PARADOXES ET SINGULARITÉS (continued 2)

Or le 4 septembre, dès 11 heures du soir, la lune se trouvait dans la direction du Champ-de-Mars à l'opposé de la Sainte-Chapelle, réplique un astronome.

Menu détail, est-ce que les peintres se préoccupent de placer comme il faut les cornes de la lune?

Lamartine a dit: Vénus se lève à l'horizon...

Dans un roman: «La lune, à son zénith, annonçait minuit.» À son zénith! Puis, l'heure du passage de la lune au méridien varie chaque jour.

Ces naïvetés astronomiques ont été relevées par des membres de la Société d'astronomie de M. Vinot.

CHEMINS

L'homme n'arrive jamais à une idée simple et vraie qu'à force de détour; pour lui, la ligne courbe est le chemin qui conduit à la ligne droite.

Saintine.

RÉGULIER

Pour moi, à ne consulter même que mes yeux, je ne vois rien de si beau qu'une figure qui seule renferme toutes les autres, qui n'a rien de coupé par des angles, rien qui aille de biais, rien de raboteux, point d'inégalité, point de bosse, point de creux. Ainsi les deux figures les plus estimées, savoir le globe parmi les solides, et le cercle parmi les planes, sont les seules dont toutes les parties soient semblables entre elles, et où le bas et le haut soient également éloignés du centre. Que peut-on imaginer de plus juste?

Cicéron.

ABRÉGEONS

Un professeur connu disait, pour abréger, perpenculaire et on l'appelait lui-même le père pencu. Un autre prononçait portionnel pour proportionnel. Un troisième rejetant parallélipipède et parallélépipède préférait parlipède; pourquoi pas spath, comme les Allemands, d'après la cristallographie?

PROTESTATION

S'il n'en est plus que mille, eh bien! j'en suis; si même Ils ne sont plus que cent, je brave encor Scylla; S'il en demeure dix, je serai le dixième, Et s'il n'en reste qu'un, je serai celui-là!

Victor Hugo (Les Châtiments).

CLAIR-OBSCUR

On sait ce que fut la révolution cartésienne: le Nombre prenant possession de la Géométrie, acceptant l'héritage des Anciens, mais sous bénéfice d'inventaire et comme pour soumettre toutes les vérités reçues à ses vérifications; poussant ensuite au-delà, avec nous, tantôt menant et infaillible, tantôt mené et n'oubliant rien derrière soi; nous abandonnant, il est vrai, le choix de nos problèmes, se réservant, lui, pour les résoudre: admirable géomètre qui, portant la géométrie à une impossible perfection, la supprimait du même coup si, capable comme il l'est de répondre à toutes nos questions, il ne devenait muet à la fin, se refusant à nous suppléer davantage et nous laissant l'interprétation de ses oracles. Ainsi fait le Nombre. Ce qu'il sait le mieux, c'est encore son commencement. Toutes les obscurités dont il nous délivre, de prime abord, il nous les laisse pour la fin, accumulées en un même point: quelquefois plus transparentes, s'il s'agit d'une chose simple, ou déjà connue, ou seulement supposée; plus opaques d'autres fois et d'une densité telle que, même en connaissant d'avance ce que l'on cherche, on ne le retrouve point.

P. Serret.

PAN!

«Nous jouons à compter, dit Charlotte, attention! Je commence de droite à gauche: vous comptez! Chacun son chiffre! À mesure que le tour lui vient, celui qui hésite ou qui se trompe, un soufflet! et ainsi de suite jusqu'à mille.» C'était amusant à voir. Elle parcourait le cercle le bras tendu. Le premier dit: «Un.—Deux, fit le second.—Trois, poursuivit l'autre; et toujours ainsi.» Mais bientôt elle commença d'aller plus vite: il y en eut un qui se trompa, pan! un soufflet et tous de rire; le suivant aussi, pan! et toujours plus vite...

Gœthe.

TOUT ET MOITIÉ

Je ne connais de biens que ceux que l'on partage. Cœurs dignes de sentir le prix de l'Amitié, Retenez cet ancien adage: Le tout ne vaut pas la moitié.

Florian.

DIX-HUIT

En argot, un dix-huit, c'est un habit dégraissé, un chapeau retapé, etc. Étymologie: dix-huit, c'est deux fois neuf.

BATAILLE OU RANÇON?

On lit, dans Le Siège de Paris, par le vicomte d'Arlincourt:

Pour chasser de ces murs les farouches normands, Le roi Charles s'avance avec vingt mille francs.

VERS NOMBREUX

Un vers nombreux est un vers bien rythmé, on dit des vers nombreux lorsqu'il s'agit de beaucoup de vers, nous nous permettons de qualifier ici de nombreux des vers qui contiennent des nombres. Boileau surtout avait le goût du numérique et celles de nos citations dont les auteurs ne sont pas nommés doivent être attribuées à Nicolas.

Le nombre 1.

Qu'en 1 lieu, qu'en 1 jour, 1 seul fait accompli Tienne jusqu'à la fin le théâtre rempli.

Brontin tient 1 maillet, et Boirude 1 marteau.

(On pourrait continuer longtemps ces citations.)

Le nombre 2.

Que Rheinberg et Wesel, terrassés en 2 jours, D'1 joug déjà prochain menacent tout son cours.

Sur 1 pont en 2 jours trompa tous tes efforts.

C'est donc trop peu, dit-il, que l'Escaut, en 2 mois, Ait appris à couler sous de nouvelles lois.

2 marmitons crasseux, revêtus de serviettes, Lui servaient de massiers, et portaient 2 assiettes.

2 nobles campagnards, grands lecteurs de romans.

1 lit et 2 placets composaient tout son bien.

Qui des 2, en effet, est le plus aveuglé?

1 ais sur 2 pavés forme un étroit passage.

Où sont ces 2 amants? Pour couronner ma joie, Dans leur sang, dans le mien, il faut que je me noie.

(J. Racine.)

2 voyageurs à jeun rencontrèrent une huître. Tous 2 la contestaient, lorsque dans leur chemin La Justice passa, la balance à la main. Devant elle à grand bruit ils expliquent la chose: Tous 2 avec dépens veulent gagner leur cause.

(La Fontaine.)

Le nombre 3.

Dans 3 jours nous verrons le phénix des guerriers.

Elle a vu 3 guerriers, ennemis de la paix.

Mais les 3 champions, pleins de vie et d'audace.

Si dans les droits du roi, sa funeste science Par 2 ou 3 avis n'eût ravagé la France.

Et que l'1 des Capets, pour honorer leur nom, Ait de 3 fleurs de lys doté leur écusson.

À 3 longueurs de trait, tayaut, voilà d'abord Le cerf donné aux chiens. J'appuie et sonne fort.

(Molière.)

Mais 3 fois plus heureux le jeune homme prudent.

(Gilbert.)

Il faut voir ce marchand, philosophe en boutique Qui, déclarant 3 fois sa ruine authentique, 3 fois s'est enrichi d'un heureux déshonneur, Trancher du financier, jouer le grand seigneur.

(Gilbert.)

Que vouliez-vous qu'il fît contre 3?—Qu'il mourût....

(Corneille.)

Le nombre 4.

4 bœufs attelés, d'un pas tranquille et lent, Promenaient dans Paris le monarque indolent.

1 valet le portait, marchant à pas comptés Comme 1 recteur suivi des 4 facultés.

Bientôt 4 bandits, lui serrant les côtés.

Les 4 contenaient 4 chœurs de musique.

(Corneille.)

Laissez-leur prendre 1 pied chez vous, Ils en auront bientôt pris 4.

(La Fontaine.)

Le nombre 5.

J'avais pris 5 bateaux pour mieux tout ajuster.

(Corneille.)

De 5 autres beautés la sienne fut suivie.

(Corneille.)

Le nombre 6.

Sur 1 lièvre flanqué de 6 poulets étiques S'élevaient 3 lapins, animaux domestiques.

6 chevaux attelés à ce fardeau pesant Ont peine à l'émouvoir sur le pavé glissant.

Il n'est fort, entre ceux que tu prends par centaines, Qui ne puisse arrêter un rimeur 6 semaines.

Vous saurez seulement qu'en ce lieu de délices On servit 12 plats, et qu'on fit 6 services. Cependant que les eaux, les rochers et les airs Répondaient aux accents de nos 4 concerts.

(Corneille.)

Dans cette cage resserrée On peut former jusqu'à 6 pas.

(Gresset.)

6 brins de paille délabrée Tressés sur 2 vieux échalas.

(Gresset.)

Le nombre 7.

Ni sans raison d'écrire en quel affreux pays Par 7 bouches l'Euxin reçoit le Tanaïs.

5 et 4 font 9, ôtez 2, reste 7.

Le nombre 8.

Je n'ai rien fait en vers; mais j'ai lieu d'espérer Que je pourrai bientôt vous montrer en amie 8 chapitres du plan de notre académie.

(Molière.)

Le nombre 9.

Les 9 trompeuses sœurs dans leur douce retraite

Ou de 30 feuillets, réduits peut-être à 9, Parer demi-rongés les rebords du Pont-Neuf.

Le nombre 10.

Firent plus en 10 ans que Louis en 10 jours.

De ces gens qui, suivis de 10 hourets galeux Disent Ma meute, et font les chasseurs merveilleux.

(Molière.)

Le nombre 15.

C'est elle qui, m'ouvrant le chemin qu'il faut suivre M'inspira, dès 15 ans, la haine d'un sot livre.

Un clerc, pour 15 sous, sans craindre le holà.

Le nombre 20.

Et le teint plus jauni que de 20 ans de hâle. 20 fois sur le métier remettez votre ouvrage.

Voulez-vous sur la scène étaler des ouvrages Où tout Paris en foule apporte ses suffrages Et qui, toujours plus beaux, plus ils sont regardés, Soient au bout de 20 ans encore redemandés?

En vain pour te louer ma muse toujours prête 20 fois de la Hollande a tenté la conquête.

À ce triste discours, qu'un long soupir achève, La Mollesse, en pleurant, sur un bras se relève, Ouvre un œil languissant, et, d'une faible voix, Laisse tomber ces mots qu'elle interrompt 20 fois.

Ils atteignaient déjà le superbe portique Où Ribou, le libraire, au fond de sa boutique Sous 20 fidèles clefs garde et tient en dépôt L'amas toujours entier des écrits de Hainaut.

Ainsi recommençant un ouvrage 20 fois, Si j'écris 4 mots, j'en effacerai 3.

Je me suis vu 20 fois prêt à quitter la table.

La Seine, au pied des monts que son flot vient laver Voit du sein de ses eaux 20 îles s'élever, Qui partageant son cours en diverses manières, D'une rivière seule y forment 20 rivières.

Et maudissant 20 fois le démon qui m'inspire.

C'est encor pis 20 fois en quittant la maison.

20 carrosses bientôt arrivant à la file.

Je saute 20 ruisseaux, j'esquive, je me pousse.

Achille mit 20 fois tout Ilion en deuil.

Et 20 fois, comme ouvrages nouveaux J'ai lu des vers de vous qu'il n'a point trouvés beaux.

(Molière.)

20 familles enfin couleraient d'heureux jours.

(Gilbert.)

Le nombre 30.

Là, depuis 30 hivers, un hibou retiré Trouvait contre le jour un refuge assuré.

Par ses soins cependant 30 légers vaisseaux. Et que tantôt, aux yeux du chapitre assemblé, Il soit sous 30 mains en plein jour accablé.

Elle a d'une insolence à nulle autre pareille Après 30 leçons, insulté mon oreille.

(Molière.)

Le nombre 32.

Et tel est le sublime siège D'où, flanqué des 32 vents, L'auteur de l'Almanach de Liège Lorgne l'histoire du beau temps.

(Gresset.)

Le nombre 40.

Puisqu'ainsi dans 2 mois tu prends 40 villes, Assuré des bons vers dont ton bras me répond, Je t'attends dans 2 ans au bord de l'Hellespont.

Qu'au bout de 40 ans, Cinna, Pompée, Horace Reviennent à la mode et retrouvent leur place.

(Corneille.)

Le nombre 50.

50 rats à mon oreille Ronflent en faux bourdon.

(Gresset.)

Le nombre 100.

N'avons-nous pas 100 fois, en faveur de la France, Comme lui dans nos vers pris Memphis et Bysance.

Horace eut 100 talents; mais la nature avare Ne vous a rien donné qu'un peu d'humeur bizarre.

J'aime mieux mettre encore 100 arpents au niveau.

