - x4 + ay2 + bx2 = 0.
De combien de manières peut-on replier sur un seul une bande d'un nombre donné de timbres-poste?
Nous croyons qu'on n'a pas encore pu résoudre ce problème proposé par M. Em. Lemoine.
NOTE BIBLIOGRAPHIQUE
Aux renseignements sur les livres célèbres de mathématiques, épars dans cet ouvrage, nous allons ajouter les titres seulement de quelques livres sur la philosophie, l'histoire, les applications, l'enseignement et les curiosités des mathématiques.
PHILOSOPHIE DES MATHÉMATIQUES
Ampère.—Philosophie des sciences, 2 vol.
J. F. Bonnel.—De l'imagination dans les principes des sciences exactes.
De Broglie (abbé).—Influence du 1er livre d'Euclide sur la formation philosophique des esprits.
De Campou.—Théorie des nombres négatifs.
L. Carnot.—Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal.
T.-V. Charpentier.—Descartes.
Chasles.—Géométrie supérieure.
Coyteux.—Exposé des vrais principes des mathématiques.
A. Comte.—Philosophie positive (fin du premier volume et commencement du second).
Delbœuf.—Prolégomènes philosophiques de la géométrie.
Evellin.—Infini et quantité.
De Freycinet.—Essai sur la métaphysique du haut calcul.
Gigon.—Nombres incommensurables.
Hoüel.—Essai de critique sur les principes fondamentaux de la géométrie élémentaire.—Théorie élémentaire des quantités complexes.
L. Hugo.—Du symbolisme licite en mathématiques.
Jacquier.—De l'esprit des mathématiques supérieures.
Laguerre.—Recherches sur la géométrie de direction.
Laisant.—Théorie des quaternions.
Liard.—1o Définitions géométriques et définitions empiriques; 2o Descartes; 3o Les logiciens anglais contemporains.
Moigno (abbé).—De l'impossibilité du nombre actuellement infini.
Mourey.—La vraie théorie des quantités négatives et des quantités prétendues imaginaires.
Pascal.—Presque toutes ses œuvres.
Poncelet.—Traité des propriétés projectives.
De Tilly.—Essai sur les principes fondamentaux de la géométrie et de la mécanique.
F. Vallès.—Des formes imaginaires en algèbre.
Wolf.—Les hypothèses cosmogoniques.
HISTOIRE
Allegret.—Pascal, Viète, Newton et Leibniz.
Marie Agnesi.—Traité de calcul infinitésimal (Traduction de Bossut).
F. Arago.—Notices biographiques.
J. Bertrand.—Les fondateurs de l'astronomie moderne.
Bossut.—Histoire des mathématiques (2 vol., 1810).
Chasles.—Aperçu sur les méthodes en géométrie.
Cantor.—Histoire des mathématiques (en allemand).—Les deux premiers volumes, jusqu'en 1668.
Delambre.—Rapport sur les progrès des sciences mathématiques (1810).
Desboves.—Étude sur Pascal.
Eneström.—Programme d'un cours universitaire d'histoire des mathématiques. Stockholm, 1890.
Louis Figuier.—Vies des savants illustres (cinq volumes).
Fontenelle.—Éloges des académiciens.
Garnier.—Trisection de l'angle (1809).
De Fonvielle.—La mesure du mètre.
Sophie Germain.—Mémoire sur les surfaces élastiques.
Charles Henry.—Lettres de Lagrange, de Laplace, d'Euler; les deux plus anciens traités français de mathématiques; introduction à une esthétique scientifique, etc.
Hermite.—Discours à l'inauguration de la nouvelle Sorbonne.
G. Humbert.—Progrès des mathématiques en France de 1878 à 1888. (Dans le compte rendu du Congrès bibliographique.)
E. Lebon.—Notions sur l'histoire de l'astronomie. (Dans le Bulletin scientifique.)
Maindron.—L'Académie des sciences.
Mansion.—Précis de l'histoire des Mathématiques.
Maximilien Marie.—Histoire des sciences mathématiques (12 volumes).
Montucla.—Histoire des Mathématiques (4 volumes).
Pinet.—Histoire de l'École polytechnique.
Savérien.—Progrès de l'esprit humain dans les sciences exactes.
P. Tannery.—La géométrie grecque.
Valson.—Essai sur la vie et les travaux de Cauchy.
APPLICATIONS
Amigues.—À travers le ciel.
Annuaire du bureau des longitudes. (Petit mémorial indispensable, avec des notes scientifiques.)
J. Bertrand.—Calcul des probabilités.
Buffon.—Essai d'arithmétique politique.
Charlon.—Théorie mathématique des opérations financières.
Collet.—La carte dite de l'État-Major.
Cournot.—Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses.
Dormoy.—Théorie mathématique des assurances sur la vie.
Charles Dupin.—Géométrie et mécanique des Arts et métiers (4 volumes).
Flammarion.—Études et lectures sur l'astronomie (9 petits vol.).
De la Gournerie et E. Lebon.—Arches biaises.
Guyou et Simart.—Géométrie du navire.
