Noten.

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[1] »It is difficult to give an idea of the vast extent of modern mathematics. This word »extent« is not the right one: I mean extent crowded with beautiful detail — not an extent of mere uniformity such as an objectless plain, but of a tract of beautiful country seen at first in the distance, but which will bear to be rambled through and studied in every detail of hillside and valley, stream, rock, wood and flower.« (Rede von C a y l e y i. J. 1883 vor der »British Association for the Advancement of Science« gehalten.)

Bei dieser Gelegenheit führen wir noch folgendes Urteil von E. D u b o i s - R e y m o n d über den Charakter der modernen Wissenschaft an: »Nie war die Wissenschaft entfernt so reich an den erhabensten Verallgemeinerungen, nie stellte sie in ihren Zielen, ihren Ergebnissen eine grössere Einheit dar. Nie schritt sie rascher, zweckbewußter, mit gewaltigeren Methoden voran, und nie fand zwischen ihren verschiedenen Zweigen lebhaftere Wechselwirkung statt.« (Über die wissenschaftlichen Zustände der Gegenwart, Reden, Bd. II, S. 452.)

[2] Histoire des sciences mathématiques en Italie par G. L i b r i, 1838. Bd. I, S. 3.

[3] H a n k e l, Die Entwickelung der Mathematik in den letzten Jahrhunderten (Tübingen. II. Aufl. 1885). S. 7.

[4] Diese Thatsache könnte man als ein neues Moment ansehen, wie sich — nach einem berühmten Ausspruche Humboldts — der Einfluß, den die tellurischen Erscheinungen auf die Richtung unserer wissenschaftlichen Untersuchungen ausüben, geltend macht.

[5] Vgl. E m i l W e y r, Über die Geometrie der alten Ägypter (Wien, 1881).

[6] Für die Mathematiker, welche vor 1200 gelebt haben, sind die hier niedergeschriebenen Jahreszahlen aus den Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik von M. C a n t o r (I. Bd. Leipzig, 1880) entnommen. Die erste Zahl in der Klammer bezieht sich auf das Geburtsjahr, die zweite auf das Todesjahr.

[7] In Bezug auf größere Einzelheiten sehe man B r e t s c h n e i d e r, Die Geometrie und die Geometer vor Euklides (Leipzig, 1870).

[8] B e t t i und B r i o s c h i, Vorrede zu Gli elementi di Euclide (Florenz, 1867). Eine gegenteilige Ansicht hat L a c r o i x in seinem wohlbekannten Buche Essais sur l'enseignement en général et sur celui des mathématiques en particulier (4. Aufl. 1883. S. 296) ausgesprochen.

[9] Um zu zeigen, wie glänzend und bewunderungswürdig die noch immer verkannte griechische Mathematik gewesen sein muß, genüge es, die Thatsache anzuführen, daß die Theorie der Kegelschnitte, ein hauptsächlicher Gegenstand des Studiums der alten Geometer, von ihnen zu solcher Vollendung gebracht wurde, dass man im wesentlichen nur weniges hinzuzufügen hätte, um sie auf den Stand zu bringen, auf dem sie sich heute befindet. Die Bewunderung für jene wird noch jeden Tag grösser durch die historischen Forschungen gelehrter Mathematiker [z. B. Z e u t h e n (s. das Werk Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertume, deutsch von F i s c h e r - B e n z o n. Kopenhagen, 1886), P. T a n n e r y (s. Bull. des sciences math. und Mém. de la Société de Bordeaux) und andere], welche das Vorurteil zu beseitigen suchen, daß die Griechen keine Untersuchungsmethoden gehabt hätten, die vergleichbar sind mit denen, auf welche unsere Zeit so stolz ist, und die als Ersatz dafür die Ansicht aufzustellen streben, daß es ihnen nur an den nötigen Formeln zur Darstellung der Methoden selbst gefehlt habe.

[10] Ich kann nicht umhin, die beredten Worte, welche der berühmte Geschichtsschreiber der Mathematik in Italien bei dieser Gelegenheit geschrieben hat, anzuführen: »...... mais bientôt le Romain arrive, il saisit la science personnifiée dans Archimède, et l'étouffe. Partout où il domine la science disparaît: l'Étrurie, l'Espagne, Carthage en font foi. Si plus tard Rome n'ayant plus d'ennemis à combattre se laisse envahir par les sciences de la Grèce, ce sont des livres seulement qu'elle recevra; elle les lira et les traduira sans y ajouter une seule découverte. Guerriers, poètes, historiens, elle les a, oui; mais quelle observation astronomique, quel théorème de géométrie devons-nous aux Romains?« (L i b r i a. O. S. 186.)

Um zu zeigen, in welchem Ansehen unsere Vorfahren die Mathematik hielten, genüge es mitzuteilen (vgl. H a n k e l, Zur Geschichte der Mathematik im Altertum und Mittelalter, Leipzig, 1874. S. 103), daß sie dieselbe oft mit Astrologie und den verwandten Künsten zusammenwarfen. Es darf uns daher nicht Wunder nehmen, wenn wir in dem Codex Justinians unter den gesammelten Bestimmungen unter dem Titel »De maleficis et mathematicis et ceteris similibus« folgendes finden: »Ars autem mathematica damnabilis interdicta est omnino.« Wenn man in demselben Codex etwas weiter die Wendung findet: »Artem geometriae discere atque exercere publice interest,« so muß man sich hüten, sie als eine Übersetzung des Ausspruches Napoleons I. anzusehen: »L'avancement, le perfectionnement des Mathématiques sont liés à la prospérité de l'État,« denn es ist fast sicher, daß der römische Gesetzgeber den praktischen Teil der Geometrie meinte.

[11] Unter den Fragen der G e o m e t r i e, welche die italienischen Gelehrten des 16. Jahrhunderts sich gegenseitig stellten, finden sich solche von einiger Wichtigkeit, da sie die »Geometria del compasso« (Geometrie des Kreises) entstehen ließen, welcher gerade in dieser Zeit B e n e d e t t i (?-1590) eine Schrift widmete, und die in neuerer Zeit von M a s c h e r o n i (1750-1808) und S t e i n e r gepflegt wurde.

[12] P a s c a l entdeckte an der Cykloide eine Fülle bemerkenswerter Eigenschaften, wies auf die Perspektivität als eine für das Studium der Kegelschnitte sehr günstige Methode hin, bewies den berühmten Lehrsatz von dem »Hexagramma mysticum,« wie er es nannte, u. s. w.

D e s a r g u e s führte die g e m e i n s a m e Betrachtung der drei Kegelschnitte ein, den wichtigen Begriff des unendlich fernen Punktes einer Geraden, den Begriff der Involution von sechs Punkten, löste mehrere wichtige Fragen, die sich auf die Kegelschnitte beziehen, u. s. w.

In den Werken von D e s a r g u e s (vgl. die von P o u d r a 1864 besorgte Ausgabe) findet sich auch eine Methode vorgeschlagen, um einige projektive Eigenschaften der Kurven zu untersuchen, welche darauf beruht, daß man dieselbe durch Systeme von Geraden ersetzt. Descartes und Poncelet betrachteten die Schlüsse, die auf einer solchen Substitution beruhen, als der Strenge entbehrend (vgl. Traité des proprietés projectives, Bd. II, S. 128). Jedoch wurde das von D e s a r g u e s vorgeschlagene Verfahren in der neueren Zeit wiederholentlich von demselben P o n c e l e t (a.a.O. Bd. I, S. 374), von J o n q u i è r e s (in verschiedenen Abhandlungen in den Annali di Matem., Journ. f. Math. und in den Math. Ann.), von C r e m o n a (s. die Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane) gebraucht, und gehört heute zu den wertvollen Untersuchungsmethoden, die wir dem »Prinzip der Erhaltung der Anzahl« verdanken.

[13] Vgl. E. D u b o i s - R e y m o n d, Kulturgeschichte und Naturwissenschaft, in den Gesammelten Reden, Bd. I 1886, S. 207-208.

[14] F a v a r o, Notizie storico-critiche sulla costruzione delle equazioni. Memorie di Modena, 18, 1879.

M a t t h i e s s e n, Grundzüge der antiken und modernen Algebra der litteralen Gleichungen (Leipzig, 1878), 7. Abschnitt.

[15] Über den Ursprung der analytischen Geometrie sehe man G ü n t h e r, Die Anfänge und die Entwickelungsstadien des Coordinatenprincipes (Abhandlungen der naturforsch. Gesellsch. zu Nürnberg, 6) und über Cartesius die Rede von J a c o b i, ins Französische übersetzt und veröffentlicht in Liouvilles Journ. 12 unter dem Titel: De la vie de Descartes et de sa méthode pour bien conduire la raison et chercher la vérité dans les sciences.

[16] Siehe z. B. den Traité de la lumière (Leyden, 1691).

[17] Sectiones conicae in novem libros distributae (Paris, 1685), Mémoires sur les Epicycloides (Anciennes Mémoires de l'Académie des sciences, 9), Traité des roulettes etc. (ebendas., 1704).

[18] Man sehe die von ihm bewirkte Herausgabe von griechischen Werken nach, sowie seine Versuche, verloren gegangene Bücher (wie das achte Buch von Apollonius' Kegelschnitten) wieder herzustellen.

[19] Vergl. sein Buch A complete System of Fluxions (Edinburgh, 1742).

[20] Treatise on conic Sections (1735).

[21] General theorems of considerable use in the higher parts of mathematics (Edinburgh, 1746); Propositiones geometricae more veterum demonstratae (Edinburgh, 1763).

[22] Hinsichtlich der von S i m p s o n und S t e w a r t gemachten Versuche, die griechische Geometrie wieder aufleben zu machen, sehe man B u c k l e, Geschichte der Civilisation in England (deutsch von A. R u g e), Bd. I, Kap. 5.

[23] Die von den Griechen hauptsächlich untersuchten Kurven sind: der Kreis, die Ellipse, die Hyperbel, die Parabel, die Archimedische Spirale, die Diokles'sche Cykloide, die Konchoide des Nikomedes, die Quadratrix des Hippias und Dinostratus, die Schraubenlinien, die Spirallinien und einige andere. Zu diesen fügten die neuen Rechnungsarten hinzu: das Folium und die Ovale von Descartes, die Tschirnhausensche Quadratrix, die Cykloide, die Hypo- und Epicykloiden, die logarithmische Spirale, die Kettenlinie, die Sinuscurve, die Logarithmuscurve und unzählige andere.

[24] Siehe das fünfte Buch seiner Exercitationes geometriae.

[25] P a r e n t, Essai et Recherches de Mathématiques et de Physique (II. Aufl. 1713), Bd. 2.

[26] Traité de Courbes à double courbure. 4

[27] Recherches sur la courbure des surfaces (Berliner Abh.).

[28] Abhandlungen der Akademie von Turin (1770-1773) und von Paris (1784); Feuilles d'analyse appliquée à la géométrie (Paris, 1795), oder Applications de l'Analyse à la Géométrie (Paris, 1801).

[29] Ausspruch von d ' A l e m b e r t.

[30] Leçons de géométrie descriptive (Paris, 1794).

[31] In Bezug auf M o n g e sehe man D u p i n, Essai historique sur les services et les travaux scientifiques de Gaspard Monge (Paris, 1819); A r a g o, Notices biographiques.

Über die Geschichte des Ursprunges und der Entwickelung der darstellenden Geometrie sehe man den ersten Abschnitt des 1. Bandes des Werkes von C h r. W i e n e r, Lehrbuch der darstellenden Geometrie (Leipzig, 1884, 1887), in welchem der Studierende eine Menge interessanter Einzelheiten finden wird, sei es über die Studien, welche diese Disziplin vorbereiteten, sei es über die Untersuchungen, welche die Nachfolger von Monge gemacht haben.

Monge hatte als Mitarbeiter bei seinem reformierenden Werke einige seiner Kollegen [unter anderen L a c r o i x (1765-1843) und H a c h e t t e (1769-1834)], sowie viele von seinen Schülern an der polytechnischen Schule. Der Kürze halber beschränke ich mich darauf, den anzuführen, »der über die anderen wie ein Adler fliegt«, C h a r l e s D u p i n (1784-1873), vorzüglich wegen seiner klassischen Développements de géométrie (1813), die noch von allen gelesen werden müssen, welche auch nur eine mäßige Kenntnis des heutigen Zustandes der Geometrie erlangen wollen.

[32] Monge's Einfluß läßt sich noch in den neuesten Arbeiten bemerken; zum Beweise genüge es, die Idee anzuführen, die Schranken, durch welche die Alten die Planimetrie von der Stereometrie getrennt hatten, niederzureißen, und den glücklichen Versuch, den neuerdings (1884) D e P a o l i s in seinen goldenen Elementi di Geometria (Turin) gemacht hat, dieselbe auszuführen.

[33] »La Géométrie de position de Carnot n'aurait pas, sous le rapport de la métaphysique de la Science, le haut mérite que je lui ai attribué, qu'elle n'en serait pas moins l'origine et la base des progrès que la Géométrie, cultivée à la manière des anciens, a fait depuis trente ans en France et en Allemagne« (A r a g o, Biographie de Carnot).

[34] Zweite Auflage, 1865, 1866.

[35] Den Ursprung dieses Prinzipes betreffend, sehe man die Note von C. T a y l o r, On the history of geometrical continuity (Cambridge Proc., 1880 und 1881).

[36] Doctrina triangulorum canonicae u. s. w. (Leyden, 1627).

