Front matter (continued 2)

Ich schließe damit, auf Grund der Figur 64 noch das perspektivische Bild des Dodekaeders zu zeichnen, unter Annahme des Augenpunktes N und der Distanzpunkte. (Fig. 65) Die Zeichnung schließt sich direkt an Satz V von § 9 an; wir konstruieren der Reihe nach die Bilder der vier Fünfecke, indem wir beachten, daß sie in je einer Horizontalebene enthalten sind, und zwar mittels der Fluchtpunkte L und R.

§ 13. Die Einführung neuer Projektionsebenen.

Eine zweite allgemeine Methode, zu der wir jetzt übergehen, besteht in der Einführung neuer Projektionsebenen. Sie läuft der Einführung neuer Koordinatenebenen in der analytischen Geometrie parallel; doch gehen wir hier so vor, daß wir schrittweise immer nur je eine neue Projektionsebene annehmen, und zwar so, daß die neue Ebene auf einer der vorhandenen senkrecht steht. Ein zweiter wichtiger Gesichtspunkt ist der, daß wir die neuen Projektionsebenen möglichst den darzustellenden Strecken und Winkeln parallel wählen; ist dies erreicht, so stellen sich deren Projektionen in ihrer natürlichen Größe dar.

Fig 66 Fig 67

Wie man in der analytischen Geometrie zuvörderst die Formeln für die Transformation der Koordinaten zu behandeln hat, entsteht hier zunächst die Aufgabe, die Projektionen in den neuen Projektionsebenen aus den alten herzustellen. Wir gehen dazu von Grundriß und Aufriß aus, und denken uns eine Projektionsebene π₃, die auf der Grundrißebene π₁ senkrecht steht, während sie mit π₂ einen beliebigen Winkel bilde. (Fig. 66). Es sind dann auch π₁ und π₃ zwei Ebenen, die als Grundriß- und Aufrißebene benutzt werden können, und wir haben, wenn P₃ die Projektion eines Punktes P in π₃ ist, P₃ aus P₁ und P₂ abzuleiten.

Sei dazu O der Schnitt der drei Ebenen, sei jetzt a₁₂ die Achse für π₁ und π₂, und a₁₃ diejenige für π₁ und π₃ so daß O zugleich Schnitt von a₁₂ und a₁₃ ist. Wir denken uns nun auch die Ebene π₃ in die Ebene π₁ umgelegt (Fig. 67), und zwar durch Drehung um a₁₃, so besteht auch für die Projektionen P₁ und P₃ der Satz I von § 10; und man hat, wenn jetzt die Schnittpunkte von P₁P₂ und P₁P₃ mit den Achsen durch P₁₂ und P₁₃ bezeichnet werden, unmittelbar die Gleichung

PP₁ = P₂P₁₂ = P₃P₁₃. (1)

Diese einfache Gleichung ist die einzige Tatsache, die hier in Frage kommt59 . Wir schließen aus ihr sofort, daß die Projektion P₃ aus P₁ und P₂ zeichnerisch bestimmbar ist; man hat nur von P₁ auf a₁₃ das Lot P₁P₁₃ zu fällen, und auf ihm P₃ so zu bestimmen, daß P₃P₁₃ = P₂P₁₂ ist. Dies pflegt man so auszuführen, daß man (Fig. 67) in O auf a₁₂ und a₁₃ je ein Lot n₂ und n₃ errichtet, zu a₁₂ durch P₂ eine Parallele bis n₂ zieht, dann den bis n₃ reichenden Kreisbogen schlägt, und durch seinen Endpunkt wieder die Parallele zu a₁₃ zieht60. Wir sprechen das gefundene Resultat folgendermaßen als Satz aus:

I. Wählt man die Projektionsebene π₃ senkrecht auf π₁, so ergibt sich die Projektion P₃ aus P₁ und P₂ in der Weise, daß man von P₁ auf die Achse a₁₃ der Ebenen π₁ und π₃ ein Lot P₁A₁₃ fällt und auf ihm die Strecke A₁₃P₃ gleich A₁₂P₂ abträgt, wenn A₁₂ Schnitt der Achse a₁₂ mit P₁P₂ ist.

Die Einführung einer dritten Projektionsebene π₃ kann zunächst den Zweck haben, zu bewirken, daß die Raumfigur Σ eine vorgegebene Lage zu den Projektionsebenen besitzt. Dies wollen wir zunächst an einigen einfachen Beispielen ausführen.

1. Die Projektion des in Fig. 37 gezeichneten Oktaeders auf einer zur Aufrißebene senkrechten Ebene π₃ herzustellen. Die Ausführung erfolgt unmittelbar nach dem eben gegebenen Konstruktionsschema und bedarf keiner weiteren Erläuterung (Fig. 68).

2. Die zweite oben gegebene Darstellungsart des Dodekaeders so vorzunehmen, daß man die Ebene π₃ auf π₁, senkrecht wählt. Auch diese Aufgabe ist unmittelbar nach dem angegebenen Schema zu behandeln (Fig. 69)61.

Fig 68 Fig 69

Die Einführung neuer Projektionsebenen laßt sich wiederholen; man kann eine Ebene π₄ einführen, die auf einer der Ebenen π₁ oder π₃ senkrecht steht, und kann dies beliebig lange fortsetzen. Man erhält dadurch Grundriß- und Aufriß- projektionen für immer neue Stellungen einer Figur zu den Projektionsebenen. Dabei ist zweierlei zu bemerken. Erstens bedarf es nur zweier Schritte, um eine gegebene Ebene ε zur Projektionsebene zu machen. Ist nämlich E₁ die Spur von ε in π, so wähle man π₃ senkrecht auf E₁, und kann nun, da π₃ auf ε senkrecht steht, ε als Ebene π₄ einführen. Zweitens beachte man, daß bei der Einführung von π₄ ein praktischer Fortschritt nur so entsteht, daß man π₄ senkrecht zu π₃ annimmt, so daß π₃ und π₄ die neue Grundrißebene und Aufrißebene darstellen. Würde man nämlich π₄ senkrecht auf π₁ wählen, so ist π₃ überflüssig; man hätte von vornherein π₄ statt π₃ als neue Ebene benutzen können.

Welche Ebenen man in den einzelnen Fällen einführt, hängt ganz von der Natur der Aufgabe und von dem Zweck ab, den man erreichen will. Ihre Wahl muß getroffen sein, ehe man an die zeichnerische Darstellung geht; die Vorstellung der Figur mit allen ihren Projektionsebenen und die richtige Auswahl dieser Ebenen ist das Problem, das in jedem einzelnen Fall zu lösen ist; die Herstellung der neuen Projektionen ist ein mechanisches Verfahren, das immer in der gleichen Weise erfolgt.

Fig 70 Fig 71

Ich erörtere schließlich noch kurz den Fall, daß man eine neue Projektionsebene einführt, die zu einer vorhandenen parallel ist. An dem Satz I wird dann nichts geändert. Sei z. B. π₃ || π₂ (Fig. 70), so daß a₁₂ und a₁₃ parallel sind, so besteht immer noch die Gleichung 1); die einzige Modifikation die auftritt, ist die, daß P₁P₂ und P₁P₃ in dieselbe Gerade fallen. Man erhält also auch hier P₃ so, daß man P₁₃P₃ = P₁₂P₂ macht (Fig. 71).62

Ich schließe mit folgender Bemerkung. Wie in der analytischen Geometrie können auch hier für die Behandlung der einzelnen Probleme zwei grundverschiedene Gesichtspunkte maßgebend sein. Man kann die Koordinatenebenen und die Projektionsebenen so einfach wie möglich, man kann sie aber auch so allgemein wie möglich wählen. Beides hat seine Berechtigung; das zweite dient mehr den theoretischen, das erste mehr den praktischen Zwecken. An dieser Stelle steht jedoch der praktische Zweck im Vordergrund; die Aufgabe, die sich in so engem Rahmen allein behandeln läßt, kann nur dahin gehen, auf die einfachste Weise zum Entwerfen richtiger Bilder zu gelangen. Demgemäß haben wir die Lage der Gegenstände zu den Projektionsebenen stets so angenommen, daß ihre zeichnerische Herstellung so leicht wie möglich ausfällt, haben uns überdies auf Aufgaben einfacherer Art beschränkt, und die übrigen Probleme nur in aller Kürze gestreift.

§ 14. Die Axonometrie.

Die Figuren der räumlichen analytischen Geometrie pflegt man folgendermaßen zu zeichnen. Man nimmt die drei Richtungen, die die Koordinatenachsen darstellen sollen, beliebig an, und zeichnet die Koordinaten eines jeden Punktes so, daß sie diesen drei Geraden parallel sind. Das allgemeine Prinzip, das hierin zum Ausdruck kommt, bildet den sogenannten Grundsatz der Axonometrie; es steht im Mittelpunkt aller zeichnerischen Methoden. Sein Inhalt und seine Begründung bedarf ausführlicher Erörterung.

Da die Koordinaten eines jeden Punktes durch Parallelen zu den drei Koordinatenachsen dargestellt werden, so ist das so hergestellte Bild eine Parallelprojektion. Damit ist jedoch der Inhalt unseres Satzes noch nicht erschöpft. In präziser Formulierung lautet er folgendermaßen:

I. Werden in einer Ebene ε' drei von einem Punkt O' ausgehende Strecken O'A', O'B', O'C' so angenommen, daß ihre Endpunkte ein Dreieck A'B'C' bilden, so können sie stets als Parallelprojektion eines rechtwinkligen gleichseitigen räumlichen Dreikants OABC auf ε' betrachtet werden.63

Fig 72

Wir betrachten zunächst denjenigen besonders einfachen Fall, der der gewöhnlichen Koordinatendarstellung entspricht. Das Dreikant liegt dann so, daß eine seiner Ebenen (die xz-Ebene) zu ε' parallel ist. Die zur Ebene ε' parallelen Kanten OA und OC erscheinen alsdann in der Projektionsfigur in ε' in ihrer natürlichen Länge, während die dritte Kante OB (die der y-Achse entspricht) eine Verkürzung erfährt. Für diesen Fall ist der Satz geradezu evident; geht man nämlich von zwei zueinander gleichen rechtwinkligen Strecken O'A' und O'C' aus (Fig. 72), während O'B' mit ihnen einen beliebigen Winkel bildet, so kann diese Figur in der Tat als Projektion eines so gelegenen Dreikants OABC aufgefaßt werden. Die zugehörige Richtung der projizierenden Strahlen ergibt sich unmittelbar in der Weise, daß man auf der Zeichnungsebene ein Lot O'B'' = OB errichtet, und B'' mit B' verbindet. Man bezeichnet diese Art der Darstellung auch als schiefe Projektion. Übrigens bleibt das Vorstehende auch dann noch in Kraft, wenn O'B' mit einer der Geraden O'A' oder O'C' zusammenfällt; dies bedeutet nämlich nur, daß die projizierenden Strahlen zu der Seitenfläche OAB oder OBC des Dreikants parallel sind.64

Dem Beweis des allgemeinen Satzes schicke ich einen Hilfssatz voraus, der in seiner einfachsten Formulierung ein Satz über ein gerades dreiseitiges Prisma ist und folgendermaßen ausgesprochen werden kann:

II. Jedes gerade dreiseitige Prisma kann durch eine Ebene ε so geschnitten werden, daß die Schnittfigur einem gegebenen Dreieck ähnlich ist.

Fig 73

Ist A'B'C' die Grundfläche des Prismas (Fig. 73), und ABC die in ε entstehende Schnittfigur, so ist zu zeigen, daß bei geeigneter Lage von ε das Dreieck ABC einem gegebenen Dreieck A₀B₀C₀ ähnlich ist. Zweierlei schicke ich voraus. Erstens ist klar, daß, wenn eine Ebene ε dem Satze genügt, auch jede zu ihr parallele Ebene dies tut; zweitens können wir A₀B₀C₀ durch irgendein ihm ähnliches Dreieck ersetzen; wir dürfen es deshalb auch so wählen, daß A₀B₀ = A'B' ist. Dies wird im folgenden geschehen. Die Ebene, die die Grundfläche A'B'C' enthält, sei ε'.

Der Beweis geht so vor, daß er direkt die Lage der Ebene ε bestimmt; dazu ist erstens ihre Schnittlinie mit ε' und zweitens die Neigung beider Ebenen zu ermitteln. Wir stützen ihn auf die in § 5 enthaltenen Sätze über Parallelperspektive. Wir können nämlich ε' und ε durch Strahlen, die auf ε' senkrecht stehen, parallelperspektiv so aufeinander beziehen, daß A'B'C' und ABC einander entsprechen. Nun gibt es in den so bezogenen Ebenen gemäß § 5, I durch C und C' je ein Paar entsprechender rechtwinkliger Strahlen u, v und u', v'; und da es sich um eine orthogonale Projektion handelt, so läuft der eine von ihnen der Schnittlinie s beider Ebenen parallel, während der andere auf ihr senkrecht steht. Man folgert also umgekehrt, daß s einem dieser Strahlen parallel sein muß; um die Richtung von s zu ermitteln, haben wir daher zunächst die ebengenannten Strahlenpaare zu bestimmen.

Fig 74

Dazu denken wir uns eine besondere Ebene ε₀, die das Dreieck A₀B₀C₀ enthalten soll, und beziehen sie in der Weise ähnlich (§ 4) auf ε, daß ABC und A₀B₀C₀ einander entsprechen. Dann bestehen die in § 5, 1 und 2 genannten Eigenschaften sowohl für ε und ε', als auch, für ε und ε₀, sie bestehen also auch für ε₀ und ε', und da nach Annahme A'B' = A₀A₀ ist, so gibt es in ε' und ε₀ auch ein Geradenpaar, dessen Proportionalitätsfaktor ρ = 1 ist. Gemäß § 5, 8 u. 9 gelten also für ε₀ und ε' alle dort abgeleiteten Sätze.

Seien nun u₀ und v₀ die Geraden durch C₀, die in ε₀ den Geraden u und v von ε entsprechen, so bilden auch sie einen rechten Winkel. Daher sind u₀, v₀ und u', v' auch für ε₀ und ε' die den Punkten C₀ und C' zugehörigen rechten Winkel. Um sie zu bestimmen, hat man gemäß § 5 in der Ebene ε' das Dreieck A₀B₀C₀ so zu zeichnen (Fig. 74), daß A₀B₀ auf A'B' fällt, dann den Kreis zu schlagen, der durch C₀ und C' geht, und dessen Mittelpunkt auf A'B' liegt, und die Punkte U' und V ', in denen er A'B' schneidet, mit C' zu verbinden. Damit ist die Lage der Strahlen u' und v' bereits bekannt.

