Zehnter Abschnitt. Optik.

185. Wesen des Lichtes.

Licht ist eine von einem Körper ausgehende Tätigkeit, welche, wenn sie in unser Auge gelangt, die Empfindung des Sehens hervorbringt. Man nahm früher an, von dem leuchtenden Körper werde ein ungemein feiner Stoff ausgesandt, Lichtstoff, der nach allen Richtungen hin gradlinig weiterfliegt und so auch in unser Auge kommt, Emissionstheorie, und insbesondere Newton (1704) gelang es, durch sie alle damals bekannten Erscheinungen zu erklären.

Man fand aber später noch einige Erscheinungen, welche sich durch die Emissionstheorie nicht erklären ließen, und stellte deshalb eine neue Theorie auf, die Undulationstheorie, Wellen- oder Schwingungstheorie (Huyghens 1665, Thomas Young 1802 und Fresnel). Man nimmt an: Das ganze Weltall ist angefüllt mit einem äußerst feinen Stoffe, dem Äther; dieser hat kein wahrnehmbares Gewicht, ist so fein, daß er jeden Körper durchdringt, so daß auch zwischen den Molekülen des Glases, Wassers etc. Ätherteilchen sind. Der Äther ist elastisch; wenn ein Ätherteilchen seine Stelle verläßt, so wirkt es ziehend und drückend auf die benachbarten, so daß diese auch in Bewegung kommen, und nun ihrerseits wieder ebenso auf ihre Nachbarn einwirken, so daß die Bewegung eines Ätherteilchens sich auf sämtliche vorhandenen Ätherteilchen fortpflanzt. Das Licht besteht in einer wellenförmigen Bewegung des Äthers. Ein leuchtender Körper ist imstande, die Ätherteilchen in schwingende Bewegung zu versetzen, und diese pflanzt sich nach allen Richtungen hin in geraden Linien auf alle andern Ätherteilchen fort. Eine in Schwingungen befindliche Reihe von Ätherteilchen oder auch ein ganzes Bündel paralleler Ätherreihen nennt man einen Lichtstrahl.

Die Bewegung der Ätherteile ist eine transversale: die Ätherteile schwingen senkrecht zur Richtung des Lichtstrahles.

186. Durchsichtigkeit.

Das Licht pflanzt sich in gerader Linie fort. Trifft es auf einen Körper, so durchdringt es ihn; dann nennen wir ihn durchsichtig, wie Luft, Wasser, Glas, Diamant etc.; oder es ist nicht imstande, den Körper zu durchdringen; dann nennen wir den Körper undurchsichtig (opak), wie die Metalle, Steine, Holz etc.

Es gibt weder einen vollständig durchsichtigen, noch einen vollständig undurchsichtigen Körper. Auch die klarsten Stoffe lassen nicht alles Licht durchdringen, sondern verschlucken, vernichten (absorbieren) immer mehr Licht, je tiefer es eindringt. Meerwasser ist stellenweise sehr klar; aber in Tiefen von 3-400 m dringt kein Sonnenlicht mehr. Es gibt auch keinen ganz undurchsichtigen Körper; jeder läßt das Licht wenigstens in geringe Tiefen eindringen. Gold läßt, zu einem sehr dünnen Blättchen ausgeschlagen, wenigstens etwas (grünliches) Licht hindurch (Robert Boyle). Körper, die bei mäßiger Dicke etwas Licht durchdringen lassen, nennt man durchscheinend (transparent); solche sind: Fett, Wachs, Alabaster, weißer Marmor, Milchglas, Achat etc. Bei geringer Dicke sind solche Körper fast ganz durchsichtig, bei großer Dicke undurchsichtig.

Fig. 234.

Auf der gradlinigen Fortpflanzung des Lichtes beruht die hübsche Erscheinung in einer Dunkelkammer, einem Zimmer, das man ganz verfinstert hat. Bringt man in einem Fensterladen eine kleine Öffnung (1 mm weit) an, so dringen von den außenliegenden Gegenständen Lichtstrahlen in das Zimmer, treffen dort einen Papierschirm oder die Wand und erzeugen so ein Bild der äußeren Gegenstände. Das Bild ist verkehrt, lichtschwach, aber deutlich. Durch Vergrößerung der Öffnung wird das Bild lichtstärker, aber undeutlicher. Sonnenstrahlen, die zwischen den Blättern eines Baumes zu Boden fallen, erzeugen dort kreisrunde oder rundlich begrenzte Bilder; bei einer Sonnenfinsternis dagegen Bilder, die der Form der verfinsterten Sonne entsprechen.

187. Schatten.

Wegen der gradlinigen Fortpflanzung des Lichtes erhält der Raum hinter einem undurchsichtigen Körper kein Licht vom leuchtenden Körper; dieser lichtleere Raum heißt der Schatten. Wir befinden uns nachts im Erdschatten; bei einer Mondsfinsternis tritt der Mond in den Erdschatten, bei einer Sonnenfinsternis befinden wir uns im Mondschatten.

Ist der leuchtende Körper ein Punkt, so hat der Schatten die Form eines Kegels, der vom undurchsichtigen Körper nach rückwärts sich immer mehr erweitert (Schattenkegel).

Fig. 235.

Ist der leuchtende Gegenstand selbst einigermaßen ausgedehnt, so entsteht außer dem Haupt- oder Kernschatten noch ein Halbschatten, d. h. ein Raum, in welchem nur ein Teil des Lichtes des leuchtenden Gegenstandes eindringt.

Fig. 236.

In Fig. 236 ist SUOS′ der Kernschatten, welcher rings umgeben ist vom Halbschatten HUS, H′OS′. Eine Stelle des Halbschattens erhält um so weniger Licht, je näher sie dem Kernschatten liegt.

Fig. 237.

Ist der schattengebende Körper UO kleiner als der leuchtende Gegenstand (Fig. 237), so ist der Kernschatten begrenzt, da er sich in OSU kegelförmig zuspitzt, ist jedoch umgeben von einem sich kegelförmig erweiternden Halbschatten.

So gibt die Erde, von der Sonne beschienen, einen Kernschatten, der in eine Spitze ausläuft, also kegelförmig ist (weil ja die Erde kleiner ist als die Sonne), und einen diesen Kernschatten umgebenden Halbschatten, der außen noch am meisten Licht enthält und um so dunkler, tiefer wird, je mehr man sich dem Kernschatten nähert. Bei einer Mondsfinsternis zeigt der Erdschatten auf dem Monde keine scharfe Grenze, sondern einen verwaschenen Rand, den Halbschatten.

188. Geschwindigkeit des Lichtes.

Das Licht braucht, wie jede Bewegung, eine gewisse Zeit, um sich von einem Orte zu einem andern fortzupflanzen. Diese Zeit ist für irdische Erscheinungen so kurz, daß man sie für gewöhnlich vernachlässigen kann; in demselben Momente, in welchem der Blitz in der Wolke aufleuchtet, sehen wir ihn schon; den Blitz der Kanone sieht man im Moment des Abfeuerns.

Fig. 238.

Die Geschwindigkeit des Lichtes wurde zuerst gemessen durch Olaf Römer, einen dänischen Astronomen, und zwar durch Beobachtung der Verfinsterung der Jupitertrabanten (1676). Der Planet Jupiter J wird von 4 Monden umkreist, vom innersten M sehr rasch, in 42¹⁄₂ Stunden, wobei er jedesmal in den Schatten des Jupiter kommt und verfinstert wird, was von der Erde aus leicht beobachtet werden kann. Die Zeit zwischen dem Beginne einer Verfinsterung und dem Beginne der nächsten ist gleich der (synodischen) Umlaufszeit des Trabanten, und sollte demnach stets dieselbe sein. Nun fand O. Römer: Wenn die Erde in Konjunktion oder Opposition mit dem Jupiter, also in E oder E₂ steht, so beträgt diese Zeit 42¹⁄₂ Stunden (ca.), befindet sich aber Jupiter im Quadranten, also die Erde in E₁ oder E₃, so ist diese Zeit um 14 Sekunden länger oder kürzer, je nachdem sich die Erde vom Jupiter weg oder auf ihn zu bewegt. Erklärung: Wenn die Erde sich in E oder E₂ befindet, so hat sie sich in den 42¹⁄₂ Stunden nahezu parallel zum Laufe des Jupiter bewegt, also ist ihre Entfernung von ihm nahezu gleich geblieben. Befindet sich die Erde aber in E₁, so bewegt sie sich gerade vom Jupiter weg, entfernt sich also in 42¹⁄₂ Stunden um ca. 590 000 geogr. Meilen von ihm. Da nun beim Beginne der zweiten Verfinsterung das Licht die Erde nicht mehr an demselben Orte, sondern an einem weiter entfernten Orte trifft, so braucht es eine gewisse Zeit, um diese 590 000 g. M. zurückzulegen, und um soviel erscheint der Eintritt der zweiten Verfinsterung verzögert. Diese Verzögerung beträgt 14", also legt das Licht in 14 Sekunden 590 000 g. M. zurück, also in 1" 42 100 g. M. Daß in E₃, wo sich die Erde gerade auf den Jupiter zu bewegt, die Verfinsterung um 14" verfrüht erscheint, erklärt sich ähnlich.

Dem französischen Physiker Fizeau gelang es, die Geschwindigkeit des Lichtes zu messen, durch Verwendung von verhältnismäßig kurzen irdischen Entfernungen. Er fand eine Geschwindigkeit von 315 364 km pro 1".

Wegen der großen Geschwindigkeit des Lichtes werden irdische Entfernungen stets in ungemein kleinen Zeiten durchlaufen. Zu den großen Entfernungen des Weltraumes braucht es eine entsprechend große Zeit: von der Sonne zur Erde 8' 11", und bis zum äußersten Planeten Neptun 4 St. 19 M. Bis zum nächsten Fixstern, welcher 223 000 Erdweiten entfernt ist, braucht das Licht 3 J. 6 M.

189. Stärke des Lichtes und deren Messung. Photometer.

Fig. 239.

Während das Licht sich von einem Punkt aus nach allen Seiten ausbreitet, nimmt es an Stärke ab. Diejenige Lichtmenge, welche von L ausgehend die Fläche f trifft, breitet sich, wenn man eine Fläche in 2 mal (n mal) größerer Entfernung aufstellt, auf eine 4 mal (n² mal) größere Fläche F (Fig. 109). Es trifft also auf eine kleine Flächeneinheit von F nur mehr 4 mal (n² mal) weniger Licht als auf die gleiche Flächeneinheit von f, oder F wird 4 mal (n² mal) weniger stark beleuchtet als f. Die Beleuchtungsstärke einer Fläche ist dem Quadrat ihrer Entfernung von der Lichtquelle umgekehrt proportional, oder: die Lichtstärke nimmt ab, wie das Quadrat der Entfernung zunimmt. Das Sonnenlicht ist auf dem Mars 2,3 mal, auf dem Neptun ca. 900 mal schwächer, auf der Venus 1,9 mal, auf dem Merkur zwischen 4,6 und 10,6 mal stärker als bei uns.

Daß wir ein Gaslicht in einer Entfernung von ¹⁄₂ m ohne Schaden, und in einer Entfernung von 10 km (bei reiner Luft noch viel weiter), also bei 400 000 000 mal geringerer Stärke noch sehen können, zeugt von der vorzüglichen Einrichtung unseres Auges.

Unter Lichtstärke einer Flamme oder eines leuchtenden Körpers überhaupt versteht man die Menge Licht, welche die Flamme aussendet. Um die Lichtstärke zweier Flammen zu vergleichen, entfernt man die stärkere so weit, bis eine gewisse Fläche von ihr eben so stark beleuchtet wird als von der schwächeren Flamme. Ist hiebei die stärkere Flamme 2 mal (n mal) so weit von der Fläche entfernt, wie die schwächere, so folgt nach dem ersten Satz, daß ihre Lichtstärke 4 mal (n² mal) so groß ist wie die der schwächeren. Die Lichtstärken zweier Flammen, welche ein und dieselbe Fläche uns verschiedenen Entfernungen him, verhalten sich wie die Quadrate ihrer Abstände von der Fläche.

Fig. 240.

Auf diesem Satze beruhen die Photometer, Apparate, durch welche man die Lichtstärken zweier Flammen vergleicht. Beim Photometer von Rumford (Fig. 240) werden durch zwei Flammen L und L′ von einem Stabe K auf einem Schirm zwei Schattenbilder S und S′ entworfen, von denen jedes von der andern Flamme beleuchtet wird. Entfernt man die eine Flamme so weit, daß die Schatten gleich hell erscheinen, so verhalten sich die Lichtstärken wie die Quadrate der Entfernungen der Flammen vom Schirm.

Beim Photometer von Bunsen ist auf einem Schirm von Seidenpapier ein kleiner Stearinfleck angebracht; dieser ist durchscheinend, so daß er, wenn hinter dem Schirm eine Flamme brennt, hell auf dunklem Grunde erscheint. Nähert man nun auch von vorn ein Licht A, so sieht man bei einer bestimmten Annäherung den Stearinfleck verschwinden. Entfernt man A und nähert ein anderes Licht B von vorn, bis wieder der Stearinfleck verschwindet, so erhält nun der Schirm von B ebensoviel Licht als vorher von A, also verhalten sich die Lichtstärken von A und B wie die Quadrate ihrer Entfernungen vom Schirm.

Die gebräuchlichste Lichteinheit ist die Normalkerze oder deutsche Vereinskerze, das Licht einer Paraffinkerze von 22 mm Durchmesser und 30 mm Flammenhöhe. Es liefert z. B. ein Petroleumrundbrenner von 25 mm Durchmesser bei 54 g Ölverbrauch pro Stunde 16 Kerzen Lichtstärke.

Unter 1 Meterkerze versteht man die Beleuchtungsstärke, welche eine kleine Fläche von 1 Normalkerze in 1 m Entfernung bei senkrechter Beleuchtung empfängt. Eine Flamme von N Normalkerzen Lichtstärke liefert demnach in a m Entfernung bei senkrechtem Einfallen eine Beleuchtung von N a² Meterkerzen, bei schiefem: N a² cos α Meterkerzen.

Aufgaben:

109. Bei einem Photometer von Rumford ist eine deutsche Vereinskerze 64 cm, eine Petroleumlampe 1,53 m vom Schirm entfernt, so daß die Schatten gleich dunkel erscheinen. Wie viele Normalkerzen beträgt die Leuchtkraft dieser Lampe?

110. Wie viele Meterkerzen beträgt im vorigen Beispiel die Beleuchtung des Schirmes durch die Lampe allein?

111. In welcher Entfernung beleuchten 3 Argandbrenner à 22 N.K. eine Wand ebenso stark als eine Vereinskerze in ¹⁄₂ m Entfernung? Wie viele Meterkerzen hat die Beleuchtung?