[37] Variorum de rebus mathematicis responsorum liber VIII. (Opera Vietae, 1646).

[38] Gergonnes Ann. 17.

[39] J a c o b i, Journ. für Math. 3; R i c h e l o t, das. 5, 38; R o s a n e s und P a s c h, ebendas. 64; L é a u t é, Comptes rendus, 79; F e r g o l a, P a d e l e t t i und T r u d i, Napoli Rend. 21; S i m o n, Journ. für Math. 81; G u n d e l f i n g e r, das. 83; H a l p h e n, Liouvilles Journ. III, 5; Bull. de la Soc. philom. VII, 3. Man sehe auch die interessante Abhandlung von H u r w i t z: Über unendlich-vieldeutige geometrische Aufgaben, insbesondere über die Schliessungsprobleme (Math. Ann. 15) und die Note von F o r s i t h, On in- and circumscribed polyhedra (Proc. Math. Soc. 1883).

[40] In deutscher Übersetzung von S o h n c k e: Geschichte der Geometrie, hauptsächlich in Bezug auf die neueren Methoden (Halle, 1839), jedoch ohne das Mémoire sur deux principes généraux de la science (vgl. die folgende Note). Das französische Original erschien 1875 in 2. Auflage.

[41] Unter den Arbeiten, welche das Werk von C h a s l e s bilden, verdient eine besondere Erwähnung die Abhandlung (für welche ursprünglich der Aperçu historique als Einleitung dienen sollte) Sur deux principes généraux de la Science, welche die allgemeine Theorie der Homographie (Kollineation) und der Reciprocität enthält, sowie die Untersuchung der beiden Fälle, in welchen diese involutorisch ist, und die Anwendung dieser Transformationen auf das Studium der Flächen zweiten Grades und der geometrischen Oberflächen überhaupt, sowie auf die Verallgemeinerung des cartesischen Koordinatensystems. Auch müssen noch die Noten erwähnt werden, da sie eingehende historische Studien und geometrische Untersuchungen von großer Bedeutung enthalten. Unter den letzteren will ich diejenigen anführen, in denen die Theorie des Doppel- oder anharmonischen Verhältnisses und der Involution, die anharmonischen Eigenschaften der Kegelschnitte, die Fokaleigenschaften der Flächen zweiten Grades, viele Lehrsätze über die kubischen Raumkurven, glückliche Versuche, die Sätze von Pascal und Brianchon auf die Flächen zweiten Grades auszudehnen, eine Verallgemeinerung der stereographischen Projektion u. s. w. auseinandergesetzt sind.

[42] Dieser Übergang ging nicht friedlich von statten, war vielmehr mit einer Reihe lebhafter Diskussionen verbunden, in welchen P o n c e l e t , C h a s l e s und B o b i l l i e r zu Gegnern hatten P l ü c k e r, S t e i n e r und M a g n u s und deren Hauptschauplatz das Bulletin von F é r u s s a c war. — Hier würde es am Orte sein, den Anteil zu bestimmen, der jedem dieser Gelehrten in den Wissensgebieten zukommt, an denen sie zusammen arbeiteten; aber dafür würde die Feder eines competenteren und gelehrteren Mannes, als ich bin, nötig sein. Im Übrigen sind nach meinem Dafürhalten gewisse Produktionen der menschlichen Intelligenz eine natürliche Frucht ihrer Zeit; daher darf es nicht wunder nehmen, wenn sie gleichzeitig aus verschiedenen Köpfen hervorgegangen scheinen, und darum braucht man auch keine Erklärung dieser Thatsache in der »mala fides« dieses oder jenes zu suchen. Daß solches wirklich bei der Erfindung der Differentialrechnung eingetreten ist, steht heute außer allem Zweifel. Daß dies ebenso bei der modernen Geometrie eingetreten ist, kann die Thatsache beweisen, daß dieselbe hervorgegangen ist aus einem allseitig gefühlten Bedürfnisse (man vergleiche dazu den Ausspruch D u p i n s [Développements de géométrie], der als Motto auf dem Traité des propriétés projectives des figures steht, mit der Vorrede der Systematischen Entwickelung und mit dem Aperçu historique an verschiedenen Stellen) nach allgemeinen Methoden, die als Ariadnefaden dienen sollten zur Führung in dem Labyrinthe von Hilfssätzen, Lehrsätzen, Porismen und Problemen, die von den Vorfahren überliefert sind.

[43] Die hauptsächlichste Arbeit von M ö b i u s auf dem Gebiete der reinen Geometrie ist die mit dem Titel: Der barycentrische Calcul (Leipzig, 1827); dort sind die bisherigen Kenntnisse über den Schwerpunkt (Barycentrum) eines Systemes von Punkten einer neuen und wichtigen Rechnungsart zu Grunde gelegt; diese führt zu einem neuen Koordinatensystem, dessen Anwendung auf das Studium der Raumkurven und ebenen Kurven und der Oberflächen der Verfasser darlegt. In demselben werden ferner methodisch und in großer Ausführlichkeit wichtige geometrische Transformationen, die heute noch fortwährend Anwendung finden, betrachtet. Viele spätere Abhandlungen von Möbius sind als Anhänge zum barycentrischen Calcul zu betrachten. (Siehe die beiden ersten Bände der Gesammelten Werke von Möbius, herausgegeben auf Veranlassung der Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften, Leipzig, 1885-1887.)

[44] Ich meine das Werk: Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander (Berlin, 1832), in dem »der Organismus aufgedeckt ist, durch welchen die verschiedenartigsten Erscheinungen in der Raumwelt miteinander verbunden sind«. — Die späteren Schriften von Steiner und diejenigen anderer, welche sich auf das angeführte Werk stützen, zeigen, welches Recht der Verfasser desselben dazu hatte, den Inhalt durch die schon angeführten Worte zu charakterisieren. Steiners Gesammelte Werke sind auf Veranlassung der Akademie der Wissenschaften zu Berlin herausgegeben (Berlin, 1881, 1882).

[45] Des Näheren will ich hier nur die drei Bücher anführen: Analytisch-geometrische Entwickelungen (Essen, 1828-1831), System der analytischen Geometrie (Berlin, 1835), Theorie der algebraischen Kurven (Bonn, 1839), sowie die mit ihnen zusammenhängenden Abhandlungen, die in Gergonnes Ann. und im Journ. für Math. veröffentlicht sind.

[46] Das Werk, in welchem S t a u d t sein System der Geometrie dargelegt hat, wurde im Jahre 1847 zu Nürnberg veröffentlicht unter dem Titel: Geometrie der Lage. Die ungemeine Knappheit des Stiles ist vielleicht die Ursache der großen Schwierigkeit, auf welche die Verbreitung desselben stieß; heute erst sind, dank den von R e y e (in erster Auflage 1866-1868 erschienenen und) unter demselben Titel veröffentlichten Vorlesungen die in demselben enthaltenen Ideen allen bekannt, die sich mit Geometrie beschäftigen. In Italien wird jetzt zuerst von allen Ländern eine Übersetzung desselben angefertigt.

Nicht weniger wichtig sind die Beiträge zur Geometrie der Lage (in 3 Heften), welche S t a u d t seiner Geometrie der Lage 1866-1860 folgen ließ. Wir beschränken uns darauf, hervorzuheben, daß dort die einzige strenge, allgemeine und vollständige Theorie der imaginären Elemente in der projektiven Geometrie auseinandergesetzt ist; diese Theorie wurde in verschiedener Weise von mehreren Geometern, L ü r o t h (Math. Ann. 8, 11), A u g u s t (Progr. der Friedrichs-Realschule in Berlin, 1872) und S t o l z (Math. Ann. 4) erläutert; über die eng mit ihr zusammenhängende Rechnung mit den »Würfen« sehe man außer den erwähnten Abhandlungen von L ü r o t h noch zwei Arbeiten von S t u r m (Math. Ann. 9) und S c h r ö d e r (ebendas. 10).

[47] Ohne Zweifel ist diese Einteilung etwas willkürlich; vielleicht wird mancher, indem er bedenkt, daß gewisse Theorien mit demselben Rechte zu mehr als einem von den folgenden Abschnitten gehören können, dieselbe unpassend finden. Gleichwohl schmeichle ich mir, daß die meisten nach reiflicher Prüfung des besprochenen Gegenstandes finden werden, daß die von mir gewählte Einteilung nicht ohne bemerkenswerte Vorteile ist.

[48] C ô t e s, Harmonia mensurarum (1722); M a c l a u r i n, De linearum geometricarum proprietatibus generalibus tractatus. (Ins Französische übersetzt von d e J o n q u i è r e s und seinen Mélanges de Géométrie pure [Paris, 1856] angehängt.)

[49] Miscellanea analytica etc. (1762); Proprietates geometricarum curvarum (1772); Phil. Trans. 1763-1791.

[50] Geometria organica (1720).

[51] Phil. Trans. 1735; Exercitationes Geometriae de descriptione linearum curvarum (1733).

[52] Übrigens hat, wie C. T a y l o r (Cambridge Proc. 3) bemerkte, Newton selbst seine organische Erzeugungsweise der Kegelschnitte in der Enumeratio linearum tertii ordinis auf Kurven höherer Ordnung ausgedehnt.

[53] Usage de l'analyse de Descartes (1740).

[54] Introductio in analysin infinitorum. 2. Bd.

[55] Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques.

[56] Kurz vor der Veröffentlichung des C r a m e r schen Werkes fand E u l e r (man sehe die Berliner Abh. 1748), daß von den neun Grundpunkten eines Büschels ebener Kurven dritter Ordnung einer durch die acht übrigen bestimmt ist.

[57] Gergonnes Ann. 17, 19.

[58] Journ. für Math. 16; Theorie der algebraischen Curven (wo S. 12-13 sich eine kurze Geschichte dieser Sätze findet).

[59] Journ. für Math. 15.

[60] Cambridge Journ. 3; vgl. B a c h a r a c h, Math. Ann. 26.

[61] R i e m a n n, Journ. für Math. 54; C l e b s c h, das. 58; R o c h, ebendas. 64; C l e b s c h und G o r d a n, Theorie der Abelschen Funktionen (Leipzig, 1866); B r i l l und N ö t h e r, Über die algebraischen Funktionen u. s. w. (Math. Ann. 7); C r e m o n a, Bologna Mem. 1870; C a s o r a t i, C r e m o n a und B r i o s c h i, Lombardo Rend. II, 2.

[62] In diesem Werke ist mit ersichtlicher Bevorzugung von dem »Prinzipe der Abzählung der Konstanten« Kenntnis gegeben und Gebrauch gemacht; wir wollen dasselbe erwähnen, da sich darauf eine Untersuchungsmethode stützt, deren ganze Bedeutung aufzuheben nicht gelingen wird, obwohl sich Beispiele von Irrtümern anführen lassen, zu denen es führen kann, wenn es ohne die notwendige Vorsicht angewandt wird.

Mit der Theorie der ebenen Kurven befassen sich auch die beiden folgenden Bücher, deren Existenz ich aus einer Anführung Plückers kenne (Theorie der algebraischen Curven, S. 206); A. P e t e r s, Neue Curvenlehre 1835; C. C. F. K r a u s e, Novae theoriae linearum curvarum originariae et vere scientificae specimina quinque prima. Edidit Schröder, 1835.

[63] S. auch eine Abhandlung P l ü c k e r s, Liouvilles Journ. 1.

[64] Mém. prés. 1730-31-32.

[65] S. die in Note 54 citierte Introductio.

[66] Hierzu siehe C l e b s c h, Vorlesungen über Geometrie, S. 352; M a l e t, Hermathema, 1880; P e l l e t, Nouv. Ann. II., 20, 1881.

[67] C a y l e y, Quart. Journ. 7 und Journ. für Math. 64; L a G o u r n e r i e, Liouvilles Journ. II, 14; N ö t h e r, Math. Ann. 9; Z e u t h e n, das. 10; H a l p h e n, Comptes rendus 78, Liouvilles Journ. II, 2, Mém. prés. 26; J. S. S m i t h, Proc. math. Soc. 6; B r i l l, Math. Ann. 16; R a f f y, das. 23. — An diese Frage knüpft sich die Untersuchung der Zahl der Schnitte zweier Kurven, welche von einem ihnen gemeinsamen vielfachen Punkte absorbiert werden. Hierzu sehe der Leser die interessante Abhandlung von Z e u t h e n, Acta math. 1.

[68] Journ. für Math. 40; vgl. C l e b s c h (das. 63).

[69] Journ. für Math. 36, 40, 41.

[70] Phil. Mag. Oktoberheft 1858.

[71] Phil. Trans. 1859.

[72] z. B. D e r s c h, Math. Ann. 7.

[73] A Treatise on higher plane curves (1852); ins Deutsche übertragen durch Fiedler (Leipzig, 1873)

[74] Gergonnes Ann. 19.

[75] Journ. für Math. 24. — Die Theorie der Polaren in bezug auf Kurven und Oberflächen wurde in der letzten Zeit auf eine bemerkenswerte Weise von C l i f f o r d (1845-1879) (Proc. math. Soc. 1868 oder Mathematical Papers of Clifford, 1882, S. 115) und von R e y e (Journ. für Math. 72, 78) verallgemeinert. D e P a o l i s widmete ihr eine interessante Schrift, welche in den Lincei Mem. 1885-1886 veröffentlicht ist.

[76] Comptes rendus, 1853.