Es fragt sich nun noch, welcher dieser beiden Strahlen derjenige ist, dem die Schnittlinie s beider Ebenen parallel läuft. Um die Begriffe zu fixieren, bezeichnen wir diesen durch u'; es ist also sowohl u' als auch u zu s parallel, während v' auf s senkrecht steht. Wir gehen nun wieder zu den Ebenen ε und ε' zurück, und denken uns die Ebene ε so in die Ebene ε' um die Achse s umgelegt (Fig. 74), daß die Dreiecke ABC und A'B'C' auf verschiedenen Seiten von s liegen.65 Dann wird, da ε' eine Orthogonalprojektion von ε ist, die Verbindungslinie von je zwei entsprechenden Punkten P und P' beider Ebenen die Achse s senkrecht schneiden; sei S der Punkt, in dem sich die Geraden c' = A'B' und c = AB auf der Achse s schneiden, und W der Schnitt von s mit V V '. Dann ist

V'W : SW = V'C' : U'C' , (1)

und ebenso folgt, wenn wir noch beachten, daß ε₀ und ε ähnliche Ebenen sind,

VW : SW = VC : UC = V₀C₀ : U₀C₀ . (2)

Nun ist aber V 'W die Projektion von V W, folglich ist

VW > V'W . (3)

Die linke Seite von 2) ist daher größer als die linke Seite von 1); zwischen ihren rechten Seiten muß daher dasselbe Größenverhältnis bestehen. Da nun gemäß unserer Konstruktion U₀ mit U' und V ₀ mit V ' identisch ist, so ergibt sich schließlich

V'C₀ : U'C₀ > V'C' : U'C' . (4)

Durch diese Ungleichung werden die beiden Punkte U' und V ', also auch die Strahlen u' und v' voneinander getrennt. Damit ist der Strahl u', dem s parallel läuft, eindeutig bestimmt. Die Richtung der Geraden s in ε' ergibt sich also eindeutig.

Es ist also nur noch die Neigung von ε gegen ε' zu ermitteln. Sie ist bekannt, sobald man die Länge von V 'W kennt. Diese ergibt sich aber wieder aus 1), denn SW, V 'C' und U'C' sind Strecken von ε', die zeichnerisch bestimmbar sind. Die Neigung von ε gegen ε' ist daher ebenfalls eindeutig bestimmt; ihr entsprechen jedoch zwei verschiedene Ebenen, die symmetrisch gegen die Ebene ε' liegen. Damit ist unser Satz bewiesen. Wir finden sogar zwei Scharen von Ebenen, die ihm genügen.

Die Konstruktion gestaltet sich demnach folgendermaßen. In der Ebene ε' zeichne man A'B'C₁ ähnlich zu dem gegebenen Dreieck A₀B₀C₀, schlage den durch C₀ und C₁ gehenden Kreis, dessen Zentrum auf A'B' liegt, und benenne seine Schnittpunkte U' und V ' mit A'B' gemäß der Proportion 4). Man zeichne dann die Gerade WS senkrecht zu U'C', und bestimme V 'W gemäß Proportion 1), so ist damit sowohl die Schnittlinie der Ebene ε' mit ε als auch ihre Neigung gegen ε und damit ihre Lage im Raume festgelegt.

Wir gehen nun zum Beweis des Satzes I über, dem wir noch dadurch einen allgemeineren Inhalt geben können, daß wir das rechtwinklige gleichseitige Dreikant durch ein beliebiges Dreikant ersetzen. So gelangen wir zu folgendem, als Satz von Pohlke bezeichneten Theorem:

III. Ist ein Dreikant OABC und ein ebenes Viereck O₀A₀B₀C₀ beliebig gegeben, so kann man eine Ebene ε' und eine Projektionsrichtung so bestimmen, daß die in ε' entstehende Parallelprojektion O'A'B'C' des Dreikants dem Viereck O₀A₀B₀C₀ ähnlich ist.

Fig 75

Wir nehmen zunächst wieder an, daß eine Ebene ε' und eine Projektionsrichtnng, wie sie der Satz verlangt, vorhanden ist. Ferner sei ε die durch das Dreieck ABC bestimmte Ebene, und O₁ (Fig. 75) derjenige Punkt, in dem sie von dem durch O gehenden projizierenden Strahl getroffen wird, so ist klar, daß die Projektionsrichtung bekannt ist, sobald man den Punkt O₁ kennt. Nun befinden sich ε und ε' in der Weise in parallelperspektiver Lage, daß ABCO₁ und A'B'C'O' entsprechende Punkte sind, und außerdem sind O'A'B'C' und O₀A₀B₀C₀ ähnliche Figuren. Wir können daher wieder, wie beim Beweis des Hilfssatzes, die das Viereck O₀A₀B₀C₀ enthaltende Ebene ε₀ ähnlich so auf ε' beziehen, daß O₀A₀B₀C₀ und O'A'B'C' einander entsprechen, und schließen wieder genau wie oben, daß nun auch die Ebenen ε und ε₀ in der in § 5 erörterten Beziehung stehen; und zwar sind O₁ABC und O₀A₀B₀C₀ entsprechende Punkte. Gemäß § 5, 7 können wir daher den Punkt O₁ mit Hilfe der gegebenen Punkte ABC und A₀B₀C₀ konstruieren. Damit ist die Richtung der projizierenden Strahlen bereits bestimmt.

Nun sei ε₂ irgendeine zu dieser Richtung senkrechte Ebene, und A₂, B₂, C₂ ihre Schnittpunkte mit den durch A, B, C gehenden projizierenden Strahlen. Dann kann man A₂B₂C₂ als die Grundfläche eines geraden Prismas auffassen, das von der Ebene ε' so geschnitten werden soll, daß die Schnittfigur A'B'C' zu A₀B₀C₀ ähnlich ist. Unserem Hilfssatz gemäß kann daher die Ebene ε' dieser Bedingung gemäßbestimmt werden.66 Man sieht auch noch, daß nicht bloß A'B'C' ~ A₀B₀C₀ ist, sondern auch O₁A'B'C' ähnlich zu O₀A₀B₀C₀, denn die zwischen unseren Ebenen festgesetzten Beziehungen betreffen stets die ganzen Ebenen, d. h. also die sämtlichen in ihnen enthaltenen einander entsprechenden Figuren. Damit ist der Beweis geliefert.

Fig 76

Gemäß dem so bewiesenen Grundsatz kann man also die Richtungen und Längen dreier von einem Punkt ausgehender Geraden stets als axonometrische Bilder der drei Kanten eines räumlichen Dreikants auffassen, insbesondere auch eines orthogonalen gleichseitigen. Für diesen Fall bevorzugt man meist die oben genannte schiefe Projektion, besonders die Falle, daß die y-Achse einen Winkel von 45^o oder 30^o mit der x-Achse bildet (Kavalierperspektive). Die anschaulichsten Bilder erhält man vielfach so, daß man auch die x-Achse nicht senkrecht gegen die z-Achse annimmt. Die z-Achse nimmt man im allgemeinen vertikal an.

Als Beispiele können zunächst alle Figuren dienen, die im vorstehenden dem axonometrischen Grundsatz gemäß gezeichnet worden sind; eine Reihe anderer möge hier folgen.

1. Eine sechseckige reguläre Säule so zu zeichnen, daß ihre Kanten vertikal werden (Fig. 76). Beliebig wählbar sind die beiden Geraden, die zwei Seiten der Grundfläche entsprechen; sie mögen durch AB und AF dargestellt werden. Zieht man nun durch B eine Parallele zu AF, und durch F eine Parallele zu AB, so hat man in ihrem Schnittpunkt M das Bild des Mittelpunktes des dem Sechseck umschriebenen Kreises. Durch Verlängerung von AM, BM, FM über M um sich selbst erhält man daher die Punkte D, E, G. Gleichlange Vertikalen in A, B, C, D, E, F liefern endlich die Punkte der oberen Grundfläche.67

Fig 77

2. Die acht Ecken eines Würfels lassen sich in zwei Gruppen von je vieren zerlegen, die je ein reguläres Tetraeder bilden; jedes Tetraeder enthält sechs Flächendiagonalen als Kanten. In Fig. 77 sind AEFG und HBCD zwei solche Tetraeder.68 Man soll ihre Durchdringungsfigur zeichnen.

Man zeichne zunächst den Würfel selbst in irgend einer axonometrischen Darstellung. Man beachte nun, daß jeder Mittelpunkt einer Würfelfläche Schnittpunkt zweier Flächendiagonalen ist, also der Durchdringungsfigur beider Tetraeder angehört. Damit sind die Durchdringungsgeraden beider Tetraeder bestimmt; sie bilden das Oktaeder, dessen Ecken in die Mitten der Würfelflächen fallen. Nur vier von ihnen sind sichtbar; nämlich diejenigen, die von der Mitte der vorderen Würfelfläche ausgehen.

Fig 78

3. Ein reguläres Rhombendodekaeder zu zeichnen. Eine Ebene, die durch die Mitte eines Würfels geht und zwei Kanten enthält, werde als Diagonalebene bezeichnet. Dann entsteht das Rhombendodekaeder so aus dem Würfel, daß man durch jede der zwölf Würfelkanten eine Ebene legt, die auf der hindurchgehenden Diagonalebene senkrecht steht. Diese Ebenen sind die 12 Begrenzungsflächen des Rhombendodekaeders; aus der Symmetrie des Würfels folgt, daß die in ihnen entstehenden Begrenzungspolygone kongruente Rhomben sind. Je vier, die durch die vier Kanten einer Würfelfläche gehen, bilden überdies eine quadratische Pyramide mit dieser Würfelfläche als Grundfläche, und zwar ist leicht ersichtlich, daß ihre Höhe gleich der halben Würfelkante ist. Die Ecken des Rhombendodekaeders bestehen also aus den sechs Spitzen dieser Pyramide und den acht Würfelecken.

Man erhält es daher am einfachsten, indem man vom Würfel ausgeht, auf seine Flächen vom Mittelpunkt M die Lote fällt, und diese um sich selbst verlängert (Fig. 78).69

4. Einen vierseitigen Pyramidenstumpf zu zeichnen (Fig. 79). Wir gehen von einer dreiseitigen Pyramide aus, deren Spitze O, deren Grundfläche ABC = γ und deren Kanten a, b, c seien; eine gewisse, noch unbestimmt bleibende Ebene γ₁ möge sie in dem Dreieck A₁B₁C₁ schneiden. Aus dem Pohlkeschen Satz folgt zunächst, daß die axonometrischen Bilder von O', A', B', C' und damit auch die Bilder a', b', c'4 beliebig wählbar sind. Ebenso können wir aber auch die Bildpunkte A'₁, B'₁, C'₁ auf a', b', c' beliebig annehmen; ihnen entsprechen stets gewisse Raumpunkte A₁, B₁, C₁ so daß durch die Wahl von A'₁, B'₁, C'₁ die Ebene γ₁ festgelegt ist.70 Die Punkte D und D₁, die von γ und γ₁ auf einer vierten durch O gehenden Kante bestimmt werden, sind jedoch nicht mehr beide willkürlich; vielmehr ergibt sich alles weitere auf Grund des in § 4 abgeleiteten Satzes von Desargues. Aus ihm folgt zunächst, daß die drei Schnittpunkte

A₀ = (B'C' , B₁'C₁' ), B₀ = (C'A' , C₁'A₁' ), C₀ = (A'B' , A₁'B₁' )

auf einer Geraden s₀ liegen, die das axonometrische Bild der Schnittlinie von γ und γ₁ ist.71 Auf ihr können wir nun einen Punkt D₀ beliebig annehmen und festsetzen, daß er Schnittpunkt von s₀ mit der durch O gehenden Ebene (ad) = δ sein soll, und können außerdem auch die Bildkante d' beliebig zeichnen; sie muß notwendig Bild einer gewissen in δ liegenden Kante d sein. Um endlich D' und D₁' zu finden, haben wir wieder D₀ mit A' und A₁' zu verbinden und die Schnittpunkte dieser Geraden mit d' zu bestimmen. Sie liefern uns die Punkte D' und D₁'. Übrigens schneiden sich auch die Geraden B'D' und B₁'D₁', sowie C'D' und C₁'D₁' auf s₀, was zeichnerische Überbestimmungen liefert.

Fig 79

Ebenso kann man mit jeder weiteren durch O' angenommenen Kante verfahren und den zugehörigen Stumpf leicht konstruieren.

In gleicher Weise kann man auch den Schnitt eines geraden Zylinders oder geraden Kegels mit einer Ebene punktweise konstruieren.72

Fig 80

5. Ein reguläres Kubooktaeder zu zeichnen (Fig. 80). Ein Kubooktaeder entsteht so aus einem Oktaeder, daß man die sechs Ecken des Oktaeders mittels eines ihm konzentrischen und koaxialen regulären Würfels abschneidet. Man erhält es also am einfachsten, indem man an jeder Oktaederecke auf den vier von ihr ausgehenden Kanten die nämliche Strecke abschneidet. Die auf den Oktaederflächen entstehenden Begrenzungspolygone sind im allgemeinen Sechsecke; bei besonderer Wahl des Würfels werden sie Quadrate.73

Fig 81

6. Einen Kugeloktanten in schiefer Projektion zu zeichnen (Fig. 81). Seien OA, OB, OC die drei aufeinander senkrechten Radien, die den Oktanten bestimmen, und OA, OB', OC ihre axometrischen Bilder, so handelt es sich um die Herstellung der Bilder der in den Ebenen OBC und OAC liegenden Kreisbogen. Sie sind Teile von Ellipsen, die punktweise konstruiert werden müssen. Sie ergeben sich leicht auf Grund der Tatsache, daß bei der axonometrischen Darstellung alle zueinander parallelen Ordinaten eines Kreises gemäß § 5, 3 in demselben Maße verkürzt werden. Zur Ausführung der Zeichnung können wir jeden Kreisbogen benutzen, der dazu tauglich ist. Um z. B. den Ellipsenbogen zu erhalten, gehen wir von dem Kreisquadranten OAC aus, errichten in einem beliebigen Punkt Q von OA das Lot QP und konstruieren P’ so, daß QP' || OB' und PP' || B'C ist, und machen dies für so viele Punkte, als nötig ist. Analog erhält man den Ellipsenbogen B'C.74

Wichtig ist, daß die Tangenten dieser Ellipsenbogen in den Endpunkten nicht gegen die ihnen zukommende Richtung verstoßen (§ 1, III). Sie sind Projektionen der bezüglichen Kreistangenten; daher müssen die Tangenten des Bogens in A und B' den Geraden OB' und OA parallel sein, und die des Bogens B'C in B' und C parallel zu OC und OB' (vgl. Fig. 83).

7. Die Durchdringungsfigur zweier kongruenten Kreiszylinder zu zeichnen, deren Grundflächen so in zwei zueinander senkrechten Ebenen liegen, daß ihre Mittelpunkte zusammenfallen (Fig. 82).

Fig 82 Fig 83

Wir beschränken uns auf einen Oktanten und konstruieren zunächst gemäß 6. den Ellipsenbogen B'A, der dem Kreisbogen der Ebene OAB entspricht. Zieht man nun in einem Punkt Q von OA die Geraden QP || OC und QP' || OB', und bestimmt den Punkt R so, daß PR || QP' und P'R || QP ist, so ist R ein Punkt der Durchdringungskurve. Sie ist offenbar eine Ellipse.