190. Reflexion des Lichtes.

Trifft das Licht auf die Grenzfläche zweier Stoffe (Medien), so teilt es sich in zwei Teile; der eine Teil dringt in das zweite Medium ein (und wird entweder durchgelassen oder verschluckt, wovon später), der andere Teil kehrt in das erste Medium zurück, wird zurückgeworfen oder reflektiert.

Ist diese Grenzfläche rauh und uneben wie bei Holz, Stein, Erde, Papier, so wird das auffallende Licht nach allen Seiten hin zurückgeworfen, gleichgültig, wie es einfällt: zerstreute Zurückwerfung oder diffuse Reflexion. Sie bewirkt, daß wir solche Gegenstände überhaupt sehen, da die reflektierten Lichtstrahlen in unser Auge fallen, wo es sich auch befinden mag. Wir nennen einen Gegenstand hell, wenn er verhältnismäßig viele Lichtstrahlen zurückwirft (weißes Papier), dagegen dunkel, wenn er sehr wenig Licht zurückwirft (braune Stoffe, Erde u. s. w.) und schwarz, wenn er fast gar kein Licht zurückwirft. Einen absolut schwarzen Körper, der gar kein Licht zurückwirft, gibt es nicht; ein solcher müßte auch bei der stärksten Beleuchtung ganz unsichtbar sein; sehr schwarz ist Tusch und Lampenruß.

191. Definition des optischen Bildes.

Das Auge sieht einen Punkt, wenn von den Lichtstrahlen, die von dem Punkte ausgehen, ein (kegelförmiges) Bündel ins Auge fällt.

Fig. 241.

Werden alle Strahlen eines solchen Bündels durch irgend welche Ursachen von ihrer Bahn abgelenkt, so daß sie nachher wieder in einem Punkte A′ oder A′′′ (Fig. 241) zusammentreffen, so nennt man diesen Punkt A′ oder A′′′ ein optisches Bild des Punktes A. Denn die Lichtstrahlen setzen dann ihren geradlinigen Weg fort und bilden wieder ein kegelförmiges Strahlenbündel. Trifft dieses Bündel in das Auge, so hat es denselben Eindruck, wie wenn es vom Strahlenbündel des leuchtenden Punktes getroffen würde; das Auge glaubt in A′ den leuchtenden Punkt zu sehen. Deshalb nennt man A′ das Bild von A, und zwar ein reelles Bild; ebenso A′′′.

Werden jedoch die Strahlen eines solchen Bündels so abgelenkt, daß sie sich nicht wirklich in einem Punkte schneiden, aber doch so laufen, als wenn sie alle von einem Punkte A′′ herkämen, so nennt man diesen Punkt A′′ ein virtuelles Bild. Wird ein Auge in den Gang dieser Lichtstrahlen gebracht, so hat es den Eindruck, wie wenn die Strahlen wirklich von A′′ herkämen, es glaubt, in A′′ den leuchtenden Punkt A zu sehen.

Werden aber die Strahlen so abgelenkt, daß sie nach der Ablenkung keinen Vereinigungsort (weder einen reellen, noch virtuellen) haben, so hat das Auge, das man in den Gang solcher Lichtstrahlen bringt, wohl noch den Eindruck von Licht, Helligkeit, Farbe, aber nicht mehr den Eindruck, als sehe es den Punkt A. Es entsteht kein optisches Bild.

192. Reflexionsgesetze.

Ist die Grenzfläche zweier Medien glatt, so erfolgt die Reflexion nach den Reflexionsgesetzen (regelmäßige Reflexion):

Fig. 242.

1) Jeder Lichtstrahl wird nur nach einer Richtung reflektiert.

2) Der einfallende Strahl, der reflektierte und das Einfallslot liegen in einer Ebene, Reflexionsebene. Die Reflexionsebene steht senkrecht auf der reflektierenden Ebene.

Fig. 243.

3) Der Einfallswinkel ist gleich dem Reflexionswinkel, d. h. der Winkel, welchen der einfallende Strahl mit dem Einfallslot bildet, ist gleich dem Winkel, welchen der reflektierte Strahl mit dem Einfallslot bildet.

Der Reflexionsapparat: Auf einem Brettchen ist ein im Halbkreise gebogenes Blech befestigt, in Grade geteilt und in der Mitte mit einem Spalte versehen. Im Mittelpunkte des Kreises (Fig. 243) ist ein kleiner Spiegel drehbar aufgestellt und mit einem Zeiger verbunden, welcher auf ihm senkrecht steht, also die Spiegelnormale oder das Einfallslot darstellt, und mit seinem Ende längs des Halbkreises sich bewegt. Läßt man durch den Spalt einen Lichtstrahl auf den Spiegel fallen, dreht diesen, so daß der Zeiger etwa auf 32° zeigt, also der Einfallswinkel 32° beträgt, so wird das Licht reflektiert, und trifft den Halbkreis bei 64°; demnach ist auch der Reflexionswinkel 32°. Durch Versuche mit verschiedenen Einfallswinkeln findet man das Gesetz bestätigt.

193. Planspiegel.

Eine glatte Grenzfläche zweier Medien nennt man Spiegel, und zwar Planspiegel, wenn die Fläche eben ist.

Wenn ein Bündel paralleler Lichtstrahlen auf einen Planspiegel fällt, so sind auch die reflektierten Strahlen unter sich parallel.

Treffen Lichtstrahlen von einem leuchtenden Punkte aus divergent den Spiegel, so divergieren auch die reflektierten Strahlen und zwar so, als ob sie von einem Punkte herkämen, der hinter dem Spiegel liegt eben so weit wie der leuchtende Punkt vor demselben und zwar in der Verlängerung der vom leuchtenden Punkte auf den Spiegel gezogenen Senkrechten (Spiegelnormale).

Fig. 244.

Ableitung: Es sei (Fig. 244) SS′ der ebene Schnitt des Spiegels und L der leuchtende Punkt; ich mache LS ⊥ SS′, verlängere LS, so daß L′S = LS, und beweise, daß jeder reflektierte Strahl durch L′ geht. Sei LA ein beliebiger Strahl, so ziehe ich L′A und verlängere ihn nach AA′, so ist △ LAS ≅ △ L′AS; [denn SL = SL′, SA = SA, ∢ LSA = ∢ L′SA = R]; also ∢ LAS = ∢ L′AS; aber ∢ L′AS = S′AA′, demnach ∢ LAS = ∢ S′AA′ also auch, wenn MA ⊥ SS′ (Einfallslot), ∢ LAM = ∢ A′AM; AA′ ist also, da Einfallsw. = Reflexionsw., der reflektierte Strahl von LA. Was von LA bewiesen wurde, kann ebenso von jedem beliebigen anderen Strahle LB, LC etc. bewiesen werden; also gehen die reflektierten Strahlen wirklich so, als wenn sie von L′ herkämen. Man sagt: Der Planspiegel entwirft von dem leuchtenden Punkte L ein virtuelles Bild in L′, das in der Verlängerung der Spiegelnormale eben so weit hinter dem Spiegel liegt als der leuchtende Punkt vor dem Spiegel. Das angegebene Gesetz gilt nicht bloß von Strahlen, welche in der Ebene LSS′ liegen. Läßt man, wie in Figur 245 angedeutet, von L Strahlen ausgehen, die nicht in einer Ebene liegen, so werden sie auch so reflektiert, als wenn sie vom Punkte L′ herkämen, dessen Lage dem angegebenen Gesetze entspricht. Beweis ebenso.

Fig. 245.

Aufgaben:

112. Unter welchem Gesichtswinkel sieht man einen 1,2 m hohen Gegenstand in 15 m Entfernung?

113. Unter welchem Gesichtswinkel sieht man sich selbst, wenn man 4 m vor einem Spiegel steht, bei 1,7 m Größe? Wie groß muß der Spiegel sein, um die ganze Figur zu zeigen?

114. Dreht man einen Spiegel um den Winkel α, so dreht sich jeder von ihm reflektierte Strahl um den Winkel 2α. Beweis?

115. Wenn man 3,6 m vor einem Spiegel steht, unter welchem Gesichtswinkel sieht man dann das Spiegelbild eines 60 cm großen Gegenstandes, der 2 m (10 m) vor dem Spiegel steht?

115 a. Welche Bewegung macht das Bild eines Punktes, der sich einem Spiegel nähert?

115 b. Wenn bei einem Glasspiegel nicht nur die hintere mit Metall belegte Fläche, sondern auch die vordere Glasfläche spiegelt, um wie viel scheinen die zwei Bilder eines Punktes voneinander entfernt zu sein?

194. Winkelspiegel.

Fig. 246.

Zwei unter einem Winkel gegeneinander geneigte Planspiegel bilden einen Winkelspiegel. Befindet sich ein leuchtender Punkt zwischen beiden, so entstehen von ihm mehrere Bilder. Es sei A der leuchtende Punkt (Fig. 246), so entwirft Spiegel I das Bild A′; da dies Bild vor Spiegel II liegt, so entwirft dieser das Bild A′′; dies Bild liegt vor I, also entwirft I das Bild A′′′; dies liegt vor II, also entwirft II das Bild A′′′′; A′′′′ liegt hinter I, also spiegelt es sich nicht mehr. Nun spiegelt sich A auch in II; II entwirft also das Bild B; von ihm entwirft I das Bild B′; von ihm entwirft II das Bild B′′; von ihm I das Bild B′′′, das bei der in der Figur angenommenen Anordnung (∢ v. 45°) mit A′′′′ zusammenfällt.

Die Bilder liegen in einem Kreise, dessen Ebene senkrecht zur Schnittlinie der Spiegel ist; ihre Anzahl, den Gegenstand mitgerechnet, ist 8, allgemein = 360a, wenn die Neigung der beiden Spiegel a° ist. Die Anzahl der Bilder wächst, wenn der Winkel kleiner wird. Das Kaleidoskop besteht aus drei unter je 60° gegen einander geneigten spiegelnden Glasstreifen, die in eine Röhre gefaßt sind; vor derselben zwischen zwei Deckgläsern liegen kleine Stückchen farbigen Glases, welche durch Drehen und Schütteln immer in andere Lage gebracht werden können. Durch die Spiegelung setzen sich aus den Glasstückchen und deren Spiegelbildern sechsseitige Sternfiguren zusammen, die durch ihre Regelmäßigkeit gefallen und durch ihre Wandelbarkeit ergötzen.

Das Debuskop ist ein Winkelspiegel aus zwei Silberspiegeln zusammengestellt; sein Winkel kann beliebig verändert werden; stellt man es auf eine Zeichnung, so sieht man sie zu einem regelmäßigen Stern vervielfältigt, und kann sich so aus unregelmäßigen Strichen Motive zu gefälligen Sternmustern suchen.

Aufgaben:

116. Bei einem Winkelspiegel von 45° ist ein Strahl nach zweimaliger Brechung senkrecht zu seiner ursprünglichen Richtung.

116 a. Bei einem Winkelspiegel von 90° ist ein Strahl nach zweimaliger Brechung seiner ursprünglichen Richtung parallel.

195. Sphärische Spiegel.

Ein sphärischer Spiegel ist gekrümmt wie die Oberfläche einer Kugel; ist dabei die innere, hohle Seite spiegelnd, so heißt er ein Hohlspiegel oder konkaver sphärischer Spiegel; ist die äußere Seite spiegelnd, so heißt er ein konvexer Spiegel.

Brennpunkt des Hohlspiegels.

Die Hohlspiegel sind gewöhnlich rund, und die Verbindungslinie des Krümmungsmittelpunktes mit der Mitte des Spiegels, also OM, ist die Hauptachse; jede andere durch O gehende Linie heißt eine Nebenachse des Spiegels.

Fig. 247.

Wir lassen ein Bündel paralleler Lichtstrahlen der Hauptachse MO parallel auf den Spiegel fallen (Fig. 247) und untersuchen den Gang der reflektierten Strahlen. Es sei LJ ein solcher Strahl, so kann man das in J liegende Flächenstückchen des Spiegels als eben betrachten; das Einfallslot ist dann der Krümmungsradius JO, da er senkrecht auf der Fläche steht. Macht man den Reflexionswinkel gleich dem Einfallswinkel, und nennt den Schnittpunkt des reflektierten Strahles mit der Achse F, so ist LJO = OJF (Reflexionsges.), LJO = JOF (Wechselwinkel), also OJF = JOF, somit △ FJO gleichschenklig, oder JF = FO. Wir nehmen nun an, J liege so nahe an M, daß man ohne nennenswerten Fehler JF = FM setzen kann, so ist auch FM = FO, d. h. der reflektierte Strahl schneidet die Achse in der Mitte des Radius. Für jeden anderen parallelen Strahl L′J′ gilt dieselbe Ableitung und das gleiche Resultat, ebenso auch für jeden Strahl, der in einem andern Achsenschnitte des Spiegels liegt.

Folglich: Alle parallel der Hauptachse auffallenden Strahlen gehen nach der Reflexion durch denselben Punkt F um so genauer, je näher sie an der Mitte M auffallen, Zentralstrahlen.

Läßt man Sonnenlicht auf den Hohlspiegel fallen, so wird es in einen kleinen Fleck vereinigt, ebenso aber auch alle Wärmestrahlen; es ist deshalb in diesem Punkte (Flecke) sehr viel Wärme vereinigt, so daß ein leicht entzündlicher Körper dort entzündet wird. Man nennt deshalb diesen Punkt F den Brennpunkt oder Fokus, seinen Abstand vom Spiegel, also FM, die Brennweite oder Fokaldistanz, f, und den Hohlspiegel auch Brennspiegel.

Fig. 248.

Ist die Öffnung eines Hohlspiegels einigermaßen groß im Verhältnis zum Radius, so weichen die reflektierten Strahlen beträchtlich von dem eben beschriebenen Gange ab, gehen also nicht mehr alle durch den Brennpunkt, sondern berühren eine krumme Linie, welche im Brennpunkte eine Spitze hat, Brennlinie oder katakaustische Linie.

Betrachtet man nicht nur den in der Figur gezeichneten Achsenschnitt, sondern alle Achsenschnitte, so liefert jeder eine Brennlinie; sie erfüllen eine Brennfläche, die katakaustische Fläche.

196. Bildgleichung des Hohlspiegels.

Wir lassen das Licht ausgehen von einem auf der Hauptachse im Endlichen liegenden Punkte L und untersuchen den Gang der reflektierten Strahlen (Fig. 249). Ist LJ der einfallende Strahl, OJ das Einfallslot, JB der reflektierte Strahl, so daß LJO = OJB, und B dessen Schnittpunkt mit der Achse, so ist in △ BJL der Winkel an der Spitze halbiert, daher

LJ : JB = LO : OB.

Fig. 249.

Betrachten wir nur Zentralstrahlen, so daß ohne nennenswerten Fehler LJ = LM und BJ = BM, so ist

LM : BM = LO : OB.