Tu pourras les répandre et par 20 et par 100.

Ce pays où 100 murs n'ont pu te résister.

Nous l'avons vu, dit-il, affronter la tempête De 100 foudres d'airain, tournés contre sa tête.

Il voit 100 bataillons qui, loin se défendre, Attendent sur des murs l'ennemi pour se rendre.

100 guerriers s'y jetant signalent leur audace.

Bientôt victorieux de 100 peuples altiers.

De morts et de mourants 100 montagnes plaintives.

En 100 lieux contre lui les cabales s'amassent.

Balzac en fait l'éloge en 100 endroits divers.

De 100 coups de marteau me va fendre la tête.

Entre 100 vieux appuis dont l'affreuse grand'salle Soutient l'énorme poids de sa voûte infernale.

Et ses ruses perçant et digues et remparts, Par 100 brèches déjà rentrent de toutes parts.

Thémis a vu 100 fois chanceler sa balance.

Et leur art, attirant le culte des mortels, À sa gloire en 100 lieux vit dresser des autels.

Comme on voit qu'en un bois que 100 routes séparent.

D'Hozier lui trouvera 100 aïeux dans l'histoire.

Aussitôt 100 chevaux, dans la foule appelés.

100 francs au denier 5 combien font-ils?—20 livres.

Non; mais 100 fois la bête a vu l'homme hypocondre.

Dont les noms en 100 lieux, placés comme en leurs niches.

Qui, sans sujet, courant chez 100 peuples divers.

En transposant 100 fois et le nom et le verbe.

Et j'en ai refusé 100 pistoles, crois-moi.

(Molière.)

N'as-tu pas dû 100 fois te le faire redire?

(J. Racine.)

Aux filles de 100 rois je vous ai préférée.

(J. Racine.)

On me menace Si je ne sors d'ici, de me bailler 100 coups.

(Molière.)

Là, 100 figures d'air en leurs moules gardées.

(La Fontaine.)

Le peuple rentre et sort en 100 parts divisé.

(La Fontaine.)

Un mourant qui comptait plus de 100 ans de vie.

(La Fontaine.)

Eh! n'as-tu pas 100 ans? Trouve-moi dans Paris 2 mortels aussi vieux; trouve-m'en 10 en France.

(La Fontaine.)

Prenez ces 100 écus; gardez-les avec soin, Pour vous en servir au besoin. Le savetier crut voir tout l'argent que la terre Avait, depuis plus de 100 ans Produit pour l'usage des gens.

(La Fontaine.)

Rendez-moi, lui dit-il, mes chansons et mon somme, Et reprenez vos 100 écus.

(La Fontaine.)

Et 100 brimborions dont l'aspect importune.

(Molière.)

Et 100 portes d'airain s'ouvrent à ses regards.

(Voltaire.)

Dans cette pédantesque rue Où 30 faquins d'imprimeurs Avec un air de conséquence Donnent froidement audience À 100 faméliques auteurs.

(Gresset.)

Et tous ces demi-dieux que l'Europe en délire A depuis 100 hivers l'indulgence de lire.

(Gilbert.)

Le nombre 1000

1000 oiseaux effrayants, 1000 corbeaux funèbres.

Lorsqu'un cri tout à coup suivi de 1000 cris.

Et de 1000 remparts mon onde environnée.

Je fais 1000 serments de ne jamais écrire.

Malheureux 1000 fois celui dont la manie Veut aux règles de l'art asservir son génie.

1000 de ces beaux traits, aujourd'hui si vantés

Et 1000 autres qu'ici je ne puis faire entrer.

Au pied du mont Adule, entre 1000 roseaux.

Mieux que vous 1000 fois, dit le noble en furie.

Venez de 1000 aïeux; et, si ce n'est assez, Feuilletez à loisir tous les siècles passés.

Son cœur, toujours flottant entre 1000 embarras.

Au comble de son art, est 1000 fois monté.

Le poète s'égaye en 1000 inventions.

Et qui de 1000 auteurs retenus mot pour mot.

S'est couvert 1000 fois d'une noble poussière.

Eh bien! je m'adoucis. Votre race est connue; Depuis quand? Répondez: Depuis 1000 ans entiers, Et vous pouvez fournir 2 fois 16 quartiers.

Va par 1000 beaux faits mériter son estime.

Enfin sous 1000 crocs, la maison abîmée Entraîne aussi le feu, qui se perd en fumée.

Et pour 1 que je veux, j'en trouve plus de 1000.

1 stupide animal, sujet à 1000 maux.

En vain il a reçu l'encens de 1000 auteurs.

De posséder enfin 1000 dons précieux.

On a vu 1000 fois des fanges Méotides Sortir des conquérants goths, vandales, gépides.

Sans le secours des vers, leurs noms tant publiés Seraient depuis 1000 ans avec eux oubliés.

Tu viens m'embarrasser de 1000 autres vertus.

À peine dans Gombaut, Maynard et Malleville, En peut-on admirer 2 ou 3 entre 1000.

La Fable offre à l'esprit 1000 agréments divers.

Et sur son bois détruit bâtit 1000 procès.

Découvrir la nature en 1000 expériences.

(Molière.)

Après 1000 ans et plus de guerre déclarée.

(La Fontaine.)

La Seine au flot royal, la Loire dans son sein Incertaine, et la Saône, et 1000 autres enfin.

(Gilbert.)

Après qu'on eut mangé, 1000 et 1000 fusées.

(Corneille.)

Il nous faudrait 1000 personnes Pour éplucher tout ce canton.

(La Fontaine.)

Au sein de ses amis répandre 1000 choses.

(La Fontaine.)

Le nombre 6000

Fuyez le Char glacé des 7 astres de l'Ours Embrassez dans le cours de vos longs mouvements 200 siècles entiers par delà 6000 ans.

(Voltaire.)

Le nombre 100 000

J'ai 100 000 vertus en louis bien comptés.

Le nombre 1000000

Qu' 1000000 comptant par ses fourbes acquis, De clerc, jadis laquais, a fait comte et marquis.

Les fractions

Rien ne me fâche tant que les cérémonies, Et si l'on m'en croyait, elles seraient bannies. C'est un maudit usage, et la plupart des gens Y perdent sottement les ²/₃ de leur temps.

(Molière.)

Les trop nombreuses citations précédentes sont empruntées aux seuls classiques. Qu'on nous permette de citer encore le premier vers du Cromwel de Victor Hugo et trois vers de son Ruy Blas.

Demain 25 juin mil six cent cinquante-sept.

La maison de la reine, ordinaire et civile, Coûte par an six cent soixante-quatre mille Soixante-six ducats: c'est un pactole obscur.

CURIOSITÉS ET ÉTRANGETÉS

COURBE RENAISSANTE

Lorsqu'on transforme la spirale logarithmique, pour construire sa développée et sa caustique, on retrouve la première courbe. Jacques Bernoulli voyait là comme un symbole de la résurrection et aurait voulu qu'on gravât la courbe sur son tombeau avec ces mots: Eadem mutata resurgo.

CARRÉS MAGIQUES

On donne ce nom à tout carré divisé en cases où sont inscrits des nombres tels qu'en les prenant dans une colonne verticale, une rangée horizontale ou une diagonale, on ait toujours le même total. Voici par exemple un carré magique à neuf cases et à la somme constante 15; il est formé des neuf premiers nombres.

4 3 8

9 5 1

2 7 6

Remarquons que le carré reste magique si l'on ajoute un même nombre à tous ses nombres ou si on les multiplie par un même nombre.

On a donné dans l'Antiquité une importance symbolique à ces combinaisons qu'on retrouve dans presque tous les talismans.

Les carrés magiques deviennent diaboliques, s'ils sont tels que si on divise le carré en deux rectangles égaux ou inégaux et qu'on échange les deux parties, le carré reste magique.

Exemple:

15 6 9 4

10 3 16 5

8 13 2 11

1 12 7 14

CHARLES XII

Quelques personnes ont voulu faire passer ce prince pour un bon mathématicien; il avait sans doute beaucoup de pénétration dans l'esprit, mais la preuve que l'on donne de ses connaissances en mathématiques n'est pas bien concluante; il voulait changer la manière de compter par dizaines et il proposait à la place le nombre soixante-quatre, parce que ce nombre contenait à la fois un cube et un carré et, qu'étant divisé par deux, il était enfin réductible à l'unité. Cette idée prouvait seulement qu'il aimait en tout l'extraordinaire et le difficile.

Voltaire.

NOMBRES GÉOMÉTRIQUES

On appelle nombres triangulaires des nombres tels que

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * etc.

3 6 10

C'est ainsi rangées que voyagent les grues.

Il y a aussi les nombres quadrangulaires, pyramidaux, etc.

On croit tous les nombres semblables, mais Leibniz insiste sur leurs dissemblances.

COURBE BANALE

Malgré son nom savant, la cycloïde est banale.

En effet, chaque clou de chaque roue de voiture décrit la courbe en question, lorsque la voiture roule.

PLANÈTES HABITÉES

Il y a d'abord la terre sur laquelle nous vivons. Quant aux autres planètes, elles sont peut-être occupées par des êtres plus ou moins analogues aux hommes. C'est là l'objet d'hypothèses en l'air, sur lesquelles Fontenelle badine agréablement.

LES AUTRES ET SOI

Aimer, c'est préférer autrui à soi-même. La grandeur de l'amour est une fraction dont le numérateur,—mes préférences, mes sympathies pour autrui,—ne dépend pas de moi, tandis que mon amour pour moi-même peut être agrandi ou réduit par moi à l'infiniment petit, suivant l'importance que j'attache à mon individualité... Les raisonnements du monde sur l'amour et ses degrés sont des raisonnements sur la valeur des fractions, selon les numérateurs seuls, sans tenir compte des dénominateurs.

Tolstoï.

GÉOMÉTRIE DES ABEILLES

C'est le titre d'un ouvrage anglais de Taylor dans lequel sont expliqués les divers problèmes auxquels donne lieu la construction des ruches.

Les remarquables propriétés géométriques des alvéoles des abeilles ont été décrites par plusieurs observateurs: Pappus (iv^e siècle av. J.-C.); Maraldi (1712), Réaumur (1702-1739); Mac-Laurin; Castillon et Lhuillier (1781); Lord Brougham (1858); Terquem (1856-1860); Hultman (1868); Mullenhoff (1883); Hennessy (1885).

PAIR OU IMPAIR

Il vaut mieux parier pour impair, parce qu'on démontre que, dans un nombre donné de combinaisons, il y en a une de plus où les choses sont prises en nombre impair.

En matière de rythme poétique, Verlaine n'est pas moins affirmatif:

De la musique avant toute chose, Et pour cela préfère l'Impair, Plus vague et plus soluble dans l'air, Sans rien en lui qui pèse ou qui pose.

NOMBRES PARFAITS

Ce sont les nombres entiers qui sont égaux chacun à la somme de leurs diviseurs.

Exemples: 6, 28, 496, etc.

On ne connaît actuellement que neuf nombres parfaits:

2 x 3, 4 x 7, 16 x 31, 64 x 127, 4096 x 8191, 65536 x 131071, 262144 x 524287, 1073741824 x 2147483647 et 2⁶⁰(2⁶¹-1).

On sait, depuis Euclide, que les nombres parfaits sont de la forme 2ⁿ(2^{n + 1} - 1), à condition que n + 1 et 2^{n + 1} - 1 soient des nombres premiers.

NOMBRES AMIABLES

On dit que deux nombres sont amiables lorsque chacun est égal à la somme des diviseurs de l'autre. On en connaît trois paires: 234 et 220; 17296 et 18416; 9363584 et 9437056.

ARITHMOMANIE

M. de W... est âgé de 45 ans. Il est presque continuellement renfermé dans son cabinet où on le croit adonné à de sérieux travaux... En réalité, il passe tout son temps à compter combien de fois les mêmes lettres tantôt l'S, tantôt le T, tantôt le G, tantôt le Z, etc., sont répétées dans la Genèse, dans l'Exode, dans le Lévitique, etc.; combien de pages dans telle édition commencent par un P, combien par un B, combien par un A, etc.; combien finissent par un P, combien par un G, etc.

D^r Trélat.

Il lui vint à l'esprit l'idée de la fatalité du nombre 13 et quelquefois, avant de se coucher, il touchait 13 fois sa table de nuit ou 13 objets différents épars dans sa chambre. Peu à peu, il lui est arrivé de répéter plusieurs fois de suite ces 13 contacts et finalement il passait des nuits entières pour satisfaire à cette obsession.