Labosne.—Instruction sur la règle à calcul.
Laplace.—Exposition du système du monde; Essai philosophique sur le calcul des probabilités.
Sébastien Leclerc.—Pratique de la géométrie sur le papier et sur le terrain (1764).
Maurice Lévy.—La statique graphique (4 vol.).
Édouard Lucas.—Application de l'arithmétique à la construction de l'armure des satins réguliers.
G. de Longchamps.—Essai sur la géométrie de la règle et de l'équerre.
Mahistre.—L'art de tracer les cadrans solaires.
Amiral Mouchez.—La photographie astronomique.
Perry.—Physiologie mathématique.
A. Picard.—Introduction aux principes mathématiques du monde physique.
Le P. Secchi.—Le soleil.
Sonnet.—Dictionnaire des mathématiques appliquées.
F. Thoman.—Théorie des intérêts composés et des annuités.
ENSEIGNEMENT
Dauge.—Méthodologie mathématique.
Develay.—Arithmétique et algèbre d'Émile. (Avec cette épigraphe: Que mon élève n'apprenne pas la science; qu'il l'invente).
Duhamel.—Des méthodes dans les sciences de raisonnement (5 vol.).
Joanet.—Traité des réciproques de la géométrie de Legendre.
Lacroix.—Essai sur l'enseignement des mathématiques.
Lagout.—Tachimétrie.
Redouly.—ABC de l'X: Grammaire et logique des mathématiques.
Paul Serret.—Des méthodes en géométrie.
CURIOSITÉS
Bachet de Méziriac.—Problèmes plaisants et délectables.
Ball.—Récréations et problèmes. (En Anglais).
Bergery.—L'arithmétique sans chiffres.
Boissière.—Rhythmomachie ou combat des nombres.
Prince Boncompagni.—Cinq lettres de Sophie Germain à Gauss.
Bouchet (Ch.)—La poésie des mathématiques.
Busschop.—Recherche sur le jeu du solitaire (Bruges, 1879).
Calinon.—Étude sur la sphère, la ligne droite et le plan.
Carlet.—Application des Mathématiques à la Médecine.
Carrés magiques.—Frénicle, Sauveur, Euler, Violle, Thompson, Horner, Laquière, Frolow, etc.
Cartaud.—Pensées critiques sur les mathématiques.
Cham.—Arithmétique illustrée.
Chavignaud.—Nouvelle arithmétique mise en vers.
Cloarec.—Dynamique intellectuelle ou application de l'algèbre à la Théologie.
Coriolis.—Théorie mathématique du billard.
Cosserat.—Sur le cercle considéré comme élément générateur de l'espace.
Delbœuf.—Sur le théorème de d'Alembert.
Van Etten.—Récréations mathématiques (1633).
Flammarion.—Lumen.
Fleury.—Clé du taquin (Marseille, 1880).
Fontenelle.—Entretiens sur la pluralité des mondes.
Foucher.—La géométrie métaphysique. La géométrie en vers techniques (1807).
Gaukes.—De medicinâ ad certitudem mathematicam evehenda.
Guyot.—Nouvelles récréations mathématiques.
Du Hays.—Sur le jeu du loto.
Intégration de God save the queen.
Jacoby.—Henri Mondeux.
De Labourdonnaye.—Traité du jeu des échecs (1833).
Laisant.—Géométrie des quinconces.
Lamberg.—Courbe algébrique reproduisant les traits d'un visage.
De la Landelle.—Phylon Binome.
Laquière.—Géométrie de l'échiquier.
Leibniz.—Arithmétique binaire.
Em. Lemoine.—Mesure de la simplicité en mathématiques.
Édouard Lucas.—Récréations mathématiques (4 vol.).
Luya.—Amusements arithmétiques et algébriques de la campagne (Genève, 1799).
Mariage.—Numération par huit.
Mascheroni.—La géométrie du compas.
Le P. Mersenne.—Questions inouyes (1633).
Meyniez.—Paradoxes contre les mathématiciens qui abusent la jeunesse.
De Mirval.—Théâtre scientifique.
Montucla.—Histoire des recherches sur la quadrature du cercle.
Mydorge.—Récréations mathématiques.
Ozanam.—Récréations mathématiques (4 vol.).
J. B. Pérès.—Comme quoi Napoléon n'a jamais existé.
De Polignac.—Sur la course du cavalier au jeu des échecs.
Pott.—Le système numéral quinaire et vigésimal.
Reiss.—Combinaisons au jeu des 28 dominos.
Ricard (Dominique).—La sphère, poème en huit chants.
Stomma.—Les échecs.
Stupuy.—Œuvres philosophiques de Sophie Germain.
Tarnier.—Le langage des nombres.
Thomson.—La géométrie sans axiomes.
Trois livres d'arithmétique de Tahiti, en langue indigène (Oahu, 1836).
Vinot.—Récréations mathématiques.
Vitrey.—Contes et comptes; 148 problèmes en vers.
Weigel.—Arithmétique tétractique.
H. de Wronski.—Technie de l'algorithmie (1811).