8. Die Durchdringung einer Kugel mit einem Kreiszylinder zu zeichnen, dessen Grundkreis k den halben Kugelradius als Radius hat, und von dem eine Erzeugende l durch den Mittelpunkt der Kugel geht (Fig. 83).

Wir beschränken uns wieder auf einen Oktanten, wählen die Erzeugende l als z-Achse und den Grundkreis k des Zylinders als xy-Ebene, und zeichnen zunächst wieder die dem Kugeloktanten entsprechenden Ellipsenbogen OAB' und OCB', wie auch die dem Grundkreis k entsprechende Ellipse. Ist S' ein Punkt dieser Ellipse, so kann man das innerhalb des Kugeloktanten liegende Stück S'P' der durch S' gehenden Zylinderkante so zeichnen, daß man sich durch S eine zu OAC parallele Ebene gelegt denkt. Sie schneidet die Kugel in einem Kreis, der den Punkt P enthält, und dessen axonometrisches Bild ebenfalls ein Kreis ist; man hat also nur den Radius dieses Kreises zu finden. Zieht man nun durch S die Gerade TU || OA, und durch T die Gerade TV || OC, so ist TU = TV dieser Radius. Er ergibt sich wieder in der unter 6. genannten Art.

9. Endlich ist noch die Herstellung der axonometrischen Bilder aus den Koordinatenwerten oder aus Grundriß und Aufrißzu erörtern.

Fig 84

Man wird diese Methode immer dann wählen müssen, wenn die zu zeichnenden Gegenstände nur durch ihre Koordinaten gegeben sind; man verfährt dann in üblicher Weise so, daß wenn x, y, z die Koordinaten sind, man einen Streckenzug OPQR konstruiert, dessen Seiten den Achsen parallel sind, und deren Länge sich so ergibt, daß man die gegebenen Koordinatenwerte mit den ihnen entsprechenden Verkürzungsfaktoren multipliziert. (Fig. 84). Beispielsweise kann man auf diese Weise den Mittelpunkt des Kugeloktanten im letzten Beispiel finden. Für ihn hat man x = y = z = 1/√3

Ebenso kann man verfahren, wenn ein Gegenstand durch Grundriß und Aufriß gegeben ist. Durch sie sind freilich nur zwei Koordinaten bestimmt. Nimmt man aber eine zur Achse senkrechte Gerade beliebig an, so kann man sie als Spur einer dritten zur Grundriß- und Aufrißebene senkrechten Ebene betrachten, und erhält in den Abständen von ihr die dritten Koordinaten. Auf Beispiele dieser Art kommen wir in § 15 zurück.

Die wesentlichste Aufgabe des Zeichners besteht auch hier in der überlegung, wie man am einfachsten zu den Bildfiguren gelangt. Will man z. B. in Aufgabe 6. noch die Kreise zeichnen, die die Winkel des Oktanten halbieren, so wird man am besten jeden mittels eines solchen Kreises herstellen, der in der Zeichnungsebene liegt, was möglich ist.

§ 15. Der scheinbare Umriß.

Wir wenden uns zu einem letzten Gesetz allgemeiner Art, das für jede ebene Perspektive Abbildung in gleicher Weise erfüllt ist, und schicken einige einfache Tatsachen voraus.

Eine Kugel, die wir betrachten, erscheint uns stets unter dem Bild einer Kreisfläche. Jede auf der Kugel verlaufende Kurve muß daher im Bilde ganz innerhalb dieser Fläche liegen. Der die Kreisfläche umrandende Kreis heißt deshalb scheinbarer Umriß der Kugel. Hierin ist ein allgemeines Gesetz enthalten, zu dessen Erörterung wir nun übergehen.75

Fig 85

1. Ist P ein Punkt einer krummen Fläche Ω, so existiert in ihm eine Tangentialebene τ, die folgendermaßen definiert ist: Wird durch den Punkt P auf der Fläche Ω eine Kurve c gezogen, und im Punkte P ihre Tangente t konstruiert, so fällt diese, welches auch die Kurve c sein mag, in die Ebene τ (Fig. 85). Enthält also die Fläche insbesondere eine durch P gehende Gerade, so ist diese als ihre eigene Tangente zu betrachten und muß daher ganz in τ enthalten sein.

2. Die Ebene, die eine Kegelfläche Φ in einem Punkte P einer ihrer Kanten k berührt, enthält diese Kante und ist zugleich Tangentialebene der Kegelfläche in jedem anderen Punkt dieser Kante k. Sie geht überdies durch den Scheitel des Kegels.

3. Auf dem Kegel Φ denke man sich nun eine durch den Punkt P gehende Kurve c und schneide aus dem Kegel durch eine Ebene ε', die nicht durch seine Spitze S gehen soll, die Kurve c' aus, so kann man sie als Projektion der Kurve c von S auf ε' auffassen. Sei P' wieder der Punkt von ε', der dem Punkt P der Kurve c entspricht. Dann besteht der Satz:

I. Die Tangente der ebenen Kurve c' im Punkt P' ist die Projektion der Tangente t, die die Kurve c im Punkte P berührt.

Die Tangentialebene τ, die den Kegel in P berührt und die Tangente t enthält, geht nämlich gemäß 2. durch den Scheitel S des Kegels; mithin ist die Projektion von t in ε' die Schnittlinie von ε' mit τ. Andererseits ist die Tangente der ebenen Kurve c' in P' gemäß 2. ebenfalls in τ enthalten, und da sie auch in ε' liegen muß, so ist sie gleichfalls Schnittlinie von ε' mit τ. Damit ist der Satz bewiesen. Man kann ihn kurz so aussprechen, daß die Tangente der Projektion gleich der Projektion der Tangente ist.

4. Der vorstehende Satz kann allerdings eine Ausnahme erleiden, nämlich dann, wenn die Tangente t der Kurve c in die Kegelkante k fällt. Die Projektion von t reduziert sich dann auf den Punkt P' selbst. Die Gestalt der Kurve c' im Punkt P' hängt alsdann davon ab, ob die Kegelkante k für die Kurve c eine gewöhnliche oder eine Wendetangente ist. Im ersten Fall hat c' offenbar im Punkte P' eine Spitze.

5. Sei nun Ω die Oberfläche eines Körpers Σ, der ebenflächig oder krummflächig begrenzt sein kann, und sei wieder S₀ das im Auge liegende perspektivische Zentrum. Dann lassen sich alle durch S₀ gehenden Strahlen in zwei Gattungen teilen, je nachdem sie mit Σ mindestens einen oder keinen Punkt gemein haben. Die ersten erfüllen einen gewissen Raumteil V des Bündels S₀, dessen Oberfläche eine kegelartige Fläche Φ mit dem Scheitel S₀ ist, und zwar enthält jede Kegelkante mindestens einen Punkt der Oberfläche Ω von Σ. Sie kann unter Umständen auch mehr als einen Punkt von Σ enthalten.76 Ist Ω insbesondere eine krumme Fläche, so ist der Kegel Φ nichts anderes als der von S₀ an die Fläche gelegte Tangentialkegel, und jede Tangentialebene dieses Kegels ist zugleich eine Tangentialebene der Fläche Ω.

6. Die Gesamtheit aller Punkte der Oberfläche Ω, die zugleich dem Kegel Φ angehören, wollen wir durch u bezeichnen. Da dieser Kegel seine Spitze in S₀ hat, so liefert uns sein Schnitt mit der Bildebene β die Bildkurve u' von u. Wir bezeichnen sie als den scheinbaren Umriß oder als Umrißkurve; offenbar schließt sie dasjenige Flächenstück der Bildebene β ein, in dem die Bildpunkte der sämtlichen Punkte von Σ enthalten sind.

7. Ist Ω eine krumme Fläche, was wir von nun an ausschließlich annehmen, so ist u die Kurve, längs deren der Tangentialkegel Φ die Fläche Ω berührt.77 Beide Flächen haben daher in jedem Punkt P dieser Kurve dieselbe Tangentialebene; mit anderen Worten, die Tangentialebene τ der Fläche Ω in einem Punkt P von u geht stets durch den Scheitel S₀.

8. Sei nun c irgendeine auf der Fläche Ω verlaufende Kurve, die ebenfalls durch P geht, und c' ihre Bildkurve in β, so wird c' jedenfalls durch den Punkt P' gehen. Es läßt sich aber auch zeigen, daß sich die beiden Kurven c' und u' im allgemeinen in P' berühren. Sind nämlich t_c und t_u die Tangenten der Kurven c und u im Punkte P, so liegen sie gemäß 1. beide in der Tangentialebene τ. Diese Tangentialebene geht aber, wie wir eben sahen, durch S₀ hindurch, und das heißt nichts anderes, als daß τ die Ebene ist, deren Schnitt mit β sowohl das Bild t_c' von t_c als auch das Bild t_u' von t_u ergibt. Daher sind t_c' und t_u' identisch, womit der Satz bewiesen ist. Also folgt:

II. Die auf der Oberfläche Ω von Σ verlaufenden Kurven c haben im allgemeinen die Eigenschaft, daß ihre Bildkurven den scheinbaren Umriß berühren.

Eine Ausnahme kann nur eintreten, wenn die Tangente t_c durch S₀ geht; nur dann versagt die vorstehende Beweisführung. Dann reduziert sich das Bild t_c in β auf einen Punkt, und die Kurve c' kann in P' eine Spitze erhalten. Ein Kreuzen beider Kurven ist aber ausgeschlossen, denn aus der Definition von u' folgt unmittelbar, daß c' ganz dem durch u' begrenzten Flächenstück angehören muß.

Die einfachsten Beispiele erhalten wir, wenn wir zur Darstellung durch Grundriß und Aufriß oder zur axonometrischen Darstellung übergehen.

Fig 86 Fig 87

1. Eine Schraubenlinie in Grundriß und Aufriß darzustellen (Fig. 86). Wird die Grundrißebene auf den Zylinderkanten senkrecht gewählt, so ist der Grundriß mit dem Grundkreis k des Zylinders identisch. Den Aufriß konstruiert man punktweise, indem man den Grundkreis in n gleiche Teile teilt, und die den Teilpunkten entsprechenden Aufrißprojektionen proportional zunehmen läßt. Sind A, B, C, D ... die Teilpunkte auf dem Kreise, und ist d eine beliebige Länge, so hat man

B₂ B₀ = d, C₂ C₀ = 2d, D₂ D₀ = 3d ...

zu machen. Der scheinbare Umriß besteht aus zwei Geraden, die Projektionen zweier Zylindergeraden sind; sie werden von der Schraubenlinie abwechselnd berührt, und zwar in Punkten, die im konstanten Abstand 2h aufeinanderfolgen, wenn h die Höhe eines halben Schraubenganges ist. Der Aufriß ist in diesem Fall eine einfache Wellenlinie.

2. Um dieselbe Schraubenlinie in derjenigen schiefen Projektion zu zeichnen, bei der die y-Achse in die Richtung der negativen z-Achse fällt, verfährt man am einfachsten in der Weise, daß man sich zunächst gemäß § 14 die Ellipse k' punktweise herstellt, die Bild des Grundkreises k ist. (Fig. 87) Ist dann P₁' der Bildpunkt des Punktes P₁ von Figur 8678 , so erhält man den Bildpunkt P' des Schraubenlinienpunktes P in der Weise, daß man die z-Koordinate P₀P₂ um die Strecke P₀'P₁' verkürzt, also P₁'P' = P₀P₂ macht. Auch hier berührt das Bild der Schraubenlinie den von den beiden äußersten Erzeugenden gebildeten scheinbaren Umriß.

Wird die Projektionsrichtung so gewählt, daß sie der Tangente im Punkte S parallel ist, so erhält die Bildkurve in S' eine Spitze, die senkrecht gegen die Zylindergerade verläuft.

Fig 88

In dieser Weise kann man auch mit andern auf dem Zylinder verlaufenden Kurven verfahren, deren Grundriß und Aufriß leicht herstellbar ist. Um z. B. eine Ellipse zu zeichnen, die durch eine Ebene ε ausgeschnitten wird, wähle man die Aufrißebene zu ε senkrecht; dann reduziert sich der Aufriß auf eine Gerade, nämlich auf den Schnitt von ε mit der Aufrißebene. Ähnlich kann man auch Kurven zeichnen, die auf einem geraden Kegel verlaufen.

3. Eine Kreisscheibe mit einem in der Mitte befindlichen zylindrischen Loch zu zeichnen (Fig. 88).

Wir erhalten die einfachste Darstellung, indem wir wiederum die y-Achse in die Richtung der negativen z-Achse fallen lassen.

Bei dieser Darstellung werden die beiden Kreise G und H, die die äußere zylindrische Fläche begrenzen, zu kongruenten Ellipsen, deren Mittelpunkte vertikal übereinanderliegen, und das gleiche gilt für die Grenzkreise g und h des inneren Zylindermantels. Man erhält sie wie im vorstehenden Paragraphen. Es gibt einen äußeren und einen inneren scheinbaren Umriß. Der äußere besteht aus Teilen der Ellipsen G und H und zwei parallelen Geraden; diese sind Bilder der beiden Zylinderkanten, längs deren die Tangentialebenen des Zylinders zur yz-Achse parallel sind. Diese beiden Geraden müssen daher die Ellipsen berühren. In den inneren scheinbaren Umriß gehen im vorliegenden Fall nur Teile von g und h ein. Zu beachten ist, daß die bezüglichen Teile von g und h in der Figur unter einem spitzen Winkel zusammentreffen; die Kreuzungspunkte müssen deshalb, um einen deutlichen Gesichtseindruck hervorzubringen, scharf zu erkennen sein.

Fig 89

4. Eine Kugel mit einigen ihrer größten Kreise in orthogonaler Projektion zu zeichnen (Fig. 89).

Derjenige größte Kreis, der zur Bildebene parallel liegt, liefert den scheinbaren Umriß. Die anderen größten Kreise berühren ihn; man erhält ihre Bilder gemäß § 14.79

5. Der scheinbare Umriß ergab sich bisher unmittelbar in der Weise, daß wir die Bilder der in ihn eingehenden Kurven direkt zeichnen konnten. In den weniger einfachen Fällen wird er jedoch, wie es seiner Natur entspricht, nur als Enveloppe konstruierbar sein. Ich gebe auch hierzu noch einige einfachere Beispiele.