Le nombre 13 le domine de plus en plus: il évite de mettre 13 mots dans une phrase et s'il en a écrit 12, sans compléter le sens, il se hâte d'en ajouter au moins deux pour dépasser 13, par crainte que le treizième ne soit cause d'un malheur. Il en est de même pour le langage, il compte de manière à éviter les phrases de 13 mots. Ce travail fatigant et ridicule le détourne de toute occupation sérieuse.

D^r Magnan.

RÉSOLUTION ÉLECTRIQUE

M. Félix Lucas se sert de l'électricité pour résoudre, à l'aide d'un seul graphique et sans calcul, une équation numérique de degré quelconque. (Comptes-rendus de l'Académie les sciences du 5 mars et du 9 avril 1888 et aussi du 22 décembre 1889.) Le moyen est fondé sur la production de figures par l'électrolyse.

CÉSARINE

... Cette petite, servant d'Égérie au vieux licencié et plus trapue en x que les candidats à Polytechnique et à Normale, cette petite est Césarine en personne...

... Vacquant lui-même, dit-il, Vacquant (c'est le professeur de spéciales) n'est que de la gnognotte auprès d'elle.

«Tout se résout en somme, dans la vie, même les actes les plus extraordinaires, par des équations bien faites.» (Mot de Césarine)... De ces équations morales, je n'ai vu moi que les inconnues dégagées, je veux dire les faits... je ne puis ainsi que noter des points, en laissant à de plus perspicaces le soin de retrouver les coordonnées psychologiques.

Richepin.

PASSIONS

L'amitié et l'amour, qui agissent dans une sphère circonscrite, qui se préoccupent exclusivement de la génération présente, d'un nombre limité d'individus, sont représentés par le cercle et l'ellipse, courbes finies, fermées, embrassant un espace nettement circonscrit.

La parabole et l'hyperbole, au contraire, sont des courbes qui ne se terminent pas, qui s'allongent indéfiniment, comme le familisme qui songe aux arrière-neveux, comme l'ambition qui rêve la postérité.

Dans le groupe d'amitié règnent l'égalité et la confusion des rangs. Dans le cercle tous les rayons sont égaux, tous partent du centre et se réfléchissent au centre.

L'ellipse présente deux foyers. Tout ce qui part de l'un se réfléchit à l'autre, image exacte de ce qui se passe entre deux cœurs unis par l'amour. Si le plan de l'ellipse s'incline de plus en plus sur une des arêtes du cône, un des foyers s'éloigne et va se perdre à l'infini. Alors l'ellipse se transforme en une parabole. C'est ainsi que l'amour dégénère insensiblement et conduit au familisme, c'est ainsi que l'affection qui rayonnait sur un seul être tend à s'élargir, à en embrasser plusieurs, à l'infini, dans le temps, comme les rayons de la parabole qui vont chercher le second foyer à l'infini dans l'espace.

Le rayon parti du foyer de l'hyperbole remonte en s'éloignant de l'axe, après avoir été réfléchi sur la courbe; il remonte d'autant plus qu'il a atteint déjà, du premier jet, un point plus élevé. C'est ainsi que l'ambitieux tend toujours à dépasser le point où il est parvenu et que ses désirs se grossissent de tous ses succès précédents.

L'hyperbole, comme l'ellipse, a pour limite la parabole, parce que l'ambition, comme l'amour, conduit au familisme. L'ambitieux, quand il n'a plus rien à espérer pour lui-même, songe à ses descendants, à sa maison, à son nom qu'il veut remettre aux âges futurs.

H. Renaud.

IMPÔT CUBIQUE

Un socialiste a imaginé ce système d'impôt unique d'après lequel chaque citoyen ne payerait plus qu'une somme basée sur le nombre des mètres cubes qui lui seraient nécessaires pour se loger, faire un commerce, etc.

SYSTÈME BINAIRE

Leibniz crut voir l'image de la création dans son arithmétique binaire où il n'employait que les deux caractères zéro et l'unité. Il imagina que Dieu pouvait être représenté par l'unité, et le néant par zéro; l'Être suprême avait tiré du néant tous les êtres, comme l'unité avec le zéro exprime les nombres dans ce système d'arithmétique. Cette idée plut tellement à Leibniz, qu'il en fit part au jésuite Grimaldi, président du Tribunal de mathématiques de la Chine, dans l'espérance que cet emblème de la création convertirait au christianisme l'empereur qui aimait particulièrement les sciences.

UNE CHENILLE

Les naturalistes ont nommé chenille géomètre une chenille qui, en marchant, semble mesurer ou arpenter le terrain avec la longueur de son corps.

LAPUTA

De là nous entrâmes dans l'École de Mathématiques dont le Maître enseignait à ses disciples une méthode que les Européens auront de la peine à s'imaginer. Chaque proposition, chaque démonstration était écrite sur du pain à chanter, avec une certaine encre de teinture céphalique. L'écolier à jeun était obligé, après avoir avalé ce pain à chanter, de s'abstenir de boire et de manger pendant trois jours, en sorte que le pain à chanter étant digéré, la teinture céphalique pût monter au cerveau et y porter avec elle la proposition et sa démonstration.

Swift.

Les philosophes, disait Bacbuc à Panurge, prescheurs et docteurs de vostre monde, vous paissent de belles paroles par les aureilles, ici nous réalement incorporons nos préceptions par la bouche. Pourtant je ne vous di lisez ce chapitre, entendez ceste glose: je vous di «goustez ce chapitre, avalez ceste glose.» Jadis un antique mangea un livre et fut clerc jusques aux dents; présentement vous emboirez un, et serez clerc jusques au foye. Venez, ouvrez les mandibules.

Rabelais.

Nous ne parlerons pas de certains préparateurs au baccalauréat, dits marchands de soupe.

PARLER DE CE QU'ON SAIT

Voici trois citations étranges de Chateaubriand:

1^o Le trois est une fraction qui n'est point engendrée et qui engendre toutes les autres fractions.

2^o Le calcul décimal peut convenir à un peuple mercantile, mais il n'est ni beau ni commode, dans les autres rapports de la vie et dans les équations célestes. La nature l'emploie rarement, il gêne l'année et le cours du soleil; et la loi de la pesanteur ou de la gravitation, peut-être l'unique loi de l'univers, s'accomplit par le carré et non par le quintuple des distances.

3^o Ce globe à la longue année (Jupiter) qui ne marche qu'à la lueur de quatre torches pâlissantes; cette terre en deuil (Saturne) qui, loin des rayons du jour, porte un anneau comme une veuve inconsolable...

Le même Chateaubriand dit dans ses Mémoires d'Outre-tombe:

Je fis des progrès rapides en mathématiques où j'apportai une clarté de conception qui étonnait l'abbé Leprince..... J'appris par cœur mes tables de logarithmes...

GÉOMÈTRES AU POUVOIR

La France doit devenir un État républicain et que les géomètres gouverneront, en soumettant toutes les opérations au calcul infinitésimal.

Frédéric II.

Le grand Frédéric de Prusse n'aimait pas les mathématiques supérieures et il a écrit contre elles une longue et lourde satire.

Il est amusant dans sa dernière lettre à Voltaire:

«Euler calcula l'effort des roues pour faire monter l'eau dans un bassin d'où elle devait retomber, par des canaux, afin de jaillir à Sans-souci. Mon moulin a été exécuté géométriquement, et il n'a pas pu élever une goutte d'eau à cinquante pas du bassin. Vanité des vanités! Vanité de la Géométrie!»

NOMBREUSE FAMILLE

Vauban, dans ses Oisivetés, commence un petit chapitre sous ce titre: «La cochonnerie ou calcul estimatif pour connaître jusqu'où peut aller la production d'une truie pendant dix années de temps.»

MATHÉMATIQUES EN VERS

.... Une convention Explique avec clarté la Numération. À la gauche d'un autre, un chiffre a l'avantage; Sa valeur est décuple, ainsi le veut l'usage. Alors, quand cinq se place à la gauche de huit, Il vaut cinquante, plus le chiffre qui le suit.

La perpendiculaire se pique D'être plus courte que l'oblique.

L'angle dont le sommet à la courbe se rend A moitié des degrés de l'arc qu'il comprend.

Le carré de l'hypoténuse Est égal, si je ne m'abuse, À la somme des carrés Construits sur les autres côtés.

À l'abri de l'envie, en compagnes fidèles, On voit marcher de front, deux droites parallèles.

.... Deux camps bien ordonnés Rangent, en force égaux, leurs groupes enchaînés; Voici qu'une inconnue entre avec eux masquée, Souvent multiple, en plus d'un endroit embusquée. .................

Il s'agit d'une équation et de la poursuite de l'inconnue. La conclusion est un peu dure mais philosophique:

.... en ce grand domaine L'impossible est possible, et le sort nous amène Tantôt le positif, ou son signe opposé Ou l'incommensurable ou le sens précisé, Tantôt c'est l'infini, tantôt l'imaginaire. On joue avec cela. Chose extraordinaire, Ce qui n'existe pas est soumis à nos lois!

DROITE BIZARRE

On ne peut pas la tracer avec la règle; la distance de deux quelconques de ses points est nulle; elle fait un angle constant avec une nouvelle droite quelconque; elle est perpendiculaire à sa propre direction, etc.

(On dit que l'équation x + y V-1 = 0 représente une droite imaginaire: elle jouit des propriétés indiquées.)

On peut demander aussi de trouver sur une conique un point tel que la tangente et la normale en ce point se confondent.

(C'est un point imaginaire de rencontre de la courbe et d'une de ses directrices.)

La droite de l'infini, la circonférence de l'infini, les deux ombilics du plan ou points circulaires à l'infini possèdent aussi des propriétés qui semblent contradictoires.

TITRE SINGULIER

J'ouvre, dit le P. Gratry, le livre de Saint Augustin qui porte ce titre étrange: «Des dimensions de l'âme». J'aperçois des figures de géométrie mêlées au texte...

Herbart a orné sa philosophie de cercles, de carrés, de chiffres et de signes algébriques.

SÉCANTE

La justice et la miséricorde de Dieu sont deux parallèles qui peuvent s'unir par une sécante appelée le repentir.

Lacordaire.

ÉTOILE AVALÉE

L'étoile bleue avale une autre étoile très petite et, bientôt après, elle la rend. Voilà comment les Sibériens interprètent l'éclipse d'un satellite de Jupiter.

Nos paysans de Vivarais désignent sous le nom de casserole la constellation de l'Ourse, à cause de sa forme.

PRIX DU BLÉ

On a cherché si les taches solaires produisent sur la terre des effets notables: c'est ainsi que W. Herschel essaya d'établir un rapport entre le prix du blé et le nombre des taches.

ROND ET TRIANGULAIRE

Le monde, dit un prédicateur du xvi^e siècle, ne saurait remplir le cœur de l'homme par la raison que le monde étant rond et le cœur triangulaire, un rond inscrit dans un triangle ne le remplit pas.

Nous lisons, dans un écrit moderne, qu'en affaires il faut être rond et carré.

INCOMPRÉHENSIBLE

D'après Pythagore, l'âme est un nombre qui se meut sur lui-même; la vertu, un nombre carré, et la justice, une proportion géométrique.

HENRI IV

Ce diable à quatre qui eut le triple talent..., est né le 14 décembre, 14 siècles, 14 décades et 14 ans après Jésus-Christ.

Il est mort le 14 mai.

Son nom était composé de 14 lettres (Henri de Bourbon).

Il a vécu 4 fois 14 ans, 4 fois 14 jours, et 14 semaines.

Il a été roi de France et de Navarre trois fois 14 ans.

Il a été blessé par Châtel 14 jours après le 14 décembre, en l'année 1594.

Entre ce jour et celui de sa mort, il y a eu 14 ans, 14 mois et 5 fois 14 jours.

Il a gagné la bataille d'Ivry le 14 mars.

Le dauphin est né 14 jours après le 14 septembre et a été baptisé le 14 août.

Henri a été assassiné le 14 mai, 14 siècles et 14 olympiades après l'Incarnation.

Le crime a eu lieu 2 fois 14 heures après l'entrée de la reine à Saint-Denis.

Ravaillac a été exécuté 14 jours après la mort du roi, et dans l'année 1610, qui est divisible par 14.

