MORCEAUX CHOISIS ET PENSÉES (continued 2)

Royer-Collard.

L'astronomie, considérée de la manière la plus générale, est un grand problème de mécanique...; sa solution dépend à la fois de l'exactitude des observations et de la perfection de l'analyse, et il importe extrêmement d'en bannir tout empirisme, et de la réduire à n'emprunter de l'observation que les données indispensables.

Laplace.

La plus magnifique confirmation qu'aient reçue les théories astronomiques a été la découverte de la planète Neptune par Leverrier en 1846.

Les observations prolongées de la planète Uranus avaient montré un désaccord constant entre le calcul et les faits. Cette planète pas plus qu'une autre ne décrit exactement l'ellipse de Kepler; elle éprouve des perturbations de la part des autres astres du système solaire. Mais on avait beau tenir compte de toutes celles qui pouvaient être produites par les planètes connues, on n'arrivait pas à faire disparaître ce désaccord et à pouvoir construire des tables suffisamment exactes; il subsistait constamment des différences sensibles et inexpliquées. On en vint à penser que la cause de ces différences résidait probablement dans l'existence d'une planète encore inconnue.

Ce fut Leverrier qui eut la gloire de transformer cette supposition en certitude. Renversant le problème ordinaire du calcul des perturbations, il parvint à déterminer la masse et l'orbite de la planète inconnue, d'après les effets qu'elle produisait sur Uranus; il alla jusqu'à pouvoir assigner la place qu'elle devait occuper dans le ciel à une date qu'il désigna. Il suffit à M. Galle, de Berlin, de diriger une lunette vers cette place pour apercevoir tout près de là un astre, invisible à l'œil nu, qui n'était marqué sur aucune carte du ciel: les observations des jours suivants montrèrent qu'il se déplaçait parmi les étoiles; c'était donc bien une planète.

Guiraudet.

En réfléchissant au mouvement diurne auquel tous les corps célestes sont assujettis, on reconnaît évidemment l'existence d'une cause générale qui les entraîne ou qui paraît les entraîner autour de l'axe du monde. Si l'on considère que ces corps sont isolés entre eux, et placés loin de la terre, à des distances très différentes; que le soleil et les étoiles en sont beaucoup plus éloignés que la lune, et que les variations des diamètres apparents des planètes indiquent de grands changements dans leurs distances; enfin que les comètes traversent librement le ciel dans tous les sens; il sera très facile de concevoir qu'une même cause imprime à tous ces corps un mouvement commun de rotation. Mais les astres se présentent à nous de la même manière, soit que le ciel les entraîne autour de la terre supposée immobile, soit que la terre tourne en sens contraire, sur elle-même; il paraît beaucoup plus naturel d'admettre ce dernier mouvement et de regarder celui du ciel comme une apparence.

La terre est un globe dont le rayon n'est pas de sept millions de mètres: le soleil est, comme on l'a vu, incomparablement plus gros. Si son centre coïncidait avec celui de la terre, son volume embrasserait l'orbe de la lune, et s'étendrait une fois plus loin, d'où l'on peut juger de son immense grandeur: il est d'ailleurs éloigné de nous d'environ vingt-trois mille rayons terrestres. N'est-il pas infiniment plus simple de supposer au globe que nous habitons un mouvement de rotation sur lui-même, que d'imaginer, dans une masse aussi considérable et aussi distante que le soleil, le mouvement extrêmement rapide qui lui serait nécessaire pour tourner, en un jour, autour de la terre? Quelle force immense ne faudrait-il pas alors pour le contenir et balancer sa force centrifuge? Chaque astre présente des difficultés semblables qui sont toutes levées par la rotation de la terre.

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Entraînés par un mouvement commun à tout ce qui nous environne, nous ressemblons au navigateur que les vents emportent avec son vaisseau sur les mers. Il se croit immobile; et le rivage, les montagnes et tous les objets placés hors du vaisseau, lui paraissent se mouvoir. Mais en comparant l'étendue du rivage et des plaines, et la hauteur des montagnes à la petitesse de son vaisseau, il reconnaît que leur mouvement n'est qu'une apparence produite par son mouvement réel. Les astres nombreux répandus dans l'espace céleste, sont, à notre égard, ce que le rivage et les montagnes sont par rapport au navigateur; et les mêmes raisons par lesquelles il s'assure de la réalité de son mouvement nous prouvent celui de la terre.

Laplace.

Pendant des siècles on a fait de la Terre le centre du monde, en obligeant les planètes, le soleil et jusqu'aux étoiles à tourner autour d'elle. Copernic est survenu et dès lors la Terre a pris une place des plus modestes dans le cortège des planètes que gouverne le soleil. Voici maintenant que le soleil à son tour n'est plus qu'une des innombrables étoiles de la Voie lactée....

F. Tisserand.

Toutes nos notions, en fait de distances célestes ou terrestres, reposent, en dernière analyse, sur quelques bases mesurées çà et là, principalement par des Français.

Faye.

PROBABILITÉS

Il y a des jeux où dix personnes mettant chacune un écu, il n'y en a qu'une qui gagne le tout et toutes les autres perdent: ainsi chacun des joueurs n'est au hasard que de perdre un écu, et pour en gagner neuf. Si l'on ne considérait que la perte et le gain en soi, il semblerait que tous y ont de l'avantage; mais il faut de plus considérer que si chacun peut gagner neuf écus, et n'est au hasard que d'en perdre un, il est aussi neuf fois plus probable, à l'égard de chacun, qu'il perdra son écu et ne gagnera pas les neuf. Ainsi, chacun a pour soi neuf écus à espérer, un écu à perdre, neuf degrés de probabilité de perdre un écu et un seul de gagner les neuf écus: ce qui met la chose dans une parfaite égalité.

Tous les jeux qui sont de cette sorte sont équitables, autant que les jeux peuvent l'être, et ceux qui sont hors de cette proportion sont manifestement injustes; et c'est par là qu'on peut faire voir qu'il y a une injustice évidente dans ces espèces de jeux qu'on appelle loteries, parce que le maître de loterie prenant d'ordinaire sur le tout une dixième partie pour son préciput, tout le corps des joueurs est dupé de la même manière que si un homme jouait un jeu égal, c'est-à-dire où il y a autant d'apparence de gain que de perte, dix pistoles contre neuf. Or si cela est désavantageux à tout le corps, cela l'est aussi à chacun de ceux qui le composent, puisqu'il arrive de là que la probabilité de la perte surpasse plus la probabilité du gain que l'avantage qu'on espère ne surpasse le désavantage auquel on s'expose, qui est de perdre ce qu'on y met.

Logique de Port-Royal.

Pesons le gain et la perte, en prenant croix, que Dieu est. Estimons ces deux cas: si vous gagnez, vous gagnez tout; si vous perdez, vous ne perdez rien. Gagez donc qu'il est, sans hésiter.

—Cela est admirable: oui, il faut gager; mais je gage peut-être trop.

—Voyons. Puisqu'il y a pareil hasard de gain et de perte, si vous n'aviez qu'à gagner deux vies pour une, vous pourriez encore gager. Mais s'il y en avait trois à gagner, il faudrait jouer (puisque vous êtes dans la nécessité de jouer) et vous seriez imprudent, lorsque vous êtes forcé à jouer, de ne pas hasarder votre vie pour en gagner trois à un jeu où il y a pareil hasard de perte et de gain.

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Mais il y a ici une infinité de vies infiniment heureuses à gagner, un hasard de gain contre un nombre fini de hasards de perte, et ce que vous jouez est fini. Cela est tout parti: partout où est l'infini et où il n'y a pas une infinité de hasards de perte contre celui de gain, il n'y a point à balancer, il faut tout donner; et ainsi, quand on est forcé à jouer, il faut renoncer à la raison, pour garder la vie plutôt que de la hasarder pour le gain infini aussi prêt à arriver que la perte du néant.

Car il ne sert de rien de dire qu'il est incertain si l'on gagnera, et qu'il est certain qu'on hasarde, et que l'infinie distance qui est entre la certitude de ce qu'on s'expose et l'incertitude de ce qu'on gagnera égale le bien fini qu'on expose certainement à l'infini qui est incertain. Cela n'est pas ainsi: tout joueur hasarde avec certitude pour gagner avec incertitude; et néanmoins il hasarde certainement le fini pour gagner incertainement le fini, sans pécher contre la raison. Il n'y a pas infinité de distance entre cette certitude de ce qu'on s'expose et l'incertitude du gain; cela est faux. Il y a, à la vérité, infinité de distance entre la certitude de gagner et la certitude de perdre. Mais l'incertitude de gagner est proportionnée à la certitude de ce qu'on hasarde, selon la proportion des hasards de gain et de perte; et de là vient que s'il y a autant de hasard d'un côté que de l'autre, le parti est à jouer égal contre égal; et alors la certitude de ce qu'on expose est égale à l'incertitude du gain; tant s'en faut qu'elle soit infiniment distante. Et ainsi notre proposition est dans une force infinie, quand il y a le fini à hasarder à un jeu où il y a pareils hasards de gain que de perte, et l'infini à gagner. Cela est démonstratif; si les hommes sont capables de quelques vérités, celle-là l'est.

Pascal.

Nous devions citer ce morceau célèbre, mais nous nous empressons d'y joindre le commentaire de M. J. Bertrand:

«On a cru, dans une page de Pascal, voir l'application du calcul des probabilités à la démonstration de l'existence de Dieu. C'est lui prêter injustement un ridicule. Pascal, acceptant, comme hypothèse, le doute sur l'existence de Dieu, doit, la logique l'exige, rencontrer le dilemme: Ou Dieu existe ou il n'existe pas. L'incrédule hésite! Chaque opinion est donc pour lui plus ou moins probable; Pascal ne tente nullement l'examen du problème pour le réduire en formule et en chiffres. Il n'associe au mot probabilité rien qui tienne à l'algèbre; la mesure exacte ou approchée des chances reste en dehors de son argument. Puisque deux hypothèses sont possibles, on pourrait établir un pari. Il y a deux choses dans un pari: la chance de gagner et la somme hasardée. Pascal ne s'occupe que de l'enjeu. L'impie qui parie pour l'athéisme, sera damné s'il perd. Rien n'est trop cher, quelles que soient les chances, pour se soustraire à ce formidable risque.»

Ainsi des chances favorables et nombreuses étant constamment attachées à l'observation des principes éternels de raison, de justice et d'humanité, qui fondent et maintiennent les sociétés, il y a grand avantage à se conformer à ces principes, et de graves inconvénients à s'en écarter. Que l'on consulte les histoires et sa propre expérience, on y verra tous les faits venir à l'appui de ce résultat du calcul. Considérez les heureux effets des institutions fondées sur la raison et sur les droits naturels de l'homme, chez les peuples qui ont su les établir et les conserver. Considérez encore les avantages que la bonne foi a procurés aux gouvernements qui en ont fait la base de leur conduite, et comme ils ont été dédommagés des sacrifices qu'une scrupuleuse exactitude à tenir ses engagements leur a coûtés. Quel immense crédit au dedans! Quelle prépondérance au dehors! Voyez au contraire dans quel abîme de malheurs, les peuples ont été souvent précipités par l'ambition et par la perfidie de leurs chefs. Toutes les fois qu'une grande puissance enivrée de l'amour des conquêtes aspire à la domination universelle, le sentiment de l'indépendance produit, entre les nations menacées, une coalition dont elle devient presque toujours la victime.

Laplace.

L'extrême difficulté des problèmes relatifs au système du monde a forcé les géomètres à recourir à des approximations qui laissent toujours à craindre que les quantités négligées n'aient une influence sensible. Lorsqu'ils ont été avertis de cette influence, par les observations, ils sont revenus sur leur analyse; en la rectifiant, ils ont toujours retrouvé la cause des anomalies observées; ils en ont déterminé les lois, et souvent ils ont devancé l'observation, en découvrant des inégalités qu'elle n'avait pas encore indiquées. Ainsi l'on peut dire que la nature elle-même a concouru à la perfection analytique des théories fondées sur la pesanteur universelle; et c'est, à mon sens, une des plus fortes preuves de la vérité de ce principe admirable.

Laplace.