Fig 90

Um zunächst einen Kreisring in derselben axonometrischen Darstellung zu zeichnen, die vorher benutzt wurde, geht man am besten von einer Figur aus (Fig. 90), die den Schnitt des Ringes mit einer durch die Rotationsachse (z-Achse) gehenden Ebene darstellt; die so entstehende Schnittfigur besteht aus den beiden Kreisen k₁ und k₂. Wir zeichnen nun zunächst wieder die axonometrischen Bilder der Kreise a₁ und a₂80, in denen der Ring von der Äquatorebene geschnitten wird, sowie die Bilder des oberen und unteren Berührungskreises b₁ und b₂. Die Durchmesser dieser Kreise sind aus der Durchschnittfigur unmittelbar zu entnehmen; ihre Bilder sind Ellipsen, die wir ebenso wie bei den vorstehenden Aufgaben, zu konstruieren haben.81

Um den scheinbaren Umriß zu erhalten, wollen wir diesmal einige seiner Punkte direkt konstruieren, und zwar solche, die Punkten der yz-Ebene entsprechen. Die Richtung der projizierenden Parallelstrahlen nehmen wir in bestimmter Weise als gegeben an. Sei φ der Winkel, den sie mit der z-Achse bilden. Zeichnet man dann in der Durchschnittfigur die Geraden, die mit der z-Achse den Winkel φ bilden und die Kreise k₁ und k₂ berühren, so bestimmen diese Berührungspunkte, wie leicht ersichtlich, diejenigen Parallelkreise u₁, u₂ und v₁, v₂ des Kreisrings, deren in der yz-Ebene liegende Punkte den Umrißkurven angehören. Die Durchmesser dieser Parallelkreise sind aus der Figur unmittelbar zu entnehmen. Deren Bilder zeichnen wir ebenfalls axonometrisch und können nunmehr die Umrißkurven als Enveloppen der sämtlichen vorhandenen Ellipsen herstellen. Jede dieser Ellipsen besitzt Punkte, die dem scheinbaren Umriß angehören.

Auch hier ist zu beachten, daß der innere Teil des scheinbaren Umrisses, wie im vorigen Beispiel, in zwei Teile zerfällt, die unter einem spitzen Winkel zusammenstoßen. Gerade diese Eigenschaft des Bildes ist für das Hervorbringen eines guten optischen Eindruckes wesentlich.

Fig 91

6. Ein Rotationshyperboloid H axonometrisch in schiefer Projektion zu zeichnen. (Fig. 91).

Sind k₁ und k₂ zwei Kreise des Hyperboloids, deren Ebenen vom Mittelpunkt gleichen Abstand haben, so wird jede Gerade des Hyperboloids diese Kreise in zwei solchen Punkten P₁ und P₂ schneiden, daß die Ebenen, die P₁ und P₂ mit der Hauptachse verbinden, einen konstanten Winkel einschließen. Darauf beruht die folgende Konstruktion.

Man zerlege k₁ und k₂ in gleich viele Teile, bezeichne die senkrecht übereinanderliegenden Teilpunkte durch gleiche Ziffern und konstruiere gemäß § 14 deren axonometrische Bilder. Dann verbinde man den Punkt 1 von k₁' mit dem Punkt ν von k₂', ebenso 2 von k₁' mit ν + 1 von k₂' und fahre so fort, so erhält man das Bild der einen Geradenschar.82 Die andere erhält man ebenso, wenn man die Punkte 1,2,... von k₂' mit ν,ν + 1,... von k₁' verbindet. Alle diese Geraden müssen den scheinbaren Umriß berühren. Dieser ist daher nichts anderes als die Enveloppe unserer Geradenscharen. Um die Figur anschaulich zu machen, sind nur diejenigen Stücke der Geraden gezeichnet worden, die auf dem vom Auge S₀ sichtbaren Teil des Hyperboloids liegen.

§ 16. Die stereographische Projektion.

Außer den auf der Perspektive beruhenden bildlichen Darstellungen sind für besondere Zwecke andere Abbildungsmethoden im Gebrauch. Eine der wichtigsten ist die stereographische Projektion.

Fig 92

Die stereographische Projektion kann noch als Sonderfall der allgemeinen Perspektive angesehen werden, mit der Maßgabe, daß nur die Punkte einer Kugelfläche der Abbildung unterworfen werden. Man fasse auf der Kugel (Fig. 92)83 zwei Endpunkte eines Durchmessers in Betracht, die wir Nordpol N und Südpol S nennen wollen, lege im Südpol S die Tangentialebene ε', betrachte den Nordpol N als den Scheitel der perspektiven Beziehung und die Tangentialebene ε' als die Bildebene, ziehe durch N einen beliebigen Strahl, der die Kugel in einem Punkt A und die Tangentialebene in A' schneide, und hat damit dem Punkt A der Kugel den Bildpunkt A' der Ebene ε zugewiesen. Jedem durch N gehenden Strahl, der die Kugel noch in einem zweiten von N verschiedenen Punkt schneidet, entspricht so ein Bildpunkt A', während umgekehrt auch zu jedem Punkt B' der Ebene ein Punkt B der Kugel gehört, nämlich der stets vorhandene Punkt B, in dem der Strahl NB' die Kugel außer in N durchdringt. Der Punkt S ist mit seinem Bildpunkt identisch.

Eine Ausnahme tritt nur für den Punkt N selbst ein und für die Strahlen, die die Kugel in N berühren. Sie sind der Ebene ε' parallel. Will man auch hier das Gesetz des eineindeutigen Entsprechens ausnahmslos gestalten, muß man wieder uneigentliche Punkte der Ebene ε' einführen; im Gegensatz zu § 6 hat dies aber hier so zu geschehen, daß man der Ebene nur einen uneigentlichen Punkt beilegt und ihn dem Punkt N als Bildpunkt zuweist. Dies erweist sich in der Tat als zulässig.84

Näher hierauf einzugehen, ist nicht nötig, da es für die praktischen Zwecke, die wir hier im Auge haben, nicht in Betracht kommt. Hat man nämlich eine stereographische Abbildung eines solchen Teiles der Oberfläche herzustellen, der den Nordpol enthält, so wird man den Punkt S als Zentrum der Projektion und als Bildebene ε' die Tangentialebene in N wählen.

Die Wichtigkeit und Nützlichkeit der stereographischen Projektion beruht auf folgenden zwei Sätzen:

I. Jedem Kugelkreis k entspricht als ebenes Bild ein Kreis k'.

II. Zwei Kugelkreise schneiden sich unter denselben Winkeln, wie ihre Bildkreise.

Den ersten Satz beweisen wir so, daß wir zeigen, daß gewissen Gruppen von vier Punkten A, B, C, D der Kugel, die auf einem Kreise k liegen, vier Bildpunkte entsprechen, die ebenfalls auf einem Kreise liegen.

Verbindet man (Fig. 92) S mit A, so ist SA eine Höhe des rechtwinkligen Dreiecks NSA', und daher besteht die Relation

N S ² = N A ^. N A' (1)

Fig 93

Sei nun k ein auf der Kugel liegender Kreis, η die ihn enthaltende Ebene, und e die Schnittlinie der Ebenen η und ε'. Wir nehmen auf dem Kreis k vier Punkte A, B, C, D so an, daß (Fig. 93)85 die Sehnen AB und CD sich auf e in einem Punkte O schneiden, und ziehen die vier Strahlen

N A A', N B B', N C C', N D D'.

Ist dann α die Ebene NAB, und γ die Ebene NCD, so schneiden sich die drei Ebenen ε', α und γ ebenfalls in O; daher gehen durch ihn auch die Schnittlinien von je zweien dieser Ebenen hindurch, also auch die von α und ε' und die von γ und ε'. Auf der ersten liegen die Punkte A' und B', auf der zweiten C' und D', und wir folgern so, daß OA'B' und OC'D' je eine Gerade bilden. Wird nun die Relation 1) auf die Strahlen NA und NB angewandt, so folgt

N A ^. N A' = N B ^. N B', (2)

und dies bedeutet, daß die vier Punkte A, B, A', B' auf einem gewissen Kreise k_a liegen. Andererseits schneiden sich AB und A'B' in O, und daher folgt aus dem Sehnensatz für diesen Kreis k_a weiter

O A ^. O A' = O B ^. O B'. (3)

In derselben Weise ergibt sich

O C ^. O C' = O D ^. O D'.

Nun ist aber, da A, B, C, D Punkte des Kreises k sind,

O A ^. O B = O C ^. O D (4)

also folgt schließlich

O A' ^. O B' = O C' ^. O D'. (5)

es liegen also in der Tat auch die Punkte A', B', C', D' auf einem Kreise. Da eine solche Relation für je zwei durch O gehende Geraden abgeleitet werden kann, ist damit das Bild k' von k als Kreis erwiesen.

Das Bild eines jeden durch N und S gehenden Meridians ist insbesondere eine durch S gehende Gerade, und das Bild jedes Parallelkreises ein Kreis mit dem Mittelpunkt S. Den Mittelpunkt eines beliebigen Kreises k' findet man auf Grund davon, daß es einen Durchmesser des Kreises k gibt, der in einen Durchmesser des Kreises k' übergeht, nämlich denjenigen, den die durch NS gehende auf k senkrechte Ebene enthält.

Um den Satz II zu beweisen, schicken wir zunächst folgende evidente Tatsachen voraus.

1. Sind k und k₁ zwei Kugelkreise, die sich in den Punkten P und P₁ schneiden, so sind die Winkel, die sie in P und P₁ bilden, einander gleich, und zwar sind diese Winkel identisch mit den Winkeln, die ihre Tangenten in P und P₁ bilden. Das gleiche gilt für zwei ebene Kreise.

2. Sind k, k₁, k₂... Kugelkreise, die sich im Punkte P berühren, also in diesem Punkte dieselbe Tangente t haben, so berühren sich die Bildkreise k', k₁', k₂'... sämtlich in P', und haben in P' die Bildgerade t' als Tangente.

Man sieht nun zunächst, daß der Satz II in dem Fall evident ist, daß die Kugelkreise k und k₁ beide durch den Südpol S gehen, also ihre Tangenten t und t₁ in der Ebene ε' liegen. Dann gehen nämlich auch die Bildkreise k' und k₁' durch S, und deren Tangenten t' und t₁' sind mit t und t₁ identisch, woraus die Behauptung unmittelbar folgt.

Hieraus ergibt sich der Beweis des allgemeinen Falles folgendermaßen. Seien k und l irgend zwei Kugelkreise, die sich im Punkte P schneiden, sei (k,l) der von ihnen gebildete Winkel86, und seien k' und l' die Bildkreise, so ist zu zeigen, daß

(k, l) = (k', l'). (1)

ist. Gemäß 1. und 2. schließen wir dann zunächst, daß es zwei Kreise k₁ und l₁ gibt, die in P dieselben Tangenten haben, wie k und l, und überdies durch S gehen, und es ist

(k, l) = (k₁, l₁). (2)

Die Bildkreise k₁' und l₁' gehen dann ebenfalls durch S, und gemäß 1. und 2. ist auch

(k', l') = (k₁', l₁'). (3)

Da nun aber auf Grund des eben bewiesenen Sonderfalles

(k₁, l₁) = (k₁', l₁'). (4)

ist, so folgt damit auch die Richtigkeit der Relation 1). Damit ist der Satz II in vollem Umfange bewiesen.

Die durch die stereographische Projektion vermittelte Abbildung wird deshalb als winkeltreu bezeichnet. Denkt man sich auf der Kugel ein sehr kleines Kugeldreieck, so entspricht ihm ein ebenes Kreisdreieck mit gleichen Winkeln, und da man diese Dreiecke in der Annäherung als geradlinig betrachten kann, so sagt man, daß die Abbildung in den kleinsten Teilen ähnlich ist. Abbildungen dieser Art heißen auch konform.

Als Beispiel behandeln wir diejenige Kugelteilung, die durch die sechs Diagonalebenen eines der Kugel einbeschriebenen Würfels entsteht. Durch jeden Würfeleckpunkt gehen drei von ihnen; wir haben also auf der Kugel sechs größte Kreise, die sich zu je dreien in einem Punkt schneiden. Den Würfel denken wir uns in der Stellung, die Figur 57 zeigt; die Diagonale AH fällt also mit der Achse NS zusammen.

Fig 94

Die drei durch NS = HA gehenden Kreise projizieren sich (Fig. 94) in je eine durch A gehende Gerade; jede von ihnen enthält die Bilder von zweien der Ecken B, C, D und E, F, G. Nur die Längen AB₁ und AE₁ sind noch zu ermitteln. Offenbar erhalten wir AB₁, indem wir in Figur 56 HB bis zum Schnitt B₁ mit der durch A gehenden Horizontalen verlängern; analog ergibt die Verlängerung von AB his zum Schnitt mit der durch H gehenden Horizontalen die Lange von AE₁. Die Kreise durch B₁C₁E₁F₁, C₁D₁F₁G₁ und B₁D₁E₁G₁ liefern die Bilder der drei gesuchten Diagonalkreise unserer Kugelteilung.87

§ 17. Die Relief- und Theaterperspektive.

Um zwei Ebenen ε und ε₁ parallelperspektiv aufeinander zu beziehen88, genügt es gemäß § 5, 6 einem beliebigen Punkt P der Ebene ε einen beliebigen Punkt P₁ von ε₁ als entsprechenden zuzuweisen; die Verbindungslinie von P und P₁ bestimmt die Richtung der projizierenden Strahlen. Ferner schneiden sich gemäß Satz II von § 4 je zwei entsprechende Geraden g und g₁ beider Ebenen auf ihrer Schnittlinie s, die eine sich selbst entsprechende Gerade ist.

Fig 95

Wird die Ebene ε₁ um die Achse s in die Ebene ε hineingedreht, so wird g₁ im allgemeinen nicht mit g zusammenfallen. Es ist aber leicht, ein Paar entsprechender Geraden von ε und ε₁ zu finden, das diese Eigenschaft besitzt. (Fig. 95). Dazu braucht man nur, nachdem man ε₁ in ε hineingedreht hat, P₁ und P zu verbinden, so stellt diese Verbindungslinie ein Paar zusammenfallender Geraden dar. Ist nämlich G ihr Schnittpunkt mit s, so ist G = G₁ und die Geraden GP und G₁P₁ sind daher auch für die ursprüngliche Lage von ε und ε₁ entsprechende Geraden beider Ebenen. Wir bezeichnen sie durch p und p₁.

Auf diesen Geraden p und p₁ gibt es außer dem Punkt G = G₁ noch ein zweites Paar entsprechender Punkte, das bei der Vereinigung von ε₁ mit ε zusammenfällt, nämlich ihre unendlichfernen. Da wir es nämlich mit einer parallelperspektiven Beziehung zu tun haben, so sind (§ 6, I) die unendlichfernen Punkte von p und p₁ entsprechende Punkte beider Ebenen, andererseits ist klar, daß sie bei der Vereinigung von ε₁ mit ε zusammenfallen. Gibt es auf p und p₁ noch ein drittes Paar derartiger Punkte A und A₁, so müssen alle Paare entsprechender Punkte zusammenfallen; denn man hat GA = G₁A₁, und der zu p und p₁ gehörige Proportionalitätsfaktor ρ hat daher den Wert 1. Dies wollen wir jedoch ausdrücklich ausschließen; insbesondere wird also auch der Punkt P₁ nicht mit P zusammenfallen.