FIN DU MONDE

On a essayé d'appliquer le calcul à l'appréciation des témoignages historiques. Un géomètre anglais, Jean Craig, persuadé que, par la nature même des faits de l'ordre politique ou moral, leur crédibilité s'affaiblit à mesure qu'ils se transmettent d'une génération à l'autre, a cru prouver que certains événements, qui remontent au commencement de notre ère vulgaire, cesseront tout à fait d'être croyables l'an de cette même ère 9153 et en conséquence il a indiqué cette année-là comme l'époque assurée de la fin ou de la rénovation du monde.

LE SPHÉRIQUE

Frœbel, le pédagogue, a publié en 1811 son Traité du sphérique; on y lit: «La sphère apparaît comme le prototype, comme l'unité de tous les corps et de toutes les formes. Pas un angle, pas une ligne, pas un plan, pas une surface ne se montre en elle, et cependant elle a tous les points et toutes les surfaces.»

À cette obscure géométrie, succèdent des vues sur les rapports mystérieux de la sphère et de la vie morale. «Travailler consciencieusement au développement de la nature sphérique d'un être, c'est faire son éducation.» Comprendra qui pourra!

TESTAMENT ASTRONOMIQUE

On lit dans le testament de Madame Guzman, morte à Pau, en juin 1891:

Un prix de 100.000 francs est légué à l'Institut de France (section des sciences) pour la personne de n'importe quel pays qui trouvera le moyen, d'ici à dix années, de communiquer avec un astre (planète ou autre) et d'en recevoir réponse. La testatrice désigne spécialement la planète Mars, sur laquelle se portent déjà l'attention et les investigations de tous les savants.

Voici le commentaire de M. Flammarion:

«Pour entrer en communication avec les habitants de Mars, il faut leur photophoner: «êtes-vous là?» Et puis.... il faut aussi qu'ils y soient et qu'ils comprennent.

Déjà Mars communique avec la Terre, par l'attraction et par la lumière. Les astronomes analysent ces deux ordres de communication. Ce que l'on pourrait souhaiter maintenant et ce qui arrivera probablement quelque jour, ce serait un mode plus subtil, plus humain.

L'idée n'a rien d'absurde en elle-même, et elle est peut-être moins hardie que celle du téléphone, du phonographe, du photophone et du cinétographe. Elle a été émise, pour la première fois, à propos de la lune.

Un triangle tracé sur le sol lunaire, par trois lignes lumineuses, de douze à quinze kilomètres chacune, serait visible d'ici, à l'aide de nos télescopes. Nous observons même des détails beaucoup plus petits, par exemple les singuliers dessins topographiques remarqués dans le cirque lunaire auquel on a donné le nom de Platon. Donc, un triangle, un carré, un cercle de cette dimension, construits par nous sur une vaste plaine, à l'aide de points lumineux, soit pendant le jour en réfléchissant la lumière solaire, soit pendant la nuit, à l'aide de la lumière électrique, seraient visibles pour les astronomes de la Lune, si ces astronomes existent, et s'ils ont des instruments d'optique équivalents aux nôtres.

La suite du raisonnement est des plus simples. Si nous observions sur la lune un triangle correctement construit, nous en serions quelque peu intrigués, nous croirions avoir mal vu, nous nous demanderions si le hasard des formations géologiques et sélénologiques peut avoir donné naissance à une figure régulière. Sans doute finirions-nous par admettre cette possibilité exceptionnelle. Mais si, tout d'un coup, nous voyions le triangle se changer en carré, puis, quelques mois plus tard être remplacé par un cercle, alors nous admettrions logiquement qu'un effet intelligent prouve une cause intelligente, et nous penserions avec quelque raison que de telles figures révèlent, à n'en pas douter, la présence de géomètres sur ce monde voisin.

De là à chercher la raison du tracé de pareils dessins à la surface du sol lunaire, de là à nous demander pourquoi et dans quel but nos frères inconnus formeraient ces figures, il n'y a qu'un pas, bien vite franchi. Serait-ce dans l'idée d'entrer en relations avec nous? L'hypothèse n'est pas déraisonnable. On l'émet, on la discute, on la repousse comme arbitraire, on la défend comme ingénieuse. Et pourquoi pas, après tout? Pourquoi les habitants de la Lune ne seraient-ils pas aussi curieux que nous, plus intelligents peut-être, plus élevés dans leurs aspirations, moins empêtrés que nous dans la glu des besoins matériels? Pourquoi n'auraient-ils pas supposé que la terre peut être habitée aussi bien que leur monde, et pourquoi ces appels géométriques n'auraient-ils pas pour but de nous demander si nous existons? D'ailleurs il n'est pas difficile d'y répondre. On nous montre un triangle: reproduisons-le ici. On nous trace un cercle: imitons-le. Et voilà une communication établie entre le ciel et la terre, pour la première fois depuis le commencement du monde.

La géométrie étant la même pour les habitants de tous les mondes, deux et deux faisant quatre dans toutes les régions de l'infini, et partout les trois angles d'un triangle étant égaux à deux angles droits, les signaux ainsi échangés entre la terre et la lune n'auraient même pas l'obscurité des hiéroglyphes déchiffrés par Champollion, et la communication établie deviendrait vite régulière et féconde.»

On a proposé de communiquer avec les habitants des planètes en traçant et en illuminant sur la terre une immense figure du carré de l'hypoténuse.

M. Fèvre, dans sa pièce L'Étoile rouge, a tenté de transporter ces idées sur le théâtre.

ONZE MILLE

Sainte Ursule fut martyrisée avec sa compagne Undecimilla, dont le nom a donné lieu à la légende des onze mille vierges.

FANTAISIES

L'ÂGE DU CAPITAINE

Sous ce nom l'on désigne tout problème ridicule et complètement indéterminé. Il paraît, en effet, difficile, connaissant la vitesse d'un vaisseau, la hauteur du grand mât, la latitude et la longitude, d'en conclure l'âge du capitaine.

On causait de cette énigme, lorsque tout à coup, Léon Gozlan assura que le problème venait d'être résolu à Marseille. Stupéfaction de tous.—Pas possible!—C'est comme je vous l'affirme.—Contez-nous cela.—Ce fut à l'occasion d'un navire qui paraissait suspect au conseil de salubrité; l'équipage fut mis en quarantaine; le capitaine supporta sa claustration pendant quelques jours; mais enfin l'impatience le gagna, et il quitta le lazaret en transgressant la consigne.

Ici le narrateur s'arrêta tout court, au grand étonnement de la galerie.—Eh bien?... fit quelqu'un.—Hé bien, dit Gozlan, le problème était résolu.—Comment cela? Comment cela? demandèrent plusieurs voix.—C'est tout simple: le capitaine avait franchi la quarantaine.

L'UNITÉ EST UN NOMBRE

Un major de place avait indiqué l'exercice pour telle heure. Il arrive et ne voit qu'un trompette: «Parlez donc, messieurs, pourquoi n'êtes-vous qu'un?»

Champfort.

En arrivant à Melun, Nous étions un; En arrivant à Carcassonne, Nous étions personne.

R. Ponchon.

Victor Hugo avait déjà rimé des nombres moins problématiques:

En partant du golfe d'Otrante, Nous étions trente; Mais en arrivant à Cadix, Nous étions dix.

À propos de cette discussion: si l'unité est un nombre, voir la Logique de Port-Royal, où l'opinion de Stevin est combattue.

FONCTIONS TRANSCENDANTES

Si je nomme un logarithme, une exponentielle, un cosinus, une différentielle, une intégrale, on me demandera quels sont ces êtres inconnus? Vont-ils à deux ou à quatre pieds? Cela vole-t-il, rampe-t-il ou nage-t-il dans la mer ou dans l'eau douce? Sont-ce des êtres saisissables à nos sens, pesants, sonores, blancs ou noirs, chauds ou froids? Si ce sont des êtres métaphysiques, que peuvent-ils faire dans le monde matériel auquel ils sont étrangers? La pensée ne transporte point les montagnes et ce n'est pas avec des formules mathématiques que la nature meut et conserve le monde.

Babinet.

Propos ironique.

AUX ENCHÈRES

Dernièrement un astronome allemand a fait annoncer dans les journaux qu'ayant découvert une nouvelle planète, il lui donnerait le nom de la personne qui lui offrirait la plus forte somme d'argent. Ajoutons que le savant désirait acheter des instruments plus puissants pour son observatoire.

MOITIÉ PLUS UN

Aujourd'hui le nombre est une religion. Le droit est une question d'arithmétique. La moitié plus un est persuadée qu'elle est la raison et la justice, par cela seul qu'elle est la moitié plus un.

Paul Lafitte.

L'arithmétique est un procédé trop sec de gouvernement.

Romieu.

BOUTADES

On raconte que le roi Alphonse, fatigué de cette complication de cercles et d'épicycles qui figuraient dans les conceptions de Ptolémée, s'écria: «Si Dieu m'eût consulté au moment de la création, je lui eusse donné de bons avis.» On a bien à tort taxé d'impiété cette boutade qui visait les hypothèses de l'astronome grec.

Arago.

Laplace n'était pas un athée comme Lalande. Il ne faudrait pas prendre au pied de la lettre la réponse qu'il fit, dit-on, à Napoléon lui demandant pourquoi il n'avait pas nommé Dieu dans sa Mécanique céleste: «Sire, je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse.»

(Voir la préface de la Vie de Cauchy, par Valson).

NORD ET SUD

Le Nord et le Sud sont les points les plus diamétralement opposés à l'horizon.

(Extrait d'un dictionnaire.)

Voici un vers assez drôle, qui date du premier empire:

Et du pôle glacé jusqu'au pôle brûlant.

SEMAINE DES TROIS JEUDIS

Quoi qu'on en pense, il peut y avoir trois jeudis dans une même semaine, mais pour trois personnes différentes. Il suffit de supposer qu'il est jeudi dans un port, le lendemain et la veille du retour de deux vaisseaux qui ont parcouru la terre, l'un d'Orient en Occident, l'autre en sens contraire, à raison de trois degrés de longitude par jour.

AVOCAT

Les données des problèmes algébriques sont nécessairement antérieures et supérieures à l'Algèbre. Pour les géomètres, mécaniciens, astronomes, physiciens et autres, ces données ne sauraient être arbitraires. Pour les algébristes proprement dits, toutes les données qui peuvent être mises en équation sont également bonnes. À ce titre, il en est de l'algébriste comme de l'avocat, qui est prêt à plaider toutes causes.

J. A. Langlois.

J'ai eu des relations avec les premiers mathématiciens du siècle, et il me semble qu'il y avait presque chez tous un petit grain de folie. Les calculs ont beau ne présenter aucune erreur, ils ne justifient pas les données imparfaites: or, les données ne sont assises que sur l'observation, l'expérience et le jugement. Sur une donnée que l'on croit vraie et qui ne l'est pas, on fait des calculs en l'air.

J. B. Say.

Le raisonnement algébrique n'accuse pas toujours la fausseté des prémisses.

FINANCIERS

Quand on sait bien les quatre règles, on est un aigle en finances.

Mirabeau.

Prends-moi le bon parti. Laisse là tous les livres. Cent francs au denier cinq, combien font-ils? vingt livres. C'est bien dit. Vas, tu sais tout ce qu'il faut savoir ................. C'est ainsi qu'à son fils un usurier habile Trace vers la richesse une route facile: Et souvent tel y vient qui sait pour tout secret, Cinq et quatre font neuf, ôtez deux: reste sept.

Boileau.

CE PAUVRE ROTHSCHILD

Il fait le compte, ô ciel! de ses deux milliards, Cette somme en démence, Et si le malheureux s'est trompé de deux liards, Il faut qu'il recommence.

de Banville (Occidentales.)

AU BACCALAURÉAT

—Quelle est la ligne la plus courte d'un point à un autre?

Le candidat, après un instant d'hésitation:

—C'est une ligne de chemin de fer.

Le professeur:—Vous oubliez la ligne télégraphique.

HUMOUR

Si vous êtes du nombre de ces esprits positifs qui ne se contentent que des vérités absolues, et qui ne recevraient pas une idée frappée au coin de Montaigne et de Platon sans lui faire subir l'épreuve du trébuchet...

Si vous faites plus de cas d'une bonne addition que d'une similitude ou même que d'une comparaison... Eh, mon Dieu! vous n'avez qu'à parler! Il faut seulement s'entendre sur un point de départ, c'est-à-dire sur le calcul de Dioclès de Smyrne qui représente l'esprit de l'homme par le nombre mille.

Valeur en compte 1000

Passons à l'analyse:

Soit Théodore, ou mon imagination 0

Soit don Pic de Fanferluchio ou ma mémoire 1

Soit Breloque, ou mon jugement 999

Je n'ai pas besoin de faire la synthèse devant vous; mais vous pouvez la vérifier facilement avec votre professeur de mathématiques, ou avec votre intendant, ou avec votre blanchisseuse.