Bezeichnet man den Abstand des leuchtenden Punktes vom Spiegel, also LM, mit a, den Abstand des Punktes B vom Spiegel mit b und setzt r = 2 f, so wird aus obiger Proportion: a : b = (a - 2 f) : (2 f - b); hieraus 2 a f - a b = a b - 2 b f, 2 a f + 2 b f = 2 a b, und durch Division mit 2 a b f 1a + 1b = 1f. Aus dieser Gleichung kann b berechnet werden. Für jeden anderen Zentralstrahl LJ gilt dieselbe Ableitung, folglich gehen alle reflektierten Strahlen durch denselben Punkt B. Man hat also den Satz: Liegt der leuchtende Punkt auf der Hauptachse, so gehen die reflektierten Strahlen alle durch einen Punkt B der Hauptachse. Dieser Punkt B ist deshalb ein reelles Bild des leuchtenden Punktes L, und sein Abstand b vom Spiegel berechnet sich aus der Gleichung 1a + 1b = 1f (Bildgleichung).

Lichtpunkt L und Bildpunkt B liegen harmonisch zu O und M, oder Lichtpunkt und Bildpunkt teilen den Radius äußerlich und innerlich in demselben Verhältnisse.

197. Größe, Art und Lage der Bilder beim Hohlspiegel.

Hält man in B einen kleinen Schirm, so wird ein Punkt desselben von allen reflektierten Strahlen getroffen, also beleuchtet: das Bild ist auf einem Schirm auffangbar.

Fig. 250.

Liegt der leuchtende Punkt nicht in L (Fig. 250), sondern senkrecht zur Achse etwas entfernt in L′, so kann man L′O als dessen Achse ansehen und findet sein Bild in B′, wobei auch B′B senkrecht zur Achse. Besteht der leuchtende Körper aus der Linie LL′, so ist das Bild BB′.

Vergleicht man die Größe des Bildes BB′ mit der Größe des Gegenstandes LL′, so hat man LL′ : BB′ = LO : BO; aber LO : BO = LM : BM = a : b (siehe Ableitung), also LL′ : BB′ = a : b; d. h. die Größen von Gegenstand und Bild verhalten sich wie ihre Abstände vom Spiegel.

Fig. 251.

Wir betrachten an der Hand der Bildgleichung 1b = 1f - 1a die Bilder, welche entstehen, wenn der leuchtende Punkt vom Unendlichen immer näher an den Spiegel rückt, und kontrollieren die Richtigkeit durch einfache Versuche mittels eines Hohlspiegels, einer Flamme und eines beweglichen Papierschirmes.

Liegt der Punkt im Unendlichen, so ist a = ∞, 1a = 0, also 1b = 1f, also b = f; das Bild liegt im Brennpunkte. Rückt L vom Unendlichen gegen den Spiegel (Fig. 251), so wird a kleiner, 1a größer, demnach 1b kleiner, also b größer; das Bild rückt vom Brennpunkte aus vom Spiegel weg, anfangs sehr langsam, später rascher. Rückt L bis in den Mittelpunkt O, so ist a = 2 f, also b = 2 f, d. h. auch das Bild ist im Mittelpunkt angekommen und ist so groß wie der Gegenstand. Während der leuchtende Punkt vom Unendlichen bis zum Mittelpunkt rückt, rückt das Bild vom Brennpunkte bis zum Mittelpunkte; die Bilder sind dabei verkehrt, reell, verkleinert, aber wachsend.

Fig. 252.

Rückt L noch näher an den Spiegel (Fig. 252), so wird a noch kleiner, 1a größer, somit 1b kleiner, also b größer, d. h. das Bild rückt noch weiter vom Spiegel. Kommt der leuchtende Punkt in den Brennpunkt, so ist a = f, also 1b = 0 und b = ∞, d. h. das Bild liegt im Unendlichen; die reflektierten Strahlen laufen parallel. Während der leuchtende Punkt vom Mittelpunkte bis zum Brennpunkte rückt, rückt das Bild vom Mittelpunkte ins Unendliche; die Bilder sind verkehrt, reell, vergrößert und wachsend. Der Brennpunkt selbst bekommt dadurch noch eine weitere Bedeutung: die vom Brennpunkt ausgehenden Strahlen sind nach der Reflexion parallel der Achse.

Fig. 253.

Rückt L noch näher an den Spiegel (Fig. 253), so wird a < f, also 1a > 1f, somit b negativ; das bedeutet, das Bild liegt hinter dem Spiegel (wie beim Planspiegel), ist demnach virtuell, d. h. die Lichtstrahlen laufen nach der Reflexion so, als wenn sie von einem hinter dem Spiegel liegenden Punkte herkämen. Die Bilder können nicht auf dem Schirme aufgefangen werden. So lange a noch nahezu = f ist, ist b sehr groß, die Bilder liegen sehr weit hinter dem Spiegel und sind deshalb stark vergrößert. Rückt der leuchtende Punkt ganz an den Spiegel, ist also a = 0, also 1a = ∞, so ist 1b = - ∞, also b = 0, d. h. auch das Bild liegt am Spiegel. Während der leuchtende Punkt vom Brennpunkte an den Spiegel rückt, liegt das Bild hinter dem Spiegel und rückt vom Unendlichen auch bis zum Spiegel: die Bilder sind dabei virtuell, aufrecht und vergrößert, aber abnehmend.

198. Konstruktion der Bilder beim Hohlspiegel.

Fig. 254.

Man kann Ort, Art und Größe dieser Bilder auch durch eine geometrische Konstruktion finden durch Benützung der beiden Sätze: I. Ein parallel der Achse ausfallender Strahl geht nach der Reflexion durch den Brennpunkt, II. ein durch den Krümmungsmittelpunkt gehender Strahl geht auf demselben Wege zurück, da er den Spiegel senkrecht trifft. Man kann noch den dritten dazu nehmen: ein durch den Brennpunkt gehender Strahl wird nach der Reflexion parallel der Achse. Man wählt zu dem gegebenen leuchtenden Punkte L einen senkrecht zur Achse etwas seitwärts gelegenen Punkt L′, zieht die zwei eben angegebenen Strahlen und ihre reflektierten, so ist der Schnittpunkt B′ dieser reflektierten Strahlen das Bild von L′; zieht man noch B′B senkrecht zur Achse, so ist BB′ das Bild von LL′. Auf solche Weise sind die Konstruktionen in Fig. 254 ausgeführt unter Benützung aller drei Sätze. Jedoch ist zu beachten, daß man nur Zentralstrahlen benützen darf, wenn man eine einigermaßen brauchbare Konstruktion bekommen will, daß aber gerade bei Benützung von Zentralstrahlen der Schnittpunkt der reflektierten Strahlen sehr unsicher wird. Die Ausführung solcher Konstruktionen ist deshalb zwar gut, wenn man sich den Gang der Lichtstrahlen klar machen will; aber für praktische Zwecke zieht man die leichte Berechnung mittels der Bildgleichung vor.

Man kann auch leicht eine geometrische Konstruktion angeben, so daß b dem aus der Bildgleichung entspringenden Wert a fa - f entspricht. Z. B. Auf den Schenkeln eines beliebigen Winkels XOY trage man von O aus OF = OF′ = f, vervollständige damit den Rhombus OFMF′ und zieht durch M eine beliebige Gerade, welche OX in A, OY in B schneidet, so ist, wenn OA = a, OB = b. Beweis?

Aufgaben:

117. Vor einem Hohlspiegel von 80 cm Brennweite befindet sich in 12 m Entfernung ein Gegenstand von 1,4 m Höhe. Wo liegt das Bild und wie groß ist es?

118. Vor einem Hohlspiegel von 2 m Krümmungsradius befindet sich in 40 cm Abstand ein Gegenstand. Wo liegt das Bild?

118a. Wie groß ist der Krümmungsradius eines Hohlspiegels, welcher von einem 160 cm entfernten Punkt ein Bild in 40 cm Entfernung entwirft?

199. Anwendung des Hohlspiegels; Brennspiegel.

Der Hohlspiegel wird als Brennspiegel verwendet. Die Sonne hat einen Durchmesser von 185 640 geogr. M. und eine Entfernung von 19 936 000 geogr. M.; das Bild der Sonne, das der Hohlspiegel erzeugt, liegt im Brennpunkte; ist die Brennweite etwa 100 cm, so ist der Durchmesser des Sonnenbildes = x zu berechnen aus 19 936 000 : 185 640 = 100 : x; x = 0,93 cm. Alle auf den Spiegel fallenden Sonnenstrahlen werden demnach auf eine Kreisfläche von 0,93 cm Durchmesser vereinigt. Hat der runde Hohlspiegel etwa einen Durchmesser von 50 cm, so ist seine Fläche 50² · 3,144 qcm, die Fläche des Bildes ist 0,93² · 3,144 qcm, also 50²0,93² mal kleiner; die Brennfläche erhält also ca. 2900 mal so viel Licht und Wärme wie eine direkt von der Sonne beschienene gleichgroße Fläche. Davon geht etwa die Hälfte bei der Reflexion verloren; doch bleibt genug übrig, um eine intensive Erhitzung zu erzielen. Mit solchen Hohlspiegeln kann man Platin schmelzen, sogar verdampfen.

Man verwendet die durch große Brennspiegel gesammelte Sonnenwärme auch zum Heizen eines kleinen Dampfkessels. Dabei ist der Hohlspiegel drehbar aufgestellt, um dem Gang der Sonne folgen zu können. Tschirnhaus machte 1687 zuerst einen großen Brennspiegel aus Kupfer mit drei Leipziger Ellen Durchmesser, zwei Ellen Brennweite und erzielte mächtige Wirkung. Als die Akademie von Florenz vor dem Brennspiegel große Eismassen aufstellte und in den Brennpunkt ein Thermometer brachte, sank dieses; warum?

200. Beleuchtungsspiegel.

Der Arzt verwendet den Hohlspiegel, um das Innere des Auges oder des Ohres oder den hintern Teil der Rachenhöhle oder den Kehlkopf stark zu beleuchten und so auf Krankheit untersuchen zu können, indem er durch ein kleines in der Mitte des Spiegels angebrachtes Loch blickt; ein solcher Spiegel heißt dann je nach seinem Zwecke Augenspiegel u. s. w. (Helmholtz, 1851.)

Beleuchtung fern liegender Gegenstände. Stellt man eine stark leuchtende Lampe in den Brennpunkt des Hohlspiegels, so wird alles auf den Hohlspiegel fallende Licht (das nicht absorbiert wird) in einer zur Achse parallelen Richtung reflektiert, kann demnach einen fern liegenden Gegenstand gut beleuchten. Das vom Hohlspiegel reflektierte Licht ist jedoch nicht vollkommen parallel, sondern divergiert etwas; denn 1) ist es nicht möglich, die Lampe genau in den Brennpunkt zu stellen; 2) die Flamme ist nicht nur ein leuchtender Punkt, sondern ein leuchtender Fleck; die von den verschiedenen Punkten derselben ausgehenden Lichtstrahlen werden demnach auch nach verschiedenen Richtungen reflektiert; 3) um möglichst viel Licht mit einem solchen Reflektor aufzufangen und fortzuschicken, macht man den Hohlspiegel möglichst groß; aber die nahe am Rande ausfallenden Strahlen werden dann nicht mehr in derselben (zur Achse parallelen) Richtung reflektiert wie die Zentralstrahlen. Das vom Hohlspiegel reflektierte Licht beleuchtet demnach nicht bloß eine dem Hohlspiegel gleich große, sondern eine verhältnismäßig viel größere Fläche, etwa ein ganzes Haus.

Fig. 255.

Man wendet deshalb sphärische Hohlspiegel von mehr als etwa 60° Weite nicht an; will man noch mehr Licht auffangen, so benützt man parabolische Hohlspiegel (Fig. 255). Solche sind gekrümmt wie das Rotationsparaboloid; das ist die Fläche, welche entsteht, wenn man eine Parabel um ihre Achse dreht. Die Parabel hat die Eigenschaft, daß alle vom Brennpunkte ausgehenden Lichtstrahlen parallel der Achse reflektiert werden. Ist das Licht eine Flamme, deren Punkte nicht alle im Brennpunkte stehen können, so divergiert das reflektierte Licht auch beträchtlich. Benützt man aber elektrisches Licht, indem man die positive Kohle mit ihrem „Krater“ dem Spiegel zukehrt, so hat ja das elektrische Licht nur geringe Ausdehnung (einige mm), deshalb divergiert das reflektierte Licht nur wenig, und sehr weit entfernte Gegenstände können noch sehr gut beleuchtet werden. So wendet man das elektrische Licht auf Leuchttürmen, im Kriege u. s. w. an.

Die Stirnlampen der Lokomotiven sind meist aus sehr vielen kleinen Planspiegeln zusammengesetzt, die so auf einer gekrümmten Fläche festgekittet sind, daß sie möglichst gut mit einer Parabelfläche übereinstimmen. Der Beleuchtungszweck wird dadurch recht gut erreicht.

Hohlspiegel von geringer Krümmung benützt man als Toilette-, Rasierspiegel u. s. w., indem man sich so nahe vor den Spiegel stellt, daß man sich zwischen Brennpunkt und Spiegel befindet und nun, ähnlich wie beim Planspiegel sein eigenes, virtuelles, aufrechtes, aber nun vergrößertes Bild betrachtet.

201. Konvexe Spiegel.

Fig. 256.

Beim konvexen Spiegel spiegelt die äußere Fläche einer sphärischen Fläche. Da die Anwendung sehr unbedeutend ist, so genügen folgende Andeutungen. Der Brennpunkt liegt in der Brennweite f = ¹⁄₂ r, liegt aber hinter dem Spiegel und ist virtuell; d. h. nach der Reflexion gehen die Strahlen so auseinander, als wenn sie von dem hinter dem Spiegel liegenden Punkte F herkämen. In der mathematischen Ableitung setze man den Krümmungsradius, der diesmal die entgegengesetzte Richtung hat wie beim konkaven Spiegel, = - r, so wird auch f negativ.

Man findet dieselbe Bildgleichung 1f = 1a + 1b, wobei aber f negativ zu nehmen ist; tun wir dies, so ist 1b = - 1f - 1a, also b stets negativ und dem absoluten Betrag nach kleiner als f; wenn der leuchtende Punkt vom Unendlichen bis an den Spiegel rückt, so befindet sich das Bild stets hinter dem Spiegel und rückt vom Brennpunkte gegen den Spiegel; die Bilder sind virtuell, aufrecht und verkleinert, können also von einem vor dem Spiegel befindlichen Auge als solche wahrgenommen werden.

Fig. 257.

Auf dieselbe Weise wie früher können die Bilder auch konstruiert werden. (Fig. 257.) Man benützt konvexe Spiegel als kleine Toilettenspiegel, da man in ihnen trotz ihres kleinen Umfangs doch das ganze Gesicht, wenn auch verkleinert, auf einmal sehen kann. Spiegelnde Glaskugeln in Gärten, an Aussichtspunkten.

Aufgabe:

119. Vor einem Konvexspiegel von 20 cm Radius befindet sich ein 5 cm hoher Gegenstand in 50 cm Entfernung. Wo liegt das Bild, wie groß ist es, und wie groß erscheint es vom Gegenstand aus betrachtet?