[77] Essai sur la génération des courbes géométriques, 1858 (Mém. prés. 16). Vgl. H ä r t e n b e r g e r, Journ. für Math. 58; O l i v i e r das. 70, 71; S c h o u t e, Nieuw Archief voor Wiskunde, 4, und die allerneuesten Untersuchungen von J o n q u i è r e s über die Maximalzahl der vielfachen Punkte, die man bei einer ebenen Kurve beliebig annehmen kann (Comptes rendus 105).

[78] Veröffentlicht im Jahre 1862 in den Bologna Mem. Möge es mir gestattet sein, hier den Wunsch auszusprechen, daß der berühmte C r e m o n a, dessen Interesse für die Verbreitung der geometrischen Studien bekannt ist, seine berühmten Schriften über die Theorie der Kurven und Oberflächen durch neue Ausgaben allen zugänglich machen wolle. — Diese Schriften sind in deutscher Übersetzung von C u r t z e unter dem Titel: Einleitung in eine geometrische Theorie der ebenen Kurven (Greifswald, 1865), bez. Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Oberflächen in synthetischer Behandlung (Berlin, 1870) erschienen.

[79] Als Vorbereitung für solche Untersuchungen sind die von A r o n h o l d (Berliner Ber. 1861) anzusehen, dann die von B r i o s c h i (Comptes rendus, 1863, 64) über die Darstellung der Koordinaten der Punkte von gewissen Kurven als elliptische Funktionen eines Parameters.

[80] Journ. für Math. 58, 64. Die von C l e b s c h erhaltenen Resultate haben sich infolge des schönen Werkes von L i n d e m a n n, welches den Titel trägt: Vorlesungen über Geometrie von A. C l e b s c h (I. Bd. Leipzig, 1876) und von dem das Erscheinen des zweiten Bandes allgemein gewünscht wird, schnell verbreitet.

[81] Über die algebraischen Funktionen und ihre Anwendung in der Geometrie. Math. Ann. 7.

[82] Zu den im Texte angeführten Schriften müssen noch die von B r i l l hinzugezogen werden (Math. Ann. 13), ferner die von G e i s e r (Annali di Matem. II, 9) und die von D e l P e z z o (Napoli Rend. 22) über den Zusammenhang, der zwischen den Singularitäten einer Kurve und denen ihrer Hesseschen Kurve besteht; ferner die von L a g u e r r e (Comptes rendus 40) und H o l s t (Math. Ann. 11 und Archiv for Mathematik og Naturvidenskab 7), über die metrischen Eigenschaften der Kurven.

[83] De linearum geometricarum proprietatibus generalibus tractatus.

[84] Vgl. S a l m o n - F i e d l e r, Höhere ebene Kurven, 5. Kap.

[85] Phil. Trans. 1857; Liouvilles Journ. 9, 10.

[86] Journ. für Math. 42.

[87] Zeitschr. f. Math. 17; Prager Ber. 1871. — Man sehe auch das Buch Die ebenen Kurven dritter Ordnung (Leipzig, 1871) und die Abhandlung von G e n t (Zeitschr. f. Math. 17).

[88] Giorn. di Matem. 2.

[89] Journ. für Math. 90.

[90] Prager Abh. VI, 5.

[91] Göttinger Nachr. 1871 und 1872.

[92] Journ. für Math. 78.

[93] Hierzu H a r n a c k, Math. Ann. 9. C a p o r a l i, Lincei Atti, III, 1; F o l i e und L e P a i g e, Mémoires de l'Académie de Belgique, 43. H a l p h e n, Math. Ann. 15; Bull. Soc. math. 9.

[94] Siehe Giorn. di Matem., Lombardo Rend., Math. Ann., Wiener Ber. und Prager Ber.

[95] Für die C l e b s c h schen Arbeiten sehe man die in Note 80 angeführten Bände des Journ. für Math. nach. Über die ebenen rationalen Kurven dritter Ordnung sehe man die Arbeiten von D u r è g e (Math. Ann. 1), I g e l (das. 6), R o s e n o w (Dissertation, Breslau, 1873), S c h u b e r t (Math. Ann. 12), D i n g e l d e y (das. 27, 28); über die Kurven vierter Ordnung die von B r i l l (Math. Ann. 12) und N a g e l (das. 19); über die fünfter Ordnung von R o h n (das. 25), und über die rationalen Kurven beliebiger Ordnung die Schriften von H a a s e (Math. Ann. 2), von L ü r o t h (das. 9), P a s c h (das. 18), B r i l l (das. 20), von W e l t z i e n (das. 26) und G a r b i e r i (Giorn. di Matem. 16).

[96] Journ. für Math. 47; Comptes rendus, 1871.

[97] Journ. für Math. 53.

[98] G ü ß f e l d t, Math. Ann. 2; L a g u e r r e, Bull. Soc. math. 7; C r e m o n a und C l e b s c h, Journ. f. Math. 64; K i e p e r t, Zeitschr. f. Math. 17; F r a h m ebendas. 18; M i l i n o w s k i das. 19; I n t r i g i l a, Giorn. di Matem. 23; K a n t o r, Wiener Ber. 1878 und Bull. Sciences math. II, 3.

[99] Giorn. di Matem. 15.

[100] Journ. für Math. 65.

[101] Math. Ann. 4.

[102] Bull. de la Société philomathique, VII, I.

[103] Wenn p das Quadrat des Moduls einer elliptischen Funktion, q das Quadrat des vermittelst einer primären Transformation ungerader Ordnung transformierten Moduls und schließlich F(p, q, 1) = 0 die entsprechende Modulargleichung ist, so ist die Gleichung einer Modularkurve F(α, β, γ) = 0. Siehe Proc. math. Soc. 9.

[104] Journ. f. Math. 65; vgl. E d. W e y r das. 73; H u r w i t z, Math. Ann. 19.

[105] Math. Ann. 24.

[106] Journ. für Math. 95, 99; siehe auch die Abhandlung von A u g u s t, Grunerts Arch. 59.

[107] Transactions of the Royal Society of Edinburgh 25.

[108] Math. Ann. 5.

[109] Math. Ann. 5, 6. Man sehe auch hierzu die Abhandlung von H a r n a c k in der Zeitschr. f. Math. 22. Die hauptsächlichsten von D u r è g e und S c h r ö t e r auf synthetischem Wege gefundenen Lehrsätze sind analytisch von W a l t e r in seiner Dissertation Über den Zusammenhang der Kurven dritter Ordnung mit den Kegelschnittscharen (Gießen, 1878) bewiesen. Den genannten Schriften S c h r ö t e r s über die Kurven dritter Ordnung können wir nun noch sein neuerdings erschienenes rein geometrisches Lehrbuch: Die Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung (Leipzig, 1888) hinzufügen.

[110] Math. Ann. 5.

[111] Math. Ann. 1, 13; vgl. C l e b s c h, Journ. für Math. 59.

[112] Irish Trans. 1869.

[113] Siehe dessen Werk, Sur une classe remarquable de courbes et surfaces algébriques (Paris, 1873).

[114] Journ. für Math. 57, 59, 66.

[115] Tidsskrift for Mathematik, IV, 3.

[116] Forhandlinger af Videnskabs Selskab af Kjobenhavn 1879.

[117] Erschienen in den Collectanea mathematica in memoriam D. C h e l i n i (Mailand, 1881).

[118] Journ. für Math. 28, 34, 38.

[119] Journ. für Math. 49, 55; vgl. auch C a y l e y (das. 58).

[120] Journ. für Math. 49.

[121] Berliner Ber. 1864, sowie Nouv. Ann. II, 11.

[122] Math. Ann. 1; Journ. für Math. 72.

[123] Vgl. Note 80.

[124] Journ. für Math. 66. — Über die Doppeltangenten einer Kurve vierter Ordnung sehe man auch folgende Arbeiten: R i e m a n n, Zur Theorie der Abelschen Funktionen für den Fall p=3. Gesammelte Werke (Leipzig, 1876), S. 456-499; N ö t h e r, Math. Ann. 15; C a y l e y, Journ. für Math. 94; F r o b e n i u s (das. 99); F r e y b e r g, Math. Ann. 17; H. W e b e r (ebendas. 23).

[125] Um sich von dem bedeutenden Anteil, welchen die M o n g e sche Schule an der Schöpfung der Theorie der Flächen zweiten Grades hatte, zu überzeugen, genügt es, sich folgendes zu vergegenwärtigen: Ihr verdanken wir die doppelte Erzeugungsweise des einmanteligen Hyperboloides und des hyperbolischen Paraboloides durch die Bewegung einer Geraden (M o n g e, Journ. Éc. polyt. 1) und die Erzeugung aller Flächen zweiten Grades, mit Ausnahme des hyperbolischen Paraboloides, durch Bewegung eines Kreises (H a c h e t t e, Éléments de Géométrie à trois dimensions). M o n g e und H a c h e t t e verdankt man den Beweis der Existenz der drei Hauptebenen einer Oberfläche zweiter Ordnung; M o n g e (Correspondance sur l'École polytechnique) die Entdeckung des Ortes der Scheitel der dreirechtwinkligen Triëder, deren Kanten eine Fläche zweiter Ordnung berühren, und B o b i l l i e r (Gergonnes Ann. 18) die des Ortes der Scheitel der dreirechtwinkligen Triëder, deren Seitenflächen eine Fläche zweiter Ordnung berühren; M o n g e bestimmte die Krümmungslinien des Ellipsoides (Journ. Éc. polyt. 2); L i v e t (das. 13) und B i n e t (ebendas. 16) dehnten die bekannten Lehrsätze des A p o l l o n i u s auf den Raum aus, während C h a s l e s (Correspondance sur l'Éc. polyt.) andere analoge Sätze gab; D u p i n (Journ. Éc. polyt. 14) machte einige interessante Methoden zur Erzeugung solcher Oberflächen bekannt. B r i a n c h o n (das. 13) zeigte, dass die reciproke Polare einer Fläche zweiten Grades ebenfalls eine Fläche zweiten Grades sei, u. s. w.

[126] Journ. für Math. 12.

[127] Irish Proc. 2.

[128] Aperçu historique, Note 25, 28, 31, 32; Comptes rendus, 1855; Liouvilles Journ. 1860 u. s. w.

[129] Journ. für Math. 18, 20, 24, 26, 60, 73, 85, 90.

[130] Grunerts Arch. 9.

[131] Journ. für Math. 62. Über die Oberflächen zweiter Ordnung sehe man auch die Abhandlungen von T o w n s e n d (Cambridge Journ. 3), von D a r b o u x (Bull. Soc. Math. 2), von M e r a y und C r e m o n a (Annali di matem. I, 3) u. s. w. und die Géométrie de direction (Paris, 1869) von P. S e r r e t.

Eine der wichtigsten Fragen, welche sich in der T h e o r i e der Flächen zweiten Grades darbietet, ist die Konstruktion derselben, wenn neun ihrer Punkte gegeben sind. Dieselbe wurde von S e y d e w i t z (Grunerts Arch. 9), C h a s l e s (Comptes rendus, 1855), S t e i n e r (Gesammelte Werke, II. Bd., Nachlass), S c h r ö t e r (Journ. für Math. 62), S t u r m (Math. Ann. 1) und D i n o (Napoli Rend. 1879) gelöst. — Daran knüpft sich die Untersuchung des achten Punktes, der allen Flächen zweiter Ordnung gemeinsam ist, die durch sieben gegebene Punkte gehen. Dieser wurde der Gegenstand wichtiger Untersuchungen von H e s s e (Journ. für Math. 20, 26, 73, 75, 99), P i c q u e t (das. 73, 99), C a s p a r y, S c h r ö t e r, S t u r m, Z e u t h e n (das. 99) und R e y e (das. 100).

Ein anderes interessantes Problem ist die Untersuchung der Flächen zweiten Grades, in bezug auf welche zwei gegebene Flächen zweiten Grades reziproke Polaren voneinander sind; dasselbe wurde analytisch von B a t t a g l i n i behandelt (Lincei Atti, 1875), von d ' O v i d i o (Giorn. di Matem. 10) und synthetisch von T h i e m e (Zeitschr. f. Math. 22).

Über einige Flächen zweiten Grades, welche besondere metrische Eigenschaften besitzen (orthogonale, gleichseitige Hyperboloide), haben geschrieben: S t e i n e r (Journ. für Math. 2 und Systematische Entwickelung), C h a s l e s (Liouvilles Journ. 1 [1836]), S c h r ö t e r (Journ. für Math. 85), S c h ö n f l i e ß (Zeitschr. für Math. 23, 24 und Journ. für Math. 99), V o g t (Journ. für Math. 86) und R u t h (Wiener Ber. 80).

Zu den neuesten Studien über die Flächen zweites Grades gehören die von Z e u t h e n (Math. Ann. 19, 26) über die Theorie der projektiven Figuren auf einer solchen Fläche; daran schließen sich auch einige schöne Untersuchungen, welche V o ß gemacht hat (Math. Ann. 25, 26), um gewisse Resultate von P o n c e l e t und B r u n o (Torino Atti 17) weiter auszudehnen. Auch sind die Anwendungen der hyperelliptischen Funktionen auf sie bemerkenswert, welche S t a u d e (Math. Ann. 20, 21, 25, 27) gemacht hat.

[132] Davon geben Zeugnis die Partien, welche in ihren wertvollen Lehrbüchern diesen Oberflächen gewidmet haben: H e s s e (Vorlesungen über die analytische Geometrie des Raumes), S a l m o n (Analytische Geometrie des Raumes), C r e m o n a (Preliminari di una teoria geometrica delle superficie), R e y e (Die Geometrie der Lage) und S c h r ö t e r (Theorie der Oberflächen zweiter Ordnung und der Raumkurven dritter Ordnung).