Je pose donc hardiment le total!.. 1000.

Ch. Nodier.

DANSEUR

On pense à moi pour une place, mais par malheur j'y étais propre: il fallait un calculateur, ce fut un danseur qui l'obtint!

Beaumarchais.

VIN

Diogène avait demandé à Platon quelques bouteilles de vin, Platon lui en envoya trois douzaines. Diogène le rencontrant le lendemain, lui dit quand on vous demande combien font deux fois deux, au lieu de répondre quatre, vous répondez vingt: en faisant semblant de le remercier, il lui reprochait la longueur de ses dialogues.

CUISINE

Combien de grains de sel faut-il mettre dans un œuf? demande Argand, dans Molière.—Six, huit, dix, par les nombres pairs, répond Diafoirus, comme dans les médicaments par les nombres impairs.

Voici, d'autre part, une fière déclaration que Hugues Le Roux met dans la bouche de nos maîtres queux:

«Mais patience! La cuisine aura son Chevreul. Un homme de génie démontrera que les saveurs, comme les sons, comme les couleurs sont des vibrations. Toutes les vérités mathématiques qui règlent les combinaisons musicales et lumineuses seront appliquées aux saveurs. On verra des élèves de l'École normale écrire au tableau des formules de sauces inconnues, que nous autres nous chercherons dans notre creuset, dans la casserole. Le siècle ne sera pas tourné que l'on ne pourra plus être un grand cuisinier si l'on n'est un grand mathématicien. Avant dix ans, notre corps se recrutera parmi les anciens élèves de l'École polytechnique.»

Charles Dupin indique sérieusement quelque part le profit que les cuisiniers peuvent retirer des mathématiques.

IMPERTINENCE

On demandait à Galilée à quoi servait la Géométrie. À peser, à mesurer et à compter, répondit-il, à peser les ignorants, à mesurer les sots et à compter les uns et les autres.

PREMIER VENU

Un solliciteur demande un emploi et cherche à se faire valoir:

—Croyez bien, dit-il, que je ne suis pas le premier venu...

—En effet, vous êtes le douzième depuis ce matin...

PROBLÈMES CURIEUX ET HUMORISTIQUES

Nos ancêtres goûtaient les récréations mathématiques et en particulier les problèmes plaisants et délectables (sic) de Bachet de Méziriac.

Nous proposons ici quelques questions de ce genre, en avertissant qu'un énoncé qui paraît facile conduit parfois à une équation supérieure.

ARITHMÉTIQUE

Combien faut-il de chiffres pour écrire les 10, les 100, les 1000, les 10000 premiers nombres, etc.?

Si l'on écrit bout à bout les nombres successifs, quel sera le chiffre occupant dans la suite un rang donné?—On trouvera, par exemple, que le 75872^e chiffre est 4.

Étendons la question: on a écrit par ordre tous les nombres de 1 à 99999. Combien a-t-on écrit de chiffres en tout? Quel est le 40000^e chiffre écrit? À quel nombre appartient-il? Enfin, combien y a-t-il de 0, de 1, de 2..... et de 9 dans la suite considérée?

Vaincus par les Romains, quarante juifs et l'historien Josèphe se réfugièrent dans une caverne, bien décidés à se tuer plutôt que de se rendre. Ils se mirent sur un seul rang, se comptèrent trois par trois, et tuèrent chaque fois le troisième. On demande quelle place choisit Josèphe pour échapper au massacre?

Josèphe se plaça au 16^e ou au 31^e rang et il resta finalement avec un seul homme qui devait se laisser tuer à son tour, mais qui préféra se rendre à l'ennemi.

Un navire est menacé de sombrer. Il faut sacrifier la moitié de l'équipage.

Il y a 32 marins, 16 blancs et 16 noirs. Le capitaine les fait ranger sur une seule ligne pour les décimer. Dans quel ordre, pour sauver les 16 blancs?

Parmi les nombres 1; 11; 111; 1111... uniquement formés avec le chiffre 1, quels sont ceux qui sont composés, c'est-à-dire qui ne sont pas premiers?

Rendre compte de la particularité que présentent les produits de 12345679 par 9 et chacun des multiples de 9 jusqu'à 81.

Combien faut-il de temps pour compter jusqu'à un trillion, en supposant qu'on compte 200 nombres à la minute?

Réponse: 9512 ans.

3 ouvriers mettent 5 heures pour aller de Paris à Versailles. Combien d'heures mettront 7 ouvriers pour faire le même voyage?

Le 26 mai 1876, l'âge de Louis était les ⁵⁵/₇₁ de l'âge de son frère Jean. Le 26 juillet suivant, il n'en était plus que les ⁷/₉. Trouver la date de la naissance de chacun d'eux.

Faire écrire, par exemple, 7 nombres de 5 chiffres, puis en écrire soi-même, immédiatement, 7 autres de façon que la somme des 14 nombres égale (7 × 99999 ou) 499993.

Expliquer pourquoi tous les produits de 37 par 3 et ses multiples sont chacun formés de plusieurs fois le même chiffre.—De même, pour les produits de 12345679 par 9 et ses puissances.

Une fontaine était formée d'un lion en bronze, portant cette inscription: «Je puis jeter de l'eau par les yeux, par la gueule et par le pied droit. Si j'ouvre l'œil droit, je remplirai mon bassin en deux jours et, si j'ouvre le gauche, en trois jours; avec mon pied il me faudrait quatre jours et avec ma gueule six heures. Dites combien il me faudrait de temps pour remplir le bassin en jetant de l'eau à la fois par les yeux, par la gueule et par le pied.»

Deviner la date de la naissance d'une personne.

Faites écrire bout à bout les nombres obtenus en ajoutant respectivement 30, 60 et 50 au quantième, au numéro du mois et à l'âge, puis retranchez 306050 du nombre obtenu, il suffit ensuite de lire le reste.

Exemple: 18 mars 1842, alors 18 + 30 = 48, puis mars étant le 3^e mois, 3 + 60 = 63 et enfin puisque, en 1890, l'âge est 48, 48 + 50 = 98; on écrit 486398 dont on retranche 306050, il reste 18348, soit le 18 du 3^e mois et la personne est âgée de 48 ans.

Trouver la racine carrée de ²/₃ à ¹/₃ près, de ¾ à ¼ près, de ⁵/₆ à ¹/₆ près, etc., en général de n - ¹/_n à ¹/_n.—Même question pour la racine cubique, la racine quatrième, etc.

Une femme doit partager un héritage de 350000 fr. avec son enfant à naître: si elle a un fils, elle ne recevra que la moitié de la part de ce fils, mais si elle a une fille elle prendra au contraire le double de la part de sa fille. Il advient que la femme a deux jumeaux, un fils et une fille. Comment répartira-t-on l'héritage?

Réponse.—À la mère 100 000 fr., au fils 200 000 fr., à la fille 50 000 fr.

Montrer que la différence des deux escomptes égale l'escompte en dehors de l'escompte en dedans et qu'elle égale aussi l'escompte en dedans de l'escompte en dehors.

On appelait règle d'or notre vulgaire règle de trois, qui est un problème et non une règle, et où il s'agit généralement de plus de trois nombres.

Voir dans Taine (De l'Intelligence, t. 1) la philosophie de la règle de trois.

«J'ai un jardin enclos de haies, et on me vole mes fruits; je me décide à l'entourer d'un mur, je prends ce que je trouve d'ouvriers dans le village, quatre par exemple et je vois au bout d'un jour qu'ils m'ont fait ensemble seulement douze mètres. J'envoie chercher six autres ouvriers au village voisin...»

Le fameux 45 peut être divisé en 4 parties telles qu'on obtienne le même résultat, en ajoutant 2 à la première, en retranchant 2 à la seconde, en multipliant la 3^e par 2 et enfin en divisant la 4^e par 2. (Question analogue pour 75 et 4.)

En second lieu, on a:

987654321 45

123456789 45

—————

864197532 45

Trouver m nombres entiers consécutifs dont aucun ne soit premier.

Former N = 2 × 3 × 4 × 5 × 6... × m × (m + 1), puis prendre N + 2, N + 3, N + 4,... N + m + 1.

D'un nombre de trois chiffres, on retranche le nombre renversé et on donne le nombre des unités de la différence. Deviner les deux autres chiffres.

Réponse: Dans la différence, le chiffre des dizaines est toujours 9 et la somme des deux autres chiffres est toujours 9.

Combien y avait-il de pêches dans un panier que j'ai distribué à mes trois enfants? Le premier a reçu la moitié du tout plus la moitié d'une pêche; le second la moitié du reste plus la moitié d'une pêche; enfin le 3^e la moitié du reste plus la moitié d'une pêche. Il m'est alors resté quatre pêches et je n'ai eu à couper aucune pêche.

Réponse: 39.—Autres solutions, lorsqu'on n'indique plus le nombre des pêches restantes: 7; 15; 23; 34; 47... Généralisation pour n enfants.

Les enfants montrent que 6 et 7 font 9; que 6 et 3 font 8; que 4 et 2 font 1, etc. Pour cela, ils tracent autant de petits traits verticaux que l'indique le premier des trois nombres et ils les joignent convenablement par autant de traits horizontaux ou inclinés que l'indique le second nombre, de façon à écrire, en lettres capitales, le troisième nombre.

Sur le bord d'une rivière se trouvent trois rois et trois valets. Ces derniers ont projeté de tuer les rois. Il n'y a qu'un bateau si petit que deux personnes seules peuvent y tenir. Il s'agit d'opérer l'embarquement de telle sorte que les valets ne soient jamais sur une rive en nombre supérieur aux maîtres.

Trouver un nombre de trois chiffres sachant qu'il est divisible par 5 et que le quotient est le nombre formé par les deux derniers chiffres du nombre demandé.

Les seules solutions sont 125, 250 et 375.

Trouver deux nombres sachant que l'un d'eux surpasse l'autre de 13½ et le contient 13 fois ½.

Vous demandez mon âge et mon prénom?

Mon âge est égal à son tiers plus le produit de son neuvième par les deux tiers de son septième. Quant à mon prénom, vous le trouverez dans le calendrier si à la moitié du nombre des jours écoulés depuis le commencement de l'année vous ajoutez le tiers des jours à courir du jour de ma fête jusqu'à la fin de l'année ordinaire.

Trouver un nombre de 4 chiffres égal au carré du nombre formé par ses deux derniers chiffres.

Réponse: 5776.

De combien de marches se compose un escalier quand en le montant de deux en deux, il en reste une; de trois en trois, il en reste deux; de quatre en quatre, il en reste trois; de cinq en cinq, il en reste quatre; de six en six, il en reste cinq; et de sept en sept il n'en reste pas.

Trouver un nombre égal au cube de la somme de ses chiffres.

Réponse: 6859; 4913; 1; 512; 17576; 19683.

Dans son Monte-Christo, Alexandre Dumas demande d'établir une addition composée de tous les neuf premiers chiffres sans les répéter et sans employer le zéro, de façon que le total soit cent.

Réponse: 74; 25; ³/₆; ⁹/₁₈.

Les nombres 49; 4 48 9; 44 48 89; 444 48 889 etc., obtenus en insérant 48 au milieu du précédent sont des carrés parfaits.

Trouver un nombre entier x tel que la somme des x premiers nombres entiers se compose de 3 chiffres égaux.

Réponse: seulement x = 36 et alors la somme des 36 premiers nombres est 666.

Un nombre quelconque étant donné, si on le récrit en plaçant le 1^er chiffre sous le 4^e et si l'on ajoute, on a le nombre primitif multiplié par 7 × 11 × 13.

Dans un compte, on trouve l'article suivant:

_*1 à 2^f, _*8 ci............ _*98^f,38.

Les astérisques indiquent des chiffres effacés ou illisibles qu'il s'agit de rétablir.

Trois frères ont 30 ans, 20 ans et 6 ans; dans combien d'années la somme des âges des deux plus jeunes égalera-t-elle l'âge de l'aîné?

Combien faut-il de chiffres pour paginer un livre de 1645 pages?

Il en faut 5473.

Quel est le nombre de pages d'un dictionnaire dont la pagination a nécessité 15321 chiffres?

4107 pages.

On demande le nombre de 3 chiffres dont le double représente le nombre des chiffres de tous les nombres non supérieurs au nombre cherché.

Réponse: 108.