Fig. 258.

202. Brechung des Lichtes. Brechungsgesetze.

Wenn das Licht auf die Grenzfläche zweier Stoffe, Medien, trifft, so wird ein Teil desselben reflektiert, der andere Teil dringt in das zweite Medium ein. Ist dasselbe durchsichtig, so geht er im zweiten Medium weiter. Dabei verändert er beim Übergange in das zweite Medium seine Richtung, d. h. er wird gebrochen, erfährt eine Brechung, Refraktion.

Brechungsgesetze: 1) Der einfallende, der gebrochene Strahl und das Einfallslot liegen in einer Ebene, Brechungsebene, die auf der Grenzfläche, der brechenden Fläche, senkrecht steht.

2) Das Verhältnis des sinus des Einfallswinkels zum sinus des Brechungswinkels ist für jedes Paar Medien eine Konstante und wird der Brechungskoeffizient oder Brechungsexponent genannt (Snell 1620, Descartes 1649).

Beispiel: Geht Licht von Luft in Wasser, so ist der Brechungsexponent 1,33; d. h. zu jedem Einfallswinkel i gehört ein Brechungswinkel r, so daß sin i : sin r = 1,33. Bei Öl gehört zu jedem Einfallswinkel ein anderer, etwas kleinerer Brechungswinkel, so daß sin i : sin r = 1,47.

Jede Substanz hat einen besonderen Brechungskoeffizienten. Ist er groß so sagt man, die Substanz bricht das Licht stark; ist er klein, d. h. nahe an 1, so bricht sie schwach.

Brechungskoeffizienten.

Diamant 2,47-2,75

Phosphor 2,22

Schwefel (kryst.) 2,11

Rubin 1,78

Topas 1,61

Quarz 1,54

Steinsalz 1,54

Flußspat 1,43

Kronglas 1,53

Flintglas 1,70

Schwefelkohlenstoff 1,63

Kanadabalsam 1,53

Olivenöl 1,47

Schwefelsäure 1,43

Alkohol 1,37

Äthyläther 1,36

Wasser 1,33

Luft 1,00029

Sauerstoff 1,00027

Stickstoff 1,00030

Wasserstoff 1,00014

Chlor 1,00077

Schwefelkohlenstoffdampf 1,0015

Geht das Licht umgekehrt aus Wasser in Luft, so wird es so gebrochen, daß es ausschaut, als wäre es auf demselben Wege zurückgegangen. Das Licht legt vorwärts und rückwärts denselben Weg zurück. Wenn also das Licht (Fig. 258) den Weg AJB von Luft in Wasser macht, so macht es den Weg BJA von Wasser in Luft. Der Brechungskoeffizient von Wasser in Luft ist also sin r : sin i = 1n. Ist (wie beim Eintritt aus Luft in Wasser) der Brechungswinkel kleiner als der Einfallswinkel, so sagt man: das zweite Medium ist optisch dichter als das erste, das Licht wird zum Einfallslot gebrochen und der Brechungskoeffizient ist größer als eins. Ist (wie beim Austritt von Wasser in Luft) der Brechungswinkel größer als der Einfallswinkel, so sagt man, das zweite Medium ist optisch dünner als das erste oder das Licht wird vom Einfallslot gebrochen und der Brechungskoeffizient ist kleiner als eins.

Kennt man den Brechungskoeffizienten, so kann man den gebrochenen Strahl durch Konstruktion finden auf folgende Arten:

Fig. 259.

1. Art: Es sei WW in Grenzfläche zwischen Luft und Wasser, der Brechungskoeffizient also = 1,33 = ⁴⁄₃ (ca). Ist nun (Fig. 259) OK das Einfallslot und OJ ein beliebiger einfallender Lichtstrahl, so beschreibt man um O einen Kreis mit beliebigem Radius, den man mit 1 bezeichnet. Zieht man JK ⊥ OK, so ist JK = sin i. Da nun sin r = ³⁄₄ · sin i sein muß, so teilt man JK in 4 Teile, nimmt 3 davon, und trägt sie in OL auf, zieht LM ∥ ON bis zum Kreis, so ist OM der gebrochene Strahl; denn zieht man noch MN, so ist MN = sin r = ³⁄₄ sin i.

Fig. 260.

2. Art: Es sei WW die Grenzfläche der Medien (Fig. 260), RS das Einfallslot, so beschreibe man um O zwei Kreise C₁ und C_n mit den Radien OU = 1, OV = n. Ist JO ein Lichtstrahl, J sein Schnittpunkt mit dem Kreis C₁, so ziehe JK ⊥ WW, verlängere es bis zum Schnittpunkt L mit C_n, und ziehe LO, so ist das die Richtung des gebrochenen Strahles, also dessen Verlängerung OM der gebrochene Strahl. Es ist zu beweisen, daß sin i : sin r = n; aber i = i′, r = r′ und sin i′ = KOJO, sin r′ = KOLO, demnach sin i′ : sin r′ = LOJO, oder sin i : sin r = n.

Aufgaben:

120. Ein Lichtstrahl fällt unter i = 56° auf Wasser (Olivenöl); unter welchem Winkel wird er gebrochen?

121. Wenn Licht unter 32° die Wasserfläche von unten trifft, unter welchem Winkel tritt es in Luft aus?

121a. Suche zu mehreren einfallenden Strahlen durch Konstruktion die gebrochenen Strahlen in Glas, Rubin und Diamant.

121b. Suche umgekehrt den Gang der Lichtstrahlen von Wasser oder Glas in Luft.

Fig. 261.

Fig. 262.

203. Gang des Lichtes durch Platten.

Geht Licht durch eine von zwei parallelen, ebenen Flächen begrenzte Substanz (Fensterscheibe) und befindet sich vor und hinter der Substanz derselbe Stoff (Luft), so hat der austretende Lichtstrahl dieselbe Richtung wie der eintretende, nur ist er ein wenig verschoben. Geht der Strahl AJ (Fig. 261) aus Luft in Glas, so ist sin isin r = n. Bei J′ tritt er aus Glas in Luft, wird also vom Einfallslot gebrochen, so daß sin r′sin i′ = 1n = sin rsin i; da aber r′ = r als Wechselwinkel, so ist auch i′ = i, also J′A′ ∥ AJ. Die kleine Verschiebung, welche der Strahl dabei erfährt, ist bei Fensterscheiben wegen ihrer geringen Dicke ganz unbedeutend, bei dicken Glasplatten kann sie leicht wahrgenommen werden.

Ein in Wasser liegender Gegenstand scheint uns höher zu liegen, als er in Wirklichkeit liegt. Das in A befindliche Auge (Fig. 262) sieht den Punkt P nicht in der Richtung AP, sondern der Strahl PJ wird, wenn er von Wasser in Luft geht, vom Einfallslot gebrochen und kommt ins Auge in der Richtung JA; das Auge glaubt daher, der Punkt P befinde sich in der Verlängerung von JA, etwa in P′.

Ähnlich erklärt sich folgendes (Fig. 262): Man nimmt ein leeres Gefäß (Schüssel etc.) und hält das Auge so, daß es, über den Rand wegblickend, eine auf dem Boden liegende Münze P nicht sehen kann. Man gießt Wasser in das Gefäß, so wird man bei derselben Stellung des Auges die Münze sehen können, wenn man das Gefäß etwa bis NN′ gefüllt hat. Wenn wir in einen klaren Bach oder See vom Ufer aus hineinsehen, so halten wir ihn für weniger tief als er in Wirklichkeit ist. Eine schräg ins Wasser gestellte Stange erscheint gebrochen; man trifft einen Fisch nicht, wenn man in der Richtung auf ihn schießt, in der man ihn sieht; man muß etwas tiefer zielen.

Liegen mehrere Substanzen hinter einander, durch parallele, ebene Flächen begrenzt, und ist die letzte Substanz dieselbe wie die erste, so hat das Licht in der letzten Substanz wieder dieselbe Richtung wie in der ersten (Fig. 263). Geht Licht von Luft in Wasser, dann in Glas, dann wieder in Luft, so hat es wieder dieselbe Richtung, AJ ∥ MA′. Bezeichne ich den Brechungsexponent von Luft in Wasser mit nLW, und ähnlich die anderen, so ist sin i sin r = nL W′ sin r sin r′ = nW G′ sin r′ sin i = nG L′, also durch Multiplikation: nL W · nW G · nG L = 1; oder da nG L = 1 : nL G, so ist nL W · nW G = nL G.

Fig. 263.

Aus diesem Satze folgt: Geht Licht aus einem Medium I (Luft) durch mehrere, parallel begrenzte Medien in ein Medium II, so hat es in Medium II dieselbe Richtung, wie wenn es direkt vom Medium I in das Medium II gegangen wäre; z. B. der aus Luft durch Wasser in Glas gegangene Strahl KM hat dieselbe Richtung, wie wenn er direkt aus der Luft in Glas gegangen wäre.

204. Atmosphärische Strahlenbrechung.

Das Licht der Himmelskörper geht aus dem leerem Weltraum (aus dem Äther) in die atmosphärische Luft und wird dabei gebrochen. Die Luft ist nach oben zu immer dünner; zerlegen wir sie in horizontale Schichten, so wird der Lichtstrahl von Schichte zu Schichte je ein klein wenig abgelenkt; beschreibt also eine krummlinige Bahn; die Richtung, die er schließlich hat, ist dieselbe, wie wenn er direkt aus dem Äther in die unterste Schichte der Luft übergetreten wäre.

Diese atmosphärische Strahlenbrechung bewirkt, daß wir die Gestirne höher sehen, als sie in Wirklichkeit stehen, besonders wenn sie noch nahe am Horizonte stehen; da hiebei auch noch die Kugelgestalt der Erde mitwirkt, so kommt es, daß wir Sonne und Mond schon sehen, wenn sie noch unter dem mathematischen Horizont liegen, oder daß wir sie noch sehen, wenn sie schon untergegangen sind. In besonders günstigen Fällen ist es sogar möglich, bei einer totalen Mondsfinsternis den verfinsterten, eben aufgehenden Mond und die eben untergehende Sonne zugleich zu sehen (Galileische Mondsfinsternis). Der Mond ist deshalb auch bei totaler Verfinsterung nicht ganz finster, da etwas Sonnenlicht durch die Erdatmosphäre aus seiner Bahn abgelenkt wird, ihn trifft, und ihm oft ein blutrotes Ansehen gibt.

Unter absolutem Brechungskoeffizient eines Mediums versteht man den Brechungskoeffizient vom leeren Raum (Äther) in das Medium. Man mißt aber gewöhnlich den Brechungskoeffizient von Luft in das Medium; beide hängen durch die Gleichung zusammen:

nÄther Stoff = nÄther Luft · nLuft Stoff.

Aufgaben:

a) Berechne den Brechungsexponent von Wasser in Glas und von Olivenöl in Alkohol.

b) Welche Verschiebung erfährt ein Lichtstrahl, welcher eine 1 cm dicke Glasscheibe unter einem Einfallswinkel von 70° durchdringt?

205. Grenzwinkel. Totale Reflexion.

Fig. 264.

Geht Licht vom dünneren ins dichtere Medium, so wird es zum Einfallslot gebrochen. Zum Einfallswinkel von 90° gehört ein Brechungswinkel r, bestimmt aus sin 90 sin r = n, also sin r = 1n; dies ist der größte Winkel, unter dem das Licht in das zweite Medium gelangt, er wird deshalb Grenzwinkel genannt. Dringt Licht von allen Seiten her durch eine kleine Öffnung in das zweite Medium, so wird es in einen Lichtkegel vereinigt, dessen Kante mit der Achse den Grenzwinkel bildet (Strahl 6 in Fig. 264); jenseits dieses Winkels dringt kein Licht in das zweite Medium.

Geht Licht vom dichteren ins dünnere Medium, so wird es vom Einfallslote gebrochen. Da der Brechungswinkel höchstens 90° sein kann, und hiezu ein Einfallswinkel i gehört, so daß sin i sin 90 = 1n, also sin i = 1 n, so folgt, daß alles Licht, das unter einem noch größeren Einfallswinkel auffällt, nicht in das dünnere Medium gelangt. Auch dieser Winkel wird Grenzwinkel genannt und ist derselbe wie der vorher so benannte. Der Grenzwinkel beträgt im Diamant (gegen Luft) 23°, Quarz 40° 29', Flintglas 36°, Kronglas 40° 49', Wasser 48° 45', und in Luft (gegen den luftleeren Raum) 88° 24'. Alles jenseits des Grenzwinkels auffallende Licht wird reflektiert nach den gewöhnlichen Reflexionsgesetzen (Strahl 7 in Fig. 264). Man nennt dies innere Reflexion oder totale Reflexion, da das ganze Licht reflektiert wird. (Welche Konstruktion im Sinne der Fig. 260 ergibt den Grenzwinkel.)

Fig. 265.

Fig. 266.

Fig. 265.

Fig. 266.

Fig. 267.

Totale Reflexion an einem dreiseitigen Glasprisma (Fig. 265). Das Licht tritt bei der ersten Prismenfläche ein, wird etwas gebrochen, trifft so die untere Fläche, und wird, da es jenseits des Grenzwinkels auffällt, total reflektiert, trifft dann die dritte Prismenfläche, wird etwas gebrochen und kommt so ins Auge. Das Auge sieht daher die jenseits des Prismas liegenden Gegenstände in der unteren Prismenfläche gespiegelt, und zwar sehr lichtstark, da alles Licht reflektiert wird. Hält man ein leeres Reagenzglas schräg ins Wasser (Fig. 266) und blickt von oben darauf, so werden die von der Seite (vom Fenster) her einfallenden Lichtstrahlen total reflektiert. Deshalb spiegeln und glänzen auch Luftbläschen im Wasser so stark.

Fig. 268.

Diamant hat einen sehr großen Brechungsexponenten; deshalb ist der Grenzwinkel sehr klein. Diamanten werden geschliffen, so daß sie die Form zweier mit den Grundflächen auf einander sitzenden Pyramiden haben (Fig. 267), die obere ist stumpfer, die untere spitzer. Fast alles oben einfallende Licht trifft die unteren Flächen so, daß es jenseits des Grenzwinkels auffällt, also total reflektiert und bei den oberen Flächen wieder in die Luft zurückgeworfen wird; darauf beruht das Blitzen, Funkeln, Brillieren des Diamanten; schleift man Glas, Bergkrystall u. s. w. ebenso, so funkeln sie weniger, weil der Grenzwinkel größer ist, also viele Strahlen unten nicht zurückgeworfen, sondern durchgelassen werden, also verloren gehen.

Bei der camera lucida (Wollaston) dringt das Licht (Fig. 268) bei einer Prismenfläche ein, wird an den zwei folgenden Flächen total reflektiert und tritt bei der 4. Fläche aus. Ein dort befindliches Auge sieht den Gegenstand gespiegelt, und, an der Kante des Prismas vorbeischauend, zugleich den Zeichenstift, der nun den Gegenstand nachzeichnet (Zeichenprisma).

