Noten. (continued 2)

[575] Math. Ann. 4, 9, 10.

[576] Die Flächen vierter Ordnung, von denen man die Abbildung auf eine Ebene kennt, sind die rationalen Regelflächen, die römische Fläche, die Oberflächen mit einer Doppelgeraden oder einem doppelten Kegelschnitte, die Monoide und eine Oberfläche, die einen uniplanaren Doppelpunkt hat (s. eine Abhandlung von N ö t h e r in den Göttinger Nachr. 1871 und eine von C r e m o n a in den Collectanea mathematica). Wer die Abbildung einer Oberfläche auf einer anderen studieren will, darf die schönen Untersuchungen von Z e u t h e n (s. die vorige Note und Comptes rendus, 1870) nicht übergehen und die darauf folgenden von K r e y (Math. Ann. 18) und V o ß (Math. Ann. 27); einen nicht geringen Nutzen kann er auch aus der von K a n t o r (Journ. für Math. 95) aufgestellten Korrespondenz ziehen, die zwischen den Punkten einer gewissen kubischen Fläche und gewissen Tripeln von Punkten einer Ebene besteht.

[577] Math. Ann. 3.

[578] Math. Ann. 3.

[579] Aperçu historique, Note 28.

[580] Lincei Mem. 1876, 1877, 1878. Vgl. eine Note von N ö t h e r in den Erlanger Sitzungsberichten, 1878.

[581] Aufgaben und Lehrsätze aus der analyt. Geom. d. Raumes, S. 403 flg.

[582] Journ. für Math. 49.

[583] S. Note 563. Vgl. auch S t u r m, Math. Ann. 19.

[584] Proc. Math. Soc. 3.

[585] Math. Ann. 3.

[586] Lombardo Rend. 1871; Annali di Matem. II, 5; Bologna Mem. 1871-1872. Man sehe auch die neuesten Arbeiten desselben Geometers in den Transactions of Edinburgh 32, II. Th. und in den Irish Trans. 28 und Proc. math. Soc. 15.

[587] Aufgaben und Lehrsätze aus der analyt. Geom. des Raumes, 1837, S. 417-418, Anmerkung.

[588] Unter diesen führe ich die Abhandlung von d e P a o l i s an: Sopra un sistema omaloidico formato da superficie d'ordine n con un punto (n - 1)-plo (Giorn. di Matem. 13) die späteren über einige spezielle involutorische Transformationen des Raumes von M a r t i n e t t i (Lombardo Rend. 1885) und von P a o l i s (Lincei Trans., 1885). — Ich bemerke hier, was ich im Texte nicht thun konnte, daß es möglich ist, das Punktfeld auf einer Geraden abzubilden und den Punktraum auf einer Ebene. Um erstere Abbildung auszuführen, kann man jedem Punkte der Ebene ein Punktepaar der Geraden entsprechen lassen (Übertragungsprinzip von H e s s e, Journ. für Math. 66). Bei der zweiten kann man einem Punkte des Raumes den Kreis zuordnen, der den Fußpunkt des von jenem auf die darstellende Ebene gefällten Lotes zum Mittelpunkt und zum Radius die Länge dieses Lotes hat, indem man hinzufügt, daß dieser Kreis in dem e i n e n Sinne durchlaufen wird, wenn der Punkt auf der einen (bestimmten) Seite der Ebene liegt, im entgegengesetzten Sinne, wenn auf der anderen. Die Gesetze dieser Korrespondenz wurden von F i e d l e r vereinigt, um die Cyklographie zu bilden (s. das Werk Cyklographie, Leipzig, 1883, und die dritte Ausgabe der Darstellenden Geometrie) und wurden von ihm zur Lösung einiger Probleme angewandt (s. einige Mitteilungen für die naturforschende Gesellschaft in Zürich und Acta math. 5). Vor ihm jedoch hatte schon C r o n e verwandte Fragen in einer Dissertation behandelt, die sich in der Tidsskrift for Mathematik 6 findet.

[589] C h a s l e s, Aperçu historique, 2. Ausg. S. 196.

[590] M a g n u s, Sammlung von Aufgaben und Lehrsätzen aus der anal. Geom. der Ebene, 1833, S. 188 und 198.