Il est bien important de tenir compte, dans chaque branche de l'administration publique, un registre exact des effets qu'ont produits les divers moyens dont on a fait usage, et qui sont autant d'expériences faites en grand par les gouvernements. Appliquons aux sciences politiques et morales la méthode fondée sur l'observation et sur le calcul, méthode qui nous a si bien servi dans les sciences naturelles. N'opposons point une résistance inutile et souvent dangereuse aux effets inévitables du progrès des lumières; mais ne changeons qu'avec une circonspection extrême nos institutions et les usages auxquels nous sommes depuis si longtemps pliés. Nous connaissons bien par l'expérience du passé les inconvénients qu'ils présentent; mais nous ignorons quelle est l'étendue des maux que leur changement peut produire. Dans cette ignorance, la théorie des probabilités prescrit d'éviter tout changement: surtout il faut éviter tout changement brusque qui, dans l'ordre moral, comme dans l'ordre physique, ne s'opère jamais sans une grande perte de force vive.

Laplace.

La probabilité des décisions d'une assemblée dépend de la pluralité des voix, des lumières et de l'impartialité des membres qui la composent. Tant de passions et d'intérêts particuliers y mêlent si souvent leur influence, qu'il est impossible de soumettre au calcul cette probabilité. Il y a cependant quelques résultats généraux dictés par le simple bon sens, et que le calcul confirme. Si, par exemple, l'assemblée est très peu éclairée sur l'objet soumis à sa décision; si cet objet exige des considérations délicates, ou si la vérité sur ce point est contraire à des préjugés reçus, en sorte qu'il y ait plus d'un à parier contre un que chaque votant s'en écartera; alors la décision de la majorité sera probablement mauvaise, et la crainte à cet égard sera d'autant plus fondée, que l'assemblée sera plus nombreuse. Il importe donc à la chose publique, que les assemblées n'aient à se prononcer que sur des sujets à la portée du plus grand nombre: il lui importe que l'instruction soit généralement répandue, et que de bons ouvrages fondés sur la raison et sur l'expérience éclairent ceux qui sont appelés à décider du sort de leurs semblables ou à les gouverner, et les prémunissent d'avance contre les faux aperçus et les préventions de l'ignorance. Les savants ont de fréquentes occasions de remarquer que les premiers aperçus trompent souvent, et que le vrai n'est pas toujours vraisemblable.

Laplace.

Cependant l'induction, en faisant découvrir les principes généraux des sciences, ne suffit pas pour les établir en rigueur... Je citerai pour exemple un théorème de Fermat sur les nombres premiers. Ce grand géomètre, qui avait longuement médité sur leur théorie, cherchait une formule qui, ne renfermant que des nombres premiers, donnât directement un nombre premier plus grand qu'aucun nombre assignable. L'induction le conduisit à penser que deux, élevé à une puissance qui était elle-même une puissance de deux, formait avec l'unité un nombre premier.

Ainsi deux, élevé au carré, plus un, forme le nombre premier cinq; deux, élevé à la seconde puissance de deux, ou seize, forme avec un le nombre premier dix-sept. Il trouva que cela était encore vrai pour la huitième et la seizième puissance de deux, augmentées de l'unité; et cette induction, appuyée de plusieurs considérations arithmétiques, lui fit regarder ce résultat comme général. Cependant il avoua qu'il ne l'avait pas démontré. En effet, Euler a reconnu que cela cesse d'avoir lieu pour la trente-deuxième puissance de deux, qui, augmentée de l'unité, donne 4294967297, nombre divisible par 641.

Laplace.

Le physicien Jacobi raconte que son frère, le grand mathématicien, croyant avoir découvert une loi générale des nombres, l'essaya sur un nombre pris au hasard. Ce nombre la mit en défaut, tandis que beaucoup d'autres nombres essayés à leur tour la vérifièrent. Plus tard, le grand Jacobi reconnut que le nombre pris d'abord appartenait à la seule catégorie de nombres formant exception à la loi considérée.

Un paradoxe singulier rend ce jeu,—le problème de Saint-Pétersbourg, c'est le nom qu'on lui donne,—mémorable et célèbre. Pierre joue avec Paul; voici les conditions: Pierre jettera une pièce de monnaie autant de fois qu'il sera nécessaire pour qu'elle montre le côté face. Si cela arrive au premier coup, Paul lui donnera un écu; si ce n'est qu'au second, deux écus; s'il faut attendre au troisième coup, il en donnera quatre, huit au quatrième, toujours en doublant. Tels sont les engagements de Paul. Quels doivent être ceux de Pierre? La science consultée par Daniel Bernoulli, donne pour réponse: une somme infinie. Le parti de Pierre, c'est le mot consacré, est au-dessus de toute mesure.

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..... Il faut approuver absolument et simplement la réponse réputée absurde. Pierre possède, je suppose, un million d'écus et les donne à Paul en échange des promesses convenues. Il est fou! dira-t-on. Le placement est aventureux, mais excellent; l'avantage infini est réalisable. Qu'il joue obstinément, il perdra une partie, mille, mille millions de milliards peut-être; qu'il ne se rebute pas, qu'il recommence un nombre de fois que la plume s'userait à écrire, qu'il diffère surtout le règlement des comptes, la victoire pour lui est certaine, la ruine de Paul inévitable. Quel jour? quel siècle? On l'ignore; avant la fin des temps certainement, le gain de Pierre sera colossal.

J. Bertrand.

L'application du calcul aux décisions judiciaires est, dit Stuart Mill, le scandale des mathématiques. L'accusation est injuste. On peut peser du cuivre et le donner pour de l'or, la balance reste sans reproche. Dans leurs travaux sur la théorie des jugements, Condorcet, Laplace et Poisson n'ont pesé que du cuivre.

La réunion, quelle qu'elle soit, qui peut juger bien ou mal, est remplacée dans leurs études par des urnes où l'on puise des boules blanches ou noires.....

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..... Mais une autre objection est sans réplique: l'indépendance des tirages est supposée; les urnes, dans les calculs, échappent à toute influence commune. Les juges, au contraire, s'éclairent les uns les autres, les mêmes faits les instruisent, les mêmes sollicitations les tourmentent, la même éloquence les égare, c'est sur les mêmes considérants qu'ils font reposer la vérité ou l'erreur. L'assimilation est impossible.

J. Bertrand.

Le jeu ruine ceux qui s'y livrent. Il n'y a exception que pour les joueurs auxquels les conditions acceptées accordent un avantage.

Le fermier des jeux à Monte-Carlo peut accroître sans crainte le nombre des coups. La menace ne s'adresse qu'aux pontes.

Lorsque le jeu est équitable, la ruine tôt ou tard est certaine.

La proposition semble contradictoire. En ruinant l'un des joueurs, le jeu enrichit l'autre; en s'exposant à perdre une fortune, on a l'espoir de la doubler.

Cela n'est pas douteux; mais, quand la fortune est doublée, le théorème s'y applique avec la même certitude; elle peut doubler encore, centupler peut-être, tout sera emporté à la fois par un caprice du hasard. En combien de temps? Nul ne le sait; la probabilité augmente avec le nombre des parties et converge vers la certitude.

J. Bertrand.

Les philosophes, qui veulent déterminer l'avenir indéfini de l'espèce humaine par la seule observation du passé, sont dans une grande erreur... Ils ne s'occupent du présent qu'après avoir découvert l'avenir. C'est comme si, pour connaître les affections de la courbe des observations, on se servait du prolongement conjectural de cette courbe, qui peut n'avoir rien de commun avec ce qui résulterait de la loi inconnue du phénomène...

Rien ne serait plus dangereux que de confier la direction de la société à des chefs qui se seraient fait un type bien arrêté de l'état définitif de la société et la pousseraient sans ménagement dans cette voie.

Duhamel.

ENSEIGNEMENT

Nous estimons que l'étude complète de toute science devrait comprendre une période préparatoire ou d'amorce, une période théorique ne portant que sur les parties à la fois importantes et simples et une période complémentaire où la discussion s'aiguiserait et se généraliserait.

Les premières notions de mathématiques doivent faire partie de l'éducation des enfants. Les chiffres et les lignes parlent plus qu'on ne croit à leur imagination naissante et c'est un moyen sûr de l'exercer sans l'égarer.

Condorcet.

La longue formation de l'humanité recommence en chaque petit enfant...

Le premier calculateur n'a pas débuté par les règles abstraites qu'on trouve dans les livres d'école. Il est assez évident qu'il a dû se trouver d'abord en présence de problèmes pratiques, dont il n'a pu se tirer qu'en tendant tous les ressorts de son intelligence pour créer la règle, et qu'il n'a pas fait de l'art pour l'art. Faire débuter l'enfant par la règle abstraite, et lui poser ensuite les problèmes à résoudre, c'est aller au rebours de la marche de l'esprit humain, qui en est chez lui au point où il en était dans l'enfance de l'espèce.

Alors, qu'arrive-t-il? C'est que son intelligence, ainsi brusquée, se refuse à l'abstraction qui se présente avant l'heure, et que sa mémoire seule entre en jeu pour se charger douloureusement de mots et de pratiques dont le sens lui échappe.

La vraie méthode est donc ici de le replacer dans les conditions du commencement, et de le faire assister en quelque sorte à la création de l'arithmétique.

J. Macé.

Nous concevons la possibilité d'un enseignement gradué de la géométrie élémentaire, conduit, à tous ses degrés, d'après un plan unique et invariable, toujours soumis aux règles de la plus sévère logique, et où les difficultés ne se montreraient qu'à mesure que les esprits seraient préparés à les aborder.

Pour cela, l'étude de la géométrie devrait être reprise à divers points de vue, correspondant aux divers degrés d'initiation des élèves. Pour les commençants, il s'agit avant tout de se familiariser avec les figures et leurs dénominations, d'apprendre des faits, d'entrevoir leurs applications les plus simples et les plus immédiates, celles surtout qui se rapportent aux usages de la vie ordinaire.

On devra donc au début multiplier les axiomes, employer, au lieu de démonstrations, les vérifications expérimentales, l'analogie, l'induction, en ne laissant jamais oublier que ce mode d'exposition est essentiellement provisoire. On exercera l'élève aux tracés graphiques, à la solution de divers problèmes de levé des plans et d'arpentage, à la construction des figures en relief... Le maître saura proportionner au degré de développement intellectuel de l'élève la part plus ou moins grande qu'il devra faire au raisonnement dans cette première ébauche des études géométriques.

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Le premier enseignement sera donc exclusivement expérimental, et peu à peu on fera voir à l'élève comment toutes les vérités n'ont pas besoin d'être séparément constatées par l'expérience, et comment elles sont les conséquences d'un certain nombre d'entre elles, nombre que l'on restreindra de plus en plus, à mesure que l'on avancera dans l'étude de la science, jusqu'à ce qu'on soit arrivé aux axiomes fondamentaux, dont le nombre ne peut plus être réduit.

Hoüel.

J'ai dit que la Géométrie n'était pas à la portée des enfants; mais c'est notre faute. Nous ne sentons pas que leur méthode n'est point la nôtre, et que ce qui devient pour nous l'art de raisonner ne doit être pour eux que l'art de voir. Au lieu de leur donner notre méthode, nous ferions mieux de prendre la leur; car notre manière d'apprendre la géométrie est bien autant une affaire d'imagination que de raisonnement. Quand la proposition est énoncée, il faut en imaginer la démonstration, c'est-à-dire trouver de quelle proposition déjà sue celle-là doit être une conséquence, et, de toutes les conséquences qu'on peut tirer de cette proposition, choisir précisément celle dont il s'agit.

De cette manière le raisonneur le plus exact, s'il n'est inventif, doit rester court. Aussi qu'arrive-t-il de là? Qu'au lieu de nous faire trouver les démonstrations, on nous les dicte; qu'au lieu de nous apprendre à raisonner, le maître raisonne pour nous et n'exerce que notre mémoire.

Faites des figures exactes, combinez-les, posez-les l'une sur l'autre, examinez leurs rapports; vous trouvez toujours la géométrie élémentaire en marchant d'observation en observation, sans qu'il soit question ni de définitions, ni de problèmes, ni d'aucune autre forme démonstrative que la simple superposition. Pour moi, je ne prétends point apprendre à Émile la géométrie, c'est lui qui me l'apprendra; je chercherai des rapports et il les trouvera, car je les chercherai de manière à les lui faire trouver. Par exemple, au lieu de me servir d'un compas pour tracer un cercle, je le tracerai avec une pointe au bout d'un fil tournant sur un pivot. Après cela, quand je voudrai comparer les rayons entre eux, Émile se moquera de moi, et il me fera comprendre que le même fil toujours tendu ne peut avoir tracé des distances inégales.