[133] Mémoire de géométrie sur deux principes généraux de la science (Anhang zum Aperçu historique).

[134] Gergonnes Ann. 17.

[135] Mémoire sur la théorie générale des polaires réciproques. (Journ. für Math. 4).

[136] Cambridge Journ. 2, 4; Irish Trans. 23.

[137] Cambridge Journ. 7, 8; Phil. Trans. 1869, 71 u. 72. Man sehe auch die von Z e u t h e n in den Math. Ann. 4, 9, 10, von J o n q u i è r e s in den Nouv. Ann. 13 und von H a l p h e n in den Annali di Matem. II, 9 veröffentlichten Abhandlungen.

[138] Journ. für Math. 15.

[139] Math. Ann. 1, 2. Vgl. auch eine Abhandl. von P a d o v a im Giorn. di Matem. 9, sowie eine von V a l e n t i n e r, Tidsskrift for Mathematik IV, 3.

[140] Comptes rendus 45.

[141] Preliminari di una teoria geometrica delle superficie. (Bologna Mem. II, 6, 7).

[142] Wiener Ber. 1877, 1882.

[143] Math. Ann. 27.

[144] Journ. für Math. 49.

[145] Cambridge Journ. 4; Quart. Journ. 1; Phil. Trans. 1860.

[146] Journ. für Math. 58, 63.

[147] Journ. für Math. 72.

[148] Math. Ann. 10, 11, 12; Abzählende Geometrie, 5. Abschnitt. S. auch K r e y, Math. Ann. 15.

[149] Math. Ann. 23.

[150] Journ. für Math. 72, 78, 79, 82.

[151] Geometry of three dimensions; in deutscher Übersetzung von F i e d l e r: Analytische Geometrie des Raumes in zwei Bänden (3. Auflage, 1879/80).

[152] Preliminari etc. Vgl. Note 141.

[153] Vgl. die in Note 136 und 137 angeführten Arbeiten.

[154] Cambridge Journ. 6.

[155] Auch im Journ. für Math. 53 publiziert.

[156] Die einzige mir bekannte Arbeit, welche mit den Studien von C a y l e y und S a l m o n im Zusammenhange steht, ist eine von S c h l ä f l i (Quart. Journ. 2), die besonders dadurch wichtig ist, daß sie die erste ist, welche den Begriff der »Doppelsechs« enthält.

[157] Journ. für Math. 62.

[158] Disquisitiones de superficiebus tertii ordinis (Berlin, 1862).

[159] Journ. für Math. 68; ferner Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Oberflächen (Berlin, 1870), in welchem Buche die deutsche Übersetzung der in Note 141 und 152 zitierten »Preliminari« und diejenige dieser Preisschrift (durch C u r t z e) vereinigt sind.

[160] Synthetische Untersuchungen über Flächen dritter Ordnung. Leipzig, 1867.

[161] Journ. für Math. 51; vgl. eine von S c h r ö t e r (das. 96) veröffentlichte Abhandlung.

[162] Vgl. die in Note 158 zitierte Arbeit. — Man sehe auch S c h u b e r t, Math. Ann. 17.

[163] Grunerts Arch. 56.

[164] Bull. soc. math. 4.

[165] Acta math. 3.

[166] Lombardo Rend. März 1871.

[167] Grunerts Arch. 56.

[168] Math. Ann. 23.

[169] Lombardo Rend. 1884; Annali di Matem. II, 12.

[170] Math. Ann. 13; Lincei Mem. 1876-1877.

[171] Napoli Rend. 1881.

[172] Journ. für Math. 78.

[173] Lombardo Rend. 1879.

[174] Acta math. 5.

[175] Phil Trans. 1863; vgl. C a y l e y (das. 1869).

[176] Math. Ann. 14.

[177] Lombardo Atti, 1861.

[178] Theorie der mehrdeutigen Elementargebilde u. s. w. Leipzig, 1869; Geometrie der räumlichen Erzeugnisse ein-zweideutiger Gebilde, Leipzig, 1870.

[179] Über die geradlinige Fläche dritter Ordnung und deren Abbildung auf eine Ebene. (Dissertation. Straßburg, 1876.)

[180] Math. Ann. 4.

[181] Phil. Mag. 1864.

[182] Math. Ann. 10.

[183] Phil. Trans. 150.

[184] Journ. für Math. 58.

[185] Math. Ann. 5.

[186] Lincei Mem. 1880-1881. Man sehe auch eine Note von B r i o s c h i in den Lincei Atti II, 3, in welcher bewiesen wird, daß die 45 dreifach berührenden Ebenen einer Oberfläche dritter Ordnung dreien Oberflächen zehnter Klasse gemeinsam sind. Neuerdings fand B a u e r (Abh. der Bayr. Akad. der Wiss. 14, 1883) analytisch von neuem, was S t u r m schon 1867 in seinen Synthetischen Untersuchungen über Flächen dritter Ordnung erkannt hatte, daß die Schnittkurve einer Oberfläche dritter Ordnung mit ihrer Hesseschen Fläche für b e i d e eine parobolische Kurve ist; ein bemerkenswertes Resultat, weil es das Analogon im Raume zu einem bekannten Satze über die ebene kubische Kurve ist.

[187] Liouvilles Journ. II, 14; Traité des substitutions et des équations algébriques (Paris, 1870).

[188] Traité des propriétés projectives des figures.

[189] Comptes rendus, 1862.

[190] Ebendas., 1861.

[191] Phil. Trans. 1864.

[192] Bologna Mem. 1868.

[193] Berliner Ber. 1864; Journ. für Math. 64.

[194] Nouv. Ann. II, 5.

[195] Die D u p i n sche Cyklide gehört zu diesen.

[196] Vgl. Comptes rendus 1864.

[197] Die Untersuchungen von D a r b o u x finden sich in dem schon angeführten Buche: Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques (Paris, 1873) zusammengefaßt.

[198] S. die Aufzählung der Arbeiten, die zu Ende des in der vorigen Note zitierten Werkes sich findet, und die Notice sur la vie et les travaux de M. Laguerre, veröffentlicht von P o i n c a r é in den Comptes rendus 104.

[199] Phil. Trans. 1871.

[200] Lombardo Rend. 1871.

[201] Journ. für Math. 70.

[202] Math. Ann. 4.

[203] Om Flader af fjerde Orden med Dobbeltkeglesnit (Kopenhagen, 1879). Von dieser Abhandlung habe ich eine italienische Übersetzung in den Annali di Matem. II, 14 veröffentlicht.

[204] Journ. für Math. 69.

[205] Math. Ann. 1, 2, 3, 4.

[206] Annali di Matem. II, 13.

[207] Leipziger Dissertation (Greifswald, 1885).

[208] Math. Ann. 19.

[209] Torino Mem. II, 36.

[210] Math. Ann. 24. Betreffend die Konstruktion einer Oberfläche vierter Ordnung mit Doppelkegelschnitt sehe man eine Abhandlung von B o b e k (Wiener Ber. 11. und 18. Dez. 1884) und eine von V e r o n e s e (Atti dell' Istituto Veneto, VI, 1); hinsichtlich der Konstruktion einer Cyklide sehe man eine Abhandlung von S a l t e l (Bull. Soc. math. 3).

[211] W e i e r s t r a ß, Berliner Ber. 1863.

[212] Unter den Eigenschaften der römischen Fläche von S t e i n e r verdient eine hervorragende Stelle die (durch verschiedene Methoden von C r e m o n a und C l e b s c h nachgewiesene) Eigenschaft, daß sie zu asymptotischen Kurven (Haupttangentenkurven) rationale Kurven vierter Ordnung hat. Eine andere Eigenschaft derselben wurde von D a r b o u x (Bull. sciences math. II, 4) entdeckt und besteht darin, daß sie die einzige Fläche ist, außer den Flächen zweiten Grades und den Regelflächen dritten Grades, bei welcher durch jeden Punkt unendlich viele Kegelschnitte gehen. Neuerdings hat P i c a r d (Journ. für Math. 100) gezeigt, daß sie die einzige nicht geradlinige Oberfläche ist, deren sämtliche ebene Schnitte rationale Kurven sind. Man sehe hierzu noch eine Note von G u c c i a in den Rendiconti del circolo matematico di Palermo, 1. — L i e machte (Archiv for Math. og Naturvidenskab. 3) die interessante Bemerkung, daß der Ort der Pole einer Ebene in Bezug auf die Kegelschnitte einer Steinerschen Fläche eine ebensolche Fläche ist.

[213] Journ. für Math. 63; Lombardo Rend. 1867.

[214] Journ. für Math. 64.

[215] Math. Ann. 3.

[216] Journ. für Math. 64; Proc. math. Soc. 5.

[217] Giorn. di Matem. 1; Bologna Mem. 1879.

[218] Journ. für Math. 67.

[219] Math. Ann. 5.

[220] Nouv. Ann. II, 11, 12; Bull. Soc. math. 1.

[221] La superficie di Steiner studiata nella sua rappresentazione analitica mediante le forme ternarie quadratiche (Torino, 1881).

[222] Berliner Abh. 1866 und Berliner Ber. 1864.

[223] Diese Oberfläche hat eine fundamentale Bedeutung in der mathematischen Theorie des Lichtes. Es ist in der That bekannt, daß die Bestimmung der Ebenen, welche sie längs Kreisen berühren, H a m i l t o n zur Entdeckung der konischen Refraktion führte, einer Erscheinung, welche der Aufmerksamkeit der Physiker entgangen war. Sie erfreut sich vieler interessanter Eigenschaften und war Gegenstand wichtiger Untersuchungen verschiedener Gelehrten, insbesondere M a n n h e i m s (Comptes rendus, 78, 81, 85, 88, 90; Association franç. pour l'avanc. des sciences 1874, 75, 76, 78), Proc. Roy. Soc. 1882; Collectanea mathematica u. s. w.

[224] Liouvilles Journ. 11; Journ. für Math. 87. Vgl. eine Abhandlung von S e g r e im Giorn. di Matem. 21. Andere Spezialfälle der Kummerschen Fläche wurden von R o h n und S e g r e (Leipziger Ber. 1884) studiert.

[225] Diese Eigenschaft der Kummerschen Fläche veranlaßte eine Untersuchung über die Oberflächen beliebiger Ordnung, welche dieselbe besitzen, eine Untersuchung, die schon von K u m m e r und C a y l e y unternommen ist, Berliner Ber. 1878.

[226] Berliner Ber. 1870, oder Math. Ann. 23.

[227] Journ. für Math. 97; vgl. S e g r e das. 98.

[228] Journ. für Math. 83, 94; oder Borchardts Gesammelte Werke (Berlin, 1888, S. 341); vgl. B r i o s c h i und D a r b o u x, Compt. rend., 1881.

[229] Journ. für Math. 84.

[230] S. die in Note 207 zitierte Abhandlung, und für die Geschichte der Anwendung der hyperelliptischen Funktionen auf die Kummersche Oberfläche die Einleitung der Abhandlung von R o h n, Math. Ann. 15.

[231] Journ. für Math. 70.

[232] Münchener Dissertation, 1878; Math. Ann. 15.

[233] Die anderen Oberflächen vierter Ordnung mit singulären Punkten wurden von C a y l e y studiert (Proc. math. Soc. 1870, 1871), vollständiger von R o h n in einer sehr schönen Abhandlung, die von der Jablonowskischen Gesellschaft kürzlich prämiiert ist (vgl. Math. Ann. 29). Endlich wurden die von Flächen zweiten Grades eingehüllten Flächen vierter Ordnung von K u m m e r untersucht, Berliner Ber. 1872.

[234] On the quartic surfaces (+) (u, v, w)² = 0 (Quart. Journ. 10, 11); On the quartic surfaces represented by the equation symmetrical determinant = 0 (Quart. Journ. 14).

[235] Bekanntlich nennt man nach C a y l e y ein Monoid eine Oberfläche n^ter Ordnung mit einem (n-1)-fachen Punkte.

[236] Math. Ann. 24; vgl. auch die Dissertation von L a m p e, Berlin, 1864.

[237] Math. Ann. 18, 17. Außer den im Texte zitierten Oberflächen wurden noch andere spezielle Flächen studiert, die ich der Kürze wegen übergehen muß; der größere Teil derselben wurde vermittelst der Theorie der Abbildungen entdeckt oder betrachtet, siehe § VI.

[238] Correspondance mathématique 9; Liouvilles Journ. 2.

[239] Cambridge Journ. 8 und Irish Trans. 23.

[240] Phil. Trans. 1863-1869. In den angeführten Arbeiten haben C a y l e y und S a l m o n die Regelflächen bearbeitet als die Örter der Geraden, die drei gegebene Kurven treffen, oder eine einmal und eine zweite zweimal treffen, oder Trisekanten einer Kurve sind. R u p p hat neuerdings diese Betrachtungen wieder aufgenommen, um auf eine andere Weise die Resultate zu erhalten und zu modifizieren, zu denen jene Mathematiker gelangt waren (Math. Ann. 18).

[241] Annali di Matem. II, 1.

[242] Traité de géométrie descriptive, Art. 629 u. 635.

[243] Math. Ann. 8, 12, 13.

[244] Comptes rendus, 1862; vgl. d ' O v i d i o und D i n o, Giorn. di Matem. 3.

[245] Dissertation, gedr. zu Berlin 1864, und Journ. für Math. 67.