Trouver deux nombres entiers tels que leur somme égale leur produit.—Même question pour trois nombres.

Réponses: 1^o 2 et 2; 2^o 1, 2 et 3.

Trouver un nombre entier de deux chiffres qui soit égal au double produit de ses chiffres.

Réponse: 36.

Une brebis, un agneau et deux lapins mangeraient l'herbe d'un enclos, la première en 30 jours, le 2^e en 45 jours et les deux derniers en 90 jours, si cette herbe ne poussait pas; mais l'herbe se renouvellerait en 60 jours. Dans combien de jours, l'herbe de l'enclos sera-t-elle épuisée?

Quels sont les nombres égaux à la somme des chiffres de leurs cubes?

Ce sont 1, 8, 17, 18, 26 et 27.

Un escargot grimpant le long d'un poteau de 12 mètres fait 3 mètres le jour et redescend 2 mètres la nuit. Au bout de combien de jours et de nuits aura-t-il atteint le sommet du poteau?

Une ficelle a 30^m de long; chaque jour, d'un coup de ciseau, on en coupe un mètre. Dans combien de jours aura-t-on fini?

Un arabe laisse à ses trois fils 17 chameaux. Le premier doit en avoir la moitié, le second le tiers et le troisième le neuvième. Comment répartir les 17 chameaux?

Le cadi appelé arrive monté sur son chameau, il y a alors 18 chameaux, le premier des frères en reçoit 9, le deuxième 6 et le troisième 2. Le cadi remonte sur son propre chameau et rentre sous sa tente.

Y a-t-il sur le globe deux hommes ayant le même nombre de cheveux?

Soit 100 000, par exemple, le nombre de cheveux maximum sur une seule tête, alors il n'y a pas plus de 100 000 individus ayant un nombre de cheveux différent, or la terre compte plus de 100 000 habitants...

Question proposée par Nicole à la duchesse de Longueville.—Auguste Comte en parle aussi.

Trouver 6 fois 13 en 12.

Écrire les 12 premiers nombres, prendre les produits des extrêmes et ceux des nombres qui en sont équidistants.

Les trois Grâces, portant chacune le même nombre de couronnes, rencontrent les neuf Muses et leur distribuent des couronnes de façon que chaque Grâce et chaque Muse en ait autant l'une que l'autre. On demande combien chaque Grâce portait d'abord de couronnes?

Extrait de l'Anthologie grecque.

Sur le bord d'une rivière se trouvent un loup, une chèvre et un chou; il n'y a qu'un bateau si petit, que le batelier seul et l'un d'eux peuvent y tenir. Il s'agit de les passer tous les trois, de telle sorte que le loup ne mange pas la chèvre, ni la chèvre le chou en l'absence du batelier.

Ce problème de Bachet a peut-être donné lieu à la locution: «Ménager la chèvre et le chou», à moins qu'il n'ait été inspiré par elle.

Trois piétons, marchant ensemble, ont fait 24 lieues; combien chacun a-t-il fait de lieues?

Nous empruntons aux Récréations scientifiques de M. Lagarrigue, le problème suivant:

Trois femmes vont au marché pour vendre des oranges; la 1^re en a 50, la 2^e 30 et la 3^e 10. Comment pourront-elles faire pour vendre leurs oranges au même prix et pour rapporter cependant chacune la même somme?

Réponse.—Les femmes vendent leurs moins belles oranges à 7 pour 5 centimes autant de fois que possible, puis le reste à 15 centimes pièce.

Un cuisinier donne la moitié de ses œufs et la moitié d'un œuf, à son 1^er aide; au 2^e aide, la moitié du reste des œufs et la moitié d'un œuf; au 3^e aide, encore la moitié du reste des œufs et la moitié d'un œuf. Combien le cuisinier avait-il d'œufs et comment a-t-il pu procéder, pour ne pas casser d'œufs?

Réponse.—39 œufs, par exemple, et il en reste ensuite 4 au cuisinier.

GÉOMÉTRIE

Diviser un triangle en deux parties qui aient à la fois même périmètre et même surface.

Construire un triangle, un pentagone, et plus généralement un polygone d'un nombre impair de côtés, connaissant les milieux de tous les côtés.

Quelle est la graduation de l'arc qui a la même longueur que le rayon?

Tout triangle dont deux des bissectrices sont égales est isoscèle.

Connaissant le rayon d'un rouleau de papier peint et le nombre des feuilles, déterminer la longueur du rouleau.

Décrire une route circulaire équidistante de quatre points.

Étant donné un point sur une sphère impénétrable, construire le point diamétralement opposé, en se servant du compas sphérique.

Trouver avec le compas seulement les points de division d'une circonférence en quatre parties égales.—De même, en cinq, huit, douze, etc. parties égales.

On peut résoudre des problèmes avec le compas seul; on peut aussi en résoudre avec la règle seule.

On a ainsi la géométrie du compas et la géométrie de la règle.

Inscrire dans un cercle un polygone régulier de dix-sept côtés.

Gauss, dans ses Disquisitiones arithmeticæ, démontre qu'on peut construire, avec la règle et le compas, le côté de tout polygone régulier inscrit dont le nombre des côtés est premier de la forme 2^m + 1.

Il y a de curieuses relations entre les équations binomes et l'inscription des polygones réguliers.

Le triangle de Pythagore a pour côtés les nombres consécutifs 3, 4 et 5 et, en multipliant ces nombres par un nombre entier quelconque, on obtient une infinité de triangles rectangles, à côtés entiers.

Ce triangle simple permet d'élever, à l'aide de trois cordeaux, la perpendiculaire en un point d'une droite.

On déduit du triangle de Pythagore un autre triangle rectangle à côtés entiers, qui ne lui est pas semblable, en prenant pour côtés de l'angle droit la différence des carrés des deux côtés primitifs et le double produit de ces mêmes côtés. On trouve 7, 24 et 25.

Si les côtés de trois polygones semblables sont proportionnels à 3, 4 et 5, la surface du plus grand vaut la somme des surfaces des deux autres.

Proposition analogue pour quatre polyèdres semblables dont les côtés sont proportionnels à 3, 4, 5 et 6. On considère alors les volumes.

Deux villages occupent des positions connues des deux côtés d'un ruisseau, établir un pont qui soit équidistant de chacun d'eux.

Étant donné un triangle isoscèle, construire un second triangle isoscèle de même surface et de même périmètre que le premier.

Un gourmet paye un franc une botte d'asperges, entourée d'une ficelle; le lendemain, il demande pour deux francs une botte des mêmes asperges, qui soit entourée d'une ficelle double. Est-ce équitable?

Couper une pyramide quadrangulaire quelconque suivant un parallélogramme.

Couper un cube suivant un hexagone régulier.

Couper un prisme suivant un triangle équilatéral.

On propose de recouvrir entièrement une portion de plan avec un carrelage formé de polygones réguliers de même espèce, ou d'espèces différentes.

Montrer qu'on peut exécuter un pavage avec des triangles équilatéraux, ou avec des carrés, ou avec des hexagones réguliers, mais qu'on ne le peut avec des pentagones réguliers ou des polygones réguliers de plus de six côtés.

M. X... laisse à sa mort un pré carré dont on doit donner le quart aux pauvres, puis partager le reste entre les quatre enfants du défunt, en quatre parties de même surface et de même forme.

Trouver un triangle rectangle dont les côtés soient des nombres entiers et dont l'aire soit exprimée par le même nombre que le contour.

Réponses: 5, 12 et 13; 6, 8 et 10.

Décrire une circonférence tangente à trois circonférences données.

Décrire trois circonférences telles que chacune touche les deux autres et soit tangente à un côté d'un triangle donné.

Malfatti.

Construire un triangle connaissant ses trois médianes ou ses trois hauteurs.

Tracer sur le terrain l'ovale de jardinier avec trois piquets et un cordeau.

Inscrire un carré à un triangle.—Sur lequel côté s'appuie le plus grand carré?

Décomposer un pentagone régulier en sept parties, de façon qu'assemblées convenablement, elles forment un carré.

Trouver la surface d'une figure qu'il est impossible de décomposer en figures géométriques calculables.—Même question pour le volume.

Trouver la distance des centres de deux sphères données, en ne se servant que de la règle et du compas.

1^o Mener la bissectrice d'un angle dont on ne peut pas prolonger les côtés jusqu'à leur point de rencontre.

2^o Mener par un point donné une droite qui irait passer par le sommet de l'angle précédent.

3^o Distance d'un point à un point inaccessible.

4^o Distance de deux points inaccessibles.

5^o Hauteur d'une tour dont le pied est accessible.

6^o Hauteur d'une tour ou d'une montagne dont le pied est inaccessible.

7^o Rayon d'un bassin inaccessible.

8^o Prolonger une droite au-delà d'un obstacle.

9^o Déterminer la largeur d'une rivière qu'on ne peut traverser.

10^o Reconnaître si quatre points sont dans un même plan, puis s'ils sont sur une même circonférence.

Au grand soleil, je viens de mettre La lance de mon étendard; Sa longueur vaut trois fois le mètre; Son ombre a cinq mètres un quart. Vois aussi la tour de l'église: Par son nombre elle marque cent. Calcule la hauteur précise Du vieux clocher retentissant.

Vitrey.

Décomposer un carré en portions telles, qu'en les réunissant convenablement, on forme: 1^o huit carrés égaux, 2^o cinq carrés égaux, 3^o trois carrés égaux.

Un jour d'été, une pie aperçoit de l'eau dans un trou conique de 3 pouces de diamètre au fond. Elle accourt et constate que l'eau a une surface de 6 pouces de diamètre et s'élève à une hauteur de 2 pouces. La pie ne pourrait atteindre l'eau que si sa surface avait 8 pouces de diamètre. Elle vole vers un trésor qu'elle a découvert, combien faudra-t-il qu'elle y prenne de pièces de monnaie d'une ligne d'épaisseur et de 16 pouces de diamètre pour qu'en les portant dans l'eau elle puisse boire à son aise?

Cette pie n'était pas curieuse du système métrique.

Un étang a la forme d'un carré; au sommet de chacun des angles est planté un arbre extérieur. Donner à l'étang une surface double sans changer sa forme et sans déplacer les arbres qui doivent toujours rester en dehors de l'étang.

Faire un dodécagone équilatéral et rectangulaire.

(Il est concave: c'est la croix de Genève.)

Au milieu d'une pièce d'eau carrée de 10 pieds de longueur et de largeur pousse un roseau qui s'élève d'un pied au-dessus de l'eau. En le tirant vers le milieu d'un côté, il atteint juste le bord. Quelle est la profondeur de l'eau?

La réponse à ce très ancien problème chinois est 12 pieds.

Partager un cercle en un nombre donné quelconque de parties ayant toutes le même périmètre et la même surface.

Étant donnés deux sommets d'un carré, déterminer les deux autres à l'aide du compas seul.

ALGÈBRE

Passant, sous ce tombeau repose Diophante, Et quelques vers tracés par une main savante Vont te faire connaître à quel âge il est mort; Des jours assez nombreux que lui compta le sort, Le sixième marqua le temps de son enfance; Le douzième fut pris par son adolescence. Des sept parts de sa vie une encore s'écoula, Puis, s'étant marié, sa femme lui donna Cinq ans après un fils, qui, du destin sévère, Reçut de jours, hélas! deux fois moins que son père. De quatre ans, dans les pleurs, celui-ci survécut: Dis, si tu sais compter, à quel âge il mourut.

Solution

Représente par x le nombre en question Et, sans rien oublier, pose une équation Où dans le premier membre on trouve le sixième, Puis le douzième d'x, augmentés du septième. Ajoutes-y neuf ans: le tout égalera La moitié d'x. Transpose, ajoute... et cætera. Tu verras aisément, sans qu'on puisse en rabattre, Que l'âge du bonhomme est bien quatre-vingt-quatre.

Un mulet et un âne portent des charges de quelques quintaux. L'âne se plaint de la sienne et dit au mulet: il ne me manque que de porter encore un quintal de ta charge pour que la mienne soit le double de la tienne. Le mulet répond: et moi, si je prends un quintal de ta charge, la mienne sera triple de la tienne. On demande combien de quintaux ils portent chacun.

Euler.

En supposant qu'il faille 24 clous, pour ferrer un cheval, et que le maréchal prenne un centime pour le 1^er clou, 2 centimes pour le 2^e, 4 centimes pour le 3^e, etc., en doublant toujours. À combien reviendront le 24^e clou et tous les clous ensemble?