Si je veux mesurer un angle de soixante degrés, je décris du sommet de cet angle, non pas un arc mais un cercle entier; car avec les enfants il ne faut jamais rien sous-entendre. Je trouve que la portion de cercle comprise entre les deux côtés de l'angle est la sixième partie du cercle. Après cela, je décris du même sommet un autre plus grand cercle, et je trouve que ce second arc est encore la sixième partie de son cercle. Je décris un troisième arc concentrique sur lequel je fais la même épreuve; et je la continue sur de nouveaux cercles, jusqu'à ce qu'Émile, choqué de ma stupidité, m'avertisse que chaque arc, grand ou petit, compris par le même angle, sera toujours la sixième partie de son cercle...

Nous voilà tout à l'heure à l'usage du rapporteur.

Pour prouver que les angles de suite sont égaux à deux droits, on décrit un cercle; moi, tout au contraire, je fais en sorte qu'Émile remarque cela premièrement dans le cercle, et puis je lui dis: si l'on ôtait le cercle, et qu'on laissât les lignes droites, les angles auraient-ils changé de grandeur? etc... On néglige la justesse des figures, on la suppose, et l'on s'attache à la démonstration. Entre nous, au contraire, il ne sera jamais question de démonstration; notre plus importante affaire sera de tirer des lignes bien droites, bien justes, bien égales; de faire un carré parfait, de tracer un cercle bien rond. Pour vérifier la justesse de la figure, nous l'examinerons par toutes ses propriétés sensibles; et cela nous donnera l'occasion d'en découvrir chaque jour de nouvelles. Nous plierons par le diamètre les deux demi-cercles; par la diagonale, les deux moitiés du carré: nous comparerons nos deux figures pour voir celle dont les bords conviennent le plus exactement et par conséquent la mieux faite; nous distinguerons si cette égalité de partage doit avoir toujours lieu dans les parallélogrammes, dans les trapèzes, etc... On essaiera quelquefois de prévoir le succès de l'expérience avant de la faire, on tâchera de trouver des raisons, etc...

La géométrie n'est pour mon élève que l'art de se bien servir de la règle et du compas...

J.-J. Rousseau.

Il est temps d'entrer dans le vif de la question pédagogique: Comment convient-il d'étudier une figure avec les commençants? Vous m'excuserez si je numérote les parties successives de la réponse.—1^o Avant tout, montrez le modèle matériel, faites-le circuler et manier, puis, dessinez-le au tableau et que toute la classe vous imite.—2^o Faites dégager la propriété principale de la figure, celle qui servira de définition. Cette propriété est jointe à d'autres, simples aussi, et il faudra parfois aider un peu l'enfant.—3^o L'essentiel de la figure étant connu, prononcez son nom, pour la première fois. On s'empresse autour de vous d'écrire le nom sur la chose. Vous demandez des exemples familiers, etc.—4^o Vous invitez un élève à formuler la définition. Elle est un peu embarrassée, cette définition; vous la rectifiez et vous la dictez, pour qu'elle soit apprise par cœur. La définition se borne ainsi à résumer nettement ce qui est déjà su.—5^o Il faut ensuite connaître la figure plus en détail. Faites deviner ou remarquer les autres propriétés, sans les démontrer, c'est-à-dire sans les déduire de la propriété fondamentale. Les nouvelles propriétés sont seulement constatées et vérifiées.—6^o Terminez enfin par les constructions et les problèmes simples, se rattachant à la figure soumise à vos investigations.

On peut enseigner d'abord une algèbre modeste et, pour ainsi dire, préliminaire, où les règles découlent d'exemples particuliers et non de raisonnements généraux et abstraits. Voici les indications principales pour un enseignement dirigé dans cet esprit.

1^o Généraliser lentement.—Je ne saurais trop le répéter, l'esprit se refuse aux abstractions brusquement imposées. C'est graduellement qu'on passe d'une de ces idées à la suivante: trois chevaux, le nombre trois en général, un nombre quelconque représenté par a ou par x.

2^o Laisser de côté les nombres négatifs, ⁰/₀, ^m/₀ et les imaginaires.—Ces symboles sont délicats à comprendre et il faut les réserver pour une étude approfondie de l'algèbre. Composez, en conséquence, des exercices et problèmes ne présentant pas d'impossibilités arithmétiques.

3^o Supprimer les discussions.—Ces examens à fond des questions, de toutes leurs particularités et de toutes leurs exceptions, supposent des esprits aiguisés. Reportons-les aussi, sans hésiter, à la seconde période d'enseignement.

4^o Dès le début, de petits problèmes résolus à l'aide de x.—Vous amorcez ainsi le nouveau sujet au moyen d'un chapitre, pour ainsi dire complémentaire de l'arithmétique. Le calcul algébrique ne vient qu'ensuite.

5^o Glisser sur la théorie du calcul algébrique.—Ce sujet est assez aride; il est, du reste, peu important pour le moment. C'est la pratique qui importe, en évitant les opérations trop longues.

Insister sur le carré d'un binome et passer sous silence la division des polynomes.

6^o Raisonner directement des problèmes gradués.—La méthode des équations s'accuse ainsi d'elle-même plus clairement qu'en la formulant a priori.

7^o Équations abstraites.—Nous pouvons maintenant passer aux équations séparées des problèmes concrets leur servant de supports. On n'a qu'à reprendre des raisonnements déjà faits, mais en les présentant d'une façon plus générale. Se borner à énoncer les principes qui sont presque évidents.

La Géométrie est peut-être, de toutes les parties des mathématiques, celle que l'on doit apprendre la première; elle me paraît très propre à intéresser les enfants, pourvu qu'on la leur présente principalement par rapport à ses applications, soit sur le papier, soit sur le terrain. Les opérations de tracé et de mesurage ne manqueront pas de les occuper agréablement, et les conduiront ensuite, comme par la main, au raisonnement.

Les éléments de Géométrie de Clairaut, ordonnés suivant la méthode des inventeurs, sont les plus convenables pour diriger le maître dans cette circonstance.....

Lacroix.

Feu M. Clairaut imagina de faire apprendre facilement aux jeunes gens les éléments de la géométrie; il voulut remonter à la source, et suivre la marche de nos découvertes et des besoins qui les ont produites.

Cette méthode paraît agréable et utile; mais elle n'a pas été suivie; elle exige chez le maître une flexibilité d'esprit qui sait se proportionner, et un agrément rare dans ceux qui suivent la routine de leur profession.

Voltaire.

Il y a deux manières d'étudier les mathématiques et deux époques pour faire ces études avec des fruits divers.

On peut les étudier matériellement, machinalement, en demeurant dans les faits mathématiques, dans les mots, dans les chiffres, dans les formules d'un enseignement sans plénitude et sans élévation.....

Ou bien, on peut les étudier intellectuellement, originalement, en comparant le sens et le lien des mots, des idées et des choses, en s'élevant aux grandes et aux simples lumières de la science, en saisissant, pénétrant, possédant réellement la vérité.

Dupanloup.

Aujourd'hui la partie philosophique de la science est très négligée; les moyens de briller dans un examen ou concours marchent en première ligne; sauf de rares exceptions, les professeurs songent beaucoup plus à familiariser les élèves avec le mécanisme du calcul qu'à leur en faire sonder les principes. Je ne sais, en vérité, si l'on ne pourrait pas dire de certaines personnes qu'elles emploient l'analyse comme la plupart des manufacturiers se servent de la machine à vapeur, sans se douter de son mode d'action. Et qu'on ne prétende pas que cet enseignement vicieux soit un sacrifice obligé à la passion dominante de notre époque, à la rage d'aller vite en toutes choses.

Arago.

Préférez, dans l'enseignement, les méthodes les plus générales. Attachez-vous à les présenter de la manière la plus simple, et vous verrez en même temps qu'elles sont presque toujours les plus faciles.

Laplace.

Les exemples instruisent mieux que les préceptes.

Newton.

Au moyen-âge et jusqu'au xvii^e siècle, l'enseignement portait sur les sept arts libéraux et il comprenait le Trivium (grammaire, rhétorique et dialectique) et le Quadrivium (arithmétique, géométrie, musique et astronomie).

Sommes-nous revenus au système de Ptolémée?

Je me souviens d'un fort habile homme qui, sur la lecture du premier volume d'un de nos plus savants traités d'astronomie, voyant l'auteur toujours parler des mouvements du soleil, des cercles qu'il parcourt, de sa révolution diurne, de ses mouvements annuels, progrès, stations et rétrogradations, croyait, d'après cet exposé, que l'Académie des sciences était revenue au système de Ptolémée.

Pourquoi commencer par décrire longuement et minutieusement à l'élève des apparences dont il apprendra ensuite la fausseté? Pourquoi ne pas lui dire tout de suite et franchement ce qui en est?

Gratry.

Ne dites pas: Dites:

Une ligne (pour une droite), un cercle (pour une circonférence). Une droite, une circonférence.

Je mène par un point une perpendiculaire à une droite, une parallèle... La perpendiculaire, la parallèle...

7 × 8: ne se lit pas 7 qui multiplie 8 7 multiplié par 8.

Le lieu des points est sur telle ligne. Le lieu des points est telle ligne.

Le lieu des points est le segment circulaire, etc. L'arc du segment circulaire, etc.

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Je divise l'équation par tel nombre. Je divise les deux membres de l'équation ...

La racine négative de l'équation du second degré. La racine où le radical est précédé du signe -.

Les puissances impaires. À exposant impair.

Plus grand ou égal à ≥. Supérieur ou égal à.

7 x ³/₁₁ x 3.—Je multiplie la fraction par trois. Je multiplie les deux termes de la fraction par trois.

⁴/₁₅ et ⁸/₃₀.—La plus grande fraction. La fraction qui a des termes plus grands.

a, a', a'' puis a + a' + a'' Ajouter les fractions terme à terme.

b, b', b'' b + b' + b''

—Ajouter les fractions.

Etc., etc. Etc., etc.

Dans le domaine des Mathématiques pures, on peut distinguer deux parties: l'une, la plus élevée, qui s'augmente constamment, presque toujours par degrés insensibles, ne regarde que les mathématiciens; l'autre, longtemps immuable, s'accroît brusquement, à des intervalles éloignés, par l'adoption de quelque théorie nouvelle: c'est la matière de l'enseignement, ce que doivent retenir et savoir appliquer tous les hommes qui s'adonnent aux sciences et, sans cultiver les Mathématiques, ont toujours besoin de les connaître.

Halphen.

Toute science de raisonnement repose sur un petit nombre de propositions simples irréductibles à d'autres plus simples, appelées axiomes, et sur les définitions. Ces éléments, convenablement mis en œuvre par le raisonnement, conduisent aux propositions les plus complexes, qui ne sont donc, en définitive, que des composés logiques de ces éléments. Dans la géométrie élémentaire, l'arithmétique, la statique et plus généralement dans toutes les sciences où l'on fait usage de la méthode synthétique, en allant du simple au composé, on prend pour point de départ ces éléments, axiomes ou définitions, et on s'élève de proche en proche, jusqu'aux propositions les plus complexes...

...........................

Frappé de cette difficulté que les élèves éprouvent à saisir l'ensemble et les déductions du Cours, j'ai souvent employé avec succès un mode d'exercice, que j'appelle la recherche des antécédents d'une proposition et qui n'est en quelque sorte que l'analyse d'une proposition trouvée d'abord par la synthèse... On prend une proposition quelconque et l'on relève toutes les propositions antécédentes (lemmes, théorèmes, corollaires), toutes les définitions et tous les axiomes invoqués dans la démonstration. On a ainsi une première analyse de la proposition donnée. On reprend ensuite chacune des propositions antécédentes invoquées, on les analyse à leur tour et l'on continue de la sorte jusqu'à ce que l'on arrive à n'avoir plus que des axiomes et des définitions.

Jablonski.

«Allez en avant, a dit d'Alembert, la foi vous viendra.» Le remarquable morceau qui suit est un commentaire de ce conseil parfois contesté.

