Zweiter Teil. Über die allgemeine Relativitätstheorie.

§ 18. Spezielles und allgemeines Relativitätsprinzip.

Die Grundthese, um welche sich alle bisherigen Ausführungen drehten, war das spezielle Relativitätsprinzip, d. h. das Prinzip von der physikalischen Relativität aller gleichförmigen Bewegung. Analysieren wir noch einmal genau seinen Inhalt!

Daß jegliche Bewegung ihrem Begriff nach nur als relative Bewegung gedacht werden muß, war zu allen Zeiten einleuchtend. Bei unserem viel benutzten Beispiel vom Bahndamm und vom Eisenbahnwagen kann z. B. die Tatsache der hier stattfindenden Bewegung mit gleichem Rechte in den beiden Formen ausgesprochen werden:

a) Der Wagen bewegt sich relativ zum Bahndamm, b) Der Bahndamm bewegt sich relativ zum Wagen.

Im Falle a) dient bei dieser Aussage der Bahndamm, im Falle b) der Wagen als Bezugskörper. Bei der bloßen Feststellung bzw. Beschreibung der Bewegung ist es prinzipiell gleichgültig, auf was für einen Bezugskörper man die Bewegung bezieht. Dies ist, wie gesagt, selbstverständlich und darf nicht mit der viel weitergehenden Aussage verwechselt werden, welche wir „Relativitätsprinzip“ genannt und unseren Untersuchungen zugrunde gelegt haben.

Das von uns benutzte Prinzip behauptet nicht nur, daß man für die Beschreibung jeglichen Geschehens ebensowohl den Wagen wie den Bahndamm als Bezugskörper wählen könne (denn auch dies ist selbstverständlich). Unser Prinzip behauptet vielmehr: Formuliert man die allgemeinen Naturgesetze, wie sie sich aus der Erfahrung ergeben, indem man sich

a) des Bahndammes als Bezugskörpers bedient, b) des Wagens als Bezugskörpers bedient,

so lauten diese allgemeinen Naturgesetze (z. B. die Gesetze der Mechanik oder das Gesetz der Lichtausbreitung im Vakuum) genau gleich in beiden Fällen. Man kann das auch so ausdrücken: Für die physikalische Beschreibung der Naturvorgänge ist keiner der Bezugskörper K, K′ vor dem anderen ausgezeichnet. Diese letztere Aussage muß nicht a priori notwendig zutreffen wie die erstere; sie ist nicht in den Begriffen „Bewegung“ und „Bezugskörper“ enthalten und aus ihnen ableitbar, sondern über ihre Richtigkeit oder Unrichtigkeit kann nur die Erfahrung entscheiden.

Wir haben nun aber bisher keineswegs die Gleichwertigkeit aller Bezugskörper K mit Bezug auf die Formulierung der Naturgesetze behauptet. Unser Weg war vielmehr folgender. Wir gingen zunächst von der Annahme aus, daß es einen Bezugskörper K von solchem Bewegungszustande gebe, daß relativ zu ihm der Galileische Grundsatz gilt: Ein sich selbst überlassener, von allen übrigen hinlänglich entfernter Massenpunkt bewegt sich gleichförmig und geradlinig. Auf K (Galileischer Bezugskörper) bezogen sollten die Naturgesetze möglichst einfache sein. Außer K sollten aber alle diejenigen Bezugskörper K′ in diesem Sinne bevorzugt und mit K für die Formulierung der Naturgesetze genau gleichwertig sein, welche relativ zu K eine geradlinig gleichförmige, rotationsfreie Bewegung ausführen; alle diese Bezugskörper werden als Galileische Bezugskörper angesehen. Nur für diese Bezugskörper wurde die Gültigkeit des Relativitätsprinzips angenommen, für andere (anders bewegte) nicht. In diesem Sinne sprechen wir vom speziellen Relativitätsprinzip bzw. spezieller Relativitätstheorie.

Im Gegensatz hierzu wollen wir unter „allgemeinem Relativitätsprinzip“ die Behauptung verstehen: Alle Bezugskörper K, K′ usw. sind für die Naturbeschreibung (Formulierung der allgemeinen Naturgesetze) gleichwertig, welches auch deren Bewegungszustand sein mag. Es sei aber gleich bemerkt, daß diese Formulierung später durch eine abstraktere ersetzt werden muß aus Gründen, die erst später zutage treten werden.

Nachdem sich die Einführung des speziellen Relativitätsprinzips bewährt hat, muß es jedem nach Verallgemeinerung strebenden Geiste verlockend erscheinen, den Schritt zum allgemeinen Relativitätsprinzip zu wagen. Aber eine einfache, scheinbar ganz zuverlässige Betrachtung läßt einen solchen Versuch zunächst aussichtslos erscheinen. Der Leser denke sich in den schon so oft betrachteten, gleichförmig fahrenden Eisenbahnwagen versetzt. Solange der Wagen gleichförmig fährt, ist für den Insassen nichts vom Fahren des Wagens zu merken. Daher kommt es auch, daß der Insasse den Tatbestand ohne inneres Widerstreben dahin deuten kann, daß der Wagen ruhe, der Bahndamm aber bewegt sei. Diese Interpretation ist übrigens nach dem speziellen Relativitätsprinzip auch physikalisch ganz berechtigt.

Wird nun aber die Bewegung des Wagens etwa dadurch in eine ungleichförmige verwandelt, daß der Wagen kräftig gebremst wird, so erhält der Insasse einen entsprechend kräftigen Ruck nach vorne. Die beschleunigte Bewegung des Wagens äußert sich in dem mechanischen Verhalten der Körper relativ zu ihm; das mechanische Verhalten ist ein anderes als im vorhin betrachteten Falle, und es erscheint deshalb ausgeschlossen zu sein, daß relativ zum ungleichförmig bewegten Wagen die gleichen mechanischen Gesetze gelten, wie relativ zum ruhenden bzw. gleichförmig bewegten Wagen. Jedenfalls ist klar, daß relativ zum ungleichförmig bewegten Wagen der Galileische Grundsatz nicht gilt. Wir fühlen uns daher zunächst genötigt, entgegen dem allgemeinen Relativitätsprinzip der ungleichförmigen Bewegung eine Art absolute physikalische Realität zuzusprechen. Im folgenden werden wir aber bald sehen, daß dieser Schluß nicht stichhaltig ist.

§ 19. Das Gravitationsfeld.

Auf die Frage: „Warum fällt ein Stein, den wir emporheben und darauf loslassen, zur Erde?“ antwortet man gewöhnlich: „Weil er von der Erde angezogen wird.“ Die moderne Physik formuliert die Antwort etwas anders aus folgendem Grunde. Durch genaueres Studium der elektromagnetischen Erscheinungen ist man zu der Auffassung gekommen, daß es eine unvermittelte Wirkung in die Ferne nicht gebe. Zieht z. B. ein Magnet ein Stück Eisen an, so darf man sich nicht mit der Auffassung zufrieden geben, daß der Magnet durch den leeren Zwischenraum hindurch auf das Eisen direkt einwirke, sondern man stellt sich nach Faraday vor, daß der Magnet in dem ihn umgebenden Raume etwas physikalisch Reales stets hervorrufe, was man als „magnetisches Feld“ bezeichnet. Dies magnetische Feld wirkt seinerseits wieder auf das Eisenstück ein, so daß es sich zum Magneten zu bewegen strebt. Die Berechtigung dieses an sich willkürlichen Zwischenbegriffes wollen wir hier nicht erörtern. Es sei nur bemerkt, daß man mit seiner Hilfe die elektromagnetischen Erscheinungen, insbesondere die Ausbreitung der elektromagnetischen Wellen, viel befriedigender theoretisch darstellen kann als ohne denselben. Analog faßt man auch die Wirkungen der Gravitation auf.

Die Einwirkung der Erde auf den Stein kommt indirekt zustande. Die Erde erzeugt in ihrer Umgebung ein Gravitationsfeld. Dieses wirkt auf den Stein und veranlaßt seine Fallbewegung. Die Stärke der Einwirkung auf einen Körper nimmt erfahrungsgemäß ab, wenn man sich mehr und mehr von der Erde entfernt, nach einem ganz bestimmten Gesetze. Dies heißt in unserer Auffassungsweise: Das Gesetz, welches die räumlichen Eigenschaften des Gravitationsfeldes beherrscht, muß ein ganz bestimmtes sein, um die Abnahme der Gravitationswirkung mit der Entfernung vom wirksamen Körper richtig darzustellen. Man stellt sich etwa vor, der Körper erzeuge direkt das Feld in seiner unmittelbaren Nähe; Stärke und Richtung des Feldes in größerer Entfernung sind dann hieraus durch das Gesetz bestimmt, welches die räumlichen Eigenschaften der Gravitationsfelder selbst beherrscht.