[246] Recherches sur les surfaces réglées tetraédrales symétriques (Paris, 1867). Ich bemerke, daß ein Büschel von Oberflächen, die in Bezug auf ein Tetraeder symmetrisch sind, mit einem projektiven Ebenenbüschel eine bemerkenswerte Fläche erzeugt, die von E c k a r d t (Zeitschr. f. Math. 20) bearbeitet ist und welche die allgemeine Oberfläche dritter Ordnung in sich schließt.

[247] Math. Ann. 5.

[248] Annali di Matem. II, 4.

[249] Prager Abhandlungen VI, 5.

[250] Mémoires de Bordeaux II, 3.

[251] Über die Flächen, deren Gleichungen aus denen ebener Kurven durch eine bestimmte Substitution hervorgehen. Math. Ann. 7.

[252] Lincei Mem. 1878-1879.

[253] Math. Ann. 4.

[254] Math. Ann. 27, 29. S. auch eine Abhandlung von E c k a r d t (daselbst 7).

[255] Math. Ann. 3.

[256] das. 14, 15. S. auch eine Bemerkung von D i n o, Napoli Rend. 19.

[257] Comptes rendus, 52.

[258] Journ. für Math. 68.

[259] Math. Ann. 2.

[260] Proc. math. Soc. 4; Comptes rendus, 1861; vgl. H u n g a d y Journ. für Math. 92.

[261] K l e i n und L i e, Comptes rendus, 70.

[262] F o u r e t, Bulletin de la Société philomatique, VII, 1.

[263] J u n g, Lincei Rend. 1885 und 1886. S. auch zwei Bemerkungen über denselben Gegenstand, veröffentlicht von V i s a l l i (ebendas. 1886).

[264] G o u r s a t, Ann. Ec. norm. III, 4; L e c o r n u, Acta math. 10.

[265] Cfr. die bewunderungswerten Vergleichenden Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen von F. K l e i n (Erlangen, 1872).

[266] Veröffentlicht im Jahre 1795 unter dem Titel: Feuilles d'Analyse appliquée à la Géométrie. Die letzte (fünfte) Ausgabe wurde von L i o u v i l l e im Jahre 1850 besorgt und durch einen Anhang sehr wertvoller Noten bereichert.

[267] Der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen überreicht am 8. Oktober 1827 und abgedruckt im 6. Bande der Commentationes recentiores societatis Gottingensis. Diese Disquisitiones stehen im 4. Bande der von der genannten Gesellschaft herausgegebenen Werke von G a u ß, ferner in französischer Übersetzung in der angeführten Liouvilleschen Ausgabe des Werkes von M o n g e.

[268] Wenn x = e(t), y = f(t), z = g(t) die Ausdrücke der Koordinaten der Punkte dieser Kurve in Funktionen eines Parameters t sind und F(x, y, z) = 0 die Gleichung der gegebenen Oberfläche, so ist die fragliche Enveloppe die der Oberfläche F{x + e(t), y + f(t), z + g(t)} = 0.

[269] Über solche Flächen sehe man die neue Arbeit von L i e (Archiv for Mathematik og Naturvidenskab 7).

[270] Vor M o n g e hatten sich schon E u l e r (Histoire de l'Académie de Berlin, 1766) und M e u n i e r (Mémoires de l'Académie des sciences de Paris 10, 1776) mit diesem Thema beschäftigt.

[271] Unter den neueren Arbeiten über die Krümmungslinien führen wir nur die von H a m i l t o n, F r o s t und C a y l e y an, die sich als Aufgabe gestellt haben, zu finden, wie dieselben um einen Nabelpunkt herum verteilt sind (Quart. Journ. 12).

[272] Vgl. hierzu eine von C r e m o n a veröffentlichte Arbeit in den Bologna Mem. III, 1. Wir führen hier auch einige Noten von D a r b o u x an (Comptes rendus, 84, 92, 97), welche die Bestimmung der Krümmungslinien einiger spezieller bemerkenswerter Flächen zum Zwecke haben.

[273] Die Differentialgleichung der Minimalflächen verdanken wir L a g r a n g e (Miscellanea Taurinensia, 1760-1761); die geometrische Interpretation derselben wurde ein wenig später von M e u n i e r gegeben (vgl. Note 270).

[274] An die in den §§ 18 und 21 der Application gemachten Untersuchungen knüpft sich eine Abhandlung von O. R o d r i g u e s, die sich in der Correspondance sur l'École polytechnique 3 findet.

[275] Außer den Krümmungs- und asymptotischen Linien auf einer Fläche sind noch diejenigen bemerkenswert, bei denen die Schmiegungskugel in einem beliebigen ihrer Punkte die Oberfläche selbst berührt. Dieselben wurden von D a r b o u x (Comptes rendus 83) und von E n n e p e r (Göttinger Nachrichten, 1871) studiert.

[276] D u p i n fand (Applications de Géométrie et de Méchanique, 1822), daß die einzigen Oberflächen, bei denen sämtliche Krümmungslinien Kreise sind, die Kugel, der Rotations-Kegel und -Cylinder und die Cyklide sind, welch letztere er schon als die Enveloppe einer Kugel erkannt hatte, die sich so bewegt, daß sie immer drei feste Kugeln tangiert.

[277] Liouvilles Journ. 13.

[278] Journ. Éc. polyt. 19, 35; Comptes rendus 42.

[279] Atti dell' Accademia dei Quaranta, 1868-1869; Annali delle Università toscane, 1869; Annali di Matem. II, 1, 4.

[280] Göttinger Abh. 13, 16, 23; Journ. für Math. 94.

[281] Comptes rendus, 96.

[282] das. 46.

[283] Journ. Éc. polyt. 53.

[284] Journ. für Math. 94.

[285] Göttinger Dissertation, 1883.

[286] Journ. für Math. 59.

[287] Annali di Matem. I, 8.

[288] Archiv for Math. og Naturvidenskab, 4; Bull. Sciences math. II, 4.

[289] Journ. für Math. 62.

[290] Berliner Ber. 1840; Journ. für Math. 24.

[291] Berliner Ber. 1866.

[292] Abhandlungen der Jablonowskischen Gesellschaft zu Leipzig 4; Journ. für Math. 13.

[293] Liouvilles Journ. II, 5.

[294] das. I, 11.

[295] Göttinger Abh. 13, oder Gesammelte Werke S. 283 und 417. N i e w e n g l o w s k i hat die R i e m a n n schen Untersuchungen in elementarer Form dargelegt in den Ann. Éc. norm. II, 9.

[296] Berliner Ber. 1867.

[297] Math. Ann. 1.

[298] Akademiens Afhandlingar, Helsingfors, 1883.

[299] Journ. Éc. polyt. 37.

[300] Heidelberger Dissertation, 1875.

[301] Comptes rendus 41; vgl. E n n e p e r, Zeitschr. f. Math. 7, 9.

[302] Journ. Éc. polyt. 39.

[303] Bestimmung einer speziellen Minimalfläche (Berlin, 1871). Vgl. C a y l e y, Quart. Journ. 14.

[304] Journ. für Math. 80.

[305] das. 87; Comptes rendus 96.

[306] Zeitschr. f. Math. 14; Göttinger Nachr. 1866.

[307] Liouvilles Journ. II, 8.

[308] Bologna Mem. II, 7. Die wunderschöne Einleitung dieser Abhandlung enthält die Geschichte der Theorie der Minimalflächen.

[309] Archiv for Math. og Naturv. 3, 4, 6; Math. Ann. 14, 15.

[310] Journ. für Math. 81, 85.

[311] Annali di Matem. II, 9.

[312] Étude des élassoides. Mémoires couronnés par l'Académie de Belgique 44.

[313] Giorn. di Matem. 22.

[314] Lombardo Rend. 1876; Giorn. di Matem. 14.

[315] Journ. für Math. 78.

[316] Das Studium der Krümmung einer Oberfläche in einem singulären Punkte wurde von P a i n v i n im Journ. für Math. 72 angestellt.

[317] Ein analoger Satz wurde neuerdings von S t u r m entdeckt (Math. Ann. 21).

[318] Einige Vervollkommnungen und Ergänzungen dieses Teiles der Gaußischen Abhandlung wurden von L i o u v i l l e (Journ. Éc. polyt. 24), von B a l t z e r (1818-1887) (Leipziger Berichte 1872) und durch v o n E s c h e r i c h (Grunerts Arch. 57) vorgenommen.

[319] Der Satz von G a u ß: »Damit eine Oberfläche auf eine andere abwickelbar sei, ist notwendig, daß die Krümmung in den entsprechenden Punkten gleich sei«, wurde auf verschiedene Arten von L i o u v i l l e (Liouvilles Journ. 12), von B e r t r a n d, P u i s e u x und D i g u e t (das. 13) bewiesen. Vgl. auch M i n d i n g, Journ. für Math. 19.

[320] Annali di Matem. II, 1.

[321] Bologna Mem. II, 8.

[322] Math. Ann. 1.

[323] Comptes rendus 37.

[324] das. 44, 46, 57, 67.

[325] Annali di Matem. I, 7. — Das allgemeinere Problem der Bestimmung zweier Oberflächen, so daß jedem Punkte der einen ein Punkt oder eine Gruppe von Punkten der anderen entspricht, und daß den geodätischen Linien der einen geodätische Linien der anderen korrespondieren, wurde später von D i n i behandelt. (Annali di Matem. II, 3).

[326] Giorn. di Matem. 6.

[327] Comptes rendus, 1865.

[328] Archiv for Math. og Nat. 4, 5.

[329] Giorn. di Matem. 16, 20, 21.

[330] Lund Årskrift 19.

[331] Comptes rendus 96, 97.

[332] Acta math. 9.

[333] Journ. für Math. 64.

[334] Berliner Ber. 1882-1883. — Hieran schließt sich die Schrift v o n L i l i e n t h a l ' s: Untersuchungen zur allgemeinen Theorie der krummen Oberflächen und der geradlinigen Strahlensysteme (Bonn, 1886).

[335] Journ. für Math. 26, 30. — J o a c h i m s t h a l s Vorlesungen: Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf die allgemeine Theorie der Flächen und der Linien doppelter Krümmung erschienen nach seinem Tode (Leipzig, 2. Auflage, 1881).

[336] Göttinger Nachr. 1867.

[337] Lombardo Atti II, 1.

[338] Programm der Universität von Christiania, 1879.

[339] Math. Ann. 20.

[340] Journ. für Math. 6, 18, 19.

[341] Journ. Éc. polyt. 39.

[342] Mém. prés. 27 (1879) (Mémoire relatif à l'application des surfaces les unes sur les autres).

[343] Journ. Éc. polyt. 41, 42.

[344] Berliner Abh., 1869.

[345] Journ. für Math. 94.

[346] Berliner Ber. 1882.

[347] Münchener Abh. 14.

[348] Journ. für Math. 6.

[349] Irish Trans. 22, I. T.

[350] Giorn. di Matem. 2.

[351] Göttinger Nachr. 1875.

[352] Giorn. di Matem. 21.

[353] Journ. Éc. polyt. 48.

[354] Bologna Mem. IV, 3.

[355] Mém. prés. 5; Liouvilles Journ. 2. — Unter den vielen Anwendungen, die man von den elliptischen Koordinaten gemacht hat, wollen wir nur diejenigen anführen, die J a c o b i davon gemacht hat bei der Bestimmung der geodätischen Linien (Journ. für Math. 14; Comptes rendus 8; Liouvilles Journ. 6) und bei einigen Fragen der Dynamik. S. Vorlesungen über Dynamik, 1866 in erster, 1884 in zweiter Ausgabe als Supplementband zu den Gesammelten Werken erschienen.

[356] Journ. Éc. polyt. 23.

[357] Liouvilles Journ. 5.

[358] das. 4.

[359] das. 8.

[360] Comptes rendus 48, 54; Journ. für Math. 58; Annali di Matem. I, 6 und II, 1, 3, 5.

[361] Annali di Matem. II, 1.

[362] das. II, 1, 2, 4, 5.

[363] Bologna Mem. 1868-1869.

[364] Ann. Éc. norm. II, 7.

[365] Ann. Éc. norm. I, 4.

[366] Journ. Éc. polyt. 43.

[367] Annales des mines VII, 5.

[368] Liouvilles Journ. 11.

[369] das. 12.

[370] Comptes rendus 54.

[371] Mémoires couronnés par l'Académie de Belgique, 32.

[372] Comptes rendus 59.

[373] das. 59, 60, 67, 76; Ann. Éc. norm. I, 2; II, 3.

[374] Comptes rendus 74, 75; Phil. Trans. 163. Vgl. W e i n g a r t e n, Journ. für Math. 83.

[375] Comptes rendus 76.

[376] Journ. für Math. 85.

[377] das. 76; vgl. D a r b o u x, Comptes rendus 84.

[378] Grunerts Arch. 55, 56, 57, 58 und 63.

[379] Giorn. di Matem. 21, 22; Annali di Matem. II, 13; Lincei Rend. 1886.

[380] Mémoires de l'Académie de Toulouse VIII, 1.

[381] Archiv for Math. og Naturv. 7.

[382] Göttinger Abh. 19. — Wenn u der Winkel der Normalen der Oberfläche in einem Punkte mit der z-Axe, und v der Winkel der Projektion derselben auf die xy-Ebene mit der x-Axe ist, so nennt man nach E n n e p e r Kurven, deren Gleichungen u = const. oder v = const. sind, Meridiankurven.

[383] Comptes rendus 74; Proc. math. Soc. 4.

[384] Berliner Ber. 1883.