Quoique les vérités mathématiques se déduisent, dans un ordre rigoureux, d'un petit nombre de principes réputés évidents, on ne parvient point à les posséder pleinement, en en suivant pas à pas les déductions, en allant toujours dans le même sens du connu à l'inconnu, sans jamais revenir en arrière sur un chemin où l'on n'a rien laissé d'obscur. Le sens et la portée des principes échappent au débutant, qui saisit mal la distinction entre ce qu'on lui demande d'accorder et les conséquences purement logiques des hypothèses ou des axiomes; parfois, la démonstration lui paraît plus obscure que l'énoncé; c'est en vain qu'il s'attarderait dans la région des principes pour la mieux connaître, il faut que son esprit acquière des habitudes qu'il n'a pas, qu'il aille en avant sans trop savoir ni où il va, ni d'où il part; il prendra confiance dans ce mode de raisonnement auquel il lui faut plier son intelligence, il s'habituera aux symboles et à leurs combinaisons. Revenant ensuite sur ses pas, il sera capable de voir, du point de départ et d'un seul coup d'œil, le chemin parcouru: quelques parties de la route resteront pour lui dans l'ombre, quelques-unes même seront peut-être entièrement obscures, mais d'autres sont vivement éclairées; il sait clairement comment on peut arriver de cette vérité à cette autre; il sait où il doit porter son attention; ses yeux, mieux exercés, parviennent à voir clair dans ces passages difficiles dont il n'aurait jamais pu se rendre maître, s'il ne les avait franchis; il est maintenant capable d'aller plus loin ou de suivre une autre direction; il entre en possession des vérités nouvelles qui s'ajoutent aux vérités anciennes et qui les éclairent; il s'étonne parfois des perspectives inattendues qui s'ouvrent devant lui et lui laissent voir, sous un aspect nouveau, des régions qu'il croyait connaître entièrement; peu à peu les ombres disparaissent et la beauté de la science, si une dans sa riche diversité lui apparaît avec tout son éclat.

Ce qui se passe dans l'esprit de celui qui étudie les mathématiques n'est que l'image de ce qui s'est passé dans la création et dans l'organisation de la science; dans ce long travail, la rigueur déductive n'a pas été seule à jouer un rôle. On peut raisonner fort bien et fort longtemps sans avancer d'un pas, et la rigueur n'empêche pas un raisonnement d'être inutile. Même en mathématiques, c'est souvent par des chemins peu sûrs que l'on va à la découverte. Avant de faire la grande route qui y mène, il faut connaître la contrée où l'on veut aller; c'est cette connaissance même qui permet de trouver les voies les plus directes; c'est l'expérience seule qui indique les points où il faut porter l'effort; ce sont les difficultés parfois imprévues qui se dressent devant les géomètres qui les forcent à revenir au point de départ, à chercher une route nouvelle qui permette de tourner l'obstacle. S'imagine-t-on, par exemple, les inventeurs du calcul différentiel et intégral s'acharnant, avant d'aller plus loin, sur les notions de dérivée et d'intégrale définie?

J. Tannery.

La science même la plus exacte renferme quelques principes généraux que l'on saisit par une sorte d'instinct qui ne permet pas d'en douter, et auquel il est bon de se livrer d'abord. Après les avoir suivis dans toutes leurs conséquences et s'être fortifié l'esprit par un long exercice dans l'art de raisonner, on peut sans danger revenir sur ces principes qui se présentent alors dans un plus grand jour...

Laplace.

J'avoue même que j'attacherai moins de prix à mettre dans la démonstration d'un théorème cette rigueur extrême, si recherchée maintenant, qu'à faire clairement apercevoir la raison de ce théorème et ses connexions avec les autres vérités mathématiques. Je prie donc que l'on m'accorde quelquefois, pour la commodité de l'exposition et pour ne point décourager dès le début mes jeunes lecteurs, des démonstrations qui ont satisfait si longtemps les plus grands géomètres.

Cournot.

Il ne faut pas prévenir à contre-temps des difficultés trop subtiles.

J. Bertrand.

Voulez-vous simplifier une théorie, une méthode, inscrivez-la dans les programmes. Les professeurs se chargeront de l'éclairer et de la réduire à sa plus simple expression.

Je me défie un peu des démonstrations trop élégantes, trop symétriques, reposant sur une heureuse notation. Elles empêchent parfois de réfléchir au fond des choses, elles persuadent plus qu'elles n'éclairent.

Il importe de bien comprendre l'importance de la condition nécessaire et suffisante ou de la réciprocité des conditions ou, comme on dit encore, de la propriété caractéristique. Combien de raisonnements faux ou incomplets entraîne une analyse imparfaite!

La démonstration des réciproques—lorsqu'elles sont vraies—est trop négligée.

Pour établir un lien mathématique, il faut deux propositions dont la seconde est, à volonté, la réciproque ou la contraire de la première.

Ce n'est pas dans la manière de figurer les nombres, de les habiller pour ainsi dire, que nous distinguons l'Arithmétique de l'Algèbre, mais c'est surtout dans l'essence même des nombres, dans la manière de les concevoir. La ligne de démarcation de l'Arithmétique et de l'Algèbre provient de l'idée que l'on se fait du nombre, suivant qu'on le considère comme grandeur ou seulement comme numéro d'ordre, c'est-à-dire suivant que l'on accepte ou que l'on refuse la notion de continuité; c'est ainsi que la doctrine des nombres irrationnels, des logarithmes, etc., appartient exclusivement au domaine de l'Algèbre, c'est-à-dire des fonctions analytiques.

E. Lucas.

HISTOIRE

Dès les temps les plus reculés, les hommes ont compté les objets et mesuré grossièrement l'étendue et le temps. Ces notions ont commencé à se préciser chez les Phéniciens, commerçants et calculateurs, chez les Égyptiens, arpenteurs (inondations du Nil) et architectes (Pyramides); enfin chez les Chaldéens, pasteurs et observateurs des astres. Tels seraient les commencements de l'arithmétique, de la géométrie et de l'astronomie.

Les premiers documents historiques nous montrent la Géométrie prenant son admirable développement chez les Grecs. Presque oubliées pendant le Moyen âge, les Mathématiques renaissent au seizième siècle chez les Occidentaux. Le siècle suivant voit paraître la Géométrie analytique et le Calcul infinitésimal, grandes découvertes qui renouvellent et étendent la science.

Nous allons esquisser les principales périodes de l'histoire des mathématiques.

I. Philosophes grecs.—Ils étaient aussi presque tous géomètres et astronomes.

On attribue à Thalès (600 ans av. J.-C.) et à son École ionienne les propositions les plus simples de la Géométrie, les premières mesures de distances inaccessibles et des observations astronomiques au gnomon.

Pythagore (550 ans av. J.-C.) et les Pythagoriciens connaissent la somme des angles d'un triangle, le carré de l'hypoténuse, les polyèdres réguliers et l'un au moins des deux mouvements de la Terre.

Platon (400 ans av. J.-C.) et les Platoniciens dégagent la méthode d'analyse en Géométrie; ils imaginent les coniques et d'autres lieux géométriques pour opérer la duplication du cube; ils raisonnent déjà les incommensurables.

II. L'École grecque d'Alexandrie.—Dans cette célèbre École, qui dure plus de mille ans, les Mathématiques brillent du plus vif éclat et atteignent leur apogée.

Euclide (300 ans av. J.-C.) coordonne, dans ses Éléments, toute la Géométrie, sauf les coniques. Ce livre domine encore l'enseignement de nos jours.

Archimède (250 ans av. J.-C), le plus grand peut-être de tous les mathématiciens, mesure le cercle et la sphère; fait la quadrature de la parabole; étudie la première série; fonde la statique sur la théorie du levier, etc.

Apollonius de Perge (200 ans av. J.-C.) résume, dans son Traité des coniques, les propriétés déjà connues de ces courbes et celles plus cachées qu'il découvre à son tour.

Hipparque (150 ans av. J.-C.) refait toutes les observations astronomiques et, malgré l'imperfection de ses instruments, il trouve des nombres assez exacts pour servir de base à la théorie.

Ptolémée (150 ans ap. J.-C.) admet, dans son Almageste, la fixité de la Terre et parvient néanmoins à représenter les mouvements célestes, à l'aide d'un système compliqué de cercles.

Diophante (350 ans ap. J.-C), surnommé le Père de l'Algèbre, crée enfin cette nouvelle branche dans ses Arithmétiques.

La science pâlit ensuite à Alexandrie. Il n'y a plus que des commentateurs, parmi lesquels on doit distinguer Pappus: il nous conserve, dans ses Collections mathématiques, des fragments d'ouvrages perdus.

III. Les autres peuples jusqu'à la Renaissance.—Les Égyptiens possèdent des connaissances arithmétiques et géométriques, bien des siècles avant notre ère, comme le prouve le papyrus d'Ahmès, récemment déchiffré. Ils restent stationnaires, tandis que les Grecs, qui leur font des emprunts, progressent rapidement.

De même, les Chinois paraissent savoir des Mathématiques dès l'antiquité la plus reculée; mais ce peuple, lui aussi, reste immobile.

Les Hindous, tels que Aryabhata, Bramagupta et Bascara, ont, de temps immémorial, la curiosité des grands nombres; ils cultivent l'Algèbre et résolvent les équations des deux premiers degrés.

Les Arabes, tels que Mohamed-ben-Musa, Aboul-Wefa, etc., servent d'intermédiaires entre les Grecs et les Indiens d'une part et les Occidentaux de l'autre.

En Europe, le Moyen-âge reste obscur et stérile. Citons cependant Gerbert qui s'instruit, vers l'an 1000, auprès des Maures d'Espagne et apporte aux Chrétiens les chiffres modernes. Citons encore les Algébristes italiens, Léonard de Pise, qui fait le commerce en Orient au douzième siècle, et Lucas de Burgo (quinzième siècle).

IV. Le seizième siècle.—La science reprend enfin son essor, et les grandes découvertes se préparent.

Le Polonais Copernic (1473-1543) propose le véritable système du monde et en montre l'admirable simplicité.

L'Italien Cardan (1501-1576) établit la formule de résolution des équations du 3^e degré; il tenait la règle de Tartaglia.

Viète (1540-1603), né dans le Bas-Poitou, entrevoit les propriétés générales des équations, résout par l'algèbre les problèmes de géométrie et complète la trigonométrie.

L'Écossais Neper (1550-1617), inventeur des logarithmes, double, pour ainsi dire, la vie des calculateurs.

Harriot (1568-1621), d'Oxford, trouve les relations entre les coefficients et les racines des équations, et il calcule les racines entières et fractionnaires.

Galilée, de Florence (1564-1642), étudie le pendule, découvre les lois de la chute des corps et des projectiles; il confirme le système de Copernic, par ses observations astronomiques.

V. Le dix-septième siècle.—Ce siècle, aussi grand dans les sciences que dans les lettres, nous donne d'une part la géométrie analytique et le calcul infinitésimal, de l'autre les lois de Kepler et de l'attraction universelle.

L'Allemand Kepler (1571-1630), utilisant les observations de Tycho-Brahe, trouve les trois lois du mouvement des planètes autour du soleil.

Notre grand Descartes (1596-1650) étend l'algèbre pure et il crée la Géométrie analytique ou étude des courbes à l'aide de leurs équations.

Fermat, de Toulouse (1601-1665), résout aussi les problèmes des tangentes et des maximums, et il révèle les propriétés les plus secrètes des nombres.

Pascal (1623-1662) crée l'analyse combinatoire et le calcul des probabilités; il perfectionne la géométrie des courbes.

Le Hollandais Huygens (1629-1695) fait progresser à la fois la géométrie, la mécanique et l'astronomie.

Le grand Newton (1642-1727) invente le Calcul infinitésimal ou des fluxions, et découvre la loi de l'attraction universelle. Il a autant de génie que le vieil Archimède.

Leibniz (1646-1716) imagine le nouveau Calcul presque en même temps que Newton, et avec une notation plus heureuse.

VI. Le dix-huitième siècle.—Les mathématiciens appliquent l'analyse infinitésimale aux questions les plus variées et les plus difficiles.

Le Suisse Euler (1707-1783) fait de nombreuses recherches sur les fonctions, les séries, les intégrales, etc.

D'Alembert (1717-1783) traite la précession des équinoxes par le calcul, et il ramène l'étude du mouvement à celle de l'équilibre.

Lagrange (1736-1813) manie avec une rare élégance l'algèbre et le calcul infinitésimal; il crée la mécanique rationnelle.

Monge (1746-1818) fonde la géométrie descriptive, si utile aux ingénieurs.

Laplace (1749-1827) se rend célèbre par sa Mécanique céleste ou application du calcul au système du monde.

Carnot (1753-1823), géomètre-philosophe, cherche à préciser les nombres négatifs et imaginaires, les intégrales, etc.

VII. Première moitié du dix-neuvième siècle.—Cette période se fait remarquer à la fois par des vues très générales et par la curiosité du détail.

L'Allemand Gauss (1777-1855) étudie les équations binomes et la théorie des nombres.

Le général Poncelet (1788-1867) étend la géométrie par les méthodes de transformation.

Cauchy (1789-1857) se livre à de profondes recherches sur les séries, les imaginaires et l'infini.

L'Allemand Jacobi (1804-1851) s'occupe de fonctions nouvelles et, en particulier, des fonctions elliptiques.