Das Gravitationsfeld weist im Gegensatz zum elektrischen und magnetischen Felde eine höchst merkwürdige Eigenschaft auf, welche für das Folgende von fundamentaler Bedeutung ist. Körper, die sich unter ausschließlicher Wirkung des Schwerefeldes bewegen, erfahren eine Beschleunigung, welche weder vom Material noch vom physikalischen Zustande des Körpers im geringsten abhängt. Ein Stück Blei und ein Stück Holz fallen beispielsweise im Schwerefelde (im luftleeren Raume) genau gleich, wenn man sie ohne bzw. mit gleicher Anfangsgeschwindigkeit fallen läßt. Man kann dies äußerst genau gültige Gesetz auch noch anders formulieren auf Grund folgender Erwägung.

Nach Newtons Bewegungsgesetz ist

(Kraft) = (träge Masse) . (Beschleunigung),

wobei die „träge Masse“ eine charakteristische Konstante des beschleunigten Körpers ist. Ist nun die beschleunigende Kraft die Schwere, so ist andererseits

(Kraft) = (schwere Masse) . (Intensität des Schwerefeldes),

wobei die „schwere Masse“ ebenfalls eine für den Körper charakteristische Konstante ist. Aus beiden Relationen folgt:

(Beschleunigung) = (schwere Masse)(träge Masse) . (Intensität des Schwerefeldes)

Soll nun, wie die Erfahrung ergibt, bei gegebenem Schwerefelde die Beschleunigung unabhängig von der Natur und dem Zustande des Körpers stets dieselbe sein, so muß das Verhältnis der schweren zur trägen Masse ebenfalls für alle Körper gleich sein. Man kann also dies Verhältnis bei passender Wahl der Einheiten zu 1 machen; dann gilt der Satz: Die schwere und die träge Masse eines Körpers sind einander gleich.

Die bisherige Mechanik hat diesen wichtigen Satz zwar registriert, aber nicht interpretiert. Eine befriedigende Interpretation kann nur so zustande kommen, daß man einsieht: Dieselbe Qualität des Körpers äußert sich je nach Umständen als „Trägheit“ oder als „Schwere“. Inwiefern dies tatsächlich der Fall ist, und wie diese Frage mit dem allgemeinen Relativitätspostulat zusammenhängt, wird im nächsten Paragraphen dargelegt werden.

§ 20. Die Gleichheit der trägen und schweren Masse als Argument für das allgemeine Relativitätspostulat.

Wir denken uns ein geräumiges Stück leeren Weltraumes, so weit weg von Sternen und erheblichen Massen, daß wir mit erheblicher Genauigkeit den Fall vor uns haben, der im Galileischen Grundgesetz vorgesehen ist. Es ist dann möglich, für diesen Teil Welt einen Galileischen Bezugskörper zu wählen, relativ zu dem ruhende Punkte ruhend bleiben, bewegte dauernd in geradlinig gleichförmiger Bewegung verharren. Als Bezugskörper denken wir uns einen geräumigen Kasten von der Gestalt eines Zimmers; darin befinde sich ein mit Apparaten ausgestatteter Beobachter. Für diesen gibt es natürlich keine Schwere. Er muß sich mit Schnüren am Boden befestigen, wenn er nicht beim leisesten Stoß gegen den Boden langsam gegen die Decke des Zimmers entschweben will.

In der Mitte der Kastendecke sei außen ein Haken mit Seil befestigt und an diesem fange nun ein Wesen von uns gleichgültiger Art mit konstanter Kraft zu ziehen an. Dann beginnt der Kasten samt dem Beobachter in gleichförmig beschleunigtem Fluge nach „oben“ zu fliegen. Seine Geschwindigkeit wird im Laufe der Zeit ins Phantastische zunehmen — falls wir all dies beurteilen von einem anderen Bezugskörper aus, an dem nicht mit einem Stricke gezogen wird.

Wie beurteilt aber der Mann im Kasten den Vorgang? Die Beschleunigung des Kastens wird vom Boden desselben durch Gegendruck auf ihn übertragen. Er muß also diesen Druck mittels seiner Beine aufnehmen, wenn er nicht seiner ganzen Länge nach den Boden berühren will. Er steht dann im Kasten genau wie einer in einem Zimmer eines Hauses auf unserer Erde steht. Läßt er einen Körper los, den er vorher in der Hand hatte, so wird auf diesen die Beschleunigung des Kastens nicht mehr übertragen; der Körper wird sich daher in beschleunigter Relativbewegung dem Boden des Kastens nähern. Der Beobachter wird sich ferner überzeugen, daß die Beschleunigung des Körpers gegen den Boden immer gleich groß ist, mit was für einem Körper er auch den Versuch ausführen mag.

Der Mann im Kasten wird also, gestützt auf seine Kenntnisse vom Schwerefelde, wie wir sie im letzten Paragraphen besprochen, zu dem Ergebnis kommen, daß er samt dem Kasten sich in einem zeitlich konstanten Schwerefelde befinde. Er wird allerdings einen Augenblick verwundert sein darüber, daß der Kasten in diesem Schwerefelde nicht falle. Da entdeckt er aber den Haken in der Mitte der Decke und das an demselben befestigte gespannte Seil, und er kommt folgerichtig zu dem Ergebnis, daß der Kasten in dem Schwerefelde ruhend aufgehängt sei.

Dürfen wir über den Mann lächeln und sagen, er befinde sich mit seiner Auffassung im Irrtum? Ich glaube, wir dürfen das nicht, wenn wir konsequent bleiben wollen, sondern wir müssen zugeben, daß seine Auffassungsweise weder gegen die Vernunft noch gegen die bekannten mechanischen Gesetze verstößt. Wir können den Kasten, wenn er auch gegen den zuerst betrachteten „Galileischen Raum“ beschleunigt ist, dennoch als ruhend ansehen. Wir haben also guten Grund, das Relativitätsprinzip auszudehnen auf relativ zueinander beschleunigte Bezugskörper und haben so ein kräftiges Argument für ein verallgemeinertes Relativitätspostulat gewonnen.

Man beachte wohl, daß die Möglichkeit dieser Auffassungsweise auf der fundamentalen Eigenschaft des Schwerefeldes beruht, allen Körpern dieselbe Beschleunigung zu erteilen, oder, was dasselbe bedeutet, auf dem Satz von der Gleichheit der trägen und schweren Masse. Würde dies Naturgesetz nicht bestehen, so würde der Mann im beschleunigten Kasten das Verhalten der Körper seiner Umgebung nicht durch die Voraussetzung eines Gravitationsfeldes deuten können, und er wäre auf Grund keiner Erfahrung berechtigt, seinen Bezugskörper als einen „ruhenden“ vorauszusetzen.

Der Mann im Kasten befestige an der Innenseite der Kastendecke ein Seil und an dessen freiem Ende einen Körper. Durch diesen wird bewirkt werden, daß das Seil in gespanntem Zustande „vertikal“ herabhängt. Wir fragen nach der Ursache der Spannung des Seiles. Der Mann im Kasten wird sagen: „Der aufgehängte Körper erfährt in dem Schwerefelde eine Kraft nach unten, welcher durch die Seilspannung das Gleichgewicht gehalten wird; maßgebend für die Größe der Seilspannung ist die schwere Masse des aufgehängten Körpers.“ Andererseits wird aber ein Beurteiler, der frei im Raume schwebt, den Zustand so beurteilen: „Das Seil ist gezwungen, die beschleunigte Bewegung des Kastens mitzumachen und überträgt diese auf den daran befestigten Körper. Die Seilspannung ist so groß, daß sie die Beschleunigung des letzteren gerade zu bewirken vermag. Maßgebend für die Größe der Spannung im Seile ist die träge Masse des Körpers.“ Wir sehen aus diesem Beispiele, daß unsere Erweiterung des Relativitätsprinzips den Satz von der Gleichheit der trägen und schweren Masse als notwendig erscheinen läßt. Damit ist eine physikalische Interpretation dieses Satzes gewonnen.

Aus der Betrachtung des beschleunigten Kastens sieht man, daß eine allgemeine Relativitätstheorie wichtige Ergebnisse über die Gesetze der Gravitation liefern muß. Tatsächlich hat die konsequente Verfolgung des allgemeinen Relativitätsgedankens die Gesetze geliefert, denen das Gravitationsfeld genügt. Ich muß jedoch schon hier den Leser vor einem Mißverständnis warnen, das durch diese Überlegungen nahegelegt wird. Für den Mann im Kasten existiert ein Gravitationsfeld, trotzdem für das zuerst gewählte Koordinatensystem ein solches nicht vorhanden war. Man könnte nun leicht meinen, daß die Existenz eines Gravitationsfeldes stets eine nur scheinbare sei. Man könnte denken, daß, was auch immer für ein Gravitationsfeld vorhanden sein mag, man immer einen anderen Bezugskörper so wählen könne, daß in bezug auf ihn kein Gravitationsfeld existiert. Dies trifft aber keineswegs für alle Gravitationsfelder zu, sondern nur für solche von ganz speziellem Bau. So ist es beispielsweise unmöglich, einen Bezugskörper so zu wählen, daß von ihm aus beurteilt das Gravitationsfeld der Erde (in seiner ganzen Ausdehnung) verschwindet.