Aufgaben:

122. Kann Licht, das von außen her in das Innere eines kugelförmigen Wassertropfens eingedrungen ist, im Innern des Tropfens total reflektiert werden?

122a. Auf ein Glasprisma, dessen Querschnitt ein rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck ist, fällt ein Lichtstrahl parallel der Hypotenuse; verfolge durch Konstruktion seinen Gang durch das Prisma.

122b. Auf eine kugelförmige Luftblase in Wasser fällt paralleles Licht. Welcher Bereich der Kugelfläche reflektiert total?

206. Brechung durch ein Prisma.

Ist ein durchsichtiger Stoff von zwei gegen einander geneigten Flächen begrenzt, so nennt man ihn ein optisches Prisma (Fig. 269). Trifft der Lichtstrahl unter dem Winkel i die erste Fläche, so wird er unter dem Winkel r gebrochen, so daß sin i sin r = n; er trifft dann unter dem Winkel i′ (= α - r) die zweite Fläche, wird dort nochmals gebrochen, so daß sin i′ sin r′ = 1n, hat also beim Austritte eine andere Richtung; der Lichtstrahl ist durch das Prisma abgelenkt worden. Der Winkel α heißt der brechende Winkel des Prismas. Man benützt Prismen zur Bestimmung des Brechungskoeffizienten nach folgenden zwei Methoden:

Fig. 269.

Fig. 270.

Fig. 269.

Fig. 270.

1) Methode der senkrechten Inzidenz (Fig. 270). Man läßt den Lichtstrahl senkrecht auf die erste Fläche fallen, so wird er nur von der zweiten gebrochen. Man mißt den brechenden Winkel α und die Ablenkung δ, so ist i = α, r = α + δ, also sin i sin r = 1n, also n = sin (α + δ)sin α.

Fig. 271.

2) Methode durch das Minimum der Ablenkung (Fig. 271). Stellt man das Prisma so, daß der Lichtstrahl beim Ein- und Austritt gleiche Winkel mit den Prismenflächen macht, so findet man, daß er dann gerade am wenigsten abgelenkt ist; dreht man das Prisma ein wenig nach der einen oder anderen Seite, so wird der Lichtstrahl stärker abgelenkt. Stellt man das Prisma so, daß der Lichtstrahl das Minimum der Ablenkung zeigt, und mißt den brechenden Winkel α des Prismas und die Ablenkung δ, so ist sin i sin r = n, aber i = α2 + δ 2, r = α2, also n = sin ¹⁄₂ (α + δ)sin (¹⁄₂ α).

Fig. 272.

Konstruktion: Ist POP′ der senkrechte Querschnitt des Prismas (Fig. 272) und ist SX ein einfallender Strahl, so wird er gebrochen, kommt nach Y und wird dort nach Z gebrochen. Der Gang dieser Lichtstrahlen kann mit Hilfe der früheren Konstruktion gefunden werden. Wir beschreiben um O die Kreise C₁ und C_n, ziehen JO ∥ SX, dann JK ⊥ OP, so ist LO die Richtung des gebrochenen Strahles XY.

Für die Brechung von Glas in Luft bei der Fläche OP′ haben wir zu machen LK′ ⊥ OP′ finden dadurch J′, also J′O als Richtung des gebrochenen Strahles; demnach YZ ∥ J′O. Der einfallende Strahl SX wird also durch die Brechung an den zwei Flächen des Prismas um den Winkel δ = JOJ′ abgelenkt.

Aufgaben:

123. Auf ein Prisma mit dem brechenden Winkel α = 33° fällt ein Lichtstrahl unter i = 53°. Unter welchem Winkel verläßt er das Prisma und um welchen Winkel wird er im ganzen abgelenkt, wenn n = 1,6 ist? Wie stellt sich die Lösung für i = 20° oder für α = 42°? (Konstruktion und Berechnung.)

124. Auf ein Prisma vom brechenden Winkel α = 10° fällt in einer zur brechenden Kante senkrechten Ebene ein Lichtstrahl unter i = 17°, jedoch von der Seite her, auf welcher die brechende Kante liegt. Unter welchem Winkel verläßt er das Prisma, und wie groß ist die Ablenkung, wenn n = 1,592 ist? Wie stellt sich die Lösung für i = 30° oder für α = 20°?

125. Unter welchem Winkel müßte das Licht nach den Bedingungen der Aufgabe 124 einfallen, damit es die zweite Prismenfläche gerade im Grenzwinkel trifft?

126. Ein Glasprisma hat als Querschnitt ein gleichschenkliges Dreieck mit dem Winkel α = 120° an der Spitze. In der Ebene dieses Dreiecks fällt ein Lichtstrahl parallel der Basis auf die eine Seite. Welchen Weg macht der Lichtstrahl (n = 1,5)?

127. Wie stellt sich die Lösung von 126, wenn der Lichtstrahl die erste Seitenfläche unter einem Einfallswinkel von 50° trifft?

128. Ein Lichtstrahl trifft senkrecht auf die eine Fläche eines Prismas von α = 20° 37'; unter welchem Winkel verläßt er die zweite Fläche?

Sphärische Linsen.

207. Brennpunkt der positiven Linsen.

Eine optische Linse ist ein durchsichtiger Stoff, der von zwei sphärisch gekrümmten Flächen begrenzt ist. Die Verbindungslinie der Mittelpunkte beider Krümmungen ist die Achse der Linse.

Fig. 273.

Wir betrachten einen Querschnitt der optischen Linse und lassen Lichtstrahlen auffallen parallel der Achse. Denken wir uns den Querschnitt selbst wieder in Stücke zerschnitten parallel der Achse (Fig. 273), so kann jedes Stück, etwa NORQ als ein Prismenabschnitt betrachtet werden; deshalb wird das Licht abgelenkt. Je weiter ein solches Prismenstück von der Achse entfernt ist, desto größer ist die Neigung der brechenden Flächen, desto größer ist die Ablenkung des Lichtes. Dies zeigt die Möglichkeit, daß die gebrochenen Strahlen sich alle wieder in einem Punkte der Achse vereinigen. Das Experiment zeigt, daß dies wirklich der Fall ist.

Fällt paralleles Licht, etwa Sonnenlicht auf eine Linse parallel der Achse, so gehen die Strahlen nach der Brechung alle durch einen Punkt der Achse.

Weil sich in diesem Punkte auch die Wärmestrahlen der Sonne sammeln, und dort eine große Hitze erzeugen, so wird er der Brennpunkt, Focus, genannt. Seine Entfernung von der Linse heißt Brennweite.

Fig. 274.

Die Linse ist in der Mitte dicker als am Rand, die gebrochenen Strahlen werden wirklich in einem Punkte F₁ vereinigt (Fig. 274), die Linse hat einen reellen Brennpunkt und wird auch positive Linse oder Sammellinse genannt. Sind beide Flächen nach außen konvex, so heißt sie bikonvex (a); ist eine Fläche eben, so heißt sie plankonvex (b); ist eine Fläche nach außen konkav, jedoch schwächer gekrümmt als die konvexe, so heißt sie konkavkonvex (c).

Läßt man das Licht von der anderen Seite auf die Linse fallen, so zeigt sie ebenso einen Brennpunkt in gleicher Brennweite.

Fig. 275.

Da das Licht vorwärts und rückwärts denselben Weg zurücklegt, so ergibt sich: das von einem Brennpunkt ausgehende Licht wird nach der Brechung der Achse parallel (Fig. 275). Kommt das Licht nur von einer Seite, (links) so nennt man den hinter der Linse liegenden Brennpunkt den ersten Brennpunkt F₁; den vor der Linse liegenden, von welchem das Licht ausgehen muß, um nach der Berechnung der Achse parallel zu werden, nennt man den zweiten Brennpunkt F₂.

Fig. 276.

208. Brennpunkt der negativen Linsen.

Ist eine Linse in der Mitte dünner als am Rand (Fig. 276), so sind entweder beide Flächen nach außen konkav — bikonkave Linse —, oder es ist eine davon eben — plankonkav — oder es ist zwar eine davon konvex, jedoch schwächer gekrümmt, als die konkave — konvexkonkav.

Wir zerlegen den Querschnitt wieder in einzelne Stücke, so sind (Fig. 277) deren Grenzflächen die Flächen von Prismen, deren brechende Kante diesmal der Achse zugekehrt ist.

Fig. 277.

Läßt man nun ein Bündel paralleler Lichtstrahlen parallel der Achse einfallen, so werden sie so gebrochen, daß sie sich von der Achse entfernen, um so mehr, je größer der Abstand des Teilprismas von der Achse ist. Hieraus erkennt man die Möglichkeit, daß die gebrochenen Strahlen so divergieren, als wenn sie von einem vor der Linse liegenden Punkt herkämen.

Betrachtet man einen hinter einer bikonkaven Linse liegenden Gegenstand, so sieht man ihn deutlich, wenn auch verkleinert. Dies beweist, daß die Linse von ihm ein virtuelles, wenn auch verkleinertes Bild erzeugt hat. Wir schließen aus diesem Versuch:

Parallel der Achse einfallende Lichtstrahlen werden von einer konkaven Linse so gebrochen, wie wenn die gebrochenen Strahlen von einem vor der Linse liegenden Punkte herkämen. Dieser Punkt heißt erster Brennpunkt und ist ein virtueller Bildpunkt eines im Unendlichen liegenden Lichtpunktes. Konkave Linsen heißen auch Zerstreuungsgläser oder negative Linsen.

Fig. 278.

Läßt man das Licht von der andern Seite einfallen, so erhält man einen zweiten Brennpunkt in gleicher Entfernung auf der andern Seite der Linse.

In Fig. 278 ist dargestellt, wie die Strahlen I und II von links her parallel der Achse einfallen, und so gebrochen werden, als I′ und II′, wie wenn sie vom Brennpunkt F₁ herkämen. Ferner kommen die Strahlen III und IV von links her so, wie wenn sie auf den zweiten Brennpunkt F₂ hin wollten, und werden so gebrochen, daß sie als III′ und IV′ der Achse parallel werden.

209. Größe der Brennweite.

Die Brennweite f berechnet sich aus der Brennpunktsgleichung:

1f = (n - 1) (1 r₁ - 1r₂),

wobei n den Brechungskoeffizient, r₁ und r₂ die Krümmungsradien der zwei sphärischen Flächen bedeuten und jeder als positiv genommen wird, wenn das Licht die konvexe Seite der Krümmung trifft.

Fig. 279. Fig. 280.

Ergibt sich f als positiv, so hat man eine Sammellinse; wird f negativ, so hat man eine Zerstreuungslinse.

Soll eine Linse eine sehr kurze Brennweite haben, also f klein sein, so gibt man dem r₁ und r₂ verschiedene Zeichen, so daß ihre Werte addiert werden (also bikonvex oder bikonkav) und sucht r₁ und r₂ möglichst klein zu machen. Dann muß aber auch die Linse sehr klein sein. Linsen von kurzer Brennweite haben meist entgegengesetzt gerichtete Krümmungsflächen, sehr kleine Krümmungsradien und können nicht groß sein (Fig. 280).

Soll die Linse eine große Brennweite haben, also f groß sein, so macht man die Krümmungsradien r₁ und r₂ beide sehr groß. Hiebei ist es möglich, die Linse selbst groß zu machen, ohne daß ihre Dicke verhältnismäßig zu groß wird. Linsen von großer Brennweite haben sehr große Krümmungsradien und können (aber müssen nicht) groß sein (Fig. 279).

Brennversuche wurden bald nach Erfindung der Brenngläser gemacht; Mariotte machte positive Linsen aus Eis und entzündete damit Schießpulver; Tschirnhaus machte Linsen von 90 cm Durchmesser und 4,34 m Brennweite, in deren Brennpunkt alle Metalle schmolzen, Wasser ins Kochen kam und die Verbrennlichkeit des Diamanten nachgewiesen wurde (1687). Für optische Zwecke waren diese Linsen ganz unbrauchbar, denn sie waren voll „Schlieren“.

210. Ableitung der Bildgleichung.

Fällt Licht von einem in mäßiger Entfernung liegenden leuchtenden Punkt auf eine positive Linse, so werden die Lichtstrahlen auch in einen Punkt vereinigt, der aber vom Brennpunkt verschieden ist.

Die Lage dieses Bildpunktes findet man auf folgende Art. Liegt der leuchtende Punkt in der Achse, so liegt auch das Bild in der Achse. Rückt man den leuchtenden Punkt senkrecht zur Achse etwas seitwärts, so rückt auch der Bildpunkt senkrecht zur Achse etwas seitwärts. Beides bestätigt der Versuch, das letztere auch dadurch, daß man die Linse etwas dreht.

Fig. 281.

Ist nun in Fig. 281 L′ ein leuchtender Punkt, so geht 1) der parallel der Achse gehende Strahl I nach der Brechung durch den ersten Brennpunkt F₁; 2) der durch die Mitte der Linse gehende Strahl II geht ungebrochen durch, da er dort, besonders wenn man die Dicke der Linse sehr klein nimmt, parallele Flächen trifft. Der Schnittpunkt B′ beider Strahlen bestimmt somit die Lage des Bildpunktes B, welcher dem leuchtenden Punkte L zugehört. Somit ist auch B das Bild von L.

Bezeichnet man den Abstand des leuchtenden Punktes von der Linse, LM, mit a, den Abstand des Bildpunktes B von der Linse, BM, mit b, die Brennweite F₁M mit f, so ist

△ B′BM ~ △ L′LM, also BB′ : LL′ = b : a; ferner

△ B′BF₁ ~ △ JMF₁, also BB′ : MJ = b - f : f; da nun

LL′ = MJ, so folgt durch Vergleichung:

b : a = b - f : f; hieraus a · (b - f) = b f, oder

a b = b f + a f. Dividiert man beiderseits mit a b f, so wird

1f = 1a + 1b. (Bildpunktsgleichung.)

211. Bilder positiver Linsen.

In Bezug auf die Größe der Bilder folgt aus Fig. 281:

LL′ : BB′ = a : b ; d. h.

Gegenstand und Bild verhalten sich wie ihre Abstände von der Linse.

Liegt das Bild hinter der Linse, so ist es reell, liegt es vor der Linse, so ist es virtuell.

Liegen Gegenstand und Bild auf verschiedenen Seiten der Linse, so sind sie der Stellung nach verschieden, das Bild ist verkehrt; liegen beide auf derselben Seite der Linse, so haben sie gleiche Stellung, das Bild ist aufrecht.

Fig. 282.