[385] Göttinger Dissertation, 1883.

[386] Giorn. di Matem. 17.

[387] Mémoires de la société scientifique de Bruxelles 5, 7, 8.

[388] Ann. Éc. norm. II, 3; Journ. Éc. polyt. 53.

[389] Liouvilles Journ. 9, 12.

[390] Journ. Éc. polyt. 30, 32; Liouvilles Journ. 14; Comptes rendus 54.

[391] Man sehe auch die Thèse (Dissertation) von P i c a r t, Essai d'une théorie géométrique des surfaces (Paris, 1863).

[392] Liouvilles Journ. II, 17 und III, 4; Bull. Soc. math. 2, 5, 6; Comptes rendus 74, 78, 79, 80, 82, 83, 84, 85, 86, 88; Proc. math. Soc. 12; The Messenger of Mathematics II, 8.

[393] Enumeratio linearum tertii ordinis (1706). Indem wir eine Bemerkung von B e l l a v i t i s (1803-1880) verwerten (s. § 107 der Schrift Sulla classificazione delle curve di terzo ordine, Memorie della Società italiana delle scienze residente in Modena, Bd. 25, II. Teil S. 34), geben wir dieses Resultat wieder, indem wir sagen, daß jede Kurve dritter Ordnung sich durch eine geeignete projektive Transformation auf eine der folgenden Formen bringen läßt: Kurve, bestehend aus einem Schlangenzuge und einem Ovale (parabola campaniformis cum ovali), Kurve mit einem Doppelpunkte (parabola nodata), Kurve, bestehend aus einem Schlangenzuge (parabola pura), Kurve mit einem isolierten Punkte (parabola punctata), Kurve mit einer Spitze (parabola cuspidata). Unter den Beweisen, die für diesen Satz gegeben sind, führe ich den von M ö b i u s an, der sich auf die Prinzipien der analytischen Sphärik gründet (Gesammelte Werke, II. Bd. S. 89-176), und den, der aus der Klassifikation von B e l l a v i t i s (s. oben) hervorgeht. An M ö b i u s schließt sich an: M. B a u r, Synthetische Einteilung der ebenen Kurven III. Ordnung (Stuttgart, 1888). Dann bemerke ich noch hierzu, daß die Einteilungen, die von M ö b i u s und B e l l a v i t i s (fast gleichzeitig, da die erste 1852 veröffentlicht wurde und die zweite 1851 geschrieben und 1855 veröffentlicht wurde) vorgeschlagen sind, gemeinsam haben, daß sie die Kollineation als Grundlage der Bildung der Gattungen, die Affinität zur Grundlage der Bildung der Arten dieser Kurven nehmen. P l ü c k e r s Einteilung befindet sich im System der analytischen Geometrie. J. W. N e w m a n hat der British Association for the Advancement of Science (vgl. Report 1869-1870) eine Diskussion der Formen der ebenen kubischen Kurven und eine daraus sich ergebende Nomenklatur vorgelegt, die von der gewöhnlich üblichen abweicht.

[394] Aperçu historique, Note 20.

[395] Journ. für Math. 75 und 76. Wir können hinzufügen, daß R e y e im Anhange der 3. Auflage des ersten Teiles seiner Geometrie der Lage, der vor wenigen Monaten erschienen ist, eine neue und elegante Methode zur Bestimmung der Formen der ebenen kubischen Kurven einführt, indem er sie als die J a c o b i schen Kurven von Kegelschnittnetzen auffaßte.

[396] §§ 12, 13, 14, 15.

[397] The Messenger of Mathematics II, 6.

[398] Anwendung der Topologie auf die Gestalten der algebraischen Kurven, speziell der rationalen Kurven vierter und fünfter Ordnung (Münchener Dissertation, 1878).

[399] Irish Trans. 1875.

[400] Beiträge zur Theorie der Oskulationen bei ebenen Kurven dritter Ordnung (Berliner Dissertation, 1884).

[401] Math. Ann. 7, 10. S. übrigens die Abhandlung: Almindelige Egenskaber ved Systemer af plane Kurver (Abh. der Akad. der Wissensch. in Kopenhagen V, 10).

[402] Math. Ann. 12; Tidsskrift for Mathem. IV, 1.

[403] Math. Ann. 10. Vgl. auch P e r r i n, Bull Soc. math. 6.

[404] Theorie der algebraischen Kurven S. 249 flgg. — Im Anschluß an P l ü c k e r mögen noch B e e r s Tabulae curvarum quarti ordinis symmetricarum (Bonn, 1862) erwähnt werden.

[405] »Eine Kurve vom Geschlechte p kann höchstens aus p + 1 Zügen bestehen«. Math. Ann. 10. Der Spezialfall dieses Satzes, p = 0, ist seit langer Zeit bekannt; schon B e l l a v i t i s hatte denselben in der vorher angeführten Abhandlung besprochen; er erklärt die Benennung unicursal, die von C a y l e y den rationalen Kurven gegeben war, und die von vielen noch heute gebraucht wird.

[406] Gesammelte Werke 2, S. 433.

[407] Math. Ann. 12, 13; Leipziger Ber. 1884.

[408] Math. Ann. 6.

[409] Annali di Matem. II, 5 und 7.

[410] Math. Ann. 8.

[411] Münchener Ber. 1883.

[412] Quart. Journ. 9.

[413] Siehe die schon zitierte Abhandlung: Om Flader af fjerde Orden med Doppeltkeglesnit.

[414] Om Flader af fjerde Orden med Tilbagegangskeglesnit (Kopenhagen, 1881).

[415] Münchener Dissertation, 1878; Math. Ann. 15, 18, 28, 29.

[416] Für den, der sich mit der Konstruktion spezieller Oberflächen befassen will, führe ich die praktischen Regeln an, welche H i c k s (Messenger of Mathematics II, 5) für die Konstruktion der Wellenfläche gegeben hat.

[417] Zeitschr. f. Math. 25.

[418] Modelle von Raumkurven- und Developpabelen-Singularitäten (Lund, Gleerup, 1881).

[419] Unter den von S t e i n e r ausgesprochenen Sätzen, nach deren Ursprung wir, seine Nachfolger, vergebens suchen, finden sich einige derartige (s. Journ. für Math. 37, 45, 49; Gesammelte Werke, II. Bd. S. 389, 439 und 613), welche glauben lassen, daß er eine Methode besessen habe, um einige von den im Texte gekennzeichneten Problemen zu lösen. Etliche lassen sich durch eine quadratische Transformation beweisen, wie B e r n e r in seiner Dissertation: De transformatione secundi ordinis ad figuras geometricas adhibita (Berlin, 1864) gezeigt hat. — J o n q u i è r e s (Liouvilles Journ. II, 6; Comptes rendus, 1864, 65 und 66) fand auch eine Weise, um zur Lösung einiger Probleme dieser Art zu gelangen, aber der von ihm eingeschlagene Weg (welcher der Hauptsache nach in einer Anwendung des Bézoutschen Satzes besteht) führte ihn unbedingt zu Irrtümern wegen uneigentlicher (fremder) Lösungen, die er nicht ausgeschieden hatte. Vgl. die schöne Abhandlung von S t u d y in den Math. Ann. 27.

[420] Comptes rendus, 1864; vgl. auch Z e u t h e n, Nyt Bidrag til Laeren om Systemer af Keglesnit (Kopenhagen, 1865) oder Nouv. Ann. II, 5; D i n o, Comptes rendus, 1867. Die Bände der Comptes rendus von 1864 ab enthalten eine ungeheuere Anzahl von Lehrsätzen verschiedener Art, die von C h a s l e s aufgestellt sind und deren Beweis sich auf die Theorie der Charakteristiken und auf das Korrespondenzprinzip stützt. Unter diesen Arbeiten ist eine der bemerkenswertesten diejenige, in welcher der Verfasser mit Hilfe des Korrespondenzprinzips die Zahl der Schnitte zweier Kurven in einer Ebene bestimmt (Comptes rendus 75). Die dort angewandte Beweisführung kann verallgemeinert werden und in vielen Fällen dazu dienen, die Zahl der Lösungen eines bestimmten Systemes von algebraischen Gleichungen zu finden. (S. S a l t e l, Mémoires de l'Académie de Belgique 24; Comptes rendus 81; F o u r e t, Bull. Soc. math. 1, 2; Comptes rendus 78.

[421] Comptes rendus 61.

[422] Ebendas. 62. S. auch S a l m o n, Quart. Journ. 1866; S c h u b e r t, Journ. für Math. 71 und 73. — Eine interessante Anwendung der Theorie der Systeme von Flächen zweiter Ordnung auf das Studium der quadratischen (vorletzten) Polaren der Punkte des Raumes in bezug auf eine beliebige algebraische Fläche wurde von Z e u t h e n gemacht (Annali di Matem. II. 4).

[423] Vgl. auch Comptes rendus 74, 75.

[424] Paris, 1871.

[425] Journ. für Math. 79, 80.

[426] Göttinger Nachr. 1874, 75; Math. Ann. 13.

[427] Phil. Trans. 1858.

[428] Recherches sur les séries ou systèmes de courbes et de surfaces algébriques (Paris, 1866); Comptes rendus, 1866; Journ. für Math. 66 u. s. w. Die eleganten analytischen Untersuchungen von B r i l l und K r e y (Math. Ann. und Acta math.) haben zum Ziele die Auflösung von Problemen aus der abzählenden Geometrie, die sich auf Systeme von Kurven und Oberflächen beziehen.

[429] Annali di Matem. II, 6; Proc. math. Soc. 5, 6, 8.

[430] Math. Ann. 1, 6, 12, 15.

[431] Compt. rend. 88. Bemerkenswert in dieser Abhandlung ist die Ausdehnung des Begriffes des Geschlechtes einer Kurve auf Systeme von Kurven.

[432] Math. Ann. 6.

[433] Comptes rendus 78 und 86; Bull. Soc. math. 2 und 7.

[434] Comptes rendus 79, 86.

[435] das. 82, 84.

[436] das. 80.

[437] das. 82.

[438] Andere Anwendungen dieses Prinzipes finden sich in den von F o u r e t veröffentlichten Arbeiten in den Comptes rendus 83, 85, im Bull. Soc. math. 6 und im Bulletin de la Société philomathique VI, 11. — Wir bemerken, daß die geometrische Interpretation der Gleichung

L ( x ∂z + y ∂z - z ) - M ( ∂z ) - N ( ∂z ) + R = 0

∂x ∂y ∂x ∂y

wenn L, M, N, R lineare Funktionen sind, welche von F o u r e t in den Comptes rendus 83 gegeben ist, ihn zu gewissen Oberflächen führte, die zuerst von K l e i n und L i e studiert worden waren (Comptes rendus 70).

[439] Leipzig, 1879. In demselben sind die früheren Arbeiten von S c h u b e r t vereinigt und befinden sich die Grundlagen seiner späteren Arbeiten.

[440] Das erste dieser Prinzipien wurde von C h a s l e s für die rationalen Gebilde erster Stufe (Comptes rendus 1864-1866) ausgesprochen und dann von C a y l e y auf alle Gebilde erster Stufe ausgedehnt (Comptes rendus 62, Proc. math. Soc. 1866), und noch vollständiger im Second memoir on the curves which satisfy given conditions (Phil. Trans. 158). Bewiesen wurde das Cayleysche Prinzip von B r i l l (Math. Ann. 6 und 7), neuerdings wurde es in einer sehr bemerkenswerten Weise von H u r w i t z ausgedehnt (Math. Ann. 28).

S a l t e l ergänzte das Chaslessche Korrespondenzprinzip, indem er die Bestimmung der Zahl der Koinzidenzen, die ins Unendliche fallen, zeigte (Comptes rendus 80) und illustrierte seine Resultate durch mehrere Beispiele (Comptes rendus 80, 81, 82, 83, und Bulletin de l'Académie de Belgique II, 92).

Für die rationalen Gebilde zweiter und dritter Stufe hat man auch ein Korrespondenzprinzip, welches von S a l m o n (Geometry of three dimensions II. Aufl.) und von Z e u t h e n (Comptes rendus 78) entdeckt ist. Für die Gebilde höherer Stufe siehe eine Note von P i e r i in den Lincei Rend. 1887.

[441] Betreffend andere bibliographische Einzelheiten über diesen Zweig der Geometrie vgl. man den Artikel von P a i n v i n, der in dem Bull. Sciences math. 3 veröffentlicht ist, sowie einen von mir selbst in der Bibliotheca mathematica II, 2 (1888), S. 39, 67 veröffentlichten Artikel Notizie storiche sulla geometria numerativa.

[442] Comptes rendus 67.

[443] Math. Ann. 6.

[444] Vorlesungen über Geometrie von A. C l e b s c h (herausgegeben von L i n d e m a n n) (Leipzig, 1876) S. 399.

[445] Göttinger Nachr. 1876.

[446] Comptes rendus, 1876; Journ. Éc. polyt. 45; Proc. math. Soc. 9, 10; Math. Ann. 15.

[447] Journ. Éc. polyt. 45.

[448] Auch von dem Satze, den C r e m o n a ausgesprochen hat (Annali di Matem. I, 6 und Giorn. di Matem. 3) über die doppelt unendlichen Systeme von Kegelschnitten, als Erweiterung des Satzes von C h a s l e s, kann man eine Anwendung machen, worüber man das einsehen möge, was d e l P e z z o in seiner interessanten Abhandlung Sui sistemi di coniche (Napoli Rend. 1884) auseinandergesetzt hat, und neuere Beobachtungen von S t u d y (Math. Ann. 27).