Wir bemerken jetzt, warum das gegen das allgemeine Relativitätsprinzip am Ende des § 18 vorgebrachte Argument nicht beweisend ist. Es ist wohl richtig, daß der im gebremsten Eisenbahnwagen befindliche Beobachter infolge der Bremsung einen Ruck nach vorn empfindet und daß er daran die Ungleichförmigkeit (Beschleunigung) des Wagens merkt. Aber niemand zwingt ihn, den Ruck auf eine „wirkliche“ Beschleunigung des Wagens zurückzuführen. Er kann sein Erlebnis auch so interpretieren: „Mein Bezugskörper (der Wagen) bleibt dauernd in Ruhe. Es herrscht aber (während der Bremsungsperiode) in bezug auf denselben ein nach vorn gerichtetes, zeitlich veränderliches Schwerefeld. Unter dem Einfluß des letzteren bewegt sich der Bahndamm samt der Erde ungleichförmig derart, daß dessen ursprüngliche, nach rückwärts gerichtete Geschwindigkeit immer mehr abnimmt.“

§ 21. Inwiefern sind die Grundlagen der klassischen Mechanik und der speziellen Relativitätstheorie unbefriedigend?

Wie schon mehrfach erwähnt, geht die klassische Mechanik von dem Satze aus: Von anderen materiellen Punkten hinreichend entfernte materielle Punkte bewegen sich geradlinig gleichförmig oder verharren im Ruhezustande. Wir haben auch mehrfach hervorgehoben, daß das Grundgesetz nur gültig sein kann für Bezugskörper K von gewissen ausgezeichneten Bewegungszuständen, welche relativ zueinander sich in gleichförmiger Translationsbewegung befinden. Relativ zu anderen Bezugskörpern K gilt der Satz nicht. Sowohl in der klassischen Mechanik wie in der speziellen Relativitätstheorie unterscheidet man demgemäß zwischen Bezugskörpern K, relativ zu denen die Naturgesetze gültig sind, und zwischen Bezugskörpern K, relativ zu welchen die Naturgesetze nicht gelten.

Mit dieser Sachlage kann sich aber kein konsequent denkender Mensch zufrieden geben. Er fragt: „Wie ist es möglich, daß gewisse Bezugskörper (bzw. deren Bewegungszustände) vor anderen Bezugskörpern (bzw. deren Bewegungszuständen) ausgezeichnet sind? Welches ist der Grund für diese Bevorzugung?“ Um deutlich zu zeigen, was ich mit dieser Frage meine, will ich mich eines Vergleichs bedienen.

Ich stehe vor einem Gasherde. Auf demselben stehen nebeneinander zwei Kochtöpfe, die einander zum Verwechseln ähnlich sind. Beide sind zur Hälfte mit Wasser gefüllt. Ich nehme wahr, daß aus dem einen unaufhörlich Dampf entweicht, aus dem anderen nicht. Hierüber wundere ich mich, auch wenn mir ein Gasherd und ein Kochtopf noch nie zu Gesicht gekommen ist. Nehme ich nun unter dem ersteren Kochtopfe ein bläulich leuchtendes Etwas wahr, unter dem letzteren nicht, so schwindet meine Verwunderung auch dann, wenn ich noch nie eine Gasflamme wahrgenommen habe. Denn ich kann nur sagen, daß dieses bläuliche Etwas das Entweichen des Dampfes verursachen wird, oder wenigstens möglicherweise verursacht. Nehme ich aber bei keinem Topfe das bläuliche Etwas wahr, und sehe ich, daß der eine unaufhörlich dampft, der andere nicht, so bin ich so lange verwundert und unbefriedigt, bis ich irgendeinen Umstand wahrgenommen habe, den ich für das verschiedene Verhalten beider Töpfe verantwortlich machen kann.

Analog suche ich in der klassischen Mechanik (bzw. in der speziellen Relativitätstheorie) vergeblich nach einem realen Etwas, auf das ich das verschiedene Verhalten der Körper gegenüber den Bezugssystemen K und K′ zurückführen könnte⁠[12]. Diesen Mangel fühlte schon Newton und suchte ihn vergeblich zu entkräften. Am klarsten hat ihn aber E. Mach erkannt und seinetwegen gefordert, daß die Mechanik auf eine neue Grundlage gestellt werden müsse. Dieser Einwand läßt sich nur durch eine Physik vermeiden, welche dem allgemeinen Relativitätsprinzip entspricht. Denn die Gleichungen einer solchen Theorie gelten für jeden Bezugskörper, in was für einem Bewegungszustande derselbe auch sein mag.

§22. Einige Schlüsse aus dem allgemeinen Relativitätsprinzip.

Die Betrachtungen des § 20 zeigen, daß das allgemeine Relativitätsprinzip uns in den Stand setzt, auf rein theoretischem Wege Eigenschaften des Gravitationsfeldes abzuleiten. Es sei nämlich der raum-zeitliche Verlauf irgendeines Naturvorganges bekannt, so wie er sich im Galileischen Gebiete relativ zu einem Galileischen Bezugskörper K abspielt. Dann kann man durch rein theoretische Operationen, d. h. durch bloße Rechnung, finden, wie sich dieser bekannte Naturvorgang von einem relativ zu K beschleunigten Bezugskörper K′ aus ausnimmt. Da aber relativ zu diesem neuen Bezugskörper K′ ein Gravitationsfeld existiert, so erfährt man bei der Betrachtung, wie das Gravitationsfeld den studierten Vorgang beeinflußt.

So erfahren wir beispielsweise, daß ein Körper, der gegenüber K eine geradlinig gleichförmige Bewegung ausführt (entsprechend dem Galileischen Satze), gegenüber dem beschleunigten Bezugskörper K′ (Kasten) eine beschleunigte, im allgemeinen krummlinige Bewegung ausführt. Diese Beschleunigung bzw. Krümmung entspricht dem Einfluß des relativ zu K′ herrschenden Gravitationsfeldes auf den bewegten Körper. Daß das Gravitationsfeld in dieser Weise die Bewegung der Körper beeinflußt, ist bekannt, so daß die Überlegung nichts prinzipiell Neues liefert.

Ein neues Ergebnis von fundamentaler Wichtigkeit erhält man aber, wenn man die entsprechende Überlegung für einen Lichtstrahl durchführt. Gegenüber dem Galileischen Bezugskörper K pflanzt sich dieser in gerader Linie mit der Geschwindigkeit c fort. In bezug auf den beschleunigten Kasten (Bezugskörper K′) ist, wie leicht abzuleiten ist, die Bahn desselben Lichtstrahles keine Gerade mehr. Hieraus ist zu schließen, daß sich Lichtstrahlen in Gravitationsfeldern im allgemeinen krummlinig fortpflanzen. Dies Ergebnis ist in zweifacher Hinsicht von großer Wichtigkeit.

Erstens nämlich kann dasselbe mit der Wirklichkeit verglichen werden. Wenn eine eingehende Überlegung auch ergibt, daß die Krümmung der Lichtstrahlen, welche die allgemeine Relativitätstheorie liefert, für die uns in der Erfahrung zur Verfügung stehenden Gravitationsfelder nur äußerst gering ist, so soll sie für Lichtstrahlen, die in der Nähe der Sonne vorbeigehen, doch 1,7 Bogensekunden betragen. Dies müßte sich dadurch äußern, daß die in der Nähe der Sonne erscheinenden Fixsterne, welche bei totalen Sonnenfinsternissen der Beobachtung zugänglich sind, um diesen Betrag von der Sonne weggerückt erscheinen müssen gegenüber der Lage, die sie für uns am Himmel annehmen, wenn die Sonne an einer anderen Stelle am Himmel steht. Die Prüfung des Zutreffens oder Nichtzutreffens dieser Konsequenz ist eine Aufgabe von höchster Wichtigkeit, deren baldige Lösung wir von den Astronomen erhoffen dürfen.

Zweitens aber zeigt diese Konsequenz, daß nach der allgemeinen Relativitätstheorie das schon oft erwähnte Gesetz von der Konstanz der Vakuumlichtgeschwindigkeit, das eine der beiden grundlegenden Annahmen der speziellen Relativitätstheorie bildet, keine unbegrenzte Gültigkeit beanspruchen kann. Eine Krümmung der Lichtstrahlen kann nämlich nur dann eintreten, wenn die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes mit dem Orte variiert. Man könnte nun denken, daß durch diese Konsequenz die spezielle Relativitätstheorie, und mit ihr die Relativitätstheorie überhaupt, zu Fall gebracht würde. Dies trifft aber in Wahrheit nicht zu. Es läßt sich nur schließen, daß die spezielle Relativitätstheorie kein unbegrenztes Gültigkeitsgebiet beanspruchen kann; ihre Ergebnisse gelten nur insoweit, als man von den Einflüssen der Gravitationsfelder auf die Erscheinungen (z. B. des Lichtes) absehen kann.