Sei jetzt Q irgendein Punkt von ε, so können wir durch ihn eine Gerade q parallel zu p legen. Dann ist auch q₁ parallel zu p₁, und da sich q und q₁ überdies in einem Punkt von s schneiden, so bilden auch q und q₁ ein Paar entsprechender Geraden, das bei der vereinigten Lage von ε und ε₁ zusammenfällt. Für die vereinigte Lage ist also q = q₁ eine Gerade, die sowohl den Punkt Q wie auch den Punkt Q₁ enthält und außerdem durch den unendlichfernen Punkt von p geht. Bezeichnen wir diesen Punkt noch durch S_∞, so ergibt sich nunmehr das folgende Resultat:

I. Die beiden vereinigt liegenden Ebenen ε und ε₁ sind so aufeinander bezogen, daß sich je zwei entsprechende Geraden auf der Achse s schneiden, und je zwei entsprechende Punkte auf einem durch ein festes Zentrum S_∞ gehenden Strahl liegen. Der Punkt S_∞ und jeder Punkt der Achse s entspricht sich selbst, ebenso jeder durch S_∞ gehende Strahl.89

Von den vereinigt liegenden Ebenen ε und ε₁ sagen wir auch jetzt, daß sie sich in parallelperspektiver Lage befinden, und nennen s die Achse und S_∞ das Zentrum der Perspektivität. Statt Perspektivität sind auch die Bezeichnungen kollineare Lage, Kollineationsachse und Kollineationszentrum im Gebrauch.

Um eine solche Beziehung zu vermitteln, konnten wir in der ursprünglichen Lage von ε und ε₁ ein Punktepaar P, P₁ beliebig einander zuweisen. Außerdem ist auch die Schnittlinie s als gegeben zu betrachten. Dies überträgt sich analog auf die vereinigte Lage. Hat man nämlich für die vereinigte Lage eine Achse s und ein Punktepaar P, P₁ beliebig ausgewählt, und wird dann die vereinigte Lage durch Auseinanderdrehen von ε und ε₁ um s als Achse zunächst wieder aufgehoben, so ist durch das Punktepaar P, P₁ eine Projektionsrichtung und damit eine parallelperspektive Beziehung vermittelt. Damit ist jedem Punkt der einen Ebene ein entsprechender der anderen zugewiesen, und dies bleibt bestehen, wenn wir die vereinigte Lage wieder herstellen. Da nun in der vereinigten Lage durch das Punktepaar P, P₁ auch der Punkt S_∞ bestimmt ist, können wir dies folgendermaßen als Satz aussprechen:

II. Um zwei vereinigte Ebenen ε und ε₁ in parallelperspektive Beziehung zubringen, kann mau die Achse s, das Zentrum S_∞ und auf irgendeinem durch S_∞ gehenden Strahl ein Paar entsprechender Punkte P und P₁ beliebig annehmen.

Unser Beweis ging so vor, daß wir die Ebenen ε und ε₁, um einen beliebigen Winkel auseinander drehten. Man kann daher fragen, ob die sich für die vereinigte Lage einstellende parallelperspektive Beziehung von diesem Winkel abhängt. Dies ist jedoch nicht der Fall; vielmehr ist die so hergestellte perspektive Beziehung der vereinigten Ebenen ε und ε₁ durch s, S_∞ und das Punktepaar P, P₁ eindeutig bestimmt. Um dies nachzuweisen, ist nur zu zeigen, daß sich zu einem gegebenen Punkt Q von ε der zugehörige Punkt Q₁ von ε₁ eindeutig konstruieren läßt (Fig. 95). Man ziehe hierzu durch Q die Gerade q parallel zur Geraden p = PP₁ und außerdem die Gerade QP; ist G ihr Schnitt mit s, so liegt Q₁ erstens auf q₁ = q und zweitens auf der Geraden g₁ = GP₁, die der Geraden g = GP entspricht. Damit ist Q₁ eindeutig bestimmt und der Beweis geliefert.

Sei endlich e eine durch P gehende Gerade von ε, die zu s parallel ist, also durch den unendlichfernen Punkt von s geht, so entspricht ihr in ε₁ eine Gerade e₁, die ebenfalls durch diesen Punkt geht, also ebenfalls zu s parallel ist. Jeder zu s parallelen Geraden der einen Ebene entspricht also eine ebensolche Gerade der anderen. Unter den zu s parallelen Geraden von ε befindet sich insbesondere auch die unendlichferne Gerade h_∞ von ε; ihr entspricht daher eine zu s parallele Gerade h₁ von ε₁, und ebenso gibt es in ε eine zu s parallele Gerade k; die der unendlichfernen Geraden von ε₁ entspricht. Wir finden so die Resultate wieder, die wir analog schon in § 7 abgeleitet haben.

Fig 96

Wir unterwerfen die Ebene ε nunmehr der in § 2 erörterten Abbildung, und zwar in der Weise, daß die Ebenen ε und ε' sich in der Achse s schneiden mögen.90 Dabei entspricht dem Punkt S_∞ der Ebene ε ein auf dem Horizont von ε' liegender Fluchtpunkt S, und wir erhalten für die Bildebene ε' unmittelbar folgenden Tatbestand. In ihr befinden sich zwei Ebenen ε' und ε'₁ in der Weise in vereinigter Lage, daß je zwei entsprechende Punkte P' und P'₁ auf einem durch S gehenden Strahl liegen, und je zwei entsprechende Geraden g' und g'₁ sich auf der Achse s schneiden. Der Punkt S und jeder Punkt der Achse s entspricht sich wieder selbst. Auch jetzt sagen wir, daß sich ε' und ε'₁ in perspektiver oder kollinearer Lage befinden, und nennen s die Achse und S das Zentrum der perspektiven oder kollinearen Lage. Auch von dem Satz II erkennen wir leicht, daß er sich auf diesen allgemeineren Fall der perspektiven Lage überträgt. Wird nämlich (Fig. 96) in der Ebene ε' eine Gerade s, ein Punkt S und auf einem durch S gehenden Strahl ein Punktepaar P', P'₁ beliebig angenommen, so können wir die Ebene ε' so als Bildebene einer Ebene ε auffassen, daß sich ε und ε' in s schneiden, und daß dem Punkt S in ε ein unendlichferner Punkt S_∞ entspricht; man hat hierzu das perspektive Zentrum S₀, das die Beziehung von ε und ε' vermittelt, nur so zu wählen, daß der Horizont von ε' durch S geht. Wir haben also den Satz:

III. Um für zwei vereinigte Ebenen ε' und ε'₁ eine perspektive Lage herzustellen, kann man die Achse s und das Zentrum S der Perspektivität, sowie auf einem durch S gehenden Strahl ein Paar entsprechender Punkte P' und P'₁ beliebig annehmen.

Gemäß § 4 gehen bei jeder perspektiven Beziehung zweier Ebenen ε und ε' Geraden, die der Achse s parallel sind, in Geraden über, die ebenfalls zu s parallel sind. Betrachtet man daher die in ε liegenden zu s parallelen Geraden einerseits als Geraden von ε und andererseits als Geraden von ε₁ so sind die ihnen entsprechenden Geraden von ε' und ε'₁ ebenfalls sämtlich zu s parallel; wir folgern also, daß allen zur Achse parallelen Geraden von ε' die zu s parallelen Geraden von ε'₁ entsprechen.

Hieraus ziehen wir zwei Folgerungen. Erstens gibt es wieder in ε' eine zu s parallele Gerade h', die der unendlichfernen Geraden von ε'₁ entspricht, und in ε'₁ eine zu s parallele Gerade k'₁, die der unendlichfernen Geraden von ε' entspricht. Wir wollen sie wieder als Fluchtlinien bezeichnen, und zwar h' als Fluchtlinie von ε' und k'₁ als Fluchtlinie von ε'₁. Eine zweite Folgerung fließt aus der überlegung, daß insbesondere auch die beiden parallelen Geraden einander entsprechen müssen, die durch P' und P'₁ gehen. Wir können daher den Satz III so abändern, daß wir die Punkte P' und P'₁ durch irgend zwei einander entsprechende zu s parallele Geraden von ε' und ε'₁ ersetzen. Ein solches Paar entsprechender Geraden wird insbesondere durch die Fluchtlinie der einen Ebene und die unendlichferne Gerade der anderen gebildet, und so erhalten wir schließlich den Satz:

IV. Um für zwei vereinigte Ebenen ε' und ε'₁ die perspektive Lage herzustellen, kann man die Achse s und das Zentrum S der Perspektivität, sowie eine zu s parallele Gerade als Fluchtlinie der einen Ebene beliebig wählen.

Das Vorstehende wollen wir nun sinngemäß auf den Raum übertragen. Doch mag es genügen, die tatsächlichen Verhältnisse, soweit sie hier in Frage kommen, darzustellen. Ihre volle Analogie mit den Sätzen der Ebene mag für ihre Richtigkeit sprechen.

Fig 97

Wir denken uns zunächst den Raum doppelt, bezeichnen den einen durch Σ, den anderen durch Σ₁, und wollen Σ und Σ₁ in der Weise einander zuordnen, daß an die Stelle des Punktes S und der Achse s ein Punkt S und eine Ebene σ von analoger Eigenschaft treten. Es soll also jeder Punkt von σ sich selbst entsprechen, und es sollen je zwei entsprechende Punkte auf einem durch S gehenden Strahl liegen. Ist daher ε irgendeine Ebene von Σ, so müssen sich ε und ε₁ in einer Geraden von σ schneiden, und ist g eine Gerade von Σ, so müssen sich auch die Geraden g und g₁ in einem Punkt von σ treffen. Diese Beziehung von Σ und Σ₁ läßt sich auch hier so bewirken, daß wir (Fig. 97) den Punkt S, die Ebene σ sowie ein Paar entsprechender Punkte P und P₁ auf einem durch S gehenden Strahl p = p₁ beliebig annehmen. Man kann nämlich zu einem Punkt Q von Σ den entsprechenden Punkt Q₁ von Σ₁ ganz analog konstruieren, wie oben. Zieht man zunächst den Strahl QS = q, so muß wegen q = q₁ der Punkt Q₁ auf ihm liegen. Wird ferner durch Q und P die Gerade y gezogen, und ist G ihr Schnitt mit σ, so ist G = G₁, also geht g₁ durch G und P₁, ist also konstruktiv bestimmt und enthält ebenfalls den Punkt Q₁.

Es ist nur noch zu zeigen, daß sich die beiden Geraden q₁ und g₁, die den Punkt Q₁ bestimmen sollen, wirklich schneiden. Dies tun sie aber in der Tat, da alle hier benutzten Geraden p, q, g und g₁ in einer und derselben Ebene liegen, und zwar in derjenigen, die durch p und q bestimmt ist.91

Von den so aufeinander bezogenen Räumen Σ und Σ₁ sagen wir wiederum, daß sie sich in perspektiver oder kollinearer Lage befinden, und nennen S das Zentrum und σ die Ebene der Perspektivität oder Kollineation. Dann besteht der Satz:

V. Um zwei Räume Σ und Σ₁ perspektiv aufeinander zu beziehen, kann man das Zentrum S und die Ebene σ der Perspektivität, sowie auf einem durch S gehenden Strahl ein Paar entsprechender Punkte P und P₁ beliebig annehmen.

Fig 98

Wie oben, folgern wir auch hier, daß der Ebene π, die durch P geht und parallel zu σ liegt, eine durch P₁ gehende zu σ parallele Ebene π₁ entspricht, daß ferner jeder zu σ parallelen Ebene des einen Raumes eine ebenfalls zu σ parallele Ebene des anderen Raumes entspricht, und daß man die perspektive Beziehung auch in der Weise herstellen kann, daß man irgendein Paar von Ebenen, die zu σ parallel sind, in Σ und Σ₁ einander entsprechen läßt. Insbesondere entspricht auch wieder der unendlichfernen Ebene η_∞ von Σ in Σ₁ eine zu σ parallele Fluchtebene η₁ und der unendlichfernen Ebene von Σ₁ eine zu σ parallele Fluchtebene von Σ, und man kann die perspektive Beziehung auch mittels eines dieser Ebenenpaare festlegen (Fig. 98). Also folgt:

VI. Um zwei Räume Σ und Σ₁ perspektiv aufeinander zu beziehen, kann man das Zentrum S und die Ebene σ der Perspektivität, sowie eine zu σ parallele Ebene als Fluchtlinie des einen Raumes beliebig auswählen.

Dies sind die Tatsachen, die der geometrischen Theorie der Reliefperspektive und der Theaterperspektive zugrunde liegen.

Eine auf dem Vorstehenden beruhende Reliefdarstellung hat so zu geschehen, daß der darzustellende Körper R dem Raum Σ angehört, während sein Bild R₁ Teil des Raumes Σ₁ ist. Sie ist ferner so herzustellen, daß das perspektivische Zentrum S das Auge des Beschauers vorstellt, und die Ebene, auf der sich das Relief R₁ erhebt, die Fluchtebene η₁ des Raumes Σ₁ ist. Dies bewirkt, daß das Relief unendliche Tiefenausdehnung zu besitzen scheint; es ist ja das Abbild eines sich bis zur unendlichfernen Ebene η_∞ von Σ erstreckenden Raumteils. Die Perspektivitätsebene σ, die die Räume Σ und Σ₁ entsprechend gemeinsam haben, befindet sich zwischen dem Auge S und der Ebene η₁; das Relief R₁ selbst ist ganz zwischen den Ebenen σ und η₁ enthalten. Je näher also das Relief R₁ der Ebene σ kommt, um so geringer ist die Verzerrung, die seine obersten Teile erleiden. Aus unserem allgemeinen Satz folgt noch, daß S, σ, η₁ beliebig wählbar sind, daß aber mit ihnen die Abbildung bestimmt ist.92

Es ist klar, daß eine so ausgeführte Reliefdarstellung nur auf ein in S befindliches Auge einen guten bildmäßigen Eindruck machen würde. Aus diesem Grunde stützt sich die Darstellung, die der Künstler schafft, teilweise auf andere Grundlagen, und zwar wesentlich auf künstlerische Motive; sie ist weit mehr, als die malerische Darstellung, durch Rücksichten anderer Art bedingt. Immerhin wird die Kenntnis der oben dargelegten geometrischen Gesetze dem Beschauer das Beschauen des Reliefs erleichtern.