[591] V o ß, Math. Ann. 13; S e g r e, Torino Mem. II, 37; S t u r m, Math. Ann. 26. In diesen Abhandlungen wird der Leser auch die weiteren bibliographischen Einzelheiten finden.

[592] S t u r m, a. a. O.; M o n t e s a n o, Lincei Mem. 1886.

[593] L ü r o t h, Math. Ann. 11, 13; S c h r ö t e r (das. 20); V e r o n e s e, Lincei Mem. 1881. S. auch einige der Abhandlungen, die sich in den Gesammelten Werken von M ö b i u s 2 finden. Auch die Arbeiten von R o s a n e s führen wir hier an (Journ. für Math. 88, 90, 95, 100), von S t u r m (Math. Ann. 1, 6, 10, 12, 15, 19, 22, 28; Proc. math. Soc. 7), und von P a s c h (Math. Ann. 23, 26), die verwandte Gegenstände behandeln; dann noch die von S t e p h a n o s (Math. Ann. 23), von H. W i e n e r (Rein geometrische Theorie der Darstellung binärer Formen durch Punktgruppen auf der Geraden, Darmstadt, 1885), von S e g r e (Torino Mem. II, 28 und Journ. für Math. 100), von S a n n i a (Lezioni di geometria projettiva, in Neapel im Drucke befindlich) über die Kollineationen und Korrelationen.

[594] Math. Ann. 3.

[595] Giorn. di Matem. 10.

[596] Man sehe die beiden von ihm 1884 zu Messina veröffentlichten Abhandlungen.

[597] Lombardo Rend. 1886; Lincei Rend. 1885.

[598] Die Geometrie der Lage.

[599] Giorn. di Matem. 21.

[600] Lombardo Rend. II, 14 und 15.

[601] Journ. für Math. 94.

[602] Lincei Mem. 1884-1885.

[603] Wiener Ber. 1881; Journ. für Math. 97.

[604] Math. Ann. 19 und 28.

[605] Math. Ann. 23.

[606] Journ. für Math. 82, in dem Aufsatze über reciproke Verwandtschaft von F²-Systemen und Φ²-Geweben.

[607] Über das gemeine Nullsystem vergl. die Note 610 des nächsten Abschnittes

[608] »Bis in die neueren Zeiten stand die analytische Methode, wie sie C a r t e s i u s geschaffen, sozusagen nur auf einem Fuße. P l ü c k e r kommt die Ehre zu, sie auf zwei gleiche Stützen gestellt zu haben, indem er ein ergänzendes Koordinatensystem einführte. Diese Entdeckung war daher unvermeidlich geworden, nachdem einmal die Tiefblicke S t e i n e r s dem Geiste der Mathematiker zugeführt waren.« S y l v e s t e r, Phil. Mag. III, 37, 1850, S. 363. Vgl. Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik 2, S. 453.

[609] S. Phil. Trans., 1865, S. 725; 1866, S. 361.

[610] Es ist wohl zu beachten, daß ein linearer Komplex ein reciprokes Nullsystem veranlaßt und daß dieses zuerst von G i o r g i n i (Memorie della Società italiana delle scienze 20, 1827), dann aber auch von M ö b i u s (Lehrbuch der Statik I; vgl. auch Journ. für Math. 10, 1833) und von C h a s l e s (Aperçu historique, 1837) in ihren statischen und kinematischen Untersuchungen und von demselben C h a s l e s und S t a u d t bei der Bestimmung der involutorischen reciproken Beziehungen gefunden wurde.

[611] Cambridge Trans. 11, Teil 2; Quart. Journ. 3.

[612] Giorn. di Matem. 6, 7, 10, 18. Wenn auch B a t t a g l i n i seinen Studien über die quadratischen Komplexe eine Gleichung zu Grunde legte, die nicht den allgemeinsten Komplex ihres Grades darstellt, so gelten doch viele von den Schlüssen, die er gemacht hat, — man kann sagen alle, mit Ausnahme derjenigen, welche sich auf die singuläre Fläche und die singulären Strahlen des Komplexes beziehen — für allgemeine Komplexe, indem sie unabhängig sind von der Gestalt dieser Gleichung. Auch die von ihm aufgestellten Formeln passen sich mit leichten Änderungen größtenteils dem allgemeinen Falle an.