Da die Gegner der Relativitätstheorie öfters behauptet haben, die spezielle Relativitätstheorie werde durch die allgemeine Relativitätstheorie über den Haufen geworfen, will ich den wirklichen Sachverhalt durch einen Vergleich deutlicher machen. Vor der Aufstellung der Elektrodynamik wurden die Gesetze der Elektrostatik für die Gesetze der Elektrizität schlechthin angesehen. Heute wissen wir, daß die Elektrostatik die elektrischen Felder nur in dem nie streng realisierten Falle richtig liefern kann, daß die elektrischen Massen relativ zueinander und zum Koordinatensystem exakt ruhen. Ist deshalb die Elektrostatik durch Maxwells Feldgleichungen der Elektrodynamik über den Haufen geworfen worden? Keineswegs! Die Elektrostatik ist als Grenzfall in der Elektrodynamik enthalten; die Gesetze der letzteren führen direkt auf die ersteren in dem Falle, daß die Felder zeitlich unveränderlich sind. Es ist das schönste Los einer physikalischen Theorie, wenn sie selbst zur Aufstellung einer umfassenden Theorie den Weg weist, in welcher sie als Grenzfall weiterlebt.

Bei dem eben behandelten Beispiel der Lichtausbreitung haben wir gesehen, daß das allgemeine Relativitätsprinzip uns in den Stand setzt, den Einfluß des Gravitationsfeldes auf den Ablauf von Vorgängen auf theoretischem Wege abzuleiten, deren Gesetze für den Fall des Fehlens eines Gravitationsfeldes bereits bekannt sind. Die reizvollste Aufgabe, zu deren Lösung das allgemeine Relativitätsprinzip den Schlüssel liefert, betrifft aber die Ermittelung der Gesetze, denen das Gravitationsfeld selbst genügt. Der Sachverhalt ist hier folgender.

Wir kennen raum-zeitliche Gebiete, die sich bei passender Wahl des Bezugskörpers (annähernd) „galileisch“ verhalten, d. h. Gebiete, in denen Gravitationsfelder fehlen. Beziehen wir nun ein solches Gebiet auf einen beliebig bewegten Bezugskörper K′, so ist in bezug auf K′ ein zeitlich und räumlich veränderliches Gravitationsfeld vorhanden⁠[13]. Die Beschaffenheit des letzteren hängt natürlich davon ab, wie wir die Bewegung von K′ wählen. Das allgemeine Gesetz des Gravitationsfeldes muß nach der allgemeinen Relativitätstheorie für alle so erhältlichen Gravitationsfelder erfüllt sein. Wenn nun auch keineswegs alle Gravitationsfelder auf diese Weise erzeugt werden können, so schöpft man doch Hoffnung, aus diesen Gravitationsfeldern spezieller Art das allgemeine Gesetz der Gravitation ableiten zu können. Diese Hoffnung ist aufs schönste in Erfüllung gegangen! Aber vom klaren Sehen dieses Zieles bis zum tatsächlichen Erreichen desselben bedurfte es noch der Überwindung einer ernstlichen Schwierigkeit, die ich dem Leser nicht vorenthalten darf, da sie tief im Wesen der Sache liegt. Es bedarf einer abermaligen Vertiefung der Begriffe von dem raum-zeitlichen Kontinuum.

§ 23. Verhalten von Uhren und Maßstäben auf einem rotierenden Bezugskörper.

Ich habe bis jetzt absichtlich nicht gesprochen über die physikalische Interpretation von räumlichen und zeitlichen Angaben in dem Falle der allgemeinen Relativitätstheorie. Dadurch habe ich mich einer gewissen Unsauberkeit schuldig gemacht, von der wir aus der speziellen Relativitätstheorie wissen, daß sie keineswegs unwichtig und verzeihlich ist. Nun ist es hohe Zeit, daß wir diese Lücke ausfüllen; ich bemerke aber im voraus, daß diese Angelegenheit an die Geduld und das Abstraktionsvermögen des Lesers keine geringen Anforderungen stellt.

Wir gehen wieder von oft herangezogenen, ganz speziellen Fällen aus. Es liege ein raum-zeitliches Gebiet vor, in welchem relativ zu einem Bezugskörper K von passend gewähltem Bewegungszustande kein Gravitationsfeld existiere; in bezug auf das ins Auge gefaßte Gebiet ist dann K ein Galileischer Bezugskörper, und es gelten relativ zu K die Ergebnisse der speziellen Relativitätstheorie. Dasselbe Gebiet denken wir uns auf einen zweiten Bezugskörper K′ bezogen, welcher relativ zu K gleichförmig rotiert. Um die Vorstellung zu fixieren, denken wir uns K′ in Gestalt einer ebenen Kreisscheibe, welche um ihren Mittelpunkt in ihrer Ebene gleichmäßig rotiere. Ein exzentrisch auf der Kreisscheibe K′ sitzender Beobachter empfindet eine Kraft, die in radialer Richtung nach außen wirkt, und welche von einem relativ zum ursprünglichen Bezugskörper K ruhenden Beobachter als Trägheitswirkung (Zentrifugalkraft) gedeutet wird. Der auf der Scheibe sitzende Beobachter möge jedoch seine Scheibe als „ruhenden“ Bezugskörper auffassen; dazu ist er auf Grund des allgemeinen Relativitätsprinzips berechtigt. Die auf ihn und überhaupt auf relativ zur Scheibe ruhende Körper wirkende Kraft faßt er als Wirkung eines Gravitationsfeldes auf. Allerdings ist die räumliche Verteilung dieses Schwerefeldes eine solche, wie sie nach Newtons Theorie der Gravitation nicht möglich wäre⁠[14]. Aber da der Beobachter an die allgemeine Relativität glaubt, stört ihn dies nicht; er hofft mit Recht, daß ein allgemeines Gravitationsgesetz sich aufstellen lasse, welches nicht nur die Bewegung der Gestirne, sondern auch das von ihm wahrgenommene Kraftfeld richtig erklärt.

Dieser Beobachter experimentiert auf seiner Kreisscheibe mit Uhren und Maßstäben, in der Absicht, auf Grund seiner Beobachtungen exakte Definitionen für die Bedeutung zeitlicher und räumlicher Angaben in bezug auf die Kreisscheibe K′ zu erhalten. Was wird er dabei für Erfahrungen machen?

Der Beobachter stelle zunächst von zwei gleich beschaffenen Uhren die eine in dem Mittelpunkte der Kreisscheibe, die andere an der Peripherie derselben auf, so daß sie relativ zur Kreisscheibe ruhen. Wir fragen uns zunächst, ob diese beiden Uhren gleich schnell gehen vom Standpunkt des nicht rotierenden Galileischen Bezugskörpers K. Von diesem aus beurteilt, hat die Uhr im Mittelpunkt keine Geschwindigkeit, während die Uhr an der Peripherie infolge der Rotation relativ zu K in Bewegung ist. Nach einem Ergebnis des § 12 geht deshalb die letztere Uhr von K aus beurteilt dauernd langsamer als die Uhr in der Mitte der Kreisscheibe. Dasselbe müßte offenbar auch der Mann auf der Kreisscheibe konstatieren, den wir uns etwa als in der Mitte der Kreisscheibe neben der dortigen Uhr sitzend vorstellen wollen. Auf unserer Kreisscheibe und allgemeiner in jedem Gravitationsfelde wird also eine Uhr rascher oder langsamer laufen, je nach der Stelle, in welcher die Uhr (ruhend) angeordnet ist. Eine vernünftige Definition der Zeit mit Hilfe von relativ zum Bezugskörper ruhend angeordneten Uhren ist also nicht möglich. Eine ähnliche Schwierigkeit zeigt sich, wenn man versucht, unsere frühere Definition der Gleichzeitigkeit hier anzuwenden, worauf ich nicht weiter eingehen will.