Chasles (1793-1880) systématise, dans sa Géométrie supérieure, la convention des signes, le rapport anharmonique, l'homographie, l'involution, etc.

Dans la dernière moitié de ce siècle, les efforts se dirigent vers la physique mathématique qui se constitue peu à peu. En analyse pure, la recherche se particularise et s'aiguise de plus en plus, on creuse les propriétés des fonctions et des équations différentielles, le calcul infinitésimal porte tous ses fruits.

Nous allons passer une revue rapide des plus grands mathématiciens, de ces génies créateurs qui ont découvert et fondé la science. Nous essaierons de caractériser chacun d'eux en reproduisant un jugement compétent et en citant l'œuvre capitale.

Euclide (300 av. J.-C.) ou la Géométrie élémentaire.

Jamais aucun livre de science n'a eu une aussi longue influence que les Éléments d'Euclide. Ils ont été traduits et commentés dans toutes les langues, enseignés exclusivement pendant des siècles dans toutes les Écoles de Mathématiques: on les suit encore en Angleterre.

Rouché.

Archimède (287-212 av. J.-C.) ou la Géométrie infinitésimale.

Ceux qui sont en état de comprendre Archimède admirent moins les découvertes des plus grands hommes modernes.

Leibniz.

Apollonius (de Perge) (200 av. J.-C.) ou la Géométrie des coniques.

L'ouvrage d'Apollonius sur les sections coniques est pour ainsi dire le couronnement de la Géométrie grecque.... Tout y est coordonné symétriquement; l'unité du plan reflète, jusque dans les moindres détails, la pensée directrice de l'auteur, qui tend à lier entre elles toutes les sections du cône.

Hoefer.

Hipparque (150 av. J.-C.) ou les Observations astronomiques.

Quand on réunit tout ce qu'il a inventé ou perfectionné, et qu'on songe au nombre de ses ouvrages, à la grande quantité de calculs qu'ils supposent, on trouve dans Hipparque un des hommes les plus étonnants de l'Antiquité, et le plus grand de tous dans les sciences qui ne sont pas purement spéculatives.

Delambre.

Ptolémée (150 ap. J.-C.) ou l'Astronomie géométrique.

L'édifice astronomique élevé par Ptolémée a subsisté pendant près de quatorze siècles; aujourd'hui même qu'il est entièrement détruit, son Almageste... est un des plus précieux monuments de l'Antiquité.

Laplace.

Diophante (350 ap. J.-C.) ou l'Algèbre naissante.

On ne peut pas dire que l'Algèbre, même élémentaire, soit sortie constituée de ses mains, et cependant on ne peut nier qu'elle n'y ait pris un développement très remarquable.

M. Marie.

Viète (1540-1603) ou l'Algèbre en progrès.

C'est dans son ouvrage d'analyse, intitulé Isagoge in artem analyticam, que l'auteur expose pour la première fois une des théories les plus profondes et les plus abstraites que l'esprit humain ait inventées.

J. Fourier.

Galilée (1564-1642) ou la Mécanique.

La théorie générale du mouvement varié, inconnue aux Anciens, prit naissance entre les mains de Galilée. Il trouva la loi de l'accélération des corps qui tombent librement par la pesanteur ou qui glissent sur des plans inclinés et il établit à ce sujet les propriétés générales du mouvement uniformément accéléré.

Bossut.

Descartes (1596-1650) ou la Géométrie analytique.

Ce qui a surtout immortalisé le nom de ce grand homme, c'est l'application qu'il a su faire de l'algèbre à la géométrie, idée des plus vastes et des plus heureuses que l'esprit humain ait jamais eues, et qui sera toujours la clef des plus profondes recherches, non seulement dans la géométrie, mais dans toutes les sciences physico-mathématiques.

d'Alembert.

Fermat (1601-1665) ou l'Arithmétique supérieure.

Cherchez ailleurs qui vous suive dans vos inventions numériques... pour moi, je confesse que cela me dépasse de bien loin.

Pascal.

Pascal (1623-1662) ou l'Algèbre supérieure.

C'est le génie le plus étonnant, unique dans les Lettres, dans la Philosophie, la Religion et aussi dans les Mathématiques où sa profondeur est incroyable.

Newton (1642-1727) ou le Calcul infinitésimal.

Newton était maître de la méthode des fluxions avant que Leibniz fût en possession du Calcul différentiel, mais l'invention de Leibniz était indépendante de celle de Newton et l'avait précédée comme publication.

Biot.

Monge (1746-1818) ou la Géométrie descriptive.

Les constructeurs de toutes les professions, les architectes, les mécaniciens, les tailleurs de pierre, les charpentiers, soustraits désormais à des préceptes routiniers, à des méthodes sans démonstration, se rappelleront avec reconnaissance que s'ils savent, que s'ils parlent la langue de l'ingénieur, c'est Monge qui l'a créée, qui l'a rendue accessible à tout le monde, qui l'a fait pénétrer dans les plus modestes ateliers.

Arago.

Laplace (1749-1827) ou la Mécanique céleste.

La loi newtonienne explique aujourd'hui tous les phénomènes connus. Plus les observations sont précises, plus elles sont conformes à la théorie. Laplace est de tous les géomètres celui qui a le plus approfondi ces grandes questions; il les a pour ainsi dire terminées.

...........................

Laplace était né pour tout perfectionner, pour tout approfondir, pour reculer toutes les limites, pour résoudre ce que l'on aurait pu croire insoluble. Il aurait achevé la science du ciel (dans sa Mécanique céleste), si cette science pouvait être achevée.

J. Fourier.

Lagrange (1736-1813) ou la Mécanique rationnelle.

Le trait distinctif de son génie consiste dans l'unité et la grandeur des vues. Il s'attachait en tout à une pensée simple, juste et très élevée. Son principal ouvrage, la Mécanique analytique, pourrait être nommé la Mécanique philosophique, car il ramène toutes les lois de l'équilibre et du mouvement à un seul principe; et, ce qui n'est pas moins admirable, il les soumet à une seule méthode de calcul dont il est lui-même l'inventeur. Toutes ses compositions mathématiques sont remarquables par une élégance singulière, par la symétrie des formes et la généralité des méthodes et, si l'on peut parler ainsi, par la perfection du style analytique.

J. Fourier.

Cauchy (1789-1857) ou les Symboles.

Mathématicien très profond, mais parfois un peu obscur; son œuvre est considérable: de fidèles disciples élucident et précisent des vues nouvelles et hardies qui fixeront la science.

Chasles (1793-1876) ou la Géométrie supérieure.

Les travaux de M. Chasles sont le dernier terme des progrès continus réalisés par la Géométrie depuis soixante ans. Il suffit de citer l'Aperçu historique, la Géométrie supérieure... La Géométrie... a regagné sur l'analyse le terrain perdu.

Rouché.

Charlemagne substitua aux mesures romaines le pied-de-roi ou pied-de-Paris, emprunté aux Arabes, et les dérivés de cette longueur. Il chercha à répandre dans son vaste empire ces unités qui devaient durer dix siècles, mais en s'altérant et en se compliquant beaucoup.

Les États généraux réclamèrent maintes fois l'ordre dans les poids et les monnaies.

Louis XI, François I^er et Louis XIV tentèrent en vain, dans leurs édits royaux, d'imposer partout les mesures de Paris.

À l'occasion de la mesure du méridien par Picard, «on fit en 1668, dit Saigey, une toise en fer portant une arête à chaque bout, et on la fixa au bas du grand escalier du Châtelet, pour servir de régulateur au commerce et à la justice.»

La toise qui, après avoir été comparée à celle du Châtelet, avait été employée dans les mesures méridiennes du Pérou, par Bouguer et La Condamine, servit à son tour d'étalon, et quatre-vingts modèles en furent expédiés aux parlements de France et aux astronomes étrangers. C'était un premier pas vers l'uniformité, et bientôt la toise du Pérou, comme on l'appelait, servit à l'étalonnage du mètre.

Parmi les réformes urgentes, demandées dans les cahiers de 1789, on retrouve sans cesse celle des poids et des mesures: on les veut «simples et les mêmes dans tout le pays».

Le 8 mai 1790, sur la proposition de Talleyrand, l'Assemblée constituante engage les rois de France et d'Angleterre à se concerter pour adopter la même unité. Cette mesure (par exemple, la longueur du pendule à seconde proposée autrefois par Picard) eût été fixée par une commission composée, en nombre égal, d'académiciens de Paris et de membres de la Société royale de Londres.

L'Académie des sciences discuta seule la question, et sa commission (Borda, Lagrange, Laplace, Monge et Lavoisier) rejeta le pendule «pour ne pas mêler à une question de longueur des considérations de mouvement et de temps», et elle proposa la dix-millionième partie du quart du méridien. La tradition attribue à Laplace la conception de l'ensemble du système, à Borda le plan des opérations géodésiques, et à Lavoisier le kilogramme.

Le 26 mars 1791, un décret de l'Assemblée constituante adopta la circonférence terrestre comme base et prescrivit les travaux nécessaires.

«Prendre pour unité de longueur usuelle la dix-millionième partie du quart du méridien et rapporter la pesanteur de tous les corps à celle de l'eau distillée, en reliant par l'échelle décimale toutes les mesures principales aux mesures plus grandes ou plus petites.»

Dans la séance du 1^er août 1793, la Convention, sur un rapport présenté par Arbogast au nom du Comité d'instruction publique, vota l'établissement du système métrique dans toute l'étendue de la République. Toutefois, le système ne fut rendu obligatoire que par le décret du 18 germinal an III (7 avril 1795). Ce décret fixa définitivement la nomenclature; il y est dit que «l'étalon sera une règle de platine, exécutée avec la plus grande précision d'après les expériences et les observations de la commission. On le déposera près le Corps législatif, ainsi que le procès-verbal des opérations qui auront servi à le déterminer.»

Une commission générale de trente-deux membres, tant français qu'étrangers, avait été chargée des calculs définitifs.

Le 4 messidor an VII (22 juin 1799), cette commission, par l'organe de ses rapporteurs, le hollandais Swiden et le suisse Trallès, annonça aux deux conseils législatifs de la République que le quart du méridien valait 5130740 toises, d'où se déduisait la longueur du mètre. Les deux délégués présentèrent aussi les étalons du mètre et du kilogramme, en platine; la règle doit être prise à zéro et le poids cylindrique doit être pesé dans le vide. «Ces deux prototypes furent, le même jour, placés dans une boîte fermant à clef, et déposés aux Archives de la République dans la double armoire en fer, fermant à quatre clefs.»

Sous le Consulat, la loi du 2 novembre 1801 se borna à autoriser l'usage des nouvelles mesures de préférence aux anciennes; et sous l'Empire, le décret rétrograde du 12 février 1812 organisa un système mixte et bâtard qui devait retarder de vingt-cinq ans l'avènement du vrai système métrique. Il y eut une toise métrique, une livre métrique, etc.

Enfin, la loi célèbre du 4 juillet 1837, reprenant les traditions de la Révolution, remit en vigueur le système métrique pur, et prohiba, non seulement l'emploi de toutes les anciennes mesures, mais même leurs dénominations.

Depuis le 1^er janvier 1840, le nouveau système est imposé par la loi à tous les citoyens français, et les délinquants sont punis de l'amende ou de la prison.

En 1869, l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg proposa une révision européenne du mètre. Delambre, disait-elle, a adopté un aplatissement de la terre un peu trop faible, et en outre une erreur matérielle s'est glissée dans les calculs de réduction. L'allemand Bessel, discutant toutes les mesures du méridien, et en particulier celles de Biot et Arago (1808) a trouvé 5131180 toises au lieu de 5130740 toises; le nombre fondamental du système métrique est ainsi trop petit de 440 toises. De plus, le kilogramme doit être rapporté à zéro, non à 4°. Il est regrettable, ajoutait l'Académie de Saint-Pétersbourg, que les nouvelles mesures ne soient pas établies par des savants de toutes les nations, travaillant en commun. Les étalons envoyés de Paris aux gouvernements étrangers sont imparfaits, ils sont relevés sur le mètre du Conservatoire des arts et métiers et non sur celui des Archives, et par des procédés qu'il faudrait perfectionner.—À ces critiques, l'Académie des sciences de Paris répondit que la différence entre les nombres de Delambre et de Bessel était assez légère, que tout nombre nouveau devrait d'ailleurs être modifié plus tard, par suite du progrès de la science: or on ne peut pas changer de mètre chaque siècle. Des savants de tous les pays ont collaboré avec les savants français, et l'unité qu'ils ont arrêtée ensemble peut être transmise très exactement.—À la suite de cet échange d'observations, les deux Académies se mirent d'accord pour demander la réunion d'un congrès du mètre, devant étudier la question des mesures et de leurs meilleurs étalons.