Zur Untersuchung der Lage der Bilder benützen wir die Bildgleichung 1f = 1a + 1b, woraus 1b = 1f - 1a. Wir nehmen an, das Licht komme von links, so liegt der erste Brennpunkt F₁ rechts, der zweite Brennpunkt F₂ links von der Linse. Wir teilen den Raum vom Unendlichen bis zur Linse in drei Räume: der erste Raum reicht vom Unendlichen bis zum zweiten Gegenpunkt im Endpunkt der doppelten zweiten Brennweite (G₂), der zweite Raum reicht von da bis zum zweiten Brennpunkt (F₂), der dritte Raum reicht von da bis zur Linse. Ebenso wird der Raum hinter der Linse geteilt; der dritte Raum von der Linse bis F₁, der zweite von F₁ bis G₁, der erste von G₁ bis ins Unendliche.

Liegt der leuchtende Punkt im Unendlichen, ist a = ∞, so liegt das Bild im ersten Brennpunkt, b = f, und ist reell. Das Bild eines endlichen Gegenstandes (Sternes) wäre demnach ein Punkt. Zwei Sterne geben Bilder von meßbarem Abstand. Ihre Bilder liegen dort, wo die Achsen der von ihnen ausgehenden Büschel paralleler Strahlen die in F₁ zur Achse senkrechte Ebene (Brennpunktsebene) treffen.

Rückt (Fig. 283) der leuchtende Punkt vom Unendlichen gegen G₂, so wird a kleiner, also 1a größer, also wird aus der Bildgleichung 1b kleiner, also b größer; das Bild rückt demnach von F₁ gegen G₁ zu in den zweiten Raum. Ist der l. P. in G₂ angekommen, so ist a = 2 f, also auch b = 2 f, deshalb liegt das Bild in G₁. Während der leuchtende Punkt den ersten Raum vom Unendlichen bis G₂ durchläuft, durchläuft das Bild von F₁ aus den zweiten Raum bis G₁ und ist reell. Das Bild ist dabei verkleinert und verkehrt. Liegt der Gegenstand in G₂, so liegt sein Bild in G₁, ist verkehrt, reell und gleich groß.

Fig. 283.

In Fig. 283 ist zuerst dargestellt, wie die Lichtstrahlen vom Punkt L ausgehen, durch die Linse (zweimal) gebrochen und dann in einen Punkt B vereinigt werden. Liegt L′ seitwärts der Achse, so liegt auch B′ seitwärts der Achse. In der dritten Figur ist dargestellt, wie man das Bild durch eine Konstruktion finden kann. Man benützt 3 von L′ ausgehende Strahlen: I parallel der Achse, geht dann durch F₁; II geht durch die Mitte der Linse ungebrochen weiter; III geht durch F₂ und wird nach der Brechung parallel der Achse. In der vierten Figur sind für mehrere Lagen des leuchtenden Gegenstandes L₁, L₂ . . . . G₂ die Bilder B₁, B₂ . . . . G₁ gezeichnet.

Rückt (Fig. 284) der l. P. von G₂ in den zweiten Raum, so wird a noch kleiner, 1 a größer, also 1b noch kleiner, demnach b noch größer; das Bild rückt von G₁ aus von der Linse weg in den ersten Raum. Ist der l. P. in F₂ angekommen, so ist a = f, also 1b = 0, also b = ∞: das Bild liegt im Unendlichen, die Lichtstrahlen sind nach der Brechung parallel der Achse. Während der leuchtende Punkt den zweiten Raum von G₂ nach F₂ durchläuft, durchläuft das Bild den ersten Raum von G₁ bis ins Unendliche und ist reell. Die Bilder sind dabei vergrößert und verkehrt.

Fig. 284.

In Fig. 284 ist zuerst dargestellt, wie die von L ausgehenden Lichtstrahlen durch die Linse (zweimal) so gebrochen werden, daß sie sich in einem Punkt B vereinigen. In der zweiten Figur wird das Bild BB′ durch Konstruktion gefunden, indem man drei Strahlen I, II, III von denselben Eigenschaften wie vorher benützt. In der dritten Figur ist für mehrere Lagen des leuchtenden Gegenstandes G₂, L₁, L₂ . . . . das zugehörige Bild G₁, B₁, B₂ . . . . gezeichnet.

Rückt (Fig. 285) der l. P. vom F₂ in den dritten Raum, so wird a < f, also 1a > 1f; deshalb ergibt sich 1b negativ. Das bedeutet, daß das Bild nicht hinter, sondern vor der Linse liegt. So lange dabei a noch nahezu = f ist, ist auch b noch sehr groß; wird a noch kleiner und schließlich = 0, so wird auch b kleiner und schließlich = 0. Während der leuchtende Punkt von F₂ aus den dritten Raum durchläuft bis zur Linse, durchläuft das Bild den ganzen Raum vor der Linse vom Unendlichen bis zur Linse und ist virtuell. Die Bilder sind dabei vergrößert und aufrecht.

Fig. 285.

In Fig. 285 ist zuerst gezeichnet, wie die von L herkommenden Strahlen durch die positive Linse (zweimal) so gebrochen werden, daß sie nach der Brechung divergieren, wie wenn sie von dem vor der Linse liegenden Punkte B herkämen. In der zweiten Figur ist das Bild BB′ konstruiert: I parallel der Achse geht dann durch F₁, II geht durch die Mitte der Linse ungebrochen weiter, III, welches so geht, als wenn es von F₂ herkäme, wird nach der Brechung parallel der Achse; die drei gebrochenen Strahlen I′, II′, III′ divergieren so, wie wenn sie von B′ herkämen. In der dritten Figur ist für verschiedene Lagen des leuchtenden Gegenstandes L₁, L₂ etc. das virtuelle Bild B₁, B₂ etc. gezeichnet.

Mit einer Kerzenflamme und einer positiven Linse kann man leicht die reellen Bilder erzeugen, auf einem Schirme auffangen und ihre Lage, Art und Größe ersehen.

Aufgaben:

129. 5,4 m vor einer positiven Linse von 90 cm Brennweite befindet sich ein leuchtender Gegenstand von 37 cm Durchmesser. Wo erscheint das Bild, welcher Art und wie groß ist es?

130. Vor einer positiven Linse von 30 cm Brennweite befinden sich zwei leuchtende Punkte in 2,4 m bezw. 2,5 m Entfernung. Wie weit stehen ihre Bilder von einander ab?

131. 120 cm vor einer positiven Linse steht eine Kerzenflamme; 40 cm hinter der Linse entsteht das reelle Bild der Flamme. Wie läßt sich hieraus die Brennweite der Linse berechnen?

132. Wenn zwei Sterne einen scheinbaren Abstand von 2' 38" haben, wie weit sind dann ihre Bilder von einander entfernt, welche durch eine positive Linse von 3,8 m Brennweite erzeugt werden? Unter welchem Gesichtswinkel erscheint dieses Bildpaar aus der deutlichen Sehweite von 18 cm betrachtet?

133. Berechne Art, Lage und Größe des Bildes aus folgenden Angaben, wobei G die Größe des Gegenstandes bedeutet:

a) f = 1,4 m, a = 3,5 m, G = 20 cm;

b) f = 0,6 m, a = 4 mm, G = 0,3 mm;

c) f = 3 cm, a = 5 cm, G = 1,4 cm;

d) f = 30 cm, a = 2 m, G = 2,4 cm;

e) f = 10 cm, a = 6 cm, G = 0,20 cm;

f) f = 10 cm, a = 12 cm, G = 0,2 cm.

212. Bilder negativer Linsen.

Fig. 286.

Für Linsen mit negativer Brennweite gilt dieselbe Gleichung, nur hat f einen negativen Wert. Demnach 1b = - 1f - 1a. Hieraus folgt: Solange a positiv ist, also wenn der leuchtende Punkt vom Unendlichen bis zur Linse rückt, ist b stets negativ, das Bild liegt vor der Linse und ist virtuell; und da für a = ∞, b = - f, und für a = 0, b = 0 wird, so rückt das Bild vom Brennpunkt an die Linse; es ist verkleinert und aufrecht. In Fig. 286 ist zuerst gezeichnet, wie die von L herkommenden Strahlen durch die negative Linse (zweimal) so gebrochen werden, daß sie nach der Brechung divergieren, wie wenn sie von einem Punkte B vor der Linse herkämen.

In der zweiten Figur ist das Bild BB′ konstruiert: I parallel der Achse, geht nach der Brechung so, wie wenn es von F₁ herkäme; II geht durch die Mitte der Linse ungebrochen weiter; III geht so, wie wenn es durch F₂ gehen wollte und wird so gebrochen, daß es parallel der Achse wird.

In der dritten Figur ist dargestellt, wie Lichtstrahlen, welche konvergent auf die Linie treffen, so wie wenn sie auf einen hinter der Linse zwischen der Linse und F₂ liegenden Punkt L hingehen wollten, so gebrochen werden, daß sie sich in einem Punkte B treffen. In diesem Fall ist a negativ und kleiner als f; dann wird b + und größer als f. Z. B. f = -27, a = -21,7; dann ist b = 110.

In der vierten Figur ist dargestellt, wie Lichtstrahlen, welche auf einen hinter der Linse hinter F₂ liegenden Punkt L konvergieren, so gebrochen werden, daß sie divergieren, wie wenn sie von einem vor der Linie liegenden Punkte B herkämen. In diesem Falle ist a negativ und größer als f, dann wird b negativ, z. B. f = -27; a = -60, gibt b = -40.

Barrow († 1677) gab eine geometrische Methode an, um bei jeder Linse die Lage des Bildes zu finden für jede Lage des l. P. Cavalieri stellte 1647 die erste Brennpunktsgleichung für Glaslinsen auf.

213. Das Auge als optischer Apparat.

Fig. 287.

Der Augapfel ist eingehüllt von der harten Haut, welche undurchsichtig, außen weiß, innen geschwärzt und lederartig hart ist. Vorn ist ein Teil derselben ersetzt durch die Hornhaut, welche durchsichtig und etwas stärker gewölbt ist. Das Innere des Auges ist durch die Regenbogenhaut in zwei Teile geschieden: die vordere, kleinere Augenkammer ist angefüllt mit einer klaren, wässerigen Flüssigkeit, die hintere, größere Augenkammer ist mit einer gallertartigen Masse gefüllt, die ganz klar ist, das Licht stark bricht und Glaskörper heißt. In der hinteren Augenkammer sitzt gleich hinter der Regenbogenhaut die Kristallinse, eine klare, das Licht stark brechende, positive Linse von kurzer Brennweite, bestehend aus einer knorpelähnlichen durchsichtigen Masse. Die Regenbogenhaut, Iris, ist undurchsichtig, vorn braun oder blau oder grau, und hat in der Mitte eine Öffnung, das Sehloch oder die Pupille, durch welches Licht ins Auge dringt. Sieht man ins Dunkle, so erweitert sich die Pupille, um viel Licht eindringen zu lassen; sieht man ins Helle, so verengt sie sich, spielt also die Rolle einer Blende. Die hintere Wand der Augenkammer ist mit der Netzhaut (retina) ausgekleidet, in welcher sich der Sehnerv verbreitet; dieser kommt vom Gehirne, dringt seitwärts ins Auge ein, zerteilt sich in seine einzelnen, sehr zahlreichen Fasern, und diese endigen in sehr dünnen Stäbchen und Zapfen, die dicht neben einander stehend dem Lichte ihre Enden zukehren. Werden diese Nervenenden vom Lichte getroffen, so empfinden wir das Licht, wir sehen.

Die Lichtstrahlen werden durch Hornhaut und Kristallinse gebrochen und in einem Punkt hinter der Linse vereinigt. Liegt der Bildpunkt genau auf der Netzhaut, so sehen wir den Punkt klar und deutlich, liegt aber das Bild vor oder hinter der Netzhaut, so wird nicht bloß ein Punkt, sondern eine ganze Fläche (Zerstreuungskreis) der Netzhaut von den Lichtstrahlen getroffen; das Auge empfindet noch Licht und Farbe, aber nicht mehr deutlich, sondern verwaschen, verschwommen.

Wir sehen einen Gegenstand nur dann deutlich, wenn das Bild genau auf der Netzhaut liegt. Dieses Bild ist verkleinert, reell und verkehrt (Scheiner). Nur der Teil der Netzhaut, der von der Augenachse getroffen wird, sieht scharf und deutlich, dort stehen die Nervenfasern am engsten; er heißt der gelbe Fleck, macula lutea. Weiter entfernte Teile der Netzhaut sehen weniger scharf; um also einen Gegenstand deutlich zu sehen, richten wir die Augenachse auf ihn, z. B. wir folgen mit den Augen den Buchstaben, wenn wir lesen.

Dort, wo der Sehnerv ins Auge tritt, ist er noch nicht verzweigt, dort sind keine Nervenenden, an dieser Stelle ist also das Auge blind. Macht man auf ein Papier zwei (dicke) Punkte horizontal etwa 5 cm entfernt, betrachtet mit dem rechten Auge den links liegenden, senkrecht auf die Papierfläche sehend, so findet man, wenn man näher hin oder weiter weg geht, daß man den rechts liegenden Punkt nicht mehr sieht, sein Bild liegt dann an dieser Eintrittsstelle des Sehnerves. (Mariotte.)

214. Akkommodation.

Die brechenden Flächen des Auges, Hornhaut und Kristallinse wirken wie eine einzige Linse oder Fläche. Da eine solche von Gegenständen in verschiedenen Entfernungen auch Bilder erzeugt, die in verschiedenen Entfernungen hinter der Linse liegen, und wir den Gegenstand nur dann deutlich sehen, wenn das Bild genau auf der Netzhaut liegt, so folgt, daß wir Gegenstände, die in verschiedenen Entfernungen liegen, nicht zugleich deutlich sehen können, ja daß, wenn das Auge sonst keine Vorrichtung hätte, wir nur Gegenstände in ganz bestimmter Entfernung deutlich sehen könnten.

Das Auge kann sich innerhalb gewisser Grenzen so einrichten, daß es Gegenstände in verschiedenen Entfernungen nacheinander deutlich sehen kann, das Auge kann akkommodieren (sich anbequemen, anpassen). Die Kristallinse ist befestigt an einem sie rings umgebenden Band, und dessen Spannung kann durch den im Auge befindlichen, ringsum am Rand der Hornhaut entspringenden Muskel, den Ciliarmuskel, verringert werden. Dann wölben sich die Flächen der Linse, namentlich die vordere stärker, und die Brennweite wird kürzer. Befindet sich nun der betrachtete Punkt im Unendlichen, so bleibt der Muskel ganz schlaff, die Linse ist möglichst flach, ihre Brennweite möglichst groß, sie reicht gerade bis zur Netzhaut. Rückt der leuchtende Punkt gegen das Auge, so würde das Bild hinter die Netzhaut fallen; durch Anspannung des Muskels wird nun die Brennweite kürzer, so daß das hinter dem Brennpunkte liegende Bild wieder gerade auf der Netzhaut liegt. Je näher der Punkt ans Auge rückt, um so stärker wirkt der Muskel, um so kürzer wird die Brennweite. Auf diese Weise richtet das Auge seine Brennweite stets genau entsprechend der Entfernung des betrachteten Punktes, eine staunenswerte Einrichtung. (Thomas Young 1800.)