Aber auch die Definition der räumlichen Koordinaten macht hier zunächst unüberwindliche Schwierigkeiten. Legt nämlich der Beobachter seinen Einheitsmaßstab (ein relativ zum Scheibenradius kleines Stäbchen) an der Scheibenperipherie tangential zu dieser an, so ist derselbe, vom Galileischen System aus beurteilt, kürzer als 1, weil bewegte Körper nach § 12 in Richtung der Bewegung eine Verkürzung erfahren. Legt er dagegen seinen Maßstab in die Richtung des Scheibenradius, so erfährt er, von K aus beurteilt, keine Verkürzung. Mißt der Beobachter also zuerst den Scheibenumfang, dann den Scheibendurchmesser mit seinem Maßstab und dividiert er hierauf diese beiden Meßergebnisse, so findet er als Quotienten nicht die bekannte Zahl π = 3,14..., sondern eine größere Zahl, während sich auf einer relativ zu K ruhenden Scheibe bei dieser Operation natürlich exakt π ergeben müßte. Damit ist bereits bewiesen, daß die Sätze der Euklidischen Geometrie auf der rotierenden Scheibe und damit überhaupt in einem Gravitationsfelde nicht genau gelten können, wenigstens wenn man dem Stäbchen überall und in jeder Orientierung die Länge 1 zuschreibt. Auch der Begriff der geraden Linie verliert damit seine Bedeutung. Wir sind deshalb nicht in der Lage, relativ zur Scheibe die Koordinaten x, y, z nach der in der speziellen Relativität benutzten Methode exakt zu definieren. Solange jedoch Koordinaten und Zeiten der Ereignisse nicht definiert sind, haben auch Naturgesetze, in welchen diese vorkommen, keine exakte Bedeutung.

Damit scheinen alle Überlegungen, welche wir bisher über allgemeine Relativität angestellt haben, in Frage gestellt zu sein. In der Tat bedarf es eines subtilen Umweges, um das Postulat der allgemeinen Relativität exakt anzuwenden. Auf diesen wird der Leser durch die folgenden Betrachtungen vorbereitet werden.

§ 24. Euklidisches und Nicht-Euklidisches Kontinuum.

Die Oberfläche eines Marmortisches liegt vor mir. Ich kann von irgendeinem Punkte derselben aus zu irgendeinem anderen gelangen, indem ich eine (große) Anzahl von Malen immer zu einem „benachbarten“ Punkte übergehe, oder — anders gesagt — indem ich von Punkt zu Punkt gehe, ohne „Sprünge“ zu machen. Was hier unter „benachbart“ und unter „Sprüngen“ zu verstehen ist, empfindet der Leser gewiß mit genügender Schärfe (wenn er nicht gar zu anspruchsvoll ist). Dies drücken wir aus, indem wir sagen, die Oberfläche sei ein Kontinuum.

Wir denken uns nun eine große Zahl gegen die Abmessungen der Tischplatte kleiner Stäbchen hergestellt, die alle gleich lang seien. Darunter ist verstanden, daß die Enden je zweier davon zur Deckung gebracht werden können. Wir legen nun vier dieser Stäbchen auf der Tischplatte so aufeinander, daß ihre Enden ein Viereck bilden, dessen Diagonalen gleich lang seien (Quadrat). Zur Erzielung der Diagonalengleichheit bedienen wir uns eines Probierstäbchens. An dies Quadrat legen wir gleiche Quadrate an, welche mit ihm ein Stäbchen gemein haben, an diese letzteren Quadrate ebenfalls usw. Schließlich ist die ganze Tischplatte mit Quadraten belegt, derart, daß jede Quadratseite zu zwei Quadraten und jede Quadratecke zu vier Quadraten gehört.

Daß man dies Geschäft ausführen kann, ohne in die größten Schwierigkeiten zu geraten, ist ein wahres Wunder! Man braucht nur an folgendes zu denken. Stoßen an einer Ecke bereits drei Quadrate zusammen, so sind auch von dem vierten bereits zwei Seiten gelegt. Wie die beiden anderen Seiten desselben gelegt werden müssen, ist dadurch schon vollkommen bestimmt. Jetzt kann ich das Viereck aber nicht mehr zurechtrücken, damit seine Diagonalen gleich werden. Sind sie es von selbst schon, so ist dies eine besondere Gunst der Tischplatte und der Stäbchen, über die ich mich nur dankbar wundern kann! Analoger Wunder müssen wir viele erleben, wenn die Konstruktion gelingen soll.

Ist wirklich alles glatt vonstatten gegangen, so sage ich, daß die Punkte der Tischplatte ein Euklidisches Kontinuum mit Bezug auf das benutzte Stäbchen als Strecke bilden. Hebe ich eine Quadratecke als „Anfangspunkt“ hervor, so kann ich jede andere Quadratecke mit Bezug auf den Anfangspunkt durch zwei Zahlen charakterisieren. Ich brauche nur anzugeben, wie viele Stäbchen ich nach „rechts“ und wie viele darauf nach „oben“ ich vom Anfangspunkte zurücklegen muß, um zu der ins Auge gefaßten Quadratecke zu gelangen. Diese zwei Zahlen sind dann die „Kartesischen Koordinaten“ der letzteren mit Bezug auf das durch die gelegten Stäbchen bestimmte „Kartesische Koordinatensystem“.

Daß es auch Fälle geben muß, in denen das Experiment mißlingt, erkennen wir an folgender Modifikation des Gedankenexperiments. Die Stäbchen sollen sich nach Maßgabe der Temperatur „ausdehnen“. Die Tischplatte werde in der Mitte erwärmt, am Rande aber nicht, wobei zwei unserer Stäbchen immer noch an jeder Stelle des Tisches zur Deckung gebracht werden können. Aber unsere Quadratkonstruktion muß dabei notwendig in Unordnung kommen, weil sich die Stäbchen der inneren Partie der Tischplatte ausdehnen, die der äußeren Partie aber nicht.

Mit Bezug auf unsere Stäbchen — als Einheitsstrecken definiert — ist die Tischplatte nun kein Euklidisches Kontinuum mehr, und wir sind auch nicht mehr in der Lage, unmittelbar mit ihrer Hilfe Kartesische Koordinaten zu definieren, da die obige Konstruktion sich nicht mehr durchführen läßt. Da es aber andere Dinge gibt, welche durch die Temperatur des Tisches nicht in analoger Weise wie die Stäbchen (oder überhaupt nicht) beeinflußt werden, gelingt es, in einer natürlichen Weise die Auffassung aufrecht zu erhalten, daß die Tischplatte ein „Euklidisches Kontinuum“ sei; es gelingt in befriedigender Weise durch eine subtilere Festsetzung über das Messen bzw. Vergleichen von Strecken.

Würden aber Stäbchen jeder Art, d. h. jeden Materials, sich in gleicher Weise temperaturempfindlich verhalten auf der verschieden temperierten Tischplatte, und hätten wir kein anderes Mittel, die Wirkung der Temperatur wahrzunehmen, als das geometrische Verhalten der Stäbchen bei Experimenten analog dem oben beschriebenen, so könnte es wohl zweckmäßig sein, zwei Punkten des Tisches die Entfernung 1 zuzuschreiben, wenn sich die Enden eines unserer Stäbchen mit ihnen zur Deckung bringen lassen; denn wie sollte man ohne die krasseste Willkür die Strecke anders definieren? Dann aber muß die Kartesische Koordinatenmethode verlassen und durch eine andere ersetzt werden, welche die Gültigkeit der Euklidischen Geometrie für starre Körper nicht voraussetzt⁠[15]. Der Leser bemerkt, daß die hier geschilderte Situation derjenigen entspricht, welche das allgemeine Relativitätspostulat mit sich gebracht hat (§ 23).

§ 25. Gaußsche Koordinaten.

Fig. 3.

Diese analytisch-geometrische Behandlungsweise läßt sich nach Gauß folgendermaßen erzielen. Man denke sich auf die Tischplatte ein System von beliebigen Kurven (vgl. Fig. 3) aufgezeichnet, die wir als u-Kurven bezeichnen und die wir je mit einer Zahl bezeichnen. In der Zeichnung sind die Kurven u = 1, u = 2 und u = 3 gezeichnet. Zwischen den Kurven u = 1 und u = 2 sind aber noch unendlich viele eingezeichnet zu denken, welche allen reellen Zahlen entsprechen, die zwischen 1 und 2 liegen. Es liegt dann ein System von u-Kurven vor, welche unendlich dicht die ganze Tischplatte überdecken. Keine u-Kurve soll eine andere schneiden, sondern durch jeden Punkt der Tischplatte eine und nur eine Kurve hindurchgehen. Zu jedem Punkte der Oberfläche der Tischplatte gehört dann ein ganz bestimmter u-Wert. Ebenso sei auf die Fläche ein System von v Kurven gezeichnet, die denselben Bedingungen genügen, in entsprechender Weise mit Zahlen versehen sind, aber ebenfalls beliebig gestaltet sein können. Es gehört dann zu jedem Punkte der Tischplatte ein u-Wert und ein v-Wert, welche beiden Zahlen wir die Koordinaten der Tischplatte nennen (Gaußsche Koordinaten). Der Punkt P der Figur hat beispielsweise die Gaußschen Koordinaten u = 3; v = 1. Zwei benachbarten Punkten P und P′ auf der Fläche entsprechen dann die Koordinaten