ähnlich steht es mit den geometrischen Gesetzen, die für die Herstellung der Theaterkulissen die Grundlage bilden. Hier stellt der Vorhang die Ebene σ dar, in der die wirkliche Welt und die Bühnenwelt zusammenstoßen; S ist wieder das Auge des Zuschauers. Soll der Eindruck entstehen, daß sich die Bühnentiefe bis ins Unendliche erstreckt, so muß ihr Hintergrund die Fluchtebene darstellen; so wird erreicht, daß die Bühne als Bild des ganzen Raumes erscheinen kann, der sich vom Vorhang aus ins Unendliche ausdehnt. Sollen die Bühnenkulissen nur einen endlichen Teil dieses Raumes vorstellen, so hat man die Fluchtebene in geeigneter Entfernung hinter die Bühne zu verlegen, und die einzelnen Kulissen so zu zeichnen, wie es diejenige Perspektive Darstellung erfordert, die der angenommenen Lage des Auges S, dem Vorhang als Ebene σ und der gewählten Lage der Fluchtebene η₁ entspricht. Daß es sich auch hier nur um gewisse allgemeine Grundlagen handeln kann, und daß der bildliche Eindruck des Beschauers überdies von seiner Stellung zur Bühne abhängt, ist klar. Immerhin darf man die Tatsache nicht außer acht lassen, daßauf den Seiten- und Deckenkulissen die Bilder aller parallelen Geraden nach der Fluchtebene konvergieren müssen. Für ihre richtige Zeichnung ist die angenommene Lage der Fluchtebene hier ebenso entscheidend, wie bei der ebenen malerischen Darstellung.

Anhang.

S. 3. Das Auge enthält mehrere brechende Flächen. Die es durchdringenden Strahlen unterliegen daher den allgemeinen Gesetzen, die Gauß über solche Systeme abgeleitet hat.93 Dies bewirkt, daßes nicht einen, sondern zwei Knotenpunkte K₁ und K₂ gibt, durch die alle von P ausgehenden Strahlen hindurch gehen; der geradlinige Strahl PKP_n ist daher genauer durch einen gebrochenen Linienzug PK₁K₂P_n zu ersetzen, und zwar sind PK₁ und K₂P_n parallele Geraden, während K₁K₂ mit ihnen einen Winkel bildet. Es ist K₁K₂ = 0,416 .. mm. Die Lage des Knotenpunktes hängt außerdem von der Entfernung des Punktes P vom Auge ab; das Auge oder vielmehr die Lage der lichtbrechenden Medien akkommodiert sich nämlich stets so, daß gerade die von diesem Punkt ausgehenden Lichtstrahlen sich auf der Netzhaut vereinigen.

S. 4. Hier kommen insbesondere folgende Tatsachen in Betracht. Die Wahrnehmung der räumlichen Objekte kommt durch die Gesichtseindrücke zweier Augen zustande; bekanntlich ist die richtige Beurteilung der Entfernung der Objekte zu einem erheblichen Teil durch das binokulare Sehen bedingt.94 Dagegen wird das Bild nur mit Rücksicht auf ein einziges Auge hergestellt. Da die Herstellung des Bildes so erfolgt, daß wir die sämtlichen Sehstrahlen mit der Bildebene zum Schnitt bringen, so wird damit von selbst eine bestimmte Stellung des Auges und des Gegenstandes zur Bildebene vorausgesetzt. Das Auge vermag aber die Treue des Bildes auch dann noch zu erkennen, wenn es seine Stellung zur Bildebene ändert; freilich wird sich diese Änderung in gewissen Schranken halten müssen, damit der gute Eindruck erhalten bleibt.95 Durch diesen Umstand wird die Zweckmäßigkeit der zeichnerischen Annahmen bedingt, die für die gegenseitige Stellung des Auges und des Körpers Σ zur Bildebene maßgebend sind (vgl. § 3). Das Akkommodationsvermögen des Auges muß auch deshalb helfend eintreten, weil die Knotenpunkte der Sehstrahlen, die einerseits vom Körper Σ und andererseits vom Bild Σ' ins Auge gelangen, gemäß der vorstehenden Anmerkung tatsächlich verschieden voneinander sind. Die Lage des Knotenpunkts hängt nämlich von der Entfernung des betrachteten Gegenstandes vom Auge ab; Bild und Gegenstand haben aber verschiedenen Abstand vom Auge.

S. 7. Das Auge ist stets geneigt, Geraden, die im Bilde einen Schnittpunkt haben, einen solchen auch in der Wirklichkeit beizulegen. Die vorn genannte Zeichnungsart soll daher vor der Entstehung unrichtiger Vorstellungen bewahren; sie erreicht dies besonders dadurch, daß sie den Sachverhalt im Bilde etwas übertreibt und dadurch die Aufmerksamkeit steigert.96

S. 25. Da der Desarguessche Satz in neuerer Zeit durch Hilberts Untersuchungen (Grundlagen der Geometrie, Leipzig, 2. Aufl., 1903) eine erhöhte Wichtigkeit erlangt hat, mögen hier einige Ausführungen über ihn folgen. Er folgt unmittelbar aus den grundlegenden Tatsachen des Schneidens und Verbindens für Punkte, Gerade und Ebene (a. a. O. S. 2ff). Ferner steht er sich selbst dualistisch gegenüber; man beweist daher ganz analog, daß Dreiecke, deren Seiten die in ihm genannte Eigenschaft besitzen, so liegen, daß die Verbindungslinien ihrer Ecken durch einen Punkt gehen. Von den beiden Eigenschaften, daß die Ecken auf drei Strahlen durch einen Punkt liegen, und daß die Seiten sich in drei Punkten einer Geraden schneiden, zieht also die eine die andere nach sich. Da die Figur, die man zum Desarguesschen Satz zeichnet, eine ebene Figur ist, so gilt dies alles auch für die in dieser Figur enthaltenen derselben Ebene angehörigen Dreiecke. Ob es aber auch für je zwei analoge Dreiecke einer Ebene gilt, bedarf der Untersuchung. Den Beweis kann man zunächst unmittelbar dem Grundsatz der Axonometrie in § 14 entnehmen, wie aus dem dort durchgeführten Beispiel 4 hervorgeht. Man kann ihn aber auch mittels seiner Schnittpunktsätze ableiten; indem man im Raum eine Desarguessche Figur konstruiert, deren Projektionen die ebenen Dreiecke sind. Einen Beweis findet man z. B. bei F. Enriques, Vorlesungen über projektive Geometrie, Leipzig, 1903, § 10. Endlich hat Hilbert gezeigt, daß der Desarguessche Satz für eine ebene Geometrie, in der die grundlegenden Sätze des Schneidens und Verbindens gelten, nicht erfüllt zu sein braucht, wenn man nur in der Ebene operiert; also von allen räumlichen Konstruktionen absieht (a. a. O. S. 49).

S. 35. Der Umstand, daß man der Ebene ε' noch eine beliebige Neigung gegen ε geben darf, beruht darauf, daß zwei parallelperspektiv bezogene Ebenen in dieser Beziehung verbleiben, wenn man sie um die Perspektivitätsachse dreht; nur die Richtung der projizierenden Strahlen erfährt dabei eine Änderung. Einen Beweis enthalten die Ausführungen von § 17.

S. 38. Die Sätze, die hier in Frage kommen, sind die des Schneidens und Verbindens (vgl. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, Leipzig, 2. Aufl., 1903, S. 2). Allerdings müßten auch die Sätze der Anordnung (a. a. O. S. 4) in ähnlicher Weise berücksichtigt werden; doch sind diese Begriffe vorher so zu formulieren, daß sie sich auf geschlossene Kurven, wie z. B. den Kreis beziehen. Gemäß § 7 bildet ja die Gerade eine geschlossene Kurve.

S. 40. Die Vervollkommnung unserer geometrischen Raumauffassung, die durch die konsequente Einführung der uneigentlichen, unendlichfernen Elemente bewirkt wird, verdanken wir wesentlich J. V. Poncelet, den wir überhaupt als den eigentlichen Begründer der projektiven Denkweise zu betrachten haben. Sie ist in seinem Traité des propriétés projectives des figures, Paris 1822 (2. Aufl., 1865) enthalten; vgl. besonders § 49 ff. Die Notwendigkeit, für die so eingeführten Elemente das Bestehen der grundlegenden Schnittpunktsätze zu erweisen, erkannte wohl zuerst G. K. Gh. v. Staudt; vgl. seine Geometrie der Lage, Nürnberg 1847, p. 23. Den Ausdruck Permanenz der Grundgesetze entnehme ich H. Hankel, der ihn auf arithmetischem Gebiet (Permanenz der formalen Gesetze) zu dem gleichen Zweck und mit der gleichen Bedeutung einführte. Vgl. Theorie der komplexen Zahlsysteme, Leipzig 1867, p. 10.

S. 74. Bei Bildern, die man frei nach der Natur entwirft, pflegt man so zu verfahren, daß man die Fluchtpunkte der einzelnen Geraden oder Richtungen durch wirkliches Visieren ermittelt. Man stellt dazu das Auge auf den unendlichfernen Punkt der Geraden ein und fixiert zugleich den Durchdringungspunkt der Sehrichtung mit der Bildebene.

S. 117. Die Gleichwertigkeit dieser Methode mit der von § 12 beruht auf der Relativität aller Bewegung. Die Drehung des Dodekaeders gegen die Aufrißebene kann man so mitmachen, daß man sich in die Aufrißebene oder auch in das Dodekaeder hineinbegibt. Dem ersten Fall entspricht eine Drehung des Dodekaeders gegen die als fest erscheinende Aufrißebene, dem zweiten die Einführung einer neuen Aufrißebene bei fest bleibendem Dodekaeder.

S. 137. Das Kubooktaeder gehört, wie auch das Rhombendodekaeder zu der großen Klasse der sogenannten Kristallformen. Alle Kristallformen pflegt man axonometrisch zu zeichnen. Vielfach sind sie nur so bestimmt, daß man für jede ihrer Flächen ihre „Indizes“kennt, das sind die reziproken Werte der von ihnen auf den axonometrischen Achsen abgeschnittenen Stücke (ihre Ebenenkoordinaten im Sinne der analytischen Geometrie). Aus ihnen sind die Kristallformen zu zeichnen, und zwar so, daß man jede Kante als Schnittlinie der beiden Ebenen konstruiert, die durch sie hindurchgehen. Das allgemeine Prinzip, nach dem man dies auszuführen hat, ist das folgende. Wir wollen die drei Geraden, die axonometrisch die drei Grundrichtungen darstellen, als x-, y-, z-Achse bezeichnen. Sind dann ε und ε' zwei Ebenen, die eine Kante k bestimmen, so sind mit den Indizes dieser Ebenen zugleich ihre Schnittpunkte mit den drei Grundrichtungen und damit auch ihre Spuren in den drei Grundebenen gegeben. Sind E_x, E_y, E_z und E_x', E_y', E_z' die Schnittpunkte, so schneiden sich die Spuren E_yE_z und E_y'E_z' in einem in der yz-Ebene enthaltenen Punkt der Kante k, und ebenso liefern E_xE_z, und E_x'E_z' sowie E_xE_y und E_x'E_y' je einen Punkt von k. Damit ist auch k selbst bestimmt. Naturgemäß handelt es sich bei diesen Konstruktionen immer um die geeignete Auswahl derjenigen Kanten, die man zuerst zeichnet und mit denen man die übrigen der Reihe nach bestimmt. Es empfiehlt sich, das Rhombendodekaeder auch aus den Spuren seiner Flächen herzustellen.

S. 156. Die Geometrie, die durch stereographische Projektion in der Ebene entsteht, ist genau genommen eine Geometrie, in der die Punkte und Kreise die Elementargebilde darstellen (Kreisgeometrie). Analog ist ja auch die Kugelfläche Träger einer derartigen Geometrie. Die Geraden der Ebene kommen daher nur als Grenzfälle von Kreisen in Betracht.

S. 162. Die stereographische Projektion wird besonders benutzt, um die Eigenschaften der Kugelteilung und die an sie anschließenden Satze der Funktionentheorie zu illustrieren. Auch für die Zwecke der Kristallographie wird sie aus diesem Grunde vielfach verwendet.

Von A. Schoenflies erschien ferner im fleichen Verlage:

Die Entwicklung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten.

Bericht, erstattet der Deutschen Mathematiker-Vereinigung.

In zwei Teilen, gr. 8. Geh.

Teil I: [V u. 251 S.] 1900. n. M. 8.–

Teil II: Mit 26 Figuren. [X u. 431 S.] 1908. n. M. 12.–

Die Mengenlehre hat sich längst als ein unentbehrliches Hilfsmittel fast der gesamten höheren Mathematik erwiesen; Analysis und Geometrie haben ihren befruchtenden Einfluß in gleicher Weise erfahren. Sie hat unsere Anschauung geklärt, unser mathematisches Denken vertieft und überall außerordentliche Resultate gezeitigt.

Von dieser Erkenntnis aus hat die Deutsche Mathematiker-Vereinigung vor einer Reihe von Jahren den Verfasser aufgefordert, den damals noch zerstreuten Stoff zu sammeln und einheitlich zu verarbeiten. Dies ist durch den obigen Bericht in ausführlicher und eingehender Weise geschehen: Wenn auch knapp gehalten, soll er den Suchenden in lesbarer Weise über Probleme und Resultate orientieren. An verschiedenen Stellen hat der Verfasser die Behandlung der Probleme selbständig weiterzuführen versucht.

Der erste Teil, der 1900 erschien, enthält die allgemeinen Sätze der Mengenlehre, die Theorie der Punktmengen und ihre Anwendung auf die Analysis der reellen Funktionen. Der zweite, 1908 erschienene, enthält, von einigen Zusätzen zum ersten Teil abgesehen, wesentlich die Anwendungen auf die Geometrie. Die mengentheoretische Klärung der geometrischen Grundbegriffe ist nur sehr allmählich erfolgt; erst jetzt war sie so weit fortgeschritten, daß wenigstens ein Teil einer zusammenhängenden Darstellung fähig wurde. Es ist derjenige, der im Mittelpunkt der Analysis Situs steht und zugleich die Hilfsmittel für den Aufbau der Riemannschen Funktionentheorie bildet; in ihm kommen wesentlich die gestaltlich invarianten Eigenschaften der geometrischen Gebilde zum Ausdruck, insbesondere diejenigen, die den Kurvenbegriff und die Kurvenmengen betreffen.

Wenn der Bericht auch auf absolute Vollständigkeit keinen Anspruch machen kann, ist ihm doch ein abgerundeter, umfassender Inhalt gegeben worden.

Geometrie der Bewegung in synthetischer Darstellung.

Mit Figuren im Text. [VI u. 195 S.] gr. 8. 1886. Geh. n. M. 4.–

Das Buch gibt die Geometrie der Bewegung auf rein geometrischer Basis, ohne Sätze über Geschwindigkeit und Beschleunigung der bewegten Punkte zu benutzen, indem die Gestalt der durch Bewegung entstehenden Raumgebilde, mit deren Eigenschaften sich die Geometrie der Bewegung beschäftigt, einzig und allein von dem Gesetz abhängt, nach welchem die Bewegung vor sich geht, d.h. von den verschiedenen Lagen, welche der bewegliche Körper der Reihe nach im Raume einnimmt, und nicht von der größeren oder geringeren Geschwindigkeit, mit der die Bewegung vor sich geht. Dabei erscheint die Geometrie der Bewegung als ein spezieller Zweig der synthetischen Geometrie, indem in der Tat die projektive Beziehung der Lagen, in welche der bewegliche Körper der Reihe nach gelangt, eine einfache Ableitung der darzustellenden Lehren gestattet.