Das Auge kann nicht auf zwei Punkte in verschiedenen Entfernungen (Hand- und Schultafel) zugleich akkommodieren.

Die Akkommodationsfähigkeit des Auges ist nicht unbeschränkt. Ein normales Auge sieht die unendlich fernen Punkte (die Sterne) deutlich, Fernpunkt, und auch alle Punkte bis in eine Nähe von ca. 20 cm, Nahpunkt.

215. Fehler in der Akkommodation. Brillen.

Das kurzsichtige Auge. Durch angestrengtes, lange dauerndes Sehen in großer Nähe, besonders in der Jugend, wird das Auge kurzsichtig, es kann nicht mehr auf ferne Gegenstände akkommodieren; der Fernpunkt liegt sehr nahe 2 m, 1 m, 50 cm am Auge. Dies kommt daher, daß infolge angestrengten und andauernden Sehens in die Nähe im Auge Blutandrang entsteht, der die in der Jugend noch weichen Teile der Netzhautgrube (am gelben Flecke) nach auswärts drückt, so daß die Entfernung der Netzhaut von der Linse größer, die Augenachse länger wird. Deshalb können die Bilder fern liegender Gegenstände nicht mehr auf der Netzhaut liegen. Einen (kleinen) Vorteil hat das kurzsichtige Auge dadurch, daß es auch noch Gegenstände näher als 20 cm sehen kann, der Nahepunkt rückt näher ans Auge (bis 5 cm). Die Akkommodationsbreite eines kurzsichtigen Auges reicht also etwa von 1 m bis 5 cm.

Man hilft dem kurzsichtigen Auge durch eine Brille mit negativen Linsen und wählt deren Brennweite gleich dem Abstand des Fernpunktes vom Auge; denn dann entwirft diese Brille von den Punkten, die zwischen dem Unendlichen und dem Fernpunkte (Brennpunkte) liegen, Bilder, die zwischen dem Brennpunkte (Fernpunkte) und dem Auge liegen; das Auge kann dann auf diese Bilder akkommodieren. Für Punkte innerhalb des Nahepunktes braucht das Auge die Brille nicht, weshalb empfohlen wird, bei Betrachtung naher Gegenstände die Brille zu entfernen.

Das weitsichtige Auge. Bei vorgerücktem Alter von 40 bis 50 Jahren wird manchmal die Kristallinse etwas härter, so daß sie sich bei Betrachtung naheliegender Punkte nicht mehr stark genug wölben kann, wohl auch wird die Wölbung der Hornhaut etwas flacher; dadurch wird das Auge weitsichtig, d. h. es verliert die Fähigkeit, auf naheliegende Punkte zu akkommodieren; der Nahepunkt rückt weiter weg, bis 40, bis 60, bis 100 cm. Fernliegende Gegenstände sieht das Auge noch ganz gut, oft ausgezeichnet, denn der Fernpunkt liegt im Unendlichen.

Zur Betrachtung naheliegender Gegenstände (zum Lesen und Schreiben) bedient sich der Fernsichtige einer Brille mit positiven Linsen, hält sie so, daß der Gegenstand im dritten Raume der Linse liegt, also zwischen zweitem Brennpunkt und Linse; dann entwirft die Linse ein vergrößertes, virtuelles, aufrechtes Bild vor der Linse, das aber in größerer Entfernung liegt; wird nun die Brennweite der Linse so gewählt, daß das Bild jenseits des Nahepunktes liegt, so kann das Auge darauf akkommodieren. Bei Betrachtung fernliegender Punkte muß die Brille stets entfernt werden.

216. Das scharfe Sehen.

Will man einen Gegenstand möglichst gut sehen, d. h. die einzelnen Teile gut unterscheiden können, so muß der Gegenstand jedenfalls in der Akkommodationsbreite liegen. Sind aber zwei Punkte recht nahe beisammen, z. B. 1 mm, und vom Auge recht weit entfernt z. B. eine Meile, so liegen die Bilder wohl klar auf der Netzhaut, aber so nahe beisammen, daß sie etwa auf dasselbe oder auf sehr benachbarte Nervenenden treffen; man hat also auch nur eine Empfindung, man sieht die Punkte nicht getrennt. Sie müssen näher am Auge liegen, damit ihre Bilder auf verschiedenen oder ziemlich entfernten Nervenenden der Netzhaut liegen. Man sieht daher um so mehr Einzelheiten (Details) an dem betrachteten Gegenstand, je näher er dem Auge ist, also unter je größerem Gesichtswinkel man ihn sieht. Für ein gutes Auge ist eine Schrift von 1 mm Höhe der kleinen Buchstaben in 1 m Entfernung noch lesbar also bei 2 mm Höhe in 2 m Entfernung u. s. w.

217. Die Lupe oder das einfache Mikroskop.

Um einen Gegenstand möglichst gut zu sehen, muß man ihn möglichst nahe ans Auge halten, um den Sehwinkel groß zu machen; aber wir können ihn nicht näher als bis an den Nahepunkt bringen. Um den Gegenstand gleichwohl näher ans Auge bringen zu können, benützt man die Lupe oder das Vergrößerungsglas, eine positive Linse von sehr kurzer Brennweite (etwa 1 cm).

Fig. 288.

Man hält den Gegenstand zwischen den zweiten Brennpunkt und die Linse (Fig. 288); dann entsteht ein Bild, welches vergrößert, virtuell, aufrecht, vor der Linse und weiter entfernt ist. Hält man nun das Auge hinter die Lupe und liegt das Bild in der Akkommodationsbreite des Auges, so kann man dieses Bild deutlich sehen.

Fig. 289.

Stärke der Vergrößerung. Würde man den Gegenstand ohne Lupe betrachten, so müßte man ihn mindestens in den Nahepunkt halten nach L₁L′₁ (Fig. 289), 20 cm vom Auge; er erscheint dann unter einem kleinen Gesichtswinkel, etwa 1°. Betrachtet man ihn aber mit einer Lupe von 4 cm Brennweite, so ist er 4 cm (oder etwas weniger) von der Lupe entfernt in LL′, also auch, wenn das Auge sich unmittelbar hinter der Lupe befindet, 4 cm (ca.) vom Auge entfernt, ist also fünfmal so nahe am Auge, erscheint demnach unter (nahezu) fünfmal so großem Gesichtswinkel β, etwa 5°, also fünfmal vergrößert. Der Gegenstand erscheint (nahezu) so vielmal größer, als die Brennweite in der Entfernung des Nahepunktes enthalten ist.

Dabei ist jedoch folgendes zu beachten:

1. Man halte das Auge möglichst nahe an die Lupe; denn das von der Linse entworfene Bild BB′ sieht man vom Punkte A aus offenbar unter größerem Gesichtswinkel als von einem weiter entfernten Punkte.

2. Die Lupe verändert den Gesichtswinkel nicht (nur unmerklich). Denn allerdings entwirft die Lupe ein vergrößertes Bild; aber so vielmal es größer ist, ebensovielmal ist es weiter entfernt; ein in A befindliches Auge sieht also den Gegenstand LL′ ohne Lupe unter demselben Gesichtswinkel β, unter welchem es das Bild BB′ sieht. Durch die Lupe wird der Gesichtswinkel β des in der Entfernung LA vor dem Auge befindlichen Gegenstandes nicht verändert, wohl aber wird die Akkommodation ermöglicht.

3. Man halte den Gegenstand so, daß das Bild gerade im Nahepunkt liegt; denn je näher man den Gegenstand an die Lupe hält, unter um so größerem Gesichtswinkel erscheint er, (vergleiche Fig. 285, 3); um aber noch auf ihn akkommodieren zu können, muß das Bild noch in der Akkommodationsbreite liegen, darf also höchstens in den Nahepunkt rücken. Liegt etwa in Fig. 285, 3 der Nahepunkt in B₄, so sieht man den Gegenstand in L₄ größer als in L₃ oder L₁, obwohl B₄ kleiner ist als B₃ oder B₁; den Gegenstand noch näher an die Linse zu halten, nach L₅, ist unzulässig, weil dann das Bild B₅ nicht mehr in der Akkommodationsbreite liegt.

Besonders Leeuwenhoek † 1723 verstand es, einfache Mikroskope von bedeutender Kraft herzustellen und erzielte dabei bis 160 fache Vergrößerung. Er machte beiderseits sehr stark gekrümmte, stecknadelkopfgroße Linsen. Man verwendet gegenwärtig nur Lupen von mäßiger Vergrößerung (Uhrmacher, Xylograph u. s. w.). Sind stärkere Vergrößerungen erwünscht, so bedient man sich des Mikroskopes. Lupen von starker Vergrößerung also kurzer Brennweite sind stets sehr klein. Statt ihrer nimmt man zwei positive Linsen von etwas größerer Brennweite, welche also ziemlich groß sein können, und befestigt sie in kurzem Abstande hinter einander in einer Hülse; sie wirken dann wie eine Lupe von kurzer Brennweite (zusammengesetzte Lupe).

Aufgaben:

134. Wie weit muß bei einer Lupe von 3 cm Brennweite der Gegenstand vor die Linse gehalten werden, damit sein virtuelles Bild in der deutlichen Sehweite von 20 cm erscheint?

135. Wie weit muß bei einer Lupe von 3 cm Brennweite der Gegenstand vor die Linse gehalten werden, damit sein virtuelles Bild in der deutlichen Sehweite von 18 cm erscheint? Wie vielmal ist es größer, wie vielmal erscheint es dem Auge vergrößert?

136. Welche Brennweite muß eine Lupe haben, damit das in der deutlichen Sehweite (20 cm) erscheinende Bild viermal so groß erscheint?

Optische Projektionsapparate.

218. Die Camera obscura, Dunkelkammer.

Die Dunkelkammer ist ein innen geschwärzter Holzkasten. In die vordere Seitenwand ist eine positive Linse von mäßiger Brennweite, das Objektiv, eingelassen, so daß sie in einer Hülse etwas verschoben werden kann. Die gegenüberliegende Wand fängt das Bild auf (matt geschliffene Glastafel).

Fig. 290.

Von ferne liegenden Gegenständen im ersten Raume entwirft die Linse ein reelles, verkehrtes verkleinertes Bild hinter der Linse im zweiten Raume, das bei passender Stellung genau auf der Glastafel liegt und so auf ihr gesehen werden kann. Sind mehrere Gegenstände in verschiedenen Entfernungen vom Objektiv vorhanden, so können nicht alle zugleich deutlich auf der Glastafel aufgefangen werden; man stellt auf das wichtigste Bild scharf ein; die anderen sind verschwommen.

Legt man auf die Glastafel ein mit Öl getränktes Papier, so kann das Bild leicht nachgezeichnet werden.

Anwendung beim Photographieren. Der Photograph stellt die Dunkelkammer (den photographischen Apparat) so ein, daß das Bild genau auf der Glastafel erscheint; dann wird die Glastafel durch eine andere Glastafel ersetzt, die mit einer lichtempfindlichen Schichte (Kollodium mit Jod- oder Bromsilber) versehen ist. Diese Glastafel wird nun in der Dunkelkammer dem Lichte ausgesetzt, exponiert. An den vom Lichte getroffenen Stellen wird das Jodsilber zersetzt, um so mehr, je stärker das Licht einwirkt. Die Platte wird nun aus der Dunkelkammer genommen und mit Eisensulfatlösung übergossen; dadurch wird an den vom Lichte angegriffenen Stellen das Jodsilber zu metallischem (undurchsichtigem) und wegen seiner feinen, staubförmigen Verteilung dunkel erscheinendem Silber reduziert um so mehr, je stärker das Licht eingewirkt hat. Das unzersetzt zurückgebliebene Jodsilber wird durch Eintauchen in unterschwefligsaures Natron aufgelöst und entfernt. Man hat nun ein negatives Bild, an welchem die hellen Stellen des Gegenstandes dunkel erscheinen wegen des metallischen Silbers, und die dunklen Stellen durchsichtig sind. Die Platte wird gewaschen, getrocknet retouchiert und gefirnißt. Vom Negativ werden nun die Bilder abgezogen (kopiert). Man nimmt photographisches Papier (mit Albumin, Eiweiß getränkt und mit einer Schichte Chlorsilber überzogen), legt es auf die Bildfläche des Negativs und läßt durch das Glas der negativen Platte das zerstreute Tageslicht auf das Papier wirken, so wird dadurch das Chlorsilber zersetzt, geschwärzt, dort am stärksten, wo das Negativ am hellsten, durchsichtigsten ist; es entsteht auf dem Papier ein positives Bild. Dies wird fixiert, d. h. durch Eintauchen in unterschwefligsaures Natron von dem unzersetzten Chlorsilber befreit, gewaschen, vergoldet (um ihm eine schönere Farbe zu geben), gewaschen, getrocknet, aufgeklebt, retouchiert und satiniert. Vom Negativ kann man beliebig viele Bilder (Abzüge) machen.

Aufgaben:

137. Welche Brennweite hat das Objektiv einer Camera obscura, wenn das Bild eines 2,4 m entfernten Gegenstandes achtmal verkleinert erscheint?

138. Die Linse eines Phothographenapparates hat 20 cm Brennweite. Wo muß man das Objekt aufstellen, damit das Bild viermal verkleinert erscheint?

219. Die Laterna magica. Zauberlaterne.

Die Zauberlaterne besteht aus einem Beleuchtungs- und dem Projektionsapparate. Der Beleuchtungsapparat besteht nur aus einer stark leuchtenden Flamme (Petroleumlicht), in einem innen geschwärzten Kasten befindlich. An einer Seite des Kastens ist eine Öffnung angebracht, und an der gegenüberliegenden Seite ist als Reflektor ein Hohlspiegel angebracht, der das auf ihn fallende Licht auch zu der Öffnung schickt. Dort wird es durch eine große Sammellinse parallel gemacht, und trifft dann auf ein auf Glas gemaltes, gezeichnetes oder photographiertes Bild, das durchsichtig, an den farbigen Stellen mindestens durchscheinend ist; durch die auffallenden Lichtstrahlen wird es selbstleuchtend.

Fig. 291.

Vor diesem leuchtenden Gegenstand wird nun die Projektionslinse, eine positive Linse von mäßiger Brennweite, so aufgestellt, daß der Gegenstand im zweiten Raume und zwar gewöhnlich dem zweiten Brennpunkte ziemlich nahe liegt. Dann entwirft die Linse von dem Gegenstande ein reelles, verkehrtes, vergrößertes und weiter entferntes Bild. Dies wird auf einem Schirme aufgefangen und kann von vielen Personen zugleich betrachtet werden. Man stellt die Zeichnung verkehrt ein. Figur 292 zeigt den Gang der Lichtstrahlen.

Fig. 292.