[613] Leipzig, 1868-1869.

[614] S. dessen Examen des différentes méthodes etc.

[615] Math. Ann. 2, 5, 7, 22, 23 (darin der Wiederabdruck der 1868 in Bonn erschienenen Dissertation: Über die Transformation der allgemeinen Gleichung des zweiten Grades zwischen Linienkoordinaten auf eine kanonische Form), 28. Außerdem enthalten viele Arbeiten von K l e i n über Fragen der höheren Algebra oder der höheren Analysis, die in den Math. Ann. und sonst veröffentlicht sind, ziemlich oft Betrachtungen, welche der Geometrie der Geraden angehören.

[616] Torino Mem. II, 36.

[617] Journ. für Math. 75, 76; Habilitationsschrift (Gießen, 1870).

[618] Math. Ann. 1.

[619] Math. Ann. 2.

[620] Lincei Mem. 1884-1885.

[621] Math. Ann. 2, 5.

[622] Math. Ann. 7. Man kann es nur beklagen, daß die in verschiedener Beziehung so ausgezeichnete Arbeit von W e i l e r eine große Zahl von Ungenauigkeiten enthält.

[623] Math. Ann. 8, 9, 10, 12, 13. S. auch S c h u b e r t das. 12 und dessen Abzählende Geometrie.

[624] Comptes rendus 74, 75; Bull. Soc. math. 1.

[625] Göttinger Nachr. 1869.

[626] Göttinger Nachr. 1869.

[627] Lincei Mem. 1877-1878.

[628] Giorn. di Matem. 8; Lombardo Rend. II, 12, 13, 14.

[629] Math. Ann. 5. Vgl. eine Abhandlung von C r e m o n a, gelesen vor der Accademia dei Lincei (Atti II, 3).

[630] Journ. für Math. 98. Vgl. auch 95 und 97.

[631] Liouvilles Journ. 4.

[632] Die Geometrie der Lage, 2. Abt. 2. Aufl., in der sich die von R e y e in dem Journ. für Math. veröffentlichten synthetischen Arbeiten über die Geometrie der Geraden vereinigt finden.

[633] Zeitschr. f. Math. 20.

[634] Dissertation (Berlin, 1879) oder Math. Ann. 15.

[635] Giorn. di Matem. 17; Lincei Rend. 1879.

[636] Torino Atti, 1881.

[637] Journ. für Math. 91, 92, 93, 94, 95, 97.

[638] The Messenger of Mathematics II, 13.

[639] Liouvilles Journ. II, 17.

[640] S. Note 629.

[641] Math. Ann. 5.

[642] Ann. Éc. norm. II, 6; Grunerts Arch. 40.

[643] Ann. Éc. norm. III, 1.

[644] S. Note 628.

[645] Nouv. Ann. II, 2; Liouvilles Journ. II, 19.

[646] Die Geometrie der Lage.

[647] Göttinger Nachr. 1870.

[648] Journ. für Math. 95; Zeitschr. f. Math. 24, 27.

[649] Sugli enti geometrici dello spazio di rette generati dalle intersezioni dei complessi correspondenti in due o pin fasci projettivi di complessi lineari (Piazza Armerina, 1882).

[650] Proc. math. Soc. 10; Collectanea mathematica, 1881.

[651] Math. Ann. 13.

[652] Mémoire de géométrie vectorielle sur les complexes du second ordre, qui ont un centre de figure (Liouvilles Journ. III, 8).

[653] Sui complessi di rette di secondo grado generati da due fasci projettivi di complessi lineari (Napoli, 1886), und Napoli Rend. 1886.

[654] Math. Ann. 23; Giorn. di Matem. 23; Torino Atti, 1884.

[655] Applications de Géometrie et de Mechanique, 1822.

[656] Journ. Éc. polyt. 14.

[657] Comptes rendus 20.

[658] Liouvilles Journ. 15.

[659] Journ. Éc. polyt. 38.

[660] Irish Trans. 16, 1831.

[661] Bd. 57.