La première réunion à Paris du Congrès international du mètre ayant été interrompue par la guerre, une seconde réunion eut lieu en 1872. Vingt États y furent représentés. Il fut résolu qu'on ne ferait pas une nouvelle mesure du méridien; que le mètre et le kilogramme actuels seraient perpétués tels quels; que les étalons seraient en platine iridié, de 102 centimètres pour limiter le mètre à deux traits, etc.

En 1873, les chimistes Deville et Debray coulèrent, à une température dépassant 2000°, les premiers mètres internationaux, à l'École normale supérieure. Ces mètres ont la même valeur scientifique, sinon historique, que le prototype des Archives qu'ils reproduisent parfaitement, et ils font loi à l'étranger.

Un musée du mètre a été, dans ces dernières années, réuni à l'Observatoire par M. Wolf.

Les prêtres me dirent encore que Sésostris fit le partage des terres, assignant à chaque Égyptien une portion égale et quarrée, qu'on tirait au sort, à la charge néanmoins, de lui payer tous les ans une certaine redevance qui composerait le revenu royal. Si une crue du Nil enlevait à quelqu'un une portion de son lot, il allait trouver Sésostris pour lui exposer l'accident, et le Roi envoyait sur les lieux des Arpenteurs pour mesurer de combien l'héritage était diminué, afin de ne faire payer la redevance convenue qu'à proportion du fonds qui restait. Voilà, je crois, l'origine de la géométrie, qui a passé de ce pays en Grèce.

Hérodote.

Les débuts de la science ont dû être bien humbles. Il est probable, par exemple, que la légitimité de l'interversion des facteurs du produit de plusieurs nombres n'a été établie pendant longtemps que par des vérifications répétées. On a dû aussi reconnaître par l'expérience que la longueur du fil entourant la circonférence contient toujours le même nombre de fois celle du diamètre.

Nicétas de Syracuse croyait, au rapport de Théophraste, que le ciel, le soleil, la lune, les étoiles, en un mot tous les corps qui sont au-dessus de nous, sont immobiles, et que la terre seule est en mouvement dans l'Univers; qu'elle tourne sur son axe avec une extrême vitesse et produit les mêmes apparences que si elle était immobile et le ciel en mouvement.

Cicéron.

Hankel, l'historien des mathématiques, mort il y a quelques années, admettait, contrairement à l'opinion reçue, l'évolution et le progrès continu. D'abord les Grecs géomètres, puis les Hindous purs algébristes, et enfin les Modernes qui unissent l'algèbre et la géométrie. De son côté, Chasles avait déjà dit: «Les Grecs étaient surtout géomètres; ce n'est que très tard qu'on trouve chez eux le Traité d'Algèbre de Diophante. Leur géométrie était pure, sans mélange de calcul... Chez les Hindous, au contraire, l'Algèbre paraît être la science la plus cultivée; les théories algébriques s'y trouvent dans une perfection surprenante... (dans les temps modernes) une rénovation générale des mathématiques leur a donné, avec le caractère d'abstraction et de généralité qui leur convient, des ressources puissantes dont les Grecs n'avaient point eu l'idée.»

Les géomètres grecs spéculaient sur les grandeurs elles-mêmes, jamais sur leurs mesures.

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Les douze cents ans qui séparent Pappus de Viète, de Descartes et de Galilée ne sont qu'une longue nuit.

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Il serait impossible de méconnaître la rare habileté des Hindous dans les recherches relatives soit aux propriétés des nombres, soit aux transformations algébriques; mais si l'on considère... leur quasi-nullité en géométrie... on ne peut s'empêcher de les mettre infiniment au-dessous des Grecs.

M. Marie.

Les mathématiques anciennes nous offrent l'exemple d'une décadence profonde après un brillant apogée; et l'on peut affirmer, de ce point de vue, que le vrai problème qui s'impose aujourd'hui dans l'histoire des mathématiques est de préciser les circonstances et de déterminer les causes de la décadence passée, en vue de connaître les précautions à prendre pour éviter une décadence future.

P. Tannery.

La découverte en mathématiques a atteint deux maximums, l'un en géométrie pure aux temps d'Euclide, d'Archimède et d'Apollonius, et l'autre au xvii^e siècle, qui nous a donné l'Application de l'Algèbre à la Géométrie, le Calcul infinitésimal et le Principe de l'attraction.

La résolution des équations du troisième et du quatrième degré, le dénoûment du fameux cas irréductible furent la grande affaire des algébristes du xvi^e siècle.

Liouville.

L'idée préconçue que les mouvements célestes devaient être circulaires et uniformes a égaré les Grecs.

La même hypothèse d'une certaine simplicité des lois de la nature a, au contraire, guidé Kepler. S'il avait su combien sont complexes, les mouvements perturbés des planètes, il n'aurait pas découvert les lois qui donnent une première approximation de ces mouvements.

Les philosophes qui, dans l'antiquité, soutenaient l'opinion du mouvement de la terre furent taxés d'impiété; au xvi^e siècle, il se trouve encore des esprits assez malavisés pour commettre la même faute et pour transformer en question religieuse une question purement scientifique. On alla chercher dans les livres sacrés des textes dont on se fit des arguments; chacun les interpréta suivant sa fantaisie, et l'on vit tout à coup surgir les disputes les plus âpres et les plus déraisonnables, au détriment commun de la science et de la religion.

Valson.

À dire vrai, nous n'avons fait depuis les Grecs, que trois grandes découvertes en Mathématiques pures, mais elles ont une immense portée.

Descartes a inventé la Géométrie analytique, en représentant chaque courbe par une équation en x et y, qui est la relation constante entre les coordonnées d'un point quelconque de la courbe. Toute question de géométrie est alors transformée en une question d'algèbre.

Leibniz et Newton ont, presque simultanément, trouvé le Calcul infinitésimal qui permet d'analyser si finement la variation continue des fonctions.

Enfin de nos jours, Cauchy a su donner à l'Analyse, grâce aux imaginaires mieux comprises, une admirable et complète généralité.

Les histoires générales des mathématiques les plus importantes sont celles de Montucla en quatre volumes (dont les deux derniers sont de Lalande); de Bossut, plus courte; de Hankel, malheureusement inachevée à la mort de l'auteur; de Maximilien Marie (12 vol.) et de Moriz Cantor. Ce dernier livre, fruit de longues recherches est le plus complet, le plus approfondi.

M. Eneström publie à Stockholm un journal d'histoire des mathématiques, la Bibliotheca mathematica.

Nous devons aussi citer les nombreux travaux d'érudition et de critique de Paul Tannery et de Charles Henry.

Enfin le prince Balthasar Boncompagni a publié plus de vingt volumes de son Bulletin de bibliographie et d'histoire des mathématiques.

Les Éloges des académiciens par Fontenelle ont leur place marquée dans la bibliothèque de l'homme de goût. L'auteur a popularisé le premier les savants et la Science. Son influence a été plus grande qu'on ne le croit, il l'a exercée délicatement et discrètement en parsemant de pensées brillantes un fond sérieux. Voltaire compare ces éloges à «ces moissons abondantes où les fleurs croissent naturellement avec les épis».

M. P. Lafitte traite au Collège de France de l'histoire générale des Sciences, au point de vue positiviste. Nous n'avons, à vrai dire, aucune chaire d'histoire des mathématiques. C'est là une lacune regrettable dans notre haut enseignement.

En Belgique, à l'université de Gand, M. Mansion fait un cours régulier d'histoire des mathématiques et ce cours est obligatoire pour les étudiants scientifiques.

«Combien ai-je vu, dit M. Bertrand, d'anciens candidats à l'École Polytechnique qui, connaissant fort bien un traité d'algèbre classique et n'ayant rien lu au delà, ignoraient les noms d'Euler et de Bernoulli, et mettaient sur le même plan dans leur souvenir Newton et Bezout, Descartes et Budan, Cauchy et Sarrus.»

Les sciences mathématiques ont composé longtemps tout le domaine des idées exactes; partout ailleurs on ne retrouvait que les vains efforts du génie pour arriver à la connaissance de la vérité, et les erreurs sans nombre que les doctrines insuffisantes des premiers inventeurs traînaient à leur suite. Le langage mystérieux employé par les philosophes formait avec la langue précise et claire des sciences exactes, un contraste singulier qui inspirait au géomètre le plus profond mépris pour les autres sciences. Mais, lorsque les phénomènes célestes vinrent se ranger sous les lois du calcul, l'étude des mathématiques devint plus générale, et les bons esprits furent frappés d'une manière d'argumenter si différente de celle de l'École.

La langue mathématique est celle de la raison dans toute sa pureté; elle interdit la divagation, elle signale l'erreur involontaire; il faudrait ne pas la connaître pour la faire servir à l'imposture.

Sophie Germain.

À l'occasion du 60^e anniversaire de sa naissance, le roi de Suède et de Norvège a institué un grand prix de mathématiques et tous les géomètres de l'Europe ont été invités à concourir. Le prix a été obtenu par M. Poincaré et la seconde récompense, une médaille d'or, par M. Appell. (Février 1889.)

Les principaux journaux de mathématiques sont, en France: le Journal de Mathématiques pures et appliquées, fondé par Liouville et dirigé par Jordan; le Bulletin des Sciences mathématiques, fondé et dirigé par Darboux; les Nouvelles annales de Mathématiques, fondées par O. Terquem et Gérono et dirigées par Laisant et Antomari; le Journal de Mathématiques élémentaires et spéciales, fondé par J. Bourget et dirigé par G. de Longchamps; la Revue de Mathématiques spéciales rédigée par E. Humbert; le Journal de Mathématiques élémentaires, dirigé par notre collaborateur Vuibert, etc.

L'Académie des sciences, à l'Institut de France, comprend cinq sections pour les Mathématiques. Voici les noms des membres par ordre de nomination:

Géométrie.—Hermite; Jordan; Darboux; Poincaré; Émile Picard; Appell.

Mécanique.—Maurice Lévy; Boussinesq; Deprez; Sarrau; Léauté; général Sebert.

Astronomie.—Faye; Janssen; Lœvy; Wolf; Callandreau; Radau.

Géographie et navigation.—Bouquet de La Grye; Grandidier; de Bussy; Bassot; Guyou; Hatt.

Physique générale.—Cornu; Mascart; Lippmann; A.-H. Becquerel; Potier; Violle.

Secrétaires perpétuels de l'Académie.—J. Bertrand, pour les sciences mathématiques, et Berthelot, pour les sciences physiques.

Parmi les Académiciens libres, on remarque de Freycinet; Haton de la Goupillière; amiral de Jonquières; Rouché, etc.

Parmi les Mathématiciens vivants, nous citerons: en Belgique, Mansion et Neuberg; en Angleterre, Forsight, Sylvester et Salmon; en Norvège, S. Lie (actuellement à Leipzig), Bjirknes, Syllow; en Suède, Bäcklund, Lindsteedt; en Danemark, Petersen, Zeuthen; en Russie, Liapounoff, Markoff; en Allemagne, Dedekind; Fuchs; Gordan; Klein; Schwarz; Weber; Wemgarten; en Italie, Beltrami, Brioschi et Cremona, etc., etc.

Voici les noms de quelques autres mathématiciens français: D. André, Borel, Brisse, Brocard, Fouret, Goursat, Hadamard, G. Humbert, le P. Joubert, Kœnigs, Laisant, H. Laurent, de Longchamps, Mannheim, Méray, Moutard, Painlevé, J. Tannery, etc., etc.

On a organisé à Paris, en 1872, une Société mathématique qui compte près de trois cents membres et qui publie le Bulletin de ses travaux. Les séances ont lieu deux fois par mois. Le siège est rue des Grands-Augustins, 7.

Le 24 décembre 1892, on a fêté, à la Sorbonne, les soixante et dix ans de notre grand géomètre Hermite. Nous extrayons du discours du Ministre de l'Instruction publique le passage suivant:

Pascal voit dans la géométrie «le plus haut exercice de l'intelligence»; il place les géomètres au premier rang «des princes de l'esprit». C'est l'honneur de notre France d'avoir produit plus qu'aucune autre nation, de ces génies subtils et puissants, capables d'embrasser l'ensemble des vérités qui constituent les lois des nombres et de l'étendue. Déjà au dix-septième siècle, Descartes, Pascal et Fermat nous permettent de n'envier personne, pas même l'intelligence suprême de Newton; au dix-huitième siècle nous prenons décidément le premier rang avec d'Alembert, avec Lagrange, avec Laplace, et le siècle dont nous sommes a vu affirmer et consolider cette maîtrise française de la géométrie par une suite de savants illustres, les Monge, les Carnot, les Ampère, les Cauchy, les Chasles, les Liouville, pour ne citer que quelques-uns de ceux qui ne sont plus...