P : u; v P′ : u + du, v + dv,

wobei du und dv sehr kleine Zahlen bedeuten. Der mit einem Stäbchen gemessene Abstand von P und P′ sei die ebenfalls sehr kleine Zahl ds. Dann ist nach Gauß:

ds² = g₁₁ du² + 2 g₁₂ du dv + g₂₂ dv²,

wobei g₁₁, g₁₂, g₂₂ Größen sind, die in ganz bestimmter Weise von u und v abhängen. Die Größen g₁₁, g₁₂ und g₂₂ bestimmen das Verhalten der Stäbchen relativ zu den u-Kurven und v-Kurven, also auch relativ zur Oberfläche des Tisches. In dem Falle, daß die Punkte der betrachteten Oberfläche in bezug auf die Meßstäbchen ein Euklidisches Kontinuum bilden, aber auch nur dann, ist es möglich, die u-Kurven und v-Kurven so zu zeichnen und mit Zahlen zu versehen, daß einfach

ds² = du² + dv²

wird. Dann sind die u-Kurven und v-Kurven gerade Linien im Sinne der Euklidischen Geometrie, welche aufeinander senkrecht stehen. Dann sind die Gaußschen Koordinaten einfach Kartesische. Man sieht, daß die Gaußschen Koordinaten weiter nichts sind als eine Zuordnung je zweier Zahlen zu den Punkten der betrachteten Fläche, derart, daß räumlich benachbarten Punkten sehr wenig verschiedene Zahlenwerte zugeordnet sind.

Diese Betrachtungen gelten zunächst für ein Kontinuum von zwei Dimensionen. Aber die Gaußsche Methode läßt sich auch auf ein Kontinuum von drei, vier oder mehr Dimensionen anwenden. Liegt z. B. ein Kontinuum von vier Dimensionen vor, so ergibt sich folgende Darstellung. Jedem Punkte des Kontinuums werden willkürlich vier Zahlen x₁, x₂, x₃, x₄ zugeordnet, welche „Koordinaten“ genannt werden. Benachbarten Punkten entsprechen benachbarte Koordinatenwerte. Ist nun benachbarten Punkten P und P′ ein durch Messungen ermittelbarer, physikalisch wohldefinierter Abstand ds zugeordnet, so gilt eine Formel:

ds² = g₁₁ dx₁² + 2 g₁₂ dx₁ dx₂ ··· + g₄₄ dx₄² ,

wobei die Größen g₁₁ usw. Werte haben, die mit dem Orte im Kontinuum variieren. Nur in dem Falle, daß das Kontinuum ein Euklidisches ist, ist es möglich, die Koordinaten x₁···x₄ den Punkten des Kontinuums so zuzuordnen, daß einfach

ds² = dx₁² + dx₂² + dx₃² + dx₄²

wird. Dann gelten in dem vierdimensionalen Kontinuum Beziehungen, welche den in unseren dreidimensionalen Messungen geltenden analog sind.

Die angegebene Gaußsche Darstellung für ds² ist übrigens nicht immer möglich, sondern nur dann, wenn genügend kleine Gebiete des betrachteten Kontinuums sich als Euklidische Kontinua ansehen lassen. Dies trifft z. B. offenbar zu in dem Falle der Tischplatte und örtlich veränderlicher Temperatur. Denn für einen kleinen Teil der Platte ist die Temperatur praktisch konstant, das geometrische Verhalten der Stäbchen also beinahe ein solches, wie es gemäß den Regeln der Euklidischen Geometrie sein soll. Die Unstimmigkeiten der Quadratkonstruktion des vorigen Paragraphen treten somit erst deutlich zutage, wenn die Konstruktion des vorigen Paragraphen über einen beträchtlichen Teil der Tischplatte ausgedehnt wird.

Zusammenfassend können wir also sagen: Gauß hat eine Methode zur mathematischen Behandlung beliebiger Kontinua erfunden, in denen Maßbeziehungen („Abstand“ benachbarter Punkte) definiert sind. Jedem Punkte des Kontinuums werden so viel Zahlen (Gaußsche Koordinaten) zugeordnet, als das Kontinuum Dimensionen hat. Die Zuordnung erfolgt so, daß die Eindeutigkeit der Zuordnung gewahrt wird, und daß benachbarten Punkten unendlich wenig verschiedene Zahlen (Gaußsche Koordinaten) zugeordnet werden. Das Gaußsche Koordinatensystem ist eine logische Verallgemeinerung des Kartesischen Koordinatensystems. Es ist auch auf Nicht-Euklidische Kontinua anwendbar, allerdings nur dann, wenn kleine Teile des betrachteten Kontinuums mit Bezug auf das definierte Maß („Abstand“) sich mit desto größerer Annäherung Euklidisch verhalten, je kleiner der ins Auge gefaßte Teil des Kontinuums ist.

§ 26. Das raum-zeitliche Kontinuum der speziellen Relativitätstheorie als Euklidisches Kontinuum.

Wir sind nun in der Lage, den in § 17 nur lose angedeuteten Gedanken Minkowskis etwas genauer zu formulieren. Gemäß der speziellen Relativitätstheorie sind für die Beschreibung des raum-zeitlichen, vierdimensionalen Kontinuums gewisse Koordinatensysteme bevorzugt, die wir „Galileische Koordinatensysteme“ genannt haben. Für sie sind die vier Koordinaten x, y, z, t, welche ein Ereignis oder — anders ausgedrückt — einen Punkt des vierdimensionalen Kontinuums bestimmen, in einfacher Weise physikalisch definiert, wie im ersten Teile dieses Büchleins ausführlich dargelegt ist. Für den Übergang von einem Galileischen System zu einem anderen, relativ zum ersten gleichförmig bewegten gelten die Gleichungen der Lorentz-Transformation, welche die Basis für die Ableitung der Konsequenzen der speziellen Relativitätstheorie bilden und ihrerseits weiter nichts sind als der Ausdruck der universellen Gültigkeit des Lichtausbreitungsgesetzes für alle Galileischen Bezugssysteme.

Minkowski fand, daß die Lorentz-Transformationen folgenden einfachen Bedingungen genügen. Es seien zwei benachbarte Ereignisse betrachtet, deren gegenseitige Lage im vierdimensionalen Kontinuum durch die räumlichen Koordinatendifferenzen dx, dy, dz und die zeitliche Differenz dt bezüglich eines Galileischen Bezugskörpers K gegeben seien. Bezüglich eines zweiten Galileischen Systems seien die analogen Differenzen für diese beiden Ereignisse dx′, dy′, dz′, dt′. Dann gilt zwischen ihnen stets die Bedingung:

d x² + d y² + d z² − c² d t² = d x′² + d y′² + d z′² − c² d t′² .

Diese Bedingung hat die Gültigkeit der Lorentz-Transformation zur Konsequenz. Wir können das so aussprechen: Die zu zwei benachbarten Punkten des vierdimensionalen raum-zeitlichen Kontinuums gehörige Größe

d s² = d x² + d y² + d z² − c² d t²

hat für alle bevorzugten (Galileischen) Bezugskörper denselben Wert. Ersetzt man x, y, z, √−1 c t durch x₁, x₂, x₃, x₄, so erhält man auch das Resultat, daß

d s² = d x₁² + d x₂² + dx ₃² + d x₄²

von der Wahl des Bezugskörpers unabhängig ist. Die Größe ds nennen wir den „Abstand“ der beiden Ereignisse oder vierdimensionalen Punkte.

Wählt man also die imaginäre Variable √−1 c t statt des reellen t als Zeitvariable, so kann man das raum-zeitliche Kontinuum gemäß der speziellen Relativitätstheorie als ein „Euklidisches“ vierdimensionales Kontinuum auffassen, wie aus den Darlegungen des letzten Paragraphen hervorgeht.

§ 27. Das raum-zeitliche Kontinuum der allgemeinen Relativitätstheorie ist kein Euklidisches Kontinuum.

Im ersten Teil dieses Schriftchens haben wir uns raum-zeitlicher Koordinaten bedienen können, welche eine einfache, direkte physikalische Interpretation zuließen und welche sich nach § 26 als vierdimensionale Kartesische Koordinaten deuten lassen. Dies war möglich auf Grund des Gesetzes von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, an welchem aber nach § 21 die allgemeine Relativitätstheorie nicht festhalten kann; wir kamen vielmehr zu dem Ergebnis, daß gemäß letzterer Theorie die Lichtgeschwindigkeit stets von den Koordinaten abhängen muß, falls ein Gravitationsfeld vorhanden ist. Wir fanden ferner in § 23 an einem speziellen Beispiel, daß das Vorhandensein eines Gravitationsfeldes jene Definition der Koordinaten und der Zeit unmöglich macht, welche bei der speziellen Relativitätstheorie zum Ziele geführt hat.