Kristallsysteme und Kristallstruktur.

Mit 73 Figuren im Text. [XII u. 639 S.] gr. 8. 1891. Geh. n. M. 12.–

Der erste Teil der Schrift gibt eine konsequente und möglichst einfache Ableitung der 32 durch ihre Symmetrie voneinander verschiedenen im ganzen möglichen Kristallsysteme. Die Hilfsmittel der Darstellung sind hierbei durchaus elementar, zu ihnen gehört vor allem der Gruppenbegriff, der, wenn auch erst jüngeren Datums, doch zu den einfachsten Grundbegriffen der Mathematik zählt.

Der zweite Teil enthält eine ausführliche Erörterung der Theorien der Kristallstruktur auf Grund der Hypothese, daß die Struktur der Kristalle ihren Ausdruck in der regelmäßigen Anordnung der Kristallmolekeln findet. Es ergibt sich, daß geometrisch noch zwei Theorien im Rahmen dieser Hypothese möglich sind, die sich an die Namen Bravais bzw. Wiener und Sohncke knüpfen.

Verlag von B. G. Teubner in Leizig und Berlin.

Beyel, Dr. Chr.:

Privatdozent an dem eidgenössischen Polytechnikum zu Zürich, darstellende Geometrie. Mit einer Sammlung von 1800 Dispositionen zu Aufgaben aus der darstellenden Geometrie. Mit 1 Tafel. [XII u. 189 S.] gr. 8. 1901. In Leinwand geb. n. M. 3.60.

Burmester, Dr. L.:

Professor an der Kgl. Technischen Hochschule zu München, Theorie und Darstellung der Beleuchtung gesetzmäßig gestalteter Flächen, mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse technischer Hochschulen. 2. Ausgabe. Mit einem Atlas von 14 lithogr. Tafeln (in qu. Fol. in Mappe). [XVI u. 386 S.] gr. 8. 1875. Geh. n. M. 8.– Grundzüge der Reliefperspektive nebst Anwendung zur Herstellung reliefperspektivischer Modelle. Als Ergänzung zum Perspektiv-Unterricht an Kunstakademien, Kunstgewerbeschulen und technischen Lehranstalten bearbeitet. Mit 3 lithograph. und 1 Lichtdrucktafel. [IV u. 30 S.] gr. 8. 1883. Geh. n. M. 2.–

v. Dalwigk, Prof. Dr. F.:

Privatdozent an der Universität Marburg a. L., Vorlesungen über darstellende Geometrie. 2 Bände. Mit zahlreichen Figuren im Text und mit Tafeln, gr. 8. 1908. In Leinw. geb. [Band I erscheint im Oktober 1908.] Der erste Band behandelt die Parallelprojektion. Den größten Umfang nimmt die Orthogonalprojektion mit Grund und Aufriß ein, dann folgen die schiefe Parallelperspektive und ein kurzer Aufriß der Axonometrie. Kotierte Projektion und Beleuchtangslehre sind neben einigen anderen kleinen Kapiteln in den Anhang verwiesen. Der zweite Band bringt die wesentlichen Methoden der malerischen Perspektive, dann (kürzer) die freie Perspektive und die ebene Zentralkollineation mit Anwendungen auf die Kegelschnitte als Kreisprojektionen. Den Schluß bilden die Grundzüge der Reliefperspektive und der Photogrammetrie.–Über die Vorlesungen des Verfassers und damit auch über den Inhalt und die Anordnung des Buches finden sich nähere Angaben im Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung, 1906 S. 349 ff., besonders 354-57. Übrigens bildet das Buch nur einen Teil von „geometrischen Vorlesungen aus der reinen und angewandten Mathematik“, von denen zunächst zwei weitere Bande rasch folgen sollen.

Fiedler, Dr. W.:

vorm. Professor am eidgenössischen Polytechnikum zu Zürich, die darstellende Geometrie in organischer Verbindung mit der Geometrie der Lage. Für Vorlesungen und zum Selbststudium. 3 Teile, gr. 8. Geh. n. M. 40.30, geb. n. M. 43.80. I. Teil: Die Methoden der darstellenden Geometrie und die Elemente der projektivischen Geometrie. 4. Auflage. Mit zahlreichen Figuren im Text und auf 2 lithogr. Tafeln. [XXIV u. 431 S.] 1904. Geh. n. M. 10.–, in Leinwand geb. n. M. 11.– II. Teil: Die darstellende Geometrie der krummen Linien und Flächen. 3. Auflage. Mit zahlreichen Figuren im Text und 16 lithogr. Tafeln, [XXXIII u. 560 S.] 1885. Geh. n. M. 14.–, in Leinwand geb. n. M. 15.40. III. Teil: Die konstruierende und analytische Geometrie der Lage. 3. Auflage. Mit zahlreichen Figuren im Text und l lithogr. Tafel. [XXX u. 660 S.] 1888. Geh. n. M. 16.–, in Leinwand geb. n. M. 17.40.

Hempel, J.:

Lehrer an der staatlichen Baugewerkschule zu Hamburg, Schattenkonstruktionen. Für den Gebrauch an Baugewerkschulen und ähnlichen Lehranstalten sowie zum Selbstunterricht. Mit 51 Textfiguren und 20 Tafeln praktischer Beispiele in Lichtdruck. [IV u. 60 S.] quer Folio. 1906. In Leinw. geb. n. M. 5.– Von der Voraussetzung ausgehend, daß ganz allein ein klares sicheres Erfassen des Raumvorgangs den praktischen Zeichner zum schnellen und bewußt sicheren Konstruieren befähigen kann, nicht etwa auswendig gelernte Gesetze oder Beweise noch auch mechanisch eingeprägte Lösungen, gibt der Verf. in dem Werkchen nach einem einleitenden Text mit 61 Fig. zu, 20 Tafeln mit zahlreichen praktischen, dem Baugewerbe entnommenen übungsbeispielen kurze Erläuterungen der angewandten Lösungsverfahren unter möglichster Vermeidung verwirrender Ziffern und Buchstabenbezeichnungen.–Den parallelprojektiven Schattenkonstruktionen ist, den Forderungen der Praxis Folge leistend, noch eine kleinere Gruppe perspektivischer Schattenkonstruktionen, die zugleich das Wichtigste über Linearperspektive enthält, angefügt.

Holzmüller, Prof. Dr. G.:

vorm. Direktor der Provinzialgewerbeschule zu Hagen i. W., Einführung in das stereometrische Zeichnen, Mit Berücksichtigung der Kristallographie und Kartographie. Mit 16 lith. Tafeln. [VI u. 102 S.] 1886. gr. 8. Kart. n. M. 4.40.

Loria, Dr. G.:

Professor an der Universität Genua, Vorlesungen über darstellende Geometrie. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe von Fr. Schütte, Oberlehrer am Gymnasium zu Düren. In 2 Teilen. I. Teil: Die Darstellungsmethoden. Mit 163 Figuren im Texte. [XI u. 219 S.] gr. 8 1907. In Leinwand geb. n. M. 6.80. Das vorstehende Werk über darstellende Geometrie, aus mehrjährigen Vorlesungen des Verfassers hervorgegangen, setzt nur elementare Kenntnisse der projektiven und analytischen Geometrie voraus. Der zunächst vorliegende erste Band behandelt die Darstellungsmethoden. Er beginnt mit einem kurzen Abriß der Geometrie des Zirkels und der Geometrographie und geht dann in den drei ersten Büchern zur Darlegung der Methoden der Orthogonalprojektion, Zentralprojektion und kotierten Ebenen über. Jede dieser Darstellungsmethoden wird in umfangreicher Weise zur Lösung der wichtigsten Aufgaben über Punkte, Geraden und Ebenen herangezogen. Das 4. Buch behandelt die Axonometrie, das 5., zum erstenmal in einem elementaren Lehrbuche, die Photogrammetrie.

Müller, Dr. C. H.:

Professor am Kgl. Kaiser-Friedrichs-Gymnasium zu Frankfurt a.M., und O. Presler, Professor an der Städtischen Oberrealschule zu Hannover, Leitfaden der Projektionslehre. Ein Übungsbuch der konstruierenden Stereometrie. Ausgabe A.: Vorzugsweise für Realgymnasien und Oberrealschulen. Mit 233 Figuren im Text. [VIII u. 320 S.] gr. 8. 1903. Geb. n. M. 4.– Ausgabe B.: Für Gymnasien und sechsstufige Realanstalten. Mit 122 Figuren im Text [VI u. 138 S.] gr. 8. 1903. Geb. n. M. 2.–

Müller, Dr. E.:

Professor an der k.k. Technischen Hochschule zu Wien, Lehrbuch der darstellenden Geometrie für technische Hochschulen. In 2 Bänden. I. Band.: Mit 273 Figuren und 3 Tafeln. [XIV u. 368 S.] gr. 8. 1908 In Leinwand geb. n. M. 12.– Der vorliegende erste Band behandelt auf Grund der Darstellung durch zugeordnete Normalrisse (Orthogonalprojektion auf zwei zueinander senkrechte Ebenen) die Elementaraufgaben und die Kurven und Flächen (abwickelbare Flächen, Kugelfläche, Dreh- und Schraubenflächen, windschiefe und „graphische“ Flächen), während die kotierte Projektion, Dachausmittlung Axonometrie, schiefe Projektion und Perspektive den Inhalt des zweiten Bandes bilden werden, Die Anpassung an das praktische technische Zeichnen zeigt sich in dem vorliegenden Bande. unter anderem darin, daß das Konstruieren mit Hilfe von Auf- und Kreuzriß stets mitberücksichtigt, die Verwendung der Projektionsachsen und damit der Spurelemente von Geraden und Ebenen vermieden wird, daß ferner bei zahlreichen Konstruktionen möglichst mit einem Rißgearbeitet oder, besser gesagt, die verwendeten anderen Risse in jenen hineingelegt werden. Das Konstruieren der Schatten an technischen Gegenständen liefert, neben deren axonometrischer Darstellung, wohl den besten Übungsstoff zur Ausbildung in der räumlichen Vorstellung in der beabsichtigten Richtung. Hauptsächlich aus diesem Grunde, neben ihrer praktischen Anwendung, erfahren die Schattenkonstruktionen eine eingehendere Behandlung als sonst in Lehrbüchern ähnlichen Umfangs. Obgleich das Buch mit den Elementen beginnt, so wird doch eine vorangegangene Beschäftigung mit dem Gegenstand, also eine gewisse Denk- und Konstruktionsfertigkeit, vorausgesetzt. Der Verfasser war bestrebt, soweit es die mathematische Vorbildung des angehenden Technikers zulaßt, allgemeine Methoden zu verwenden und höhere Gesichtspunkte zu gewinnen.

Richter, Dr. O.:

, Oberlehrer am König-Albert-Gymnasium zu Leipzig, Kreis und Engel in senkrechter Projektion. Für den Unterricht und zum Selbststudium. Mit 147 Figuren im Text. [X u. 188 S.] gr. 8. 1908. Geh. n. M. 4.40, in Leinwand geb. n. M. 4.80. Angesichts des oft und seit langem beklagten Übelstandes, daß die für die Schulung des Baumanschauungsvermögens so wichtige Darstellung der Kugel und ihrer Kreise nicht nur im stereometrischen Unterrichte hintangesetzt, sondern sogar in der darstellenden Geometrie wenig gepflegt und selbst schematisiert wird, hat der Verfasser den Versuch gemacht, eine Anzahl der in der Raumlehre häufig auftretenden Körper in allgemeiner Lage gezeichnet darzubieten und die genaue Bildherstellung zu begründen und unter Hinweis auf die obwaltenden mathematischen Beziehungen und bei möglichster Beschränkung auf eine einzige Bildtafel, um die Verwendung der Konstruktionen im Unterrichte zu erleichtern. Dabei sind außer der Kugel nicht nur Zylinder und Kegel, sondern auch andere aus Kugel, Zylinder und Kegel ableitbare Raumgebilde berücksichtigt worden, z. B. Prismen und Pyramiden, Platonische und Archimedische Körper nebst einigen Durchdringungen. Die rechtwinklige Axonometrie, von der Kugel abgeleitet, die Haupt- und Nebenkreise der Kugel nebst ihren Polen werden ausführlich betrachtet, die nichteuklidische Geometrie auf der Kugel wenigstens gestreift. Eine vollständige Begründung der hauptsächlich benutzten Ellipseneigenschaften leitet das Buch ein, Anwendung auf die Rotationskörper, auf die Schraubenlinien von Zylinder, Kegel, Kugel, sowie auf die Erd- und Himmelskunde beschließen es. Vorausgesetzt wird die Kenntnis der elementaren Planimetrie und Stereometrie, einschließlich der harmonischen Eigenschaften des Kreises, an einigen Stellen auch der Trigonometrie und der Algebra.

Schilling, Dr. Fr.:

Professor an der Technischen Hochschule zu Danzig, über die Anwendungen der darstellenden Geometrie, insbesondere über die Photogrammetrie. Mit einem Anhang: Welche Vorteile gewährt die Benutzung des Projektionsapparates im mathematischen Unterricht? Vorträge, gehalten bei Gelegenheit des Ferienkurses für Oberlehrer der Mathematik und Physik, Göttingen, Ostern 1904. Mit 151 Figuren und 5 Doppeltafeln. [VI u. 198 S.] gr. 8. 1904. Geh. n. M. 4.60, in Leinwand geb. n. M. 5.–

Schüßler, Dr. B.:

Professor an der Technischen Hochschule zu Graz, orthogonale Axonometrie. Ein Lehrbuch zum Selbststudium. Mit 29 Figurentafeln in besonderem Hefte. [VIII u. 170 S.] gr. 8. 1905. In Leinwand geb. n. M. 7.–

Schütte, Fr.:

Oberlehrer am Gymnasium zu Düren, Anfangsgründe der darstellenden Geometrie für Gymnasien. Mit 54 Textfiguren. [42 S.] gr. 8. 1905. Steif geh. n. M. –.80.

Sturm, Geheimer Regierungsrat Dr. R.:

Professor an der Universität Breslau, Elemente der darstellenden Geometrie. 2. umgearbeitete und erweiterte Auflage. Mit 61 Figuren im Text und 7 lithogr. Tafeln. [V u. 157 S.] gr. 8. 1900. In Leinw. geb. n. M. 5.60.

Weiler, Dr. A.:

Professor an der Universität Zürich, neue Behandlung der Parallelprojektionen und der Axonometrie. Mit 109 Figuren im Text. 2. wohlfeile Ausgabe. [VIII u. 210 S.] gr. 8. 1896. Geh. n. M. 2.80.