[449] Mém. prés. 1, 1806.

[450] das. (ältere Serie) 10, 1785, und die schon zitierte Application.

[451] Mém. prés. 9, 1781.

[452] Journ. Éc. polyt. 30.

[453] Liouvilles Journ. 17.

[454] das. 16.

[455] Man sehe die Noten zur Application de l'Analyse à la Géométrie, 5. Aufl. und Liouvilles Journ. 17.

[456] Liouvilles Journ. 15, 16.

[457] das. 7.

[458] Forhandlingar i Videnskab-Selskabet i Christiania, 1882.

[459] Eingehenderes findet man in der Note 65 der Analytischen Geometrie des Raumes von G. S a l m o n, deutsch bearbeitet von W. F i e d l e r, 3. Aufl. 1880, II. Teil S. 37. — In Bezug auf eine synthetische Darstellung der Differentialgeometrie der Raumkurven sehe man S c h e l l, Allgemeine Theorie der Kurven doppelter Krümmung in rein geometrischer Darstellung (Leipzig, 1859), und P a u l S e r r e t, Théorie nouvelle géométrique et mécanique des courbes à double courbure (Paris, 1860).

[460] Vgl. M a g n u s, Aufgaben und Lehrsätze aus der analytischen Geometrie des Raumes, 1837, S. 160.

[461] Die Existenz zweier Raumkurven vierter Ordnung wurde zuerst durch S a l m o n im Jahre 1850 (Cambridge Journ. 5) und darauf von S t e i n e r (Journ. für Math. 53) bekannt gemacht.

[462] Auf der kubischen Fläche treten schon von der sechsten Ordnung ab gegen die Geraden der Fläche verschiedenartig sich verhaltende Kurven derselben Ordnung auf, die in der Zahl der scheinbaren Doppelpunkte übereinstimmen. Vgl. S t u r m, Math. Ann. 21.

[463] Liouvilles Journ. 10, oder Cambridge Journ. 5. Dieser Abhandlung folgte eine, die von S a l m o n in demselben Bande des Cambr. Journ. veröffentlicht wurde, und zu ihrer Ergänzung wiederum dient eine von Z e u t h e n, die in den Annali di Matem. II, 3 abgedruckt ist. — An sie schließen sich ferner die Schriften, welche C a y l e y (Phil. Trans. 153), P i q u e t (Comptes rendus 77 und Bull. Soc. math. 1), und G e i s e r (Collectanea mathematica in memoriam D. Chelini, Mailand, 1881) geschrieben haben über die Geraden, welche eine Raumkurve eine gewisse Anzahl Male schneiden.

[464] Comptes rendus 54 und 58. Mit dieser Abhandlung vergleiche man die Dissertation von E d. W e y r, Über algebraische Raumkurven (Göttingen, 1873) und andere Schriften desselben Verfassers (Comptes rendus 76, Wiener Ber. 69). Den zitierten Abhandlungen von C a y l e y müßte ich noch eine dritte hinzufügen (Quart. Journ. 3), in welcher der Autor sich die Aufgabe gestellt hat, eine Kurve als Komplex ihrer Sekanten (im Sinne Plückers) zu betrachten und sie daher mittelst einer einzigen Gleichung zwischen den Koordinaten einer Geraden im Raume darzustellen, aber ich kann davon absehen, da die Fruchtbarkeit einer solchen Betrachtung noch nicht dargethan ist.

[465] H a l p h e n, Mémoire sur la classification des courbes gauches algébriques (Journ. Éc. polyt. 52). Man sehe auch desselben Autors Abhandlung Sur les singularités des courbes gauches algébriques (Bull. Soc. math. 9). — N ö t h e r, Zur Grundlegung der Theorie der algebraischen Raumkurven (Berliner Abh. 1883, Journ. für Math. 93).

[466] Comptes rendus 70; Bull. Soc. math. 1 und 2.

[467] Math. Ann. 7.

[468] Math. Ann. 6. Ein anderer Beweis desselben Satzes wurde von H a l p h e n gegeben, Bull. Soc. math. 5.

[469] Die Gerechtigkeit verlangt, daß ich auch noch eine sehr schöne Arbeit von V a l e n t i n e r anführe: Bidrag til Rumcurvener Theori (Kopenhagen, 1881) (vgl. auch Tidsskrift for Math. IV, 5 und Acta math. 2), die fast zu gleicher Zeit mit denen von H a l p h e n und N ö t h e r erschienen ist und mit diesen in den Methoden und den Resultaten bemerkenswerte Berührungspunkte hat. — Ich will in dieser Note auch noch, da ich es im Texte nicht thun konnte, einen Satz von C r e m o n a anführen (von D i n o in den Napoli Rend. 1879 bewiesen) und einige von S t u r m (Report of the British Association, 1881; Math. Ann. 19), welche bemerkenswerte allgemeine Eigenschaften der Raumkurven ausdrücken, sowie an die Untersuchungen von C a y l e y, P i q u e t und G e i s e r über eine Raumkurve mehrmals schneidende Geraden erinnern, von denen in der Note 463 gesprochen wurde. Erwähnenswert ist auch die (von H o ß f e l d in der Zeitschr. f. Math. 29 gefundene) Thatsache, daß die Rückkehrkurve der zweien Oberflächen umbeschriebenen abwickelbaren Fläche nicht der vollständige Schnitt zweier Oberflächen ist.

[471] Der barycentrische Calcül (Leipzig, 1827).

[472] Aperçu historique, Note 33; Liouvilles Journ. 19 (1854).

[473] Beiträge zur Geometrie der Lage, 3. Heft (Nürnberg, 1860).

[474] Grunerts Arch. 10.

[475] Journ. für Math. 56.

[476] Journ. für Math. 58, 60, 63; Nouv. Ann. II, 1; Annali di Matem. I, 1, 2, 5; Lombardo Rend. II, 12.

[477] Journ. für Math. 56; Theorie der Oberflächen zweiter Ordnung und der Raumkurven dritter Ordnung (Leipzig, 1880); Math. Ann. 25. Vgl. auch eine Note von mir in den Napoli Rend., 1885.

[478] Zeitschr. für Math., 1868; Geometrie der Lage.

[479] Lombardo Rend. 1871.

[480] Journ. für Math. 79, 80; Annali di Matem. II, 3.

[481] Math. Ann. 20 und 30.

[482] Torino Mem. II, 32 und Collectanea mathematica. An diese Abhandlungen schließt sich eine von G e r b a l d i, Sui sistemi di cubiche gobbe o di sviluppabili di III. classe stabiliti col mezzo di due cubiche punteggiate projettivamente (Torino Mem. II, 32).

[483] Giorn. di Matem. 17 (1879). Betreffend die ausgearteten Formen der kubischen Raumkurve sehe man eine Note von S c h u b e r t (Math. Ann. 15). Die Theorie der kubischen Raumkurven führt zu einer interessanten geometrischen Darstellung der Theorie der binären algebraischen Formen, die von L a g u e r r e (L'Institut 40), von S t u r m (Journ. f. Math. 86) und von A p p e l l (Ann. Éc. norm. II, 5) bearbeitet wurde. Vgl. auch eine Note von J. T a n n e r y (Bull. sciences math. 11). Ferner sehe man in bezug hierauf die Note von W. R. W. R o b e r t s (Proc. math. Soc. 13) und das Buch von F r a n z M e y e r, Apolarität und rationale Kurven (Tübingen, 1883). Eine gute Darlegung der Theorie der Raumkurven dritter Ordnung hat auch v o n D r a c h geliefert in der Schrift Einleitung in die Theorie der kubischen Kegelschnitte (Leipzig, 1867), infolge deren B e l t r a m i interessante Annotazioni geschrieben hat (Lombardo Rend. II, 1).

[484] Comptes rendus 53 (1861).

[485] Annali di matem. 4. — Die Note von S t o r y, On the number of intersections of curves traced on a scroll of any order (Johns Hopkins Baltimore University Circulars 2, 1883) enthält eine Verallgemeinerung eines sehr wichtigen Theoremes von C h a s l e s.

[486] P o n c e l e t machte im Jahre 1822 die bemerkenswerte Entdeckung, daß durch jede Raumkurve vierter Ordnung erster Art vier Kegel zweiten Grades hindurchgehen. (S. Traité des proprietés projectives I, S. 385, 2. Aufl.)

[487] Comptes rendus 54, 55.

[488] Comptes rendus 54; Bologna Mem. 1861; Lombardo rend. II, 1.

[489] Annali di Matem. II, 2.

[490] Géometrie de direction (Paris, 1869); Comptes rendus 82.

[491] Liouvilles Journ. II, 15.

[492] Journ. für Math. 97. — Eine bemerkenswerte spezielle Raumkurve vierter Ordnung erster Art hat S c h r ö t e r untersucht: Journ. für Math. 93.

[493] Math. Ann. 12, 13.

[494] Zeitschr. f. Math. 28.

[495] Math. Ann. 13. Vgl. C a y l e y (das. 25).

[496] Comptes rendus 82.

[497] Annali di Matem. I, 4.

[498] Giorn. di Matem. 11, 12.

[499] Lombardo rend. 1872.

[500] Wiener Ber. 1871. Über die rationalen Kurven vierter Ordnung sehe man auch S t u d y (Leipziger Sitzungsber. 1886), die Habilitationsschrift von J o l l e s (Aachen, 1886) und die Abhandlung von R o b e r t s (Proc. math. Soc. 14). — Unter den rationalen Kurven vierter Ordnung ist eine sehr bemerkenswerte diejenige, welche zwei stationäre Tangenten hat. Die eleganten Eigenschaften, welche dieselbe besitzt, wurden von C r e m o n a (Lombardo Rend. 1868), E m. W e y r (das. 1871) und A p p e l l (Comptes rendus 83) entdeckt.

[501] Comptes rendus 70.

[502] Vierteljahrsschrift der naturf. Ges. in Zürich 20.

[503] Außer den zitierten Synthetischen Untersuchungen sehe man Journ. für Math. 88 und Math. Ann. 21.

[504] S. K o r n d ö r f e r und B r i l l, Math. Ann. 3; S a l t e l, Comptes rendus 80; G e n t y, Bull. Soc. math. 9.

[505] Siehe unter anderem die Bemerkung von B u c h h e i m, On the extension of certain theories relating to plane cubics to curves of any deficiency (Proc. math. Soc. 13).

[506] Collectanea mathematica.

[507] Journ. für Math. 99.

[508] C h a s l e s, Aperçu historique, 2. Aufl., S. 269; in der deutschen Übersetzung von S o h n c k e, S. 267.

[509] Diese Konstruktion, die von den Deutschen »Steinersche Projektion« genannt wird, wurde im Jahre 1865 von neuem von T r a n s o n (1806-1876) gefunden, der ihr den Namen »projection gauche« gab (Nouv. Ann. II, 4 und 5).

[510] Traité des propriétés projectives (1. Aufl. 1822, S. 198).

[511] Journ. für Math. 5.

[512] Journ. für Math. 8, und Aufgaben und Lehrsätze aus der analytischen Geometrie der Ebene, 1833.

[513] Torino Mem. 1862.

[514] Grunerts Arch. 7.

[515] Zeitschr. f. Math. 11.

[516] Liouvilles Journ. 10, 12. Vorher hatten schon G. B e l l a v i t i s (Nuovi Saggi dell' Accademia di Padova 4 (1836) und S t u b b s (Phil. Mag. 23, 1843) sich mit dieser Korrespondenz beschäftigt. Man sehe auch S t e i n e r s Aufsatz aus dem Jahre 1826: Einige geometrische Betrachtungen (Journ. für Math. 1; Gesammelte Werke Bd. I, S. 19) Nr. 20.

[517] Auf den Begriff der Inversion ist von J o h n s o n (Analyst 4) eine neue Einteilung der ebenen Kurven gegründet worden. In derselben bedeutet der Name »Kreisgrad« einer Kurve den Grad ihrer Gleichung (in rechtwinkligen cartesischen Koordinaten) in x, y, r = x² + y²; der Kreisgrad einer Kurve wird durch die Inversion nicht verändert. Zwei Kurven, welche denselben Grad haben, gehören zu derselben Kategorie. Diese Einteilung scheint jedoch nicht von großer Wichtigkeit zu sein.

[518] Sammlung von Aufgaben und Lehrsätzen aus der analytischen Geometrie der Ebene, 1833.

[519] In den Jahren 1859 und 1860 studierte J o n q u i è r e s die (nach seinem Namen benannte) Transformation n^ter Ordnung, bei welcher jeder Geraden eine Kurve n^ter Ordnung mit einem (n - 1)-fachen Punkte entspricht. Einige seiner Resultate wurden im Jahre 1864 in den Nouv. Ann. veröffentlicht, aber das vollständige Werk, welches er dieser Transformation widmete, erschien erst 1885 und zwar durch G u c c i a (s. Giorn. di Matem. 23) herausgegeben. Wir bemerken auch, daß schon 1834 M ö b i u s (Journ. für Math. 12; Gesammelte Werke, 1) die eindeutige Korrespondenz zwischen zwei Ebenen, bei denen die Flächeninhalte entsprechender Figuren in einem konstanten Verhältnisse stehen, studiert hat. Die Untersuchungen sind jedoch von ganz anderer Art als die im Texte betrachteten.

[520] Bologna Mem. 2, 5 (1863 und 1865); Giorn. di Matem. 1 und 3; vgl. auch D e w u l f s Bearbeitung im Bull. sciences math. 5.