Mit Rücksicht auf diese Überlegungsergebnisse kommen wir zu der Überzeugung, daß gemäß dem allgemeinen Relativitätsprinzip das raum-zeitliche Kontinuum nicht als ein Euklidisches aufgefaßt werden kann, sondern daß hier der allgemeine Fall vorliegt, welchen wir für das zweidimensionale Kontinuum der Tischplatte von örtlich variabler Temperatur kennen gelernt haben. Wie es dort unmöglich war, aus gleichen Stäbchen ein Kartesisches Koordinatensystem zu konstruieren, so ist es hier unmöglich, aus starren Körpern und Uhren ein System (Bezugskörper) aufzubauen, derart, daß relativ zueinander fest angeordnete Maßstäbe und Uhren direkt Ort und Zeit anzeigen. Dies ist das Wesen der Schwierigkeit, die uns in § 23 entgegentrat.

Die Darlegungen des § 25 und § 26 zeigen aber den Weg, auf dem diese Schwierigkeit zu überwinden ist. Wir beziehen das vierdimensionale raum-zeitliche Kontinuum in willkürlicher Weise auf Gaußsche Koordinaten. Jedem Punkte des Kontinuums (Ereignis) ordnen wir vier Zahlen x₁, x₂, x₃, x₄ (Koordinaten) zu, die gar keine unmittelbare physikalische Bedeutung besitzen, sondern nur dazu dienen, die Punkte des Kontinuums in bestimmter, aber willkürlicher Weise zu numerieren. Solche Koordinaten legen wir der Beschreibung der physikalischen Vorgänge zugrunde. Bei dieser Zuordnung ist zwischen „räumlicher“ und „zeitlicher“ Ausdehnung nicht unterschieden, so daß man nicht mehr die Koordinaten x₁, x₂, x₃ als „räumliche“, die Koordinaten x₄ als „zeitliche“ unterscheiden kann.

Der Leser könnte denken, daß eine derartige Beschreibung der Welt gänzlich unzulänglich wäre. Was bedeutet es, wenn ich einem Ereignis die bestimmten Koordinaten x₁, x₂, x₃, x₄ zuschreibe, wenn diese Koordinaten selbst nichts bedeuten? Bei genauerer Überlegung zeigt sich jedoch, daß diese Sorge nicht begründet ist. Betrachten wir z. B. einen beliebig bewegten materiellen Punkt! Hätte derselbe nur eine momentane Existenz ohne Dauer, so wäre er raum-zeitlich beschrieben durch ein einziges Wertsystem x₁, x₂, x₃, x₄. Seine bleibende Existenz ist also durch eine unendlich große Zahl von solchen Wertsystemen charakterisiert, deren Koordinatenwerte sich stetig aneinanderreihen; dem Massenpunkte entspricht also eine (eindimensionale) Linie im vierdimensionalen Kontinuum. Vielen bewegten Punkten entsprechen ebensowohl derartige Linien in unserem Kontinuum. Die einzigen diese Punkte betreffenden Aussagen, welche physikalische Realität beanspruchen können, sind in Wahrheit die Aussagen über Begegnungen dieser Punkte. Eine solche Begegnung äußert sich in unserer mathematischen Darstellung darin, daß die beiden Linien, welche die betreffenden Punktbewegungen darstellen, ein gewisses System x₁, x₂, x₃, x₄ von Koordinatenwerten gemeinsam haben. Daß solche Begegnungen in Wahrheit die einzigen tatsächlichen Konstatierungen zeit-räumlichen Charakters sind, die wir in physikalischen Aussagen antreffen, wird der Leser nach eingehender Überlegung ohne Zweifel zugeben.

Wenn wir früher die Bewegung eines materiellen Punktes relativ zu einem Bezugskörper beschrieben, gaben wir nichts weiter an, als die Begegnungen dieses Punktes mit bestimmten Punkten des Bezugskörpers. Auch die zugehörigen Zeitangaben lassen sich auflösen in die Konstatierung von Begegnungen des Körpers mit Uhren, in Verbindung mit Konstatierung der Begegnung von Uhrzeigern mit bestimmten Punkten von Zifferblättern. Nicht anders ist es mit den räumlichen Messungen durch Maßstäbe, wie einiges Nachdenken zeigt.

Allgemein gilt: „Jede physikalische Beschreibung löst sich auf in eine Zahl von Aussagen, deren jede sich auf die raum-zeitliche Koinzidenz zweier Ereignisse A und B bezieht. Jede solche Aussage drückt sich in Gaußschen Koordinaten durch die Übereinstimmung der vier Koordinaten x₁, x₂, x₃, x₄ aus.“ Die Beschreibung des zeit-räumlichen Kontinuums durch Gaußsche Koordinaten ersetzt also tatsächlich die Beschreibung mit Hilfe eines Bezugskörpers vollständig, ohne an den Mängeln der letzteren Beschreibungsmethode zu kranken; sie ist nicht an den Euklidischen Charakter des darzustellenden Kontinuums gebunden.

§ 28. Exakte Formulierung des allgemeinen Relativitätsprinzips.

Nun sind wir in der Lage, die in § 18 gegebene vorläufige Formulierung des allgemeinen Relativitätsprinzips durch eine exakte zu ersetzen. Die damalige Fassung, „Alle Bezugskörper K, K′ usw. sind für die Naturbeschreibung (Formulierung der allgemeinen Naturgesetze) gleichwertig, welches auch deren Bewegungszustand sein mag“, läßt sich nicht aufrecht erhalten, weil die Benutzung von starren Bezugskörpern bei der raum-zeitlichen Beschreibung im Sinne der bei der speziellen Relativitätstheorie befolgten Methode im allgemeinen nicht möglich ist. An die Stelle des Bezugskörpers hat das Gaußsche Koordinatensystem zu treten. Dem Grundgedanken des allgemeinen Relativitätsprinzips entspricht die Aussage: „Alle Gaußschen Koordinatensysteme sind für die Formulierung der allgemeinen Naturgesetze prinzipiell gleichwertig.“

Man kann dies allgemeine Relativitätsprinzip auch noch in einer anderen Form aussprechen, die dasselbe noch deutlicher als die naturgemäße Erweiterung des speziellen Relativitätsprinzips erkennen läßt. Nach der speziellen Relativitätstheorie gehen die die allgemeinen Naturgesetze ausdrückenden Gleichungen in Gleichungen derselben Form über, wenn man statt der Raum-Zeit-Variabeln x, y, z, t eines (Galileischen) Bezugskörpers K unter Benutzung der Lorentz-Transformation die Raum-Zeit-Variabeln x′, y′, z′, t′ eines neuen Bezugskörpers K′ einführt. Nach der allgemeinen Relativitätstheorie dagegen müssen die Gleichungen bei Anwendung beliebiger Substitutionen der Gaußschen Variabeln x₁, x₂, x₃, x₄ in Gleichungen derselben Form übergehen; denn jede Transformation (nicht nur die Lorentz-Transformation) entspricht dem Übergang eines Gaußschen Koordinatensystems in ein anderes.

Will man auf die gewohnte dreidimensionale Anschauung nicht verzichten, so kann man die Entwicklung, welche wir den Grundgedanken der allgemeinen Relativitätstheorie durchmachen sehen, wie folgt charakterisieren: Die spezielle Relativitätstheorie bezieht sich auf Galileische Gebiete, d. h. auf solche, in welchen kein Gravitationsfeld existiert. Als Bezugskörper dient dabei ein Galileischer Bezugskörper, d. h. ein starrer Körper von so gewähltem Bewegungszustande, daß relativ zu ihm der Galileische Satz von der gleichförmig-geradlinigen Bewegung „isolierter“ materieller Punkte gilt.

Gewisse Überlegungen legen es nahe, dieselben Galileischen Gebiete auch auf Nicht-Galileische Bezugskörper zu beziehen. Relativ zu diesen ist dann ein Gravitationsfeld von spezieller Art vorhanden (§ 20 und § 23).

Starre Körper mit Euklidischen Eigenschaften gibt es aber in Gravitationsfeldern nicht; die Fiktion des starren Bezugskörpers versagt daher in der allgemeinen Relativitätstheorie. Auch wird der Gang der Uhren von Gravitationsfeldern beeinflußt, derart, daß eine physikalische Zeitdefinition direkt mit Hilfe von Uhren durchaus nicht jenen Grad der Evidenz hat wie in der speziellen Relativitätstheorie.