Ch. Dupuy.

L'Intermédiaire des mathématiciens, dirigé par MM. Laisant et E. Lemoine, contient les questions les plus variées et les plus difficiles puis les réponses venues de divers côtés.

PHILOSOPHIE ET MORALE.—MÉLANGES

Vous avez disposé toutes choses avec nombre, poids et mesure.

Bible.

Les nombres gouvernent le monde.

Platon.

Il y a de la géométrie partout.

Leibniz.

Dieu, le grand géomètre.—Dieu géométrise sans cesse.

Platon.

Dieu est un cercle dont le centre est partout et la circonférence nulle part.

Rabelais; Montaigne; Pascal.

Il n'y a point de nombre aux yeux de Dieu. Comme il voit tout à la fois, il ne compte rien.

Condillac.

Au milieu de causes variables et inconnues, que nous comprenons sous le nom de hasard, et qui rendent incertaine et irrégulière la marche des événements, on voit naître à mesure qu'ils se multiplient une régularité frappante qui semble tenir d'un dessein, et que l'on a considérée comme une preuve de la providence.

Laplace.

Je ne puis concevoir comment de si habiles mathématiciens nieraient un mathématicien éternel.

Voltaire.

Platon avait écrit sur la porte de son école de philosophie ces mots: Que nul n'entre ici, s'il n'est géomètre.

Sans les mathématiques, on ne pénètre point au fond de la philosophie: sans la philosophie, on ne pénètre point au fond des mathématiques; sans les deux, on ne pénètre au fond de rien.

Bordas-Demoulins.

Le nombre réside dans tout ce qui est connu. Sans lui, il est impossible de rien penser, de rien connaître.... Le nombre et l'harmonie repoussent l'erreur; le faux ne convient pas à leur nature. L'erreur et l'envie sont filles de l'indéfini, sans pensée, sans raison; jamais le faux ne peut pénétrer dans le nombre, il est son éternel ennemi. La vérité seule convient à la nature du nombre et est née avec lui.

Philolaüs.

Les lignes et les figures de la géométrie sont très propres pour représenter à l'imagination les rapports qui sont entre les grandeurs, ou entre les choses qui diffèrent du plus et du moins, comme les espaces, les temps, les poids, etc., tant à cause que ce sont des objets très simples, qu'à cause qu'on les imagine avec beaucoup de facilité. On pourrait même dire à l'avantage de la géométrie, que les lignes peuvent représenter à l'imagination plus de choses que l'esprit n'en peut connaître, puisque les lignes peuvent exprimer les rapports des grandeurs incommensurables, c'est-à-dire des grandeurs dont on ne peut connaître les rapports à cause qu'elles n'ont aucune commune mesure par laquelle on en puisse faire la comparaison.

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Ce qui ne peut se faire qu'en beaucoup de temps par l'arithmétique se fait en un moment par l'algèbre et l'analyse, sans que l'esprit se brouille par le changement des chiffres et par la longueur des opérations. Une opération particulière d'arithmétique ne découvre qu'une vérité, une semblable opération d'algèbre en découvre une infinité.

L'algèbre... apprend à faire sur les grandeurs littérales tous les calculs qui servent à déduire les rapports les plus difficiles et les plus composés qu'on puisse désirer de savoir des mêmes grandeurs qui sont déjà connues. Ses calculs sont les plus simples, les plus faciles et en même temps les plus généraux qu'on puisse concevoir.

Malebranche.

Les plus grands géomètres n'ont pas été exempts de ce préjugé qui fait regarder l'analyse algébrique comme une sorte d'oracle qui ne fait pas toujours des réponses intelligibles, mais dont les énigmes doivent toujours renfermer un sens dont il faut s'étudier à pénétrer le mystère.

Duhamel.

Il y a beaucoup de différence entre l'esprit de géométrie et l'esprit de finesse. En l'un, les principes sont palpables, mais éloignés de l'usage commun; de sorte qu'on a peine à tourner la tête de ce côté-là, manque d'habitude; mais, pour peu qu'on s'y tourne, on voit les principes à plein; et il faudrait avoir tout à fait l'esprit faux pour mal raisonner sur des principes si gros qu'il est presque impossible qu'ils échappent.

Mais, dans l'esprit de finesse, les principes sont dans l'usage commun et devant les yeux de tout le monde. On n'a que faire de tourner la tête, ni de se faire violence. Il n'est question que d'avoir bonne vue, mais il faut l'avoir bonne, car les principes sont si déliés et en si grand nombre qu'il est presque impossible qu'il n'en échappe. Or, l'omission d'un principe mène à l'erreur: ainsi il faut avoir la vue bien nette pour voir tous les principes, et ensuite l'esprit juste pour ne pas raisonner faussement sur des principes connus.

Tous les géomètres seraient donc fins s'ils avaient la vue bonne et les esprits fins seraient géomètres s'ils pouvaient plier leur vue vers les principes inaccoutumés de la géométrie.

Ce qui fait que certains esprits fins ne sont pas géomètres, c'est qu'ils ne peuvent du tout se tourner vers les principes de géométrie; mais ce qui fait que des géomètres ne sont pas fins, c'est qu'ils ne voient pas ce qui est devant eux; et qu'étant accoutumés aux principes nets et grossiers de la géométrie, et à ne raisonner qu'après avoir bien vu et manié leurs principes, ils se perdent dans les choses de finesse, où les principes ne se laissent pas ainsi manier. On les voit à peine, on les sent plutôt qu'on ne les voit: ce sont choses tellement délicates et si nombreuses, qu'il faut un sens bien délié et bien net pour les sentir, et sans pouvoir le plus souvent les démontrer par ordre comme en géométrie, parce qu'on n'en possède pas ainsi les principes, et que ce serait une chose infinie de l'entreprendre. Il faut tout d'un coup voir la chose d'un seul regard, et non pas par progrès de raisonnement, au moins jusqu'à un certain degré. Et ainsi il est rare que les géomètres soient fins, et que les esprits fins soient géomètres; à cause que les géomètres veulent traiter géométriquement les choses fines, et se rendent ridicules, voulant commencer par les définitions, et ensuite par les principes; ce qui n'est pas la manière d'agir dans cette sorte de raisonnement. Ce n'est pas que l'esprit ne le fasse; mais il le fait tacitement, naturellement et sans art, car l'expression en passe tous les hommes, et le sentiment n'en appartient qu'à peu.

Et les esprits fins, au contraire, ayant accoutumé à juger d'une seule vue, sont si étonnés quand on leur présente des propositions où ils ne comprennent rien, et où, pour entrer, il faut passer par des définitions et des principes stériles, et qu'ils n'ont pas accoutumé de voir ainsi en détail, qu'ils s'en rebutent et s'en dégoûtent. Mais les esprits faux ne sont jamais ni fins ni géomètres.

Les géomètres qui ne sont que géomètres ont donc l'esprit droit, mais pourvu qu'on leur explique bien toutes choses par définitions et par principes: car ils ne sont droits que sur les principes bien éclaircis. Et les esprits fins qui ne sont que fins, ne peuvent avoir la patience de descendre jusqu'aux premiers principes des choses spéculatives et d'imagination, qu'ils n'ont jamais vues dans le monde et dans l'usage.

Pascal.

On peut regarder la géométrie comme une logique pratique, parce que les vérités dont elle s'occupe, étant les plus simples et les plus sensibles de toutes, sont par cette raison, les plus susceptibles d'une application facile et palpable des règles du raisonnement.

d'Alembert.

J'ai insinué que les Mathématiques étaient fort utiles pour accoutumer l'esprit à raisonner juste et avec ordre; ce n'est pas que je croie nécessaire que tous les hommes deviennent des mathématiciens: mais lorsque par cette étude, ils ont acquis la bonne méthode du raisonnement, ils peuvent l'employer dans toutes les autres parties de nos connaissances...

L'algèbre donne de nouvelles vues et fournit de nouveaux secours à l'entendement...

Locke.

Il existe des vérités autres que les vérités de l'algèbre, des réalités autres que les objets sensibles. Cultivons avec ardeur les sciences mathématiques, sans vouloir les étendre au-delà de leur domaine; et n'allons pas nous imaginer qu'on puisse attaquer l'histoire avec des formules, ni donner pour sanction à la morale des théorèmes d'algèbre et de calcul intégral.

Cauchy.

Des éléments de Géométrie traités ainsi deviendraient en quelque sorte d'excellents éléments de logique, et seraient peut-être les seuls qu'il faudrait étudier. Lorsque l'esprit est naturellement juste, il porte avec lui la faculté de reconnaître si une proposition simple est vraie ou non. Il est beaucoup plus utile d'exercer cette faculté que de disserter à perte de vue sur sa nature. Si l'on voulait remporter le prix de la course, on penserait plutôt sans doute à exercer ses jambes qu'à raisonner sur le mécanisme de la marche. «Les règles, dit Condillac, sont comme des garde-fous mis sur les ponts, non pas pour faire marcher les voyageurs, mais pour les empêcher de tomber.» Si cela est, ainsi qu'il n'est pas permis d'en douter, il faut que les règles soient fort simples et en petit nombre. Celles de Descartes et de Pascal me paraissent suffisantes pour les esprits droits; quant aux autres, la Géométrie ne saurait exister pour eux.

Lacroix.

Nous voyons par expérience qu'entre esprits égaux, et toutes choses pareilles, celui qui a de la géométrie l'emporte et acquiert une vigueur toute nouvelle.

Pascal.

Socrate.—Faisons donc une loi à ceux qui sont destinés chez nous à remplir les premières places de s'appliquer à la science du calcul, de l'étudier, non pas superficiellement, mais jusqu'à ce que, par le moyen de la pure intelligence, ils soient parvenus à connaître l'essence des nombres; non pour faire servir cette science, comme les marchands et les négociants, aux ventes et aux achats, mais pour l'appliquer aux besoins de la guerre, et faciliter à l'âme la route qui doit la conduire de la sphère des choses périssables à la contemplation de la vérité et de l'être.

Glaucon.—Fort bien.

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Socrate.—Si l'on demande à ceux qui s'occupent de cette science: «De quel nombre parlez-vous? Où sont ces unités telles que vous les supposez, parfaitement égales entre elles, sans qu'il y ait la moindre différence, et qui ne sont point composées de parties?» Mon cher Glaucon, que crois-tu qu'ils répondent?

Glaucon.—Je crois qu'ils répondraient qu'ils parlent de ces nombres qui ne tombent pas sous les sens et qu'on ne peut saisir autrement que par la pensée.

Socrate.—Ainsi, tu vois, mon cher ami, que nous ne pouvons absolument nous passer de cette science, puisqu'il est évident qu'elle oblige l'âme à se servir de l'entendement pour connaître la vérité.

Glaucon.—Il est certain qu'elle est merveilleusement propre à produire cet effet.

Socrate.—As-tu aussi observé que ceux qui sont nés calculateurs, ayant l'esprit de combinaison, ont beaucoup de facilité pour presque toutes les autres sciences et que même les esprits pesants, lorsqu'ils se sont exercés et rompus au calcul, en retirent du moins cet avantage d'acquérir plus de facilité et de pénétration?

Glaucon.—La chose est ainsi.

Socrate.—Au reste, il te serait difficile de trouver beaucoup de sciences qui coûtent plus à apprendre et à approfondir que celle-là.

Glaucon.—Je le crois.

Socrate.—Ainsi, par toutes ces raisons nous ne devons pas la négliger; mais il faut y appliquer de bonne heure ceux qui seront nés avec un excellent caractère.

Glaucon.—J'y consens.

Platon.

Ceux qui ne voient dans les mathématiques que leur utilité d'application ordinaire, en ont une idée bien imparfaite; ce serait, en vérité, acquérir bien peu de chose à grands frais; car, excepté les savants et quelques artistes, je ne vois guère personne qui ait besoin de la Géométrie ou de l'Algèbre une fois dans sa vie. Ce ne sont donc ni les théories, ni les procédés, ni les calculs en eux-mêmes, qui sont véritablement utiles, c'est leur admirable enchaînement, c'est l'exercice qu'ils donnent à l'esprit, c'est la bonne et fine logique qu'ils y introduisent pour toujours.