[521] Proc. math. Soc. 3.

[522] Math. Ann. 4.

[523] Math. Ann. 3, 5.

[524] Journ. für Math. 73.

[525] Proc. math. Soc. 4.

[526] Hier will ich einen wichtigen Lehrsatz berühren, der gleichzeitig von C l i f f o r d (Proc. math. Soc. 3), N ö t h e r (Göttinger Nachr. 1870; Math. Ann. 3) und R o s a n e s (Journ. für Math. 73) erhalten wurde, und für einen Augenblick die Wichtigkeit der C r e m o n a schen Transformation aufzuheben schien: »Jede eindeutige Transformation von höherer als erster Ordnung kann man durch Wiederholung von quadratischen Transformationen erhalten.« Dieser Satz ist offenbar die Umkehrung desjenigen von M a g n u s, der vorhin im Texte angeführt wurde.

[527] Bologna Mem. 1877-1878.

[528] Comptes rendus, 1885; Giorn. di Matem. 24.

[529] Annali di Matem. II, 10.

[530] Comptes rendus, 1885; Rendic. del Circolo Matematico di Palermo 1.

[531] Man sehe die in den Comptes rendus, 1883, 1884, 1885, 1886 und in Liouvilles Journ. 1885, 1886, 1887 veröffentlichten Abhandlungen.

[532] Annali di Matem. 7, ferner Giorn. di Matem. 4.

[533] Proc. math. Soc. 2.

[534] Math. Ann. 26.

[535] Bull. sciences math. II, 6 und 7.

[536] Meistenteils wurden die geometrischen Transformationen auf das Studium der algebraischen Kurven angewandt; jedoch fehlt es nicht an Schriften, welche sich mit der Transformation transcendenter Kurven in andere oder in sich selbst befassen: z. B. M a g n u s, Sammlung von Aufgaben und Lehrsätzen aus der analytischen Geometrie der Ebene, 1833, S. 320, 455, 457-459, 497; K l e i n und L i e, Math. Ann. 4.

[537] Annali di Matem. II, 8; Lombardo Rend. 1883. Vgl. auch G e i s e r, Journ. für Math. 67.

[538] Napoli Rend., 1879.

[539] Die neueste Form, welche die B e r t i n i schen Untersuchungen infolge dessen angenommen, machte es meinem Freunde M a r t i n e t t i leichter, auf dem von diesem Gelehrten vorgezeichneten Wege weiter zu schreiten und die ebenen involutorischen Transformationen dritter und vierter Klasse zu bestimmen (Annali di Matem. II, 12, 13). Die Theorie der ebenen Transformationen wird sich binnen kurzem durch die wichtige Arbeit von K a n t o r bereichern, welche von der Akademie zu Neapel gekrönt worden ist und jetzt gedruckt wird. Einzelne Resultate finden sich in den Wiener Ber. 1880 ausgesprochen, sowie in den Wiener Denkschriften 46.

S a l t e l verdanken wir die Idee einer speziellen involutorischen Transformation dritten Grades, die er schon 1872 unter dem Namen »Transformation arguesienne« nach D e s a r g u e s benannt (s. die Mémoires de l'Académie de Belgique 12, Bulletin de l'Académie de Belgique II, 24), studiert hat. Man stellt dieselbe auf folgende Weise her: Gegeben sind in einer festen Ebene Π zwei Kegelschnitte Γ₁ und Γ₂ und ein fester Punkt O; man läßt entsprechen einem Punkte P von Π seinen konjugierten in der Involution, die auf der Geraden OP bestimmt wird durch den Kegelschnittbüschel, den Γ₁, und Γ₂ konstituieren. Es sind fundamental der Punkt O und die Grundpunkte dieses Büschels. — Wenn jene beiden Kegelschnitte Γ₁ und Γ₂ zusammenfallen, so reduziert sich diese Transformation offenbar auf die quadratische Inversion von H i r s t. — Im Raume hat man eine ähnliche Transformation. — Eine andere Transformation (»transformation hyperarguesienne«) wurde von demselben Verfasser als Erweiterung der vorhergehenden eingeführt (Bulletin de l'Académie de Belgique II, 12) und wird auf folgende Weise hergestellt: Gegeben in einer Ebene Π drei Kegelschnitte Γ₁, Γ₂, Γ₃ und ein fester Punkt O. Man läßt einem Punkte P von Π seinen homologen entsprechen in der Projektivität, die bestimmt ist auf OP von den drei Paaren von Punkten, in welchen diese Gerade von den drei Kegelschnitten getroffen wird; jedoch ist diese Korrespondenz offenbar nicht birational. — Die erste der S a l t e l schen Transformationen kann zur Lösung von Problemen aus der Theorie der Charakteristiken für die Kurven höherer als zweiter Ordnung dienen (Bull. Soc. Math. 2).

[540] Bull. Soc. math. 8; Comptes rendus 94; Nouv. Ann. III, 1, 2. Diese Transformation kann man, wie L a g u e r r e selbst bemerkte, auf den Raum ausdehnen (Comptes rendus 92), jedoch ist die Art der Korrespondenz, die man erhält, keine neue; sie ist nach einer Bemerkung von S t e p h a n o s (Comptes rendus 92) dieselbe, vermittelst derer L i e die Geometrie der Geraden mit der der Kugel verknüpfte (Math. Ann. 5).

[541] Die verschiedenen Abhandlungen von M ö b i u s über diese Theorie finden sich vereint im II. Bande seiner Gesammelten Werke (Leipzig, 1886).

[542] Journ. für Math. 55, 57, 59; Grunerts Arch. 33.

[543] Grunerts Arch. 42.

[544] Bologna Mem. 1870.

[545] Journ. für Math. 69.

[546] Des Näheren siehe die Abhandlung: Géometrie des polynomes (Journ. Éc. polyt. 28).

[547] Beiträge zur geometrischen Interpretation binärer Formen (Erlangen, 1875); vgl. Math. Ann. 9; Studien im binären Wertgebiete (Karlsruhe, 1876); Math. Ann. 17; Erlanger Berichte, 1875.

[548] Siehe das Werk: Einführung in die Theorie der isogonalen Verwandtschaften (Leipzig, 1883).

[549] Zwischen drei geometrischen Gebilden kann man eine Korrespondenz aufstellen, so daß einem Paare von Elementen, das eine genommen in dem einen, das andere in einem zweiten, eindeutig ein solches im dritten Gebilde entspricht. Wenn unter Festhaltung eines Elementes die anderen beiden projektive Systeme beschreiben, so nennt man die Korrespondenz trilinear, und diese wurde im Falle der Gebilde erster Stufe von R o s a n e s (Journ. für Math. 1888) behandelt, sodann von S c h u b e r t (Math. Ann. 17 und Mitteilungen der Math. Ges. in Hamburg, 1881) und in einem Spezialfalle von B e n n o K l e i n (Theorie der trilinear-symmetrischen Elementargebilde, Marburg, 1881); im Falle der Gebilde zweiter Stufe von H a u c k (Journ. für Math. 90, 97, 98), welcher einige Anwendungen derselben auf die darstellende Geometrie machte, die von bemerkenswertem praktischen Nutzen zu sein scheinen.

Fast gleichzeitig mit den Arbeiten von Schubert sind diejenigen, in denen L e P a i g e mit Hilfe der Theorie der algebraischen Formen die trilineare Korrespondenz untersuchte und auf die Geometrie anwandte; man sehe die Essais de Géométrie supérieure du troisième ordre (Mém. de la Soc. des sciences de Liège II, 10) und die Noten, welche im Bulletin de l'Académie de Belgique III, 5 und in den Wiener Ber. 1883 veröffentlicht sind. Derselbe Geometer beschäftigte sich auch mit der quadrilinearen Beziehung (Torino Atti 17, 1882) und machte von ihr Anwendung auf die kubischen Flächen und gewisse Flächen vierter Ordnung (Bulletin de l'Académie de Belgique III, 4; Acta math. 5).

Wir unterlassen nicht, zu erwähnen, daß die duploprojektive Beziehung, durch welche schon 1862 F. A u g u s t die kubische Oberfläche erzeugte (Disquisitiones de superficiebus tertii ordinis, Berliner Dissertation), eine trilineare Beziehung ist.

[550] Wenn z. B. ein Dreieck ABC gegeben ist, so sei P ein beliebiger Punkt seiner Ebene. Es giebt nun einen Kegelschnitt K, welcher die Seiten des Dreieckes in den Punkten (PA, BC), (PB, CA), (PC, AB) berührt. Läßt man K dem P entsprechen, so hat man eine Korrespondenz von der im Texte angegebenen Art. Ähnlich erhält man eine duale Korrespondenz. Beide wurden von M o n t a g in seiner Dissertation: Über ein durch die Sätze von Pascal und Brianchon vermitteltes geometrisches Beziehungssystem (Breslau, 1871) studiert. Weitere analoge Korrespondenzen kann man aus der Beobachtung entnehmen, daß jeder Punkt der Ebene ABC der Mittelpunkt eines Kegelschnittes ist, der dem Dreiecke ABC eingeschrieben ist, eines ihm umgeschriebenen und eines solchen, für welchen ABC ein Polardreieck ist. Ähnlich: Gegeben ein Tetraeder ABCD; man kann jedem Punkte P des Raumes die Fläche zweiter Ordnung zuordnen, für welche P das Zentrum ist und in bezug auf welche ABCD ein Polartetraeder ist.

[551] Math. Ann. 6.

[552] Man sehe außerdem die Arbeiten von G o d t (Göttinger Dissertation, 1873), A r m e n a n t e (Lincei Atti, 1875), B a t t a g l i n i (Giorn. di Matem. 19, 20), P e a n o (Torino Atti 16) und von A m o d e o (Napoli Rend. 1887). Die den Konnexen analogen Figuren im Raume wurden von K r a u s e behandelt (Math. Ann. 14). Man sehe auch zwei Noten von L a z z e r i, Sulle reciprocità birazionali nel piano e nello spazio (Lincei Rend. 1886).

[553] Gauss' Werke, 4. Bd. Eine italienische Übersetzung wurde von B e l t r a m i in den Annali di Matem. 4 veröffentlicht.

[554] Die Methoden, die geographischen Karten zu konstruieren, gehören in die Anwendungen der Geometrie und befinden sich deshalb nicht unter denjenigen, deren Geschichte wir hier verzeichnen wollen. Wir verweisen daher den, der alle diejenigen kennen lernen will, welche angewandt worden sind, auf die Schriften von F i o r i n i, Le projezioni delle carte geografiche (Bologna, 1881) und Z ö p p r i t z, Leitfaden der Kartenentwurfslehre (Leipzig, 1884). Eine Ausnahme will ich nur machen mit den Arbeiten von T i s s o t (Comptes rendus 49; vgl. auch D i n i, Memoria sopra alcuni punti della teoria delle superficie [Florenz, 1868]; Journ. Éc. polyt. 37; Nouv. Ann. II, 17 flgg.), weil sie ein großes Interesse auch vom Standpunkte der reinen Wissenschaft haben.

[555] Diese Abbildung, die man heute die »sphärische« nennt, wurde vor G a u ß von O. R o d r i g u e s im Jahre 1815 angegeben; jedoch hat dieser ihre ganze Fruchtbarkeit nicht so in das Licht gestellt als der große deutsche Geometer.

[556] Journ. für Math. 34.

[557] Comptes rendus, 53.

[558] Phil. Mag. 1861.

[559] Journ. für Math. 68, oder Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Oberflächen (Berlin, 1870), III. T.

[560] Journ. für Math. 65.

[561] Math. Ann. 1.

[562] S. Journ. für Math., Math. Ann. und Göttinger Nachr. und Abh.

[563] Math. Ann. 4; Annali di Matem. II, 1; Göttinger Nachr. 1871 und viele andere Abhandlungen, welche in den Lombardo Rend. und den Bologna Mem. stehen. In der Abhandlung in den Annali studierte C r e m o n a die Regelflächen (m + n)^ten Grades, welche eine m-fache und eine n-fache Leitlinie haben, und fand, daß deren asymptotische Kurven im allgemeinen algebraische Kurven von der Ordnung 2(m + n - 1) sind. Eine Konstruktion dieser Kurven wurde später von H a l p h e n angegeben (Bull. Soc. math. 5).

[564] Math. Ann. 3; vgl. auch das. 21, dann ziehe man auch noch eine Abhandlung von B r i l l hinzu (Math. Ann. 5).

[565] Annali di Matem. II, 1.

[566] Math. Ann. 4.

[567] Math. Ann. 1.

[568] Annali di Matem. II, 7.

[569] Z. B. sehe man D a r b o u x (Bull. Soc. math. 2), F r a h m (Math. Ann. 7), L a z z e r i (Annali della Scuola nuova sup. di Pisa, 6), G u c c i a (Association française pour l'avancement des sciences, Congrès de Reims, 1880).

[570] Ein wichtiger Begriff, den C l e b s c h bei seinen Studien über die Abbildung der Regelflächen aufstellte (Math. Ann. 5), ist der des Typus einer Fläche. Zwei Flächen sind von demselben Typus, wenn bei der Abbildung der einen auf die andere es keine Fundamentalpunkte giebt, z. B, ist die römische Fläche von S t e i n e r von demselben Typus mit der Ebene.

[571] S. die Collectanea mathematica in memoriam D. Chelini.

[572] Comptes rendus, 1868.

[573] Math. Ann. 3.

[574] Annali di Matem. II, 5; Göttinger Nachr. 1871 und 1873.