Man benutzt daher nichtstarre Bezugskörper, welche nicht nur als Ganzes beliebig bewegt sind, sondern auch während ihrer Bewegung beliebige Gestaltsänderungen erleiden. Zur Definition der Zeit dienen Uhren von beliebigem, noch so unregelmäßigem Ganggesetz, welche man sich je an einem Punkte des nichtstarren Bezugskörpers befestigt zu denken hat, und welche nur die eine Bedingung erfüllen, daß die gleichzeitig wahrnehmbaren Angaben örtlich benachbarter Uhren unendlich wenig voneinander abweichen. Dieser nichtstarre Bezugskörper, den man nicht mit Unrecht als „Bezugsmolluske“ bezeichnen könnte, ist im wesentlichen gleichwertig mit einem beliebigen Gaußschen vierdimensionalen Koordinatensystem. Was der „Molluske“ gegenüber dem Gaußschen Koordinatensystem eine gewisse Anschaulichkeit gibt, ist die (eigentlich unberechtigte) formale Wahrung der Sonderexistenz der räumlichen Koordinaten gegenüber der Zeitkoordinate. Jeder Punkt der Molluske wird als Raumpunkt behandelt, jeder relativ zu ihm ruhende materielle Punkt schlechthin als ruhend, solange die Molluske als Bezugskörper behandelt wird. Das allgemeine Relativitätsprinzip fordert, daß alle diese Mollusken mit gleichem Rechte und gleichem Erfolge bei der Formulierung der allgemeinen Naturgesetze als Bezugskörper verwendet werden können; die Gesetze sollen von der Molluskenwahl gänzlich unabhängig sein.

In der weitgehenden Beschränkung, welche hierdurch den Naturgesetzen auferlegt wird, liegt die Spürkraft, die dem allgemeinen Relativitätsprinzip innewohnt.

§ 29. Die Lösung des Gravitationsproblems auf Grund des allgemeinen Relativitätsprinzips.

Ist der Leser allen bisherigen Überlegungen gefolgt, so bereitet ihm das Verstehen der zur Lösung des Gravitationsproblems führenden Methoden keine Schwierigkeiten mehr.

Wir gehen aus von der Betrachtung eines Galileischen Gebietes, d. h. eines solchen, in welchem relativ zum Galileischen Bezugskörper K kein Gravitationsfeld existiert. Das Verhalten von Maßstäben und Uhren in bezug auf K ist aus der speziellen Relativitätstheorie bekannt, ebenso das Verhalten von „isolierten“ Massepunkten; letztere bewegen sich geradlinig und gleichförmig.

Nun beziehen wir dies Gebiet auf ein beliebiges Gaußsches Koordinatensystem bzw. auf eine „Molluske“ als Bezugskörper K′. In bezug auf K′ besteht dann ein Gravitationsfeld G (besonderer Art). Durch bloße Umrechnung erfährt man dann das Verhalten von Maßstäben und Uhren sowie von frei beweglichen materiellen Punkten in bezug auf K′. Dies Verhalten interpretiert man als das Verhalten von Maßstäben, Uhren, materiellen Punkten unter der Wirkung des Gravitationsfeldes G. Man führt hierauf die Hypothese ein, daß die Einwirkung des Gravitationsfeldes auf Maßstäbe, Uhren und frei bewegliche, materielle Punkte auch dann nach denselben Gesetzen vor sich gehe, wenn sich das herrschende Gravitationsfeld nicht durch bloße Koordinatentransformation aus dem Galileischen Spezialfall ableiten läßt.

Hierauf untersucht man das raum-zeitliche Verhalten des aus dem Galileischen Spezialfall durch bloße Transformation der Koordinaten abgeleiteten Gravitationsfeldes G und formuliert dies Verhalten durch ein Gesetz, das immer gültig ist, wie auch der zur Beschreibung benutzte Bezugskörper (Molluske) gewählt werden mag.

Dies Gesetz ist noch nicht das allgemeine Gesetz des Gravitationsfeldes, da das studierte Gravitationsfeld G von spezieller Art ist. Zur Auffindung des allgemeinen Feldgesetzes der Gravitation bedarf es noch einer Verallgemeinerung des so gewonnenen Gesetzes, welche jedoch ohne Willkür aufgefunden werden kann, unter Berücksichtigung der folgenden Forderungen:

a)

Die gesuchte Verallgemeinerung muß ebenfalls dem allgemeinen Relativitätspostulat genügen.

b)

Ist Materie in dem betrachteten Gebiete vorhanden, so ist für deren felderregende Wirkung allein deren träge Masse, also gemäß § 15 allein deren Energie maßgebend.

c)

Gravitationsfeld und Materie zusammen müssen dem Gesetz von der Erhaltung der Energie (und des Impulses) genügen.

Endlich erlaubt uns das allgemeine Relativitätsprinzip, den Einfluß des Gravitationsfeldes auf den Ablauf aller derjenigen Vorgänge zu ermitteln, die für den Fall des Fehlens eines Gravitationsfeldes nach bekannten Gesetzen ablaufen, d. h. in den Rahmen der speziellen Relativitätstheorie bereits eingefügt sind. Man verfährt dabei im Prinzip nach der Methode, die vorhin für Maßstäbe, Uhren und frei bewegliche Massenpunkte auseinandergesetzt worden ist.

Die so aus dem allgemeinen Relativitätspostulat abgeleitete Gravitationstheorie zeichnet sich nicht nur durch ihre Schönheit aus, sie beseitigt nicht nur den in § 21 beleuchteten Mangel, welcher der klassischen Mechanik anhaftet, sie interpretiert nicht nur das Erfahrungsgesetz von der Gleichheit der trägen und schweren Masse, sondern sie hat auch schon ein Beobachtungsergebnis der Astronomie erklärt, dem gegenüber die klassische Mechanik versagt.

Spezialisiert man sie nämlich auf den Fall, daß die Gravitationsfelder als schwach anzusehen sind, und daß alle Massen sich mit Geschwindigkeiten gegen das Koordinatensystem bewegen, welche gegen die Lichtgeschwindigkeit klein sind, so erhält man zunächst die Newtonsche Theorie als erste Näherung; letztere ergibt sich also hier ohne besondere Annahme, während Newton die dem Quadrat der Distanz aufeinander wirkender Massenpunkte indirekt proportionale Anziehungskraft als Hypothese einführen mußte. Vergrößert man die Genauigkeit der Rechnung, so treten Abweichungen von der Newtonschen Theorie auf, die sich allerdings wegen ihrer Kleinheit fast alle noch der Beobachtung entziehen müssen.

Eine dieser Abweichungen müssen wir hier speziell ins Auge fassen. Nach der Newtonschen Theorie bewegt sich ein Planet um die Sonne in einer Ellipse, welche gegenüber den Fixsternen ihre Lage ewig beibehalten würde, wenn von der Einwirkung der anderen Planeten auf den betrachteten Planeten und von der Eigenbewegung der Fixsterne abgesehen werden könnte. Korrigiert man daher die beobachtete Bewegung der Planeten auf diese beiden Einflüsse, so soll als Bahn des Planeten eine gegen die Fixsterne feste Ellipse resultieren, wenn Newtons Theorie genau richtig ist. Bei allen Planeten, bis auf den der Sonne nächsten Planeten Merkur, hat sich diese mit eminenter Genauigkeit prüfbare Konsequenz mit der Genauigkeit bestätigt, welche die heute erreichbare Beobachtungsschärfe zu erzielen gestattet. Vom Planeten Merkur aber wissen wir seit Leverrier, daß die Ellipse seiner im obigen Sinne korrigierten Bahn gegenüber den Fixsternen nicht feststeht, sondern, wenn auch ungeheuer langsam, in der Ebene der Bahn im Sinne der Umlaufbewegung rotiert. Für diese Rotationsbewegung der Bahnellipse ergab sich ein Betrag von 43 Bogen-Sekunden pro Jahrhundert, welcher Betrag bis auf wenige Bogen-Sekunden sichergestellt ist. Die Erklärung dieser Erscheinung nach der klassischen Mechanik gelingt nur unter Zugrundelegung von ausschließlich ihrethalben ersonnenen, wenig wahrscheinlichen Hypothesen.

Nach der allgemeinen Relativitätstheorie ergibt sich, daß jede Planetenellipse um die Sonne in der oben angegebenen Weise notwendig rotieren muß, daß diese Rotation bei allen Planeten außer Merkur zu klein ist, um bei der heute erzielbaren Beobachtungsgenauigkeit festgestellt zu werden, daß sie aber bei Merkur 43 Bogen-Sekunden pro Jahrhundert betragen muß, genau wie es die Beobachtung verlangt.

Außerdem haben aus der Theorie bisher nur zwei Konsequenzen gezogen werden können, die sich nicht wegen ihrer Kleinheit der Beobachtung entziehen müssen, nämlich die Krümmung der Lichtstrahlen durch das Gravitationsfeld der Sonne und eine Spektralverschiebung des von großen Sternen zu uns gesandten Lichtes gegenüber dem auf der Erde in entsprechender Weise (d. h. durch dieselbe Molekülart) erzeugten Lichte. Ich zweifle nicht daran, daß auch diese Konsequenzen der Theorie ihre Bestätigung finden werden.