Réponse: 83.886 fr. 08 et 167.772 fr. 15.

Quelqu'un a un vase de douze litres plein de vin; il veut faire un cadeau de six litres ou de la moitié, mais il n'a pour mesurer les six litres que deux vases, l'un de huit litres, l'autre de cinq. Comment s'y prendre pour mettre les six litres dans le vase de huit?

Un gentilhomme fait faire deux habits, l'un bleu et l'autre écarlate, mais il n'en fait garnir qu'un en or. Le bleu vaut 84 fr., sans le galon. Si l'on pose le galon sur le bleu, son prix est double de celui de l'autre. Si, au contraire, le galon est mis sur l'habit écarlate, le prix de celui-ci sera triple de celui du bleu. Calculer séparément le prix de l'habit écarlate et le prix du galon.

Il y a actuellement près d'un milliard trois cents millions d'hommes et l'augmentation annuelle de la population est d'environ ¹/₂₀₀. Combien y a-t-il d'années que vivaient Adam et Ève?

Réponse: 4.100 ans.

Bacchus, ayant vu Silène Auprès de sa cuve endormi, Se mit à boire sans gêne Au dépens de son ami. Ce jeu dura pendant le triple du cinquième Du temps qu'à boire seul Silène eut employé; Il s'éveille bientôt, et son chagrin extrême Dans le reste du vin est aussitôt noyé. S'il eût bu près de Bacchus même, Ils auraient, suivant le problème, Achevé six heures plus tôt; Alors Bacchus eût bu, pour son écot, Deux tiers de ce qu'à l'autre il laisse. Ce qui maintenant m'intéresse, Est de savoir exactement, Le temps qu'à chaque drôle il faut séparément Pour vider la cuve entière, Sans le secours de son digne confrère.

Voici la réponse, par un élève du lycée Charlemagne:

Dans cette occasion Silène eut tout l'honneur. En quinze heures, Bacchus acheva la besogne; Il n'en fallut que dix au digne précepteur: J'en conclus qu'il était de moitié plus ivrogne!

Un maître promet à son valet 360 fr. par an et une livrée; il le renvoie au bout de 10 mois et en lui donnant 290 fr. et la livrée. Combien valait cette livrée?

Combien doit-on à un maçon qui s'était engagé à creuser un puits de 20 mètres de profondeur et qui tombe malade après avoir creusé le dixième mètre?

Réponse: 125 francs, si l'on suppose qu'on paye cinq francs pour creuser une profondeur d'un mètre et pour emporter la terre.

Construire avec un carton carré, la boîte de capacité maximum.—Cas où le carton est rectangulaire.

Construire avec une toile carrée la tente régulière carrée de capacité maximum.

À quelle distance du pied de la colonne Vendôme, un vieux soldat doit-il se placer pour voir son Empereur sous le plus grand angle possible?

Une dame, ayant laissé tomber un bijou dans le lac de Genève, promet 100 fr. aux plongeurs qui le lui rapporteront. Trois sociétés de bateliers se présentent, l'une de Genève, la 2^e de Suisse et la 3^e de Savoie. Les bateliers de la société qui fera la découverte recevront 5 fr. par tête et le reste sera partagé également entre les autres. Si les Genevois réussissent, les autres auront 2^f ¼; si ce sont les Suisses, les autres auront 1^{f 2}/₃; enfin si ce sont les Savoisiens, les autres auront 1 fr. par tête. On demande de combien de bateliers se compose chaque société.

Deux horloges A et B sonnent l'heure en même temps; A avance de 3 secondes sur B. Les coups de l'horloge A se succèdent à 5 secondes d'intervalle, ceux de B à 4 secondes, d'ailleurs lorsque l'intervalle qui sépare deux coups ne surpasse pas une seconde, l'oreille ne perçoit qu'un son. On a entendu 14 coups; quelle heure est-il?

Réponse: 10 heures.

Comment deviner un nombre pensé?

1^o Du carré du nombre immédiatement supérieur, faites retrancher le carré du nombre; on vous dit la différence, vous retrancherez un, puis vous prenez la moitié.

2^o Vous pouvez aussi faire multiplier le nombre immédiatement supérieur par le nombre immédiatement inférieur; on vous dit le produit, vous ajoutez un, puis vous prenez la racine carrée.

3^o Autrement: faites tripler le nombre pensé, retranchez ensuite un, triplez le nouveau résultat et ajoutez ensuite le nombre pensé; demandez ce qu'on a ainsi obtenu, ajoutez 3 au résultat et prenez les dizaines du nombre obtenu.

4^o On peut encore faire tripler le nombre, prendre la moitié du triple, tripler cette moitié et enfin prendre le neuvième du résultat: en doublant ce neuvième, on aura le nombre primitif.

Dans une cage de lapins et de faisans, il y a en tout 35 têtes et 94 pattes.

Combien y a-t-il d'animaux de chaque espèce?

Lorsqu'un ouvrier travaille tous les jours, même le lundi, il économise 5 francs par semaine; mais quand il ne travaille pas le lundi, il se met en retard de 3 fr. Au bout de 12 semaines il a épargné 36 fr.; combien a-t-il eu de bonnes semaines?

Combien un piéton fait-il de kilomètres à l'heure, sachant qu'ayant fait 24 kilomètres, s'étant reposé une heure et ayant fait ensuite 15 kilomètres en marchant deux fois moins vite, son voyage a duré 14 heures et demie?

Archimède, voulant connaître la composition en or et en argent de la couronne du roi Hiéron, constata qu'elle pesait 20 livres dans l'air et qu'elle perdait une livre ¼, lorsqu'on la pesait dans l'eau. Les densités de l'argent et de l'or sont 10,5 et 19. Quelle était la composition de la couronne?

(On sait qu'un corps plongé dans un liquide perd une partie de son poids égale à celui du liquide qu'il déplace.)

C'est Vitruve qui nous a fait connaître l'expérience d'Archimède.

Deux localités A et B étant distantes de 225 kilomètres, le quintal de charbon coûte 3 fr. 75 en A et 4 fr. 25 en B et le transport 0 fr. 08 par tonne et par kilomètre. On demande le point entre A et B où le charbon revient au même prix, qu'on le fasse venir de A ou de B.—Montrer que c'est en ce point que le charbon revient le plus cher.

On vous nomme un nombre, faites écrire à la suite le nombre renversé et diviser le nombre total successivement par 7, par 11 et par 13. Deviner le dernier quotient.

Un vieillard, fin spéculateur, qui a ses trente-deux dents, fait le marché suivant: les sommes qu'il touchera pour chaque dent extraite de sa bouche seront en progression géométrique de premier terme et de raison 2. Mais pour chaque dent non extraite de la même bouche, les sommes à payer au dentiste seront en progression géométrique de premier terme et de raison 3. Contrairement à ses prévisions, le vieillard se trouve mal après l'extraction de la dix-neuvième dent et renonce à continuer. Calculez: 1^o la somme qui eût été gagnée si l'extraction des trente-deux dents avait été complète; 2^o la somme à payer au dentiste par suite des treize dents non arrachées.

(Ce problème de dentiste est baroque.)

18 bœufs ont mangé en 2 jours l'herbe contenue dans 55 ares de terrain, plus l'herbe qui y a poussé pendant ces 5 jours.—15 bœufs ont mangé en 8 jours l'herbe contenue dans 70 ares de terrain, plus l'herbe qui y a poussé pendant ces 8 jours.—Combien faudra-t-il de bœufs pour manger en 20 jours l'herbe contenue dans 385 ares de pré, plus l'herbe qui y pousserait pendant ces 20 jours?

Réponse: 39 bœufs.

Newton.

Un banquier qui fait pour 10 millions d'affaires par an, veut savoir ce qu'il gagne à renouveler le placement de ses capitaux 2 fois, 3 fois, 4 fois, etc., par an et enfin en les replaçant à chaque instant. (Les intérêts se composent à 6%.)

Réponse: Au lieu de 10600000 fr., le banquier a au bout de l'année 10612080 fr., etc., etc., et enfin 10618365 fr.

Trouver entre 1000 et 2000 deux nombres consécutifs dont la différence des cubes soit un carré?

M. L. Thomas trouve 1455 et 1456.

Un marchand de bestiaux achète 40 moutons à 32 fr. pièce; il en perd un certain nombre et revend les autres en augmentant par tête le prix d'achat d'autant de francs qu'il a perdu de moutons. Il gagne ainsi 15 fr. sur son marché. Combien avait-il perdu de moutons?

Même question, en supposant que le marchand ne gagne ni ne perd sur son marché.

Même question encore, en supposant que le marchand perd 20 fr. sur son marché.

Un voyageur, d'une taille de 1^m,80, s'avance vers un phare allumé; au début son ombre est de 3^m et, lorsqu'il a avancé de 100 mètres, son ombre est de 2^m,20; à quelle distance est-il du phare dans sa seconde position et quelle est la hauteur du phare?—Même question lorsqu'on ne donne pas la taille de l'homme et qu'on ne demande pas la hauteur du phare.

Trouver l'âge, en 1892, d'une personne, sachant qu'il est égal à la somme des chiffres de l'année de la naissance.

Réponse: 19 ans.

Une montre à trois aiguilles marque deux heures; à quelle heure l'aiguille des secondes sera-t-elle bissectrice de l'angle des deux autres?—Les pointes des trois aiguilles peuvent-elles former un triangle équilatéral?

D'après l'article 757 du Code civil, le droit de l'enfant naturel est d'un tiers de la portion héréditaire qu'il aurait eue s'il eût été légitime. Partager en conséquence la succession d'une personne qui laisse l enfants légitimes et n enfants naturels.

Réponse.—En prenant l'héritage pour unité, M. Catalan trouve pour la part d'un enfant légitime:

Un renard poursuivi par un lévrier a 60 sauts d'avance; le renard fait 9 sauts pendant que le lévrier en fait 6, mais trois sauts du lévrier en valent 7 du renard. Après combien de sauts le lévrier atteindra-t-il le renard?

Un lévrier vient d'atteindre un lièvre qui avait 77 sauts d'avance. On sait que 12 sauts du lévrier en valent 17 du lièvre et que pendant que le lévrier aurait fait autant de sauts qu'en a fait le lièvre, celui-ci en aurait fait 216 de plus. Combien le lièvre avait-il fait de sauts avant d'être atteint?

Un père a 49 ans et son fils en a 10. Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il le quadruple de celui du fils?

À quel prix un bouquiniste avait-il acheté un vieux livre, sachant que, l'ayant revendu 171 fr., il a gagné autant pour cent que le livre lui avait coûté?

Deux bureaux de bienfaisance ont distribué chacun 1200 francs à des pauvres; le second en a secouru 40 de plus que le premier, mais il a donné 5 francs de moins à chacun. Combien chaque bureau a-t-il secouru de pauvres?

Quand les deux orifices sont ouverts, un réservoir est vidé en 15 heures; le petit étant seul ouvert, met 16 heures de plus que le grand pour vider le bassin. Combien de temps chaque orifice met-il seul pour vider le bassin?

Le roi des Perses ayant demandé à Sessa, l'inventeur du jeu des échecs, quelle récompense il désirait, Sessa répondit qu'il désirait un grain de blé pour la première case, deux pour la seconde, quatre pour la troisième, huit pour la quatrième et ainsi de suite, en doublant toujours jusqu'à la soixante-quatrième case.

Le roi sourit; or, en faisant le calcul, on trouve 2⁶⁴ - 1 = 18.446.744.073.709.551.615 grains de blé, huit fois plus que la terre ne produirait en un an, si toute sa surface était ensemencée en blé.

Un tonneau contient cinquante litres de vin pur; on en retire deux litres qu'on remplace par de l'eau; du nouveau vin on retire encore deux litres qu'on remplace par de l'eau; on agit de même une troisième fois, on demande la composition en vin et en eau du mélange final.

Combien a-t-on eu de mètres d'étoffe pour 180 fr.; sachant que si, pour ce prix on avait eu 2 mètres de plus, chaque mètre aurait coûté 3 francs de moins?

Euler.

Combien une horloge, sonnant les heures, les quarts, les demies, les trois quarts, frappe-t-elle de coups pendant le tour du cadran?

Déterminer sur la droite qui joint deux lumières le point également éclairé.

Clairaut.

Trouver un triangle ayant pour côtés trois nombres entiers consécutifs et dont le plus grand angle soit double du plus petit.

Un arpenteur, après avoir mesuré un terrain rectangulaire, en a oublié les dimensions, mais il sait que leur somme est 650 mètres et que la superficie du terrain est de 10 hectares 46 ares 45 centiares. Calculer les deux dimensions du champ.