Bei der Vergrößerung muß man, um deutliche und scharf begrenzte Bilder zu erhalten, innerhalb gewisser Entfernungen bleiben. Ist in einem Zimmer der Abstand des Apparates vom Schirm etwa = 4 m, und hat die Linse eine Brennweite etwa von 20 cm, so ist der Abstand des Gegenstandes von der Linse auch nahezu 20 cm (die Berechnung ergibt 21 cm); also ist die Vergrößerung ca. 20 fach; hat man Linsen von 10 cm Brennweite, so ist die Vergrößerung 40 fach u. s. w. So viel mal der Abstand des Schirmes größer ist als die Brennweite, so viel mal (nahezu) ist das Bild größer als der Gegenstand. Auch die Lichtstärke ist zu berücksichtigen, denn bei 10 maliger Vergrößerung wird das durch das transparente Bild gehende Licht auf eine 100 mal so große Fläche, (bei n maliger. Vergrößerung auf eine n² mal so große Fläche) ausgebreitet.

In einfachster Form dient der Apparat als Spielzeug (Zauberlaterne), verbessert als Lehrmittel, Skioptikon. Zur Beleuchtung dient eine starke Lichtquelle, Drummondsches Kalklicht oder elektrisches Licht.

220. Das Sonnenmikroskop.

Fig. 293.

Der Beleuchtungsapparat des Sonnenmikroskopes besteht aus einem Planspiegel, der durch ein Loch im Fensterladen eines verfinsterten Zimmers so ins Freie hinausgesteckt wird, daß auf ihn die Sonne scheint. Er wird so gestellt, daß die reflektierten Strahlen auf eine Sammellinse fallen parallel der Achse, und kann durch Schrauben oder ein Uhrwerk so reguliert werden, daß er dem Lauf der Sonne folgt und die Strahlen stets in der gewünschten Richtung reflektiert. Durch die Sammellinse werden die Sonnenstrahlen im Brennpunkte vereinigt. Eben dorthin wird ein mikroskopisches Präparat gestellt, ein kleiner interessanter Gegenstand zwischen zwei Glasplatten eingeschlossen; für starkes Licht ist es meist durchsichtig, wenigstens durchscheinend. Er wird, von dem vereinigten Sonnenlichte beschienen, selbst zum leuchtenden Gegenstand. Die Projektionslinse, eine positive Linse von sehr kurzer Brennweite, wird so gestellt, daß das Präparat im zweiten Raum liegt; dann entwirft die Linse ein reelles, verkehrtes, vergrößertes Bild, das im verfinsterten Zimmer auf dem Schirme aufgefangen werden kann.

Macht man die Brennweite der Projektionslinse sehr klein, dann kann schon bei mäßiger Entfernung des Schirmes (Zimmerbreite), eine sehr starke Vergrößerung erzielt werden, insbesondere da durch das Sonnenlicht eine starke Lichtquelle zur Verfügung steht. Für sehr kurze Brennweiten benützt man meist eine zusammengesetzte Linse (Fig. 294), bestehend aus zwei oder drei positiven Linsen von etwas größerer Brennweite, nahe hintereinander gestellt; diese wirken wie eine Linse von sehr kurzer Brennweite, ohne deren Mängel zu haben.

Fig. 294.

Anstatt des Sonnenlichtes benützt man auch andere starke Lichtquellen, sammelt sie (verstärkt durch Reflektoren) durch die Sammellinse auf das Präparat und projiziert wie vorher.

Durch solche Apparate können Bilder von ungemeiner Vergrößerung (bis 5000 fach) erhalten werden; doch erlangen sie bei weitem nicht die Deutlichkeit der Bilder eines Mikroskopes und dienen nur zur Demonstration.

Aufgaben:

139. Welche Brennweite muß die Linse eines Projektionsapparates haben, damit man auf einer 6 m entfernten Wand 10 fach vergrößerte Bilder erhält?

140. Zwei positive Linsen von gleicher Brennweite stehen unmittelbar hintereinander. Wie kann man ersehen, daß die Brennweite dieses Systems gleich der Hälfte der Brennweite einer Linse ist?

221. Das astronomische oder Keplersche Fernrohr.

Fig. 295.

Das astronomische Fernrohr besteht aus der Objektivlinse und dem Okulare. Die Objektivlinse ist eine große, positive Linse von großer Brennweite. Sie entwirft von fern liegenden Gegenständen im ersten Raume ein verkleinertes, reelles, verkehrtes Bild in oder nahe dem ersten Brennpunkte. Das Okular ist eine starke, meistens zusammengesetzte Lupe, mit der man dieses Bild betrachtet. Da die Lupe das vom Objektiv erzeugte verkehrte Bild nicht noch einmal umkehrt, so sieht man die Gegenstände verkehrt.

Die Objektivlinse muß möglichst groß sein, damit sie möglichst viel Licht auffängt und so das Bild lichtstark macht. Viele lichtschwache Sterne werden dadurch sichtbar.

Die Brennweite des Objektives muß möglichst groß sein; das von den Himmelskörpern entworfene Bild, naturgemäß sehr klein, wird um so größer, je größer die Brennweite ist. Das Bild der Sonne (des Mondes) bei 1 m Brennweite hat einen Durchmesser von 9,2 mm (9 mm), bei 5 m Brennweite 46 mm (45 mm), bei 10 m Brennweite 92 mm (90 mm). Betrachtet man diese Bilder von der Mitte der Objektivlinse aus, so sieht man sie unter demselben Winkel wie die Gegenstände selbst. Betrachtet man sie aus der Sehweite von 20 cm, so erscheinen sie schon größer, bei 1 m Brennweite 5 mal so groß, bei 5 m ca. 25 mal so groß. Vom Nahpunkte aus erscheinen sie so vielmal so groß, als die Entfernung des Nahepunktes in der Brennweite enthalten ist, F : n.

Betrachtet man aber diese Bilder mittels einer Lupe (des Okulars), über deren Stellung und Wirkung dieselben Sätze gelten wie früher, so sieht man die Bilder noch mehr vergrößert, noch so vielmal, als die Brennweite der Lupe in der Entfernung des Nahepunktes enthalten ist, n : f, also bei 1 cm Brennweite noch 20 mal größer.

Durch Verbindung beider Sätze erhält man: Das Bild erscheint so vielmal größer, als die Brennweite der Lupe in der des Objektivs enthalten ist. F : f. Sind diese 1 cm und 1 m, so ist die Vergrößerung 100 fach, d. h. der Gesichtswinkel erscheint 100 mal größer; der Himmelskörper erscheint 100 mal näher.

Solche astronomische Fernrohre sind die größten, besten und schärfsten Fernrohre; sie werden auf den Sternwarten zur Beobachtung der Himmelskörper benützt und geben Vergrößerung bis 5000 fach.

Verwandt sind die Ablesefernrohre, wie man sie zum Betrachten fernstehender Maßstäbe (Meßlatten) bei manchen Apparaten (Nivellierinstrumenten) benützt. Sie bestehen aus Objektiv und Okular, geben nur mäßige Vergrößerung und zeigen die Bilder auch verkehrt.

Aufgabe:

141. Bei einem astronomischen Fernrohr ist die Brennweite des Objektives = 90 cm, die des Okulars 4 cm, das Objekt ist 300 m entfernt und 8 m hoch. Wie weit müssen die Linsen voneinander entfernt sein, damit das Bild in der deutlichen Sehweite von 20 cm erscheint, und wie stark ist dann die Vergrößerung?

222. Das terrestrische oder Erd-Fernrohr.

Fig. 296.

Im astronomischen Fernrohr sieht man die Gegenstände verkehrt, da man mit der Lupe das umgekehrte Bild betrachtet, und die Lupe dasselbe nicht nochmal umkehrt. Dies stört nicht viel, wenn man etwa Himmelskörper betrachtet. Bei Betrachtung irdischer Gegenstände kehrt man das Bild nochmal um, bevor man es durch die Lupe betrachtet. Das Erdfernrohr hat demnach ein Objektiv, wie das astronomische Fernrohr; es entwirft ein verkehrtes, verkleinertes Bild nahe dem Brennpunkt; hinter dies Bild wird eine positive Linse von mäßiger Brennweite, die Umkehrlinse, gestellt, so daß das Bild im Endpunkte ihrer doppelten zweiten Brennweite (G₂) liegt; dann entwirft sie ein Bild, das im Endpunkte der doppelten ersten Brennweite (G₁) liegt, reell, ebensogroß und nochmal umgekehrt, also nun aufrecht ist. Dies betrachtet man mittels des Okulars wie früher. Anstatt nur einer Umkehrlinse verwendet man auch zwei positive Linsen von gleicher Brennweite, von denen die erste vom Bilde um die Brennweite absteht, und die zweite von der ersten auch um die Brennweite absteht. Dies Bild ist dann aufrecht und liegt im Brennpunkte (Fig. 297).

Fig. 297.

Erdfernrohre sollen meist Handfernrohre sein, dürfen demnach weder besonders lang noch schwer sein, können deshalb in der Objektivlinse keine besonders große Brennweite haben und liefern meist nur mäßige Vergrößerung (10-20 fach).

223. Das galileische oder holländische Fernrohr.

Es wird gewöhnlich als Operngucker, Feldstecher, Jagdfernrohr u. s. w. gebraucht.[12]

Es besitzt als Objektiv eine positive Linse von mäßiger Brennweite, die ein reelles, verkehrtes, verkleinertes Bild erzeugt; aber bevor das Bild zustande kommt, wird in den Gang dieser Lichtstrahlen als Okular eine negative Linse von kurzer Brennweite gestellt; diese bricht dann die einfallenden Lichtstrahlen so, daß ein virtuelles, vergrößertes, aufrechtes Bild vor ihr entsteht, das man mit dem Auge betrachtet.

Fig. 298.

Das Bild kommt auf die in Fig. 286, 4 dargestellte Art zustande. In Fig. 298 ist zuerst dargestellt, wie die durch das Objektiv gebrochenen Lichtstrahlen auf den Punkt B hin konvergieren, dann aber durch das Okular so gebrochen werden, daß sie nun divergieren, wie wenn sie von B₁ herkämen. Hiezu ist notwendig, daß B noch jenseits des zweiten Brennpunktes F₂ des Okulars liege. Zur Konstruktion betrachten wir 2 Strahlen, welche vom Objektiv herkommen und nach B′ hin konvergieren. Der Strahl I geht parallel der Achse und wird so gebrochen nach I′, wie wenn er vom ersten Brennpunkte F₁ herkäme; der Strahl II, welcher durch die Mitte der Linse geht, geht ungebrochen weiter nach II′. Die Strahlen I′ und II′ divergieren, wie wenn sie von dem vor der Linse liegenden Punkte B′₁ herkämen. Anstatt des verkehrten, reellen, verkleinerten Bildes BB′ entsteht das aufrechte, virtuelle vergrößerte Bild B′₁B₁. Liegt dieses jenseits des Nahepunktes, so kann es vom Auge deutlich gesehen werden.

Dies Fernrohr läßt keine bedeutenden Vergrößerungen zu, ist aber für Operngucker (2 bis 4 malige Vergr.), Feldstecher (5 bis 8 malige Vergr.) u. s. w., wegen seiner einfachen Zusammensetzung, der Kürze des Rohres und der Helligkeit und Größe des Gesichtsfeldes vorzüglich geeignet.

Aufgabe:

142. Bei einem Operngucker ist die Brennweite des Objektives = 15 cm, die des Okulars = -4 cm. Wie weit müssen beide voneinander entfernt sein, wenn das Bild eines 6 m entfernten Gegenstandes in der deutlichen Sehweite von 18 cm erscheinen soll?

224. Das Spiegelteleskop oder Newtonsche Fernrohr.

Fig. 299.

Anstatt des Objektivs ist ein großer Hohlspiegel (Silberspiegel) am Grunde des Rohres angebracht. Dieser entwirft von fernen Gegenständen verkleinerte, reelle, verkehrte Bilder in oder nahe dem Brennpunkte. Aus denselben Gründen wie bei dem astronomischen Fernrohre macht man den Hohlspiegel möglichst groß und von sehr großer Brennweite. Man setzt ihn auch etwas geneigt in den Grund der Röhre, so daß die Bilder nahe an der Seitenwand der Röhre entstehen; etwas vor diesem Bildpunkte wird ein kleiner Planspiegel unter einem Winkel von 45° angebracht, der das Bild durch eine Öffnung der Röhre herauswirft; dort wird es dann mittels eines Okulars, einer starken Lupe, betrachtet.

Solche Spiegelteleskope stehen den großen astronomischen Fernrohren weder an Helligkeit noch an Vergrößerung, sondern nur an Dauerhaftigkeit nach, da der Silberspiegel auch bei sorgfältigster Behandlung mit der Zeit erblindet. Der berühmte Astronom J. Herschel hatte sich ein Riesenfernrohr dieser Art hergestellt und machte damit die großartigen Entdeckungen am Sternhimmel über Mond- und Planetenoberfläche, Doppelsterne, Nebelflecke etc. zu einer Zeit, in der man Keplersche Fernrohre von ähnlicher Kraft noch nicht zu machen verstand. Sein Spiegel hatte einen Durchmesser von 125 cm und eine Brennweite von 12,5 m. Auch heutzutage sind sie noch nicht verdrängt durch die astronomischen Fernrohre. Ein Keplersches Fernrohr wird auch Refraktor, ein Newtonsches auch Reflektor genannt.

225. Das Mikroskop.

Das Mikroskop dient dazu, um kleine naheliegende Gegenstände stark vergrößert zu sehen und hat folgende Einrichtung. Sein Objektiv ist eine positive Linse von sehr kurzer Brennweite; sie wird so gestellt, daß der zu betrachtende Gegenstand L (das Objekt, das mikroskopische Präparat) im zweiten Raum liegt, also zwischen G₂ und F₂; dann entwirft die Linse ein reelles, verkehrtes, vergrößertes Bild BB′ zwischen G₁ und dem Unendlichen. Dies Bild betrachtet man mit dem Okular, einer starken Lupe, sieht es also in B₁B′₁ nochmals vergrößert, aber verkehrt.

Fig. 300.

Fig. 301.

Fig. 300.

Fig. 301.

Man richtet es gewöhnlich so ein, daß das Bild vom Objektiv nur eine mäßige Entfernung hat etwa 10 cm; soll also dies Bild selbst schon bedeutend vergrößert sein, so muß die Brennweite des Objektives möglichst klein sein; bei einer Brennweite von 1 cm ist die Vergrößerung ca. 10 fach, bei 1 mm ca. 100 fach u. s. w. Dieses Bild würde aus der deutlichen Sehweite (20 cm) schon unter einem 10 (resp. 100) mal größerem Gesichtswinkel erscheinen. Betrachtet man das Bild mit einer Lupe, die nochmals 5 mal (oder etwa 20 mal) vergrößert, so erscheint es 50 mal (resp. 2000) mal vergrößert.

Objektiv und Okular sind gewöhnlich an den Enden einer Röhre angebracht, so daß ihr Abstand nicht geändert werden kann. Damit aber das durch das Objektiv erzeugte Bild den richtigen Abstand vom Okular hat, kann man diese Röhre und somit das Objektiv dem Objekte näher und ferner stellen (einstellen).