Les mathématiques jouissent de cet avantage inappréciable, et sans lequel il serait le plus souvent superflu de les étudier, c'est qu'il n'est pas nécessaire de les savoir actuellement pour en ressentir les avantages, mais il suffit de les avoir bien sues; toutes les opérations, toutes les théories qu'elles nous enseignent peuvent sortir de la mémoire, mais la justesse et la force qu'elles impriment à nos raisonnements restent; l'esprit des mathématiques demeure comme un flambeau qui nous sert de guide au milieu de nos lectures et de nos recherches; c'est lui, qui, dissipant la foule oiseuse des idées étrangères, nous découvre si promptement l'erreur et la vérité; c'est par lui que les esprits attentifs dans les discussions les plus irrégulières reviennent sans cesse à l'objet principal qu'ils ne perdent jamais de vue; c'est ainsi qu'ils abrègent le temps et l'ennui, recueillent sans peine le fruit des bons ouvrages et traversent ces vains et nombreux volumes où se perdent les esprits vulgaires. Si les mathématiques ont trouvé beaucoup de détracteurs, c'est que leurs lumières importunes détruisent tous les vains systèmes où se complaisent les esprits faux. C'est que si les mathématiques cessaient d'être la vérité même, une foule d'ouvrages ridicules deviendraient très sérieux; plusieurs même commenceraient d'être sublimes; mais il était bien naturel que les esprits supérieurs et les meilleurs écrivains ne parlassent des sciences exactes qu'avec une sorte d'admiration; les grands hommes, dans quelque genre que ce soit, ne ravalent jamais les grandes choses; ils tâchent de s'y élever.

Poinsot.

Si l'esprit d'un homme s'égare, faites-lui étudier les mathématiques; car dans les démonstrations, pour peu qu'il s'écarte, il sera obligé de recommencer.

F. Bacon.

L'avancement, le perfectionnement des mathématiques sont liés à la prospérité de l'État.

Napoléon.

Une rigoureuse discipline de l'esprit prépare aux devoirs militaires, et l'on ne peut douter que les études mathématiques contribuent à former cette faculté d'abstraction indispensable aux chefs pour se faire une représentation intérieure, une image de l'action, par laquelle ils se dirigent en oubliant le danger, dans le tumulte et l'obscurité du combat.

Hermite.

Le siècle est plus que jamais dominé par les mathématiques

Rambaud.

Lors de la création de l'Université impériale, on dut enseigner «le français, le latin et les mathématiques.» Ce n'était pas assez, mais nous enseignons trop de choses maintenant.

Nul n'atteindra la gloire de Newton, dit Lagrange, car il n'y avait qu'un monde à découvrir.

Ce qui passe la géométrie nous surpasse.

Pascal.

Aucune investigation humaine ne doit s'appeler vraie science, si elle ne passe pas par les démonstrations mathématiques.

Léonard de Vinci.

Mesurer, c'est savoir.

Kepler.

L'action de nos sens et celle de notre entendement ont des bornes; le calcul n'en a pas.

Portalis.

Nous devons plutôt nous fier au calcul algébrique qu'à notre jugement.

Euler.

La vie n'est bonne qu'à étudier et à enseigner les mathématiques.

Poisson.

Le commentaire de Bachet sur Diophante ne fera pas diminuer le prix du pain, remarquait le judicieux Malherbe.

Le dessin, dit Condorcet, est la géométrie des yeux, la musique est celle des oreilles.

L'Art est la plus haute expression d'une arithmétique intérieure et inconsciente.

Leibniz.

... tous nos esprits mathématiques, polytechniques, soi-disant positifs, tous ceux qu'on a appelés spirituellement de bons esprits faux.

Sainte-Beuve.

Le calcul est nécessaire à tous ceux qui ne savent pas, ou qui ne peuvent pas, ou qui ne veulent pas beaucoup penser.

de Ramsay.

Le bon sens ne perd jamais ses droits: opposer à l'évidence une formule démontrée, c'est à peu près comme si, pour refuser à un homme le droit de vivre, on alléguait devant lui un acte de décès authentique.

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Les mathématiques ne doivent pas dégénérer en une débauche de logique.

J. Bertrand.

L'analyse pure, c'est l'esprit du nombre s'aiguisant lui-même.

Je comparerai volontiers les lumières des mathématiques à ces pâles soleils du nord, sous lesquels on reste glacé... Ils ne font éclore que des fleurs sans parfum et des fruits sans saveur.

Dupanloup.

Une logique rigoureuse, la recherche et l'amour de la vérité pour elle-même, forment la partie morale des mathématiques, qui par là appartiennent essentiellement à l'école stoïque. Offrir à la jeunesse, au début de la vie, des applications utiles, des méthodes d'approximation, comme objet principal d'étude, c'est dénaturer le but de l'éducation et cela peut avoir de funestes résultats. Toutefois, il ne faut pas confondre cette rigueur avec la manie démonstrative, qui, se défiant du sens commun, enlève au lecteur toute spontanéité.... Savoir ce qu'il ne faut pas dire est un art difficile, qu'on rencontre rarement.

O. Terquem.

L'idéal de l'amitié, c'est de se sentir un et de rester deux.

M^me Swetchine.

Celui qui compte dix amis, n'en a pas un.

Un homme est un chiffre: deux hommes placés à côté l'un de l'autre valent dix fois davantage; trois hommes en valent cent, quand ils ont mis ensemble leur esprit, leur argent et leur bonne volonté.

B. Franklin.

La vie morale de l'égoïste est l'équivalent exact de l'unité multipliée par elle-même.

Sauvage.

Dans tout ce que l'on entreprend, il faut donner les deux tiers à la raison et l'autre tiers au hasard. Augmentez la première fraction, vous serez pusillanime; augmentez la seconde, vous serez téméraire.

Napoléon.

Par la définition du point, de la ligne, de la surface, et par d'autres principes très familiers, nous parvenons à des connaissances qui mesurent enfin le ciel et la terre.

La Fontaine.

Les transformations de l'âme sont lentes; elles ne se font qu'avec la douleur multipliée par le temps.

Le P. Didon.

Les mathématiques pures sont une clef d'or qui ouvre toutes les sciences.

V. Duruy.

Créer en nous l'art de raisonner, et surtout de raisonner géométriquement, n'est qu'une bien faible partie de l'éducation. Ce sont les sentiments qui nous mènent, et non pas la logique ni la géométrie.

A. Croiset.

Rien n'est moins applicable à la vie qu'un raisonnement mathématique. Une proposition, en fait de chiffres, est décidément fausse ou vraie; sous tous les autres rapports, le vrai se mêle avec le faux...

M^me de Staël.

La géométrie est la meilleure et la plus simple de toutes les logiques, la plus propre à donner de l'inflexibilité au jugement et à la raison. C'est la lime sourde de tous les préjugés populaires.....

Diderot.

La logique a emprunté les règles de la géométrie sans en comprendre la force..... Je suis bien éloigné de mettre les logiciens en parallèle avec les géomètres qui apprennent la véritable manière de conduire la raison..... La méthode de ne point errer est recherchée de tout le monde. Les logiciens font profession d'y conduire, les géomètres seuls y arrivent, et hors de leur science il n'y a point de véritable démonstration.

Pascal.

Pascal confond l'art avec la science, et parce que les logiciens ne conduisent pas infailliblement au vrai, il immole la logique à ses chères mathématiques. C'est Leibniz qui a pleine raison quand il dit, contrairement à Pascal: «La logique des géomètres est une extension ou promotion particulière de la logique générale.» Les mathématiques empruntent donc la puissance de leur forme à la logique, loin de la lui donner.

Barthélemy Saint-Hilaire.

La raison mathématique se contente de fournir, dans le domaine le plus favorable, un type de clarté, de précision et de consistance dont la contemplation familière peut seule disposer l'esprit à rendre les autres conceptions aussi parfaites que le comporte leur nature.

Aug. Comte.

En mathématiques, comme ailleurs, la raison profonde des choses, le fond mystérieux de l'être sur lequel nous spéculons ou que nous observons, nous échappera peut-être toujours; peut-être aussi l'inquiétude qui en résulte pour nos intelligences est-elle l'aiguillon secret de cette passion que les savants apportent dans leurs recherches.

J. Tannery.

Il est toujours utile de penser juste, même sur des sujets inutiles. Quand les nombres et les lignes ne conduiraient absolument à rien, ce seraient toujours les seules connaissances certaines qui aient été accordées à nos lumières naturelles, et elles serviraient à donner à notre raison la première habitude et le premier pli du vrai.....

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L'esprit géométrique n'est pas si attaché à la géométrie qu'il n'en puisse être tiré et transporté à d'autres connaissances. Un ouvrage de morale, de politique, de critique, peut-être même d'éloquence, en sera plus beau, toutes choses d'ailleurs égales, s'il est fait de main de géomètre.

Fontenelle.

Le raisonnement mathématique est si particulier et si exclusif qu'une fois maître d'un cerveau, il s'en empare en entier et le rend inapte, pour ainsi dire, aux autres manières, pourtant aussi légitimes, d'arriver à la vérité.

Delbœuf.

Ne restons pas mathématicien partout et quand même. Il y a un vieil adage: purus mathematicus, purus asinus. Montucla dit plus poliment que «parmi les hommes qui se sont distingués en mathématiques, il y en a toujours eu un grand nombre dont la sagacité ne sortait pas du domaine géométrique.»

Le goût de l'exactitude, l'impossibilité de se contenter de notions vagues, de s'attacher à des hypothèses quelque séduisantes qu'elles soient, le besoin d'apercevoir clairement la liaison des propositions et le but où elles tendent, sont les fruits les plus précieux de l'étude des mathématiques.

Lacroix.

Les nuances délicates des idées morales échappent à la rigueur des raisonnements mathématiques, et une habitude trop exclusive de ceux-ci porte assez souvent l'esprit à vouloir tout réduire à des règles invariables, à des principes absolus; méthode si dangereuse, quand on l'applique au gouvernement des sociétés humaines, ou seulement aux rapports particuliers qui nous lient avec les autres hommes.

Cuvier.

L'étude des mathématiques nous accoutume à un enchaînement de déductions logiques dans lequel chaque anneau se rattache au précédent; elle donne ainsi de la continuité à l'attention, de la cohérence aux idées; elle apprend à l'intelligence à saisir les points fondamentaux d'un raisonnement, et à classer avec ordre les divers éléments de conviction, en leur accordant leur juste degré d'importance; qualités que l'on rencontre trop rarement dans le monde.

Whewell.

Les mathématiques donneront une fausse précision, une rigueur apparente qui masque la faiblesse des raisonnements, une raideur inflexible qui multiplie les erreurs, les rend irréparables et empêche la juste notion des choses. Hélas! qu'il y a peu de mathématiques dans les choses de la vie: elles sont complexes, changeantes, faites de finesses, de sous-entendus, de détails, et impossibles à exprimer par une formule.

Chandos.

Les mathématiques partout, une chimère de quelques esprits simplistes. Il ne faut pas abuser des meilleures choses.

Dans les Mathématiques, la censure et la critique ne peuvent être permises à tout le monde; les discours des rhéteurs et les défenses des avocats n'y valent rien.

Viète.

Les vérités mathématiques doivent être jugées par des mathématiciens.

Copernic.

Depuis huit jours, j'ai vu le premier rayon de lumière; depuis trois, j'ai vu le jour; enfin, à cette heure, je vois le soleil de la plus admirable contemplation. Rien ne me retient plus, je m'abandonne à mon enthousiasme; je veux braver les mortels par l'aveu franc que j'ai dérobé les vases d'or des Égyptiens, pour en former à mon Dieu un tabernacle loin de l'Égypte idolâtre. Si l'on me pardonne, je m'en réjouis; si l'on s'irrite, je me résigne. Le sort en est jeté, j'écris mon livre. On le lira dans l'âge présent ou dans l'avenir, que m'importe! Il peut attendre son lecteur: Dieu n'a-t-il pas attendu six mille ans pour se donner un contemplateur de ses œuvres?

Kepler.

Certains prétendent que les mathématiques dessèchent le cœur.

Il me semble que je n'ai été qu'un enfant jouant sur le bord de la mer et trouvant, tantôt un caillou plus poli, tantôt un coquillage plus joli que les autres, tandis que le vaste océan de la Vérité s'étendait inexploré devant moi.

Newton.

L'étude des mathématiques peut distraire des grandes douleurs: elle absorbe l'homme tout entier.

Boiste.

Le but unique de la Science, c'est l'honneur de l'esprit humain, et, à ce titre, une question de la théorie des nombres vaut autant qu'une question du système du monde.