Wiener, Geheimer Hofrat Dr. Chr.:

weil. Professor an der Großherzogl. Polytechnischen Schule zu Karlsruhe, Lehrbuch der darstellenden Geometrie. In 2 Bänden, gr. 8. Geh. n. M. 30.– I. Band: Geschichte der darstellenden Geometrie, ebenflächige Gebilde, krumme Linien (I. Teil), projektive Geometrie. Mit Figuren im Text. [XX u. 477 S.] (1884.) Unveränderter anastatischer Abdruck 1906 mit hinzugefügtem Register n. M. 12.– II. Band: Krumme Linien (II. Teil) und krumme Flächen Beleuchtungslehre, Perspektive. Mit Figuren im Text. [XXX u. 649 S.] 1887. n. M. 18.–

Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften

mit Einschluß ihrer Anwendungen.

Herausgegeben im Auftrage der

Akademien der Wissenschaften zu Göttingen, Leipzig, München und Wien,

sowie unter Mitwirkung zahlreicher Fachgenossen

In 7 Bänden zu je 6-8 Heften, gr. 8. Geheftet und in Halbfrz. geb.

IArithmetik und Algebra, 2 Teile, redigiert von W. Fr. Meyer.

IIAnalysis, 2 Teile, redigiert von H. Burkhardt und W. Wirtinger.

IIIGeometrie, 3 Teile, redigiert von W. Fr. Meyer.

IVMechanik, 4 Teilbände, redigiert von F. Klein und C. H. Müller.

VPhysik, 3 Teile, redigiert von A. Sommerfeld.

VI1. Geodäsie und Geophysik, 2 Teilbände redigiert von Ph. Furtwängler und B. Wiechert

2. Astronomie, red. von K. Schwarzschild.

VIIGeschichte, Philosophie, Didaktik. (In Vorbereitung)

Aufgabe der Encyklopädie ist es, in knapper, zu rascher Orientierung geeigneter Form, aber mit möglichster Vollständigkeit eine Gesamtdarstellung der mathematischen Wissenschaften nach ihrem gegenwärtigen Inhalt an gesicherten Resultaten zu geben und zugleich durch sorgfältige Literaturangaben die geschichtliche Entwicklung der mathematischen Methoden seit dem Beginn des 19. Jahrhunderts nachzuweisen. Sie beschränkt sich dabei nicht auf die sogenannte reine Mathematik, sondern berücksichtigt auch ausgiebig die Anwendungen auf Mechanik und Physik, Astronomie und Geodäsie, die verschiedenen Zweige der Technik und andere Gebiete, und zwar in dem Sinne, daß sie einerseits den Mathematiker darüber orientiert, welche Fragen die Anwendungen an ihn stellen, andererseits den Astronomen, Physiker, Techniker darüber, welche Antwort die Mathematik auf diese Fragen gibt. In sieben Banden zu je etwa 640 Druckseiten sollen die einzelnen Gebiete in einer Reihe sachlich geordneter Artikel behandelt werden; der letzte Band soll ein ausführliches alphabetisches Register enthalten. Auf die Ausführung von Beweisen der mitgeteilten Satze muß natürlich verzichtet werden.

Die Ansprüche an die Vorkenntnisse der Leser sind so gehalten, daß das Werk auch demjenigen nützlich sein kann, der nur über ein bestimmtes Gebiet Orientierung sucht.

Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées

Publiée sous les auspices des Académies des sciences

de Göttingue, de Leipzig, de Munich et de Vienne

avec la collaboration de nombreux savants.

Edition française,

rédigée et publiée d’après l’édition allemande sous la direction de Jules Molk, professeur à l’université de Nancy.

En sept tomes, gr. 8. Geheftet.

Durch die günstige Aufnahme veranlaßt, welche die deutsche Ausgabe dieses monumentalen Werkes in Fachkreisen gefunden hat, und auf vielfache Anregungen hat sich die Verlagsbuchhandlung entschlossen, die Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften in Gemeinschaft mit der Firma Gauthier-Villiars in Paris auch in französischer Sprache erscheinen zu lassen. Das Werk wird, wie schon die ersten Lieferungen zeigen, seitens der deutschen Bearbeiter viele Änderungen und Zusätze erfahren, und auch die französischen Mitarbeiter, sämtlich Autoritäten auf ihren Gebieten, haben eine gründliche Umarbeitung vorgenommen. Zum ersten Male dürfte somit wohl hier der Fall eingetreten sein, daß sich bei einem so großen Werke die ersten deutschen und französischen Fachgelehrten zu gemeinsamer Arbeit verbunden haben.

Verlag von B. G. Teubner in Leizig und Berlin.

Repertorium der höheren Mathematik (Difinitionen, Formeln, Theoreme, Literaturnachweise) von Ernst Pascal, ord. Professor an der Universität Pavia. Deutsche Ausgabe von weil. A. Schepp in Wiesbaden. 2. neubearb. Aufl. In zwei Teilen: Analysis und Geometrie, gr. 8. I. Teil: Die Analysis. Herausgegeben von P. Epstein, [ca. 700 S.] 1909. In Leinwand geb. ca. n. M. 12.–(Erscheint im Januar 1909.) II. Teil: Die Geometrie. Herausgegeben von H. E. Timerding, [ca. 800 S.] 1909. In Leinwand geb. ca. n. M. 14.–[Erscheint Ostern 1909.]

Der Zweck des Buches ist, auf einem möglichst kleinen Raum die wichtigsten Theorien der neueren Mathematik zu vereinigen, von jeder Theorie nur so viel zu bringen, daß der Leser imstande ist, sich in ihr zu orientieren, und auf die Bücher zu verweisen, in welchen er Ausführlicheres finden kann. Für den Studierenden der Mathematik soll es ein "Vademekumßein, in dem er, kurz zusammengefaßt, alle mathematischen Begriffe und Resultate findet, die er während seiner Studien sich angeeignet hat oder noch aneignen will. Die Anordnung der verschiedenen Teile ist bei jeder Theorie fast immer dieselbe: zuerst werden die Definitionen und Grundbegriffe der Theorie gegeben, alsdann die Theoreme und Formeln (ohne Beweis) aufgestellt, welche die Verbindung zwischen den durch die vorhergehenden Definitionen eingeführten Dingen oder Größen bilden, und schließlich ein kurzer Hinweis auf die Literatur über die betreffende Theorie gebracht.

Vocabulaire Mathématique , français-allemand et allemand-français. Mathematisches Vokabularium, französisch-deutsch und deutsch-französisch. Enthaltend die Kunstausdrücke aus der reinen und angewandten Mathematik. Von Professor Dr. Felix Müller. [XV u. 316 S.] Lex.-8. 1900/1901. In Leinw. geb. n. M. 20.–Wurde in 2 Lieferungen ausgegeben: I. Lieferung. [IX u. 132 S.] 1900. Geb. n. M. 8.–II. Lieferung. [S. IX-XV u. 133-316.] 1901. Geb. n. M. 11.–

Das Vokabularium enthält in alphabetischer Folge mehr als 12000 Kunstausdrücke aus der reinen und angewandten Mathematik in französischer und deutscher Sprache und soll in erster Linie eine Ergänzung der gebräuchlichen Wörterbücher für die beiden genannten Sprachen sein. Da das Vokabularium zugleich als Vorarbeit zu einem Mathematischen Wörterbuche dienen soll, so sind auch zahlreiche Nominalbenennungen aufgenommen, deren Anführung aus rein sprachlichem Interesse überflüssig erscheinen dürfte. Z. B. Gaußsche Abbildung (einer Fläche auf eine Kugel] (Gauß 1887) [inf. Geom.] représentation de Gauss; Clairauts Satz (über die geodätischen Linien auf Umdrehungsflächen) (Clairaut 1793) [inf. Geom.] théorème de Clairaut. Aus den beigefügten Zusätzen ist zu ersehen, daß das Vokabularium mehr bietet, als der Titel erwarten laut.

Vorlesungen über Geschichte der Mathematik . von Moritz Cantor. In 4 Bänden, gr. 8. I. Band. Von den ältesten Zeiten bis zum Jahre 1200 n. Chr. 3. Aufl. Mit 114 Figuren im Text und l lithogr. Tafel. [VI u. 941 S.] 1907. Geb. n. M. 24.–, in Halbfranz geb. n. M. 26.–II. Band. Vom Jahre 1200 his zum Jahre 1668. 2. verb. u. verm. Aufl. Mit 190 Figuren im Text. [XII u. 943 S.] gr. 8. 1900. Geb. n. M. 26.–, in Halbfranz geb. n. M. 28.–III. Band. Vom Jahre 1668 bis zum Jahre 1758. 2. verb. u. verm. Aufl. Mit 146 Figuren im Text. [X u. 923 S.] gr. 8. 1901. Geb. n. M. 25.–, in Halbfranz geb. n. M. 27.–IV. Band. Vom Jahre 1759 his zum Jahre 1799. Herausgegeben unter Mitwirkung der Herren V. Bobynin, A. v. Braunmühl, F. Cajori, S. Günther, V. Kommerell, G. Loria, E. Netto, G. Vivanti, und C. R. Wallner von M. Cantor. Mit 100 Figuren im Text. [VI uv 1113 S.] 1908. Geb. n. M. 32.–, in Halbfranz geb. n. M. 35.–

„Einen hervorragenden Platz unter den neueren Veröffentlichungen über die Geschichte der Mathematik nimmt die zusammenfassende Darstellung ein, die uns Moritz Cantor geschenkt hat.

Mit rastlosem Fleiß, mit nie ermüdender Geduld, mit der unverdrossenen Liebe des Sammlers, der auch das scheinbar Geringe nicht vernachlässigt, hat Moritz Cantor dies kolossale Material gesammelt, kritisch gesichtet, durch eigene Forschungen ergänzt, nach einheitlichen Grundsätzen und einheitlichem Plan zu einem Ganzen verschmolzen, und indem er in seltener Unparteilichkeit bei strittigen Fragen, deren die Geschichte der Mathematik so viele hat, auch die abweichenden Ansichten zu Wort kommen ließ, hat er ein Werk geschaffen, das die reichste Quelle der Belehrung, der Anregung für einen jeden ist, der sich über einen geschichtlichen Fragepunkt Rat holen, der an der Geschichte der Mathematik mitarbeiten will...“

(Aus den Göttingischen gelehrten Anzeigen.)

Encyklopädie der Elementar-Mathematik.

Ein Handbuch für Lehrer und Studierende von

Dr. Heinrich Weber und Dr. Joseph Wellstein ,

Professoren an der Universität Straßburg i. E.

In drei Bänden, gr. 8. In Leinw. geb.

I. Elementare Algebra und Analysis. Bearbeitet von H. Weber. 2. Auflage. Mit 88 Textfiguren. [XVIII u 539 S.] 1906. n. M. 9.60.

II. Elemente der Geometrie. Bearbeitet von H. Weber, J. Wellstein und W. Jacobsthal. 2. Auflage. Mit 261 Textfiguren [XII u. 596 S.] 1907. n. M. 12.–

III. Angewandte Elementar-Mathematik. Bearbeitet von H. Weber, J. Wellstein und R.H. Weber (Rostock). Mit 358 Textfiguren. [XIII u. 666 S.] 1907 n. M. 14.–

Das Werk verfolgt das Ziel, den künftigen Lehrer auf einen wissenschaftlichen Standpunkt zu stellen, von dem aus er imstande ist, das, was er später zu lehren hat, tiefer zu erkennen und zu erfassen und damit den Wert dieser Lehren für die allgemeine Geistesbildung zu erhöhen.–Das Ziel dieser Arbeit ist nicht in der Vergrößerung des Umfanges der Elementar-Mathematik zu ersehen oder in der Einkleidung höherer Probleme in ein elementares Gewand, sondern in einer strengen Begründung und leicht faßlichen Darlegung der Elemente. Das Werk ist nicht sowohl für den Schüler selbst als für den Lehrer und Studierenden bestimmt, die neben jenen fundamentalen Betrachtungen auch eine für den praktischen Gebrauch nützliche, wohlgeordnete Zusammenstellung der wichtigsten Algorithmen und Probleme darin finden werden.

„... Zwei Momente müssen hervorgehoben werden, die dem Buche das Gepräge verleihen. Das eine liegt darin, daß die grundlegenden Fragen der Geometrie eine eingehende Behandlung erfahren, in einem Umfange, wie er in zusammenfassenden Werken sonst nicht anzutreffen ist.... Das zweite Moment ist in dem Umstande zu erblicken, daß die Verfasser es nicht darauf angelegt haben, eine pragmatische Vorführung des üblichen Vorrats an geometrischen Sätzen, Konstruktionen und Rechnungen zu geben, sondern daß es ihnen mehr darum zu tun war, an ausgewähltem Material die wissenschaftlichen Methoden der Geometrie zur Geltung zu bringen und überall auf die Grundfragen einzugehen. Ist so die theoretische Seite, namentlich in einigen Abschnitten, stark zum Ausdruck gekommen, so ist doch auch auf die praktischen Bedürfnisse Rücksicht genommen, die freilich erst mit dem dritten Bande ihre endgültige Befriedigung finden sollen, doch ist dafür an verschiedenen Stellen, so in der Trigonometrie und in der analytischen Geometrie schon vorgearbeitet worden.... So darf der Inhalt des zweiten Bandes der „Encyklopädie der Elementar-Mathematik“als ein sehr reichhaltiger bezeichnet werden, der über die Grenzen dessen, was an der Schule geboten werden kann, erheblich hinausführt, der aber auch–und das ist noch wichtiger und offenkundig der Hauptzweck des Werkes–eine Vertiefung des geometrischen Wissens vermittelt. Jüngere Lehrer der Mathematik werden das Buch gewiß oft und mit Nutzen zu Rate ziehen, namentlich wenn sie im Unterrichte zu prinzipiell wichtigen Fragen kommen, um sich über die leitenden Gedanken zu orientieren.“

Eines verdient noch besonders hervorgehoben zu werden das ist die reiche Ausstattung mit schönen, sehr instruktiv gezeichneten Figuren. Der schwierigen Vorstellung der verschiedenen Formen sphärischer Dreiecke kommen die stereographischen Bilder der Euler’schen, Möbius’schen und Study’schen Dreiecke sehr zu statten.“

(Zeltschrift für das Realschulwesen.)

„... Daß ein Hochschullehrer von der Bedeutung des Verfassers die Elementar-Mathematik von höherer Warte aus behandelt und mustergültig darstellt, ist selbstverständlich. Jeder Lehrer, jeder Studierende muß das Werk, welches nicht nur in methodischer, sondern auch in systematischer Hinsicht von Bedeutung und daher eine wichtige Erscheinung der elementaren mathematischen Literatur ist, besitzen und studieren.“

(Zeitschrift für lateinlose höhere Schulen.)

„... Die Encyklopädie will kein Schulbuch im gewöhnlichen Sinne des Wortes sein, ist aber zur Vorbereitung auf den Unterricht, namentlich in den oberen Klassen, den Lehrern der Mathematik dringend zu empfehlen, welche die bezüglichen Originalarbeiten nicht alle selbst studiert haben, sich aber doch orientieren wollen, wie vom Standpunkte der modernen Wissenschaft die Begriffsbildungen, Methoden und Entwicklungen der Elementar-Mathematik zu gestalten sind.“

(C. Färber Im Archiv der Mathematik und Physik.)