Des singes s'amusaient: de la troupe bruyante Un huitième au carré gambadait dans le bois; Douze criaient tous à la fois Au haut de la colline verdoyante. Combien étaient-ils au total?

D'un essaim de mouches à miel Prends la moitié, puis la racine; Dans un champ de jasmin, cette troupe butine. Huit neuvièmes du tout voltigent dans le ciel. Une abeille solitaire Entend, dans un lotus, son mari bourdonner: Attiré par le miel, pendant la nuit dernière, Il s'était fait emprisonner. De combien est l'essaim, le saurais-tu, ma chère?

Ce problème et le précédent sont traduits par M. L. Rodet du Lilawâti, recueil mathématique en vers que l'hindou Bhâscara, vivant au xii^e siècle, dédia à sa fille.

Trouver les rayons d'un cylindre et d'un cône, de même hauteur connue, sachant qu'ils sont équivalents en volume et en surface.

Le prix du diamant étant proportionnel au carré de son poids, un diamant cassé en deux morceaux quelconques perd de sa valeur; dans quel cas la dépréciation est-elle la plus grande possible?

Quelle annuité faut-il payer pour réduire de moitié, au bout d'un temps donné, une dette contractée à intérêts composés à un certain taux?

Dans le trajet d'une voiture, on a remarqué que la roue du devant, qui a 2^m,20 de tour, a fait 2000 tours de plus que la roue de derrière, qui a 4 mètres de tour. Quelle est la longueur du trajet?

On fait une première saignée et on pèse la partie solide du sang coulé; on injecte un poids connu d'eau distillée: on fait une seconde saignée de même poids que la première et on pèse encore la partie solide. Calculer d'après ces expériences, le poids du sang circulant dans le corps.

Valentin.

À l'aide de données numériques que nous omettons, on trouve 14 kilogrammes, nombre un peu trop fort parce qu'on néglige l'eau transsudée pendant les cinq minutes nécessaires pour que l'eau se répartisse dans tout le sang.

Pour calculer la profondeur d'un puits, on peut noter, avec une montre à secondes, combien de temps il s'écoule entre l'instant où on laisse tomber une pierre à l'ouverture du puits et l'instant où l'on entend le choc contre le fond.

Newton.

Calculer la vitesse propre d'un bateau, sachant que pour descendre 24 kilomètres sur une rivière dont le courant est de 3 kilomètres par heure et pour remonter ensuite 13 kilomètres, il a fallu en tout 7 heures au bateau.

Trouver un nombre de deux chiffres égal au produit de la somme de ses chiffres par leur différence.

Sur le bord d'une rivière s'élève une colonne surmontée d'une statue; un observateur, placé sur la rive opposée, voit sous un même angle la statue et un soldat placé au pied de la colonne: on demande, connaissant les hauteurs de la colonne, de la statue et du soldat, de calculer la largeur de la rivière.

Voici un joli tour: il s'agit de deviner une carte pensée.

On prend au hasard 21 cartes que l'on range en 3 paquets de 7 cartes, en en plaçant d'abord 3 à côté l'une de l'autre, puis les 3 cartes suivantes successivement sur les 3 premières et ainsi de suite. On demande à une personne de penser une des cartes qu'elle voit ainsi ranger et on lui demande dans quel paquet se trouve la carte pensée. On met alors les 3 paquets l'un au-dessus de l'autre, en ayant soin de placer au milieu le paquet contenant la carte pensée, les rectos des cartes étant tous du même côté. On range de nouveau les cartes en 3 paquets de 7 cartes en procédant comme tout à l'heure, on demande encore dans quel paquet se trouve la carte pensée, on place ce paquet entre les deux autres et on recommence une troisième fois la même manœuvre.—Finalement, la carte pensée se trouve être la onzième!

MÉCANIQUE

Deux courriers marchant uniformément sur deux droites, quelle position occupent-ils lorsque leur distance est minimum?

Faire tourner les deux pieds autour des talons restant fixes, jusqu'à ce que la base d'appui soit maximum: c'est alors que la stabilité est la mieux assurée.

Une marchande de cerises a perdu ses poids; arrivée sur le marché, elle trouve un grès de 40 livres, le partage en quatre morceaux et vend au détail la marchandise: Quels sont les poids des quatre fragments qui servent pour les pesées entre 1 et 40 livres?

À deux de ses clients, un marchand pèse un même poids de marchandise, avec une balance à bras inégaux. Il intervertit dans les deux cas l'usage des plateaux. Le marchand, en procédant ainsi, gagne-t-il ou perd-il?

Il perd.

Centre de gravité d'une sphère dans l'intérieur de laquelle est pratiquée une cavité sphérique; 2^o lorsque la cavité est remplie de substance différente.

Calculer l'heure indiquée par une horloge, sachant que les aiguilles sont dirigées: la petite dans l'intervalle entre les chiffres XI et XII du cadran, la grande dans celui entre les chiffres XII et I et que la marche naturelle du mécanisme peut à un autre instant les substituer l'une à l'autre.

Un commerçant se servant d'une balance fausse gagne 11% de plus que si elle était exacte. Mais s'il changeait de plateau, la marchandise et les poids, son gain serait nul. Quel serait le gain pour cent, si la balance était exacte?

Expliquer la suspension des cerfs-volants sous l'action du vent et de la traction de la corde.

Faire voir qu'en orientant convenablement la voile, on peut, sous l'action d'un vent de direction donnée, faire prendre à un bateau des directions presque en sens contraire.

Les deux problèmes suivants sont dûs à M. G. Tarry:

3 ballons se meuvent uniformément en ligne droite; on donne leurs positions à 2 instants différents. Construire une droite qui puisse être parcourue uniformément par un ballon, de façon que les trois premiers ballons paraissent immobiles à l'aéronaute du 4^e.

4 trains se meuvent uniformément sur des voies rectilignes; on donne leurs positions à 2 instants différents. Construire une voie rectiligne qui puisse être parcourue uniformément par un train de façon qu'à tout instant les 4 premiers trains paraissent immobiles aux voyageurs du 5^e.

ASTRONOMIE

On demande combien de kilomètres par minute parcourt un paralytique du Pérou, qui se croit cloué sur son fauteuil.

Les aiguilles coïncident à midi, on demande l'heure exacte de leur prochaine rencontre, puis de leur position en ligne droite.—Qu'arriverait-il si elles marchaient en sens contraire l'une de l'autre?

En supposant trois aiguilles, à quelle heure l'aiguille des secondes divisera-t-elle en deux parties égales l'angle des deux autres?

Trouver, en un point donné, le jour du plus petit crépuscule.

Nonius, 1573.

Quel est le dernier jour de la semaine? Quel jour finira le xix^e siècle?

Henri Heine, se vieillissant de quelques jours, prétendait être né le 1^er janvier 1800, pour pouvoir se dire le premier homme de son siècle. Faute analogue de calcul de la part de Victor Hugo, né en 1802, lorsqu'il en conclut: «Ce siècle avait deux ans...»

Le xix^e siècle a commencé le 1^er janvier 1801, et non en 1800, car aucune année ne porte le numéro zéro; il finira le 31 décembre 1900.

Se servir du cadran solaire comme d'un cadran lunaire, connaissant l'âge de la lune.

Quelle heure est-il, sachant qu'il reste encore à s'écouler de la journée les quatre tiers de ce qui s'est écoulé?

À quelle distance deux marins dont les vaisseaux marchent en sens contraire cessent-ils de s'apercevoir? On connaît leur hauteur commune au-dessus du niveau de la mer.

Calculer la différence des chemins parcourus par le sommet et le pied de la tour Eiffel, haute de 300 mètres, pendant une rotation de la terre sur elle-même.—Calculer aussi la surface alors engendrée par l'axe de la tour.

Quelles seraient les apparences astronomiques pour un observateur situé sur la lune?

Un habitant de Nogent-le-Rotrou fait, par son testament, légataire universel, l'aîné de ses deux neveux, qu'il ne désigne pas autrement. L'un est né à Nancy à six heures du matin et l'autre le même jour à Brest à cinq heures et demie du matin (heures locales). Lequel des deux doit hériter?

MATHÉMATIQUES SUPÉRIEURES

Une caisse parallélépipédique, étant remplie d'un très grand nombre de petites boules égales, on demande quelle partie de la caisse est occupée par les boules.

Réponse: ^π/_3V2, environ les ¾.

Même question, avec des cercles dans le plan.

Conclure qu'on ne peut remplir le plan avec des cercles, ni l'espace avec des sphères.

Huit personnes, contentes de dîner ensemble, se proposent de s'inviter mutuellement, jusqu'à ce qu'elles aient épuisé toutes les façons de se placer à table.

Réponse: 40 320 dîners, soit 110 ans.

On casse au hasard une barre en trois morceaux; quelle est la probabilité pour qu'on puisse former un triangle avec les trois morceaux?

Disposer 30 prunes et 10 pêches, de façon à avoir toutes les pêches en les prenant de 12 en 12.

Réponse: Pêches aux places 7. 8. 11. 12. 21. 22. 24. 26. 37.

Au jeu d'échecs, faire parcourir au cavalier les 64 cases, l'une après l'autre, sans le faire passer deux fois dans la même.

Chacun sait qu'un cavalier placé sur une case d'une certaine couleur ne peut passer que sur les cases de l'autre couleur qui sont à deux rangs de la sienne.

Deux tonneaux de capacité différente sont pleins de deux vins différents, trouver quel même nombre de litres il faut prendre dans les deux pour qu'après l'échange les deux pièces aient la même composition.

Même question en supposant une proportion différente de même vin et d'eau dans les deux tonneaux.

Le nombre des décès étant de ¹/₄₂ de la population et le nombre des naissances de ¹/₃₅, on demande en combien de temps la population d'un pays sera doublée.

Pierre et Paul sont soumis à un scrutin de ballottage; l'urne contient m bulletins favorables à Pierre; n favorables à Paul; m est plus grand que n, Pierre sera élu. Quelle est la probabilité pour que, pendant le dépouillement du scrutin, les bulletins sortent dans un ordre tel que Pierre ne cessera pas un seul instant d'avoir l'avantage?

On tire à la cible. L'arme, sans être parfaite, ne présente aucun défaut systématique; les déviations ont en tous sens la même probabilité. Quelle est la probabilité pour que le point frappé soit à une distance du but comprise entre r et r + dr?

Données insuffisantes.

Combien y a-t-il de mots formés de neuf lettres? (les mots peuvent n'avoir aucune signification et même ne pas être prononçables).

Réponse: 98 956 601 600 mots.

Trouver l'arc double de sa corde.

Ce problème donne lieu à une équation transcendante; il ne peut pas être résolu avec la règle et le compas. De même pour les trois exercices suivants.

Partager un demi-cercle en deux parties équivalentes par une parallèle au diamètre.

Quelle doit être la longueur de la longe d'un cheval pour qu'en la fixant au contour d'un pré circulaire l'animal ne puisse tondre que la moitié du pré?

Percer une voûte hémisphérique de quatre fenêtres égales de façon que le reste de la surface soit exactement carrable. (Fenêtres de Viviani.)

Dans un pays qui compte 10 millions d'électeurs, on en désigne 20.000 par un tirage au sort, pour leur faire élire un représentant. En supposant que le pays soit partagé entre deux opinions, 4.500.000 d'un côté et 5.500.000 de l'autre, quelle est la probabilité pour que le candidat élu appartienne à la minorité?

Dans la question des intérêts composés continus, on demande ce que devient, au bout d'un nombre donné d'années, un capital placé à un taux connu, en supposant que l'intérêt se capitalise d'instant en instant.

Trouver le diamètre d'un cercle, étant données les longueurs de trois cordes formant un contour fermé terminé aux extrémités de ce diamètre.

Newton.

On place, bout à bout, n couples de cartes inclinées l'une sur l'autre et une carte entre deux couples; par dessus, on met n - 1 couples dont on assure la stabilité de même, et ainsi de suite. Combien faudra-t-il de cartes pour faire ce château?

Même question pour un château à étages carrés, la stabilité étant obtenue en remplaçant chaque couple par un nombre de couples égal à celui des couples primitifs.

Un chien part d'un point en dehors de la route et court vers son maître qui chemine uniformément. Étudier la courbe du chien.

Trouver le lieu du point tel que le produit de ses distances à plusieurs droites données soit dans un rapport constant avec le produit de ses distances à d'autres droites données.