[662] Die Eigenschaften der unendlich dünnen Strahlenbündel, mit denen K u m m e r sich in dieser Abhandlung beschäftigt, gaben später (1862) Stoff zu einer schönen Arbeit von M ö b i u s (Leipziger Ber. 14; Werke 4), an welche sich dann die von Z e c h (Zeitschr. f. Math. 17) veröffentlichten Untersuchungen knüpfen; vgl. auch eine neuerliche Abhandlung von H e n s e l (Journ. für Math. 102).

[663] Berliner Abh. 1866.

[664] Von noch erschienenen Arbeiten, die man als eine Fortsetzung derer von K u m m e r ansehen kann oder die auf anderem Wege zu dessen Resultaten geführt haben, erwähne ich: R e y e (Journ. für Math. 86 und 93), H i r s t (Proc. math. Soc. 16), S t a h l (s. Note 637), C a p o r a l i (Napoli Rend. 1879), L o r i a (Torino Atti, 1884 und 1886) — oder von solchen, die zu diesen einige neue Formeln oder ein neues algebraisches Strahlensystem hinzugefügt haben: K u m m e r (Berliner Ber. 1878), M a s o n i (Napoli Rend. 22), R o c c e l l a (s. Note 649), H i r s t (Proc. math. Soc. 16 und 17; Rendiconti del Circolo mathematico di Palermo 1), S t u r m (Math. Ann. 6; Journ. für Math. 101).

[665] Zum Beweise, daß die Fragen, auf welche sich diese Arbeiten beziehen, bei einigen Gelehrten jene Ruhe und Unparteilichkeit des Urteils, die immer bei ihren Diskussionen walten sollte, aufgehoben haben, will ich hier zwei Stellen anführen, die eine von einem Schriftsteller, der allen, welche sich mit Philosophie beschäftigen, sehr wohl bekannt ist, die andere aus einer Zeitschrift, die in Deutschland ziemlich verbreitet ist: ».... so gewiß ist es logische Spielerei, ein System von vier oder fünf Dimensionen noch Raum zu nennen. Gegen solche Versuche muß man sich wahren; sie sind Grimassen der Wissenschaft, die durch völlig nutzlose Paradoxien das gewöhnliche Bewußtsein einschüchtern und über sein gutes Recht in der Begrenzung der Begriffe täuschen« (L o t z e, Logik, S. 217). »Die absolute oder Nicht-Euklidische Geometrie, die Geometrie des endlichen Raumes und die Lehre von n Raumdimensionen sind entweder Karrikaturen oder Krankheitserscheinungen der Mathematik« (J. G i l l e s, Blätter für das Bayrische Gymnasial- und Realschulwesen 28, S. 423). Man sehe auch die heftigen Äußerungen D ü h r i n g s, die von E r d m a n n in seiner trefflichen Abhandlung: Die Axiome der Geometrie (Leipzig, 1877, S. 85) wiedergegeben sind, ferner K r o m a n, Unsere Naturerkenntnis, deutsch von F i s c h e r - B e n z o n (Kopenhagen, 1883, S. 145 bis 175); endlich die Kap. 13 und 14 des Werkes von S t a l l o, La matière et la physique moderne (Paris, 1884). Auf Vorwürfe von der oben erwähnten Art erwidern wir mit d ' A l e m b e r t: »Allez en avant, et la foi vous viendra!«

[666] Als Litteraturnachweis für diesen Teil der Geometrie sehe man die Artikel von G. B r u c e - H a l s t e d, veröffentlicht im Amer. Journ. 1 und 2.

[667] Es ist dieser Satz: »Wenn bei einer Geraden, welche zwei andere schneidet, die Summe der inneren Winkel auf derselben Seite kleiner als zwei Rechte ist, so schneiden sich letztere auf derselben Seite.« D ' A l e m b e r t nannte diesen Satz: »l'écueil et le scandale des éléments de la géométrie«.

[668] Eine Zeit lang glaubte man, daß der fragliche Satz von Euklid unter die Axiome gestellt sei; aber neuere historische Untersuchungen (s. H a n k e l, Vorlesungen über komplexe Zahlen und ihre Funktionen, S. 52) neigen zu der Ansicht, daß derselbe irrtümlicher Weise von den Abschreibern zu den Axiomen geschrieben sei, während er im Originale unter den Postulaten gestanden hatte.

[669] Vgl. Die Elemente der Mathematik von B a l t z e r, 4. Teil, Planimetrie.

[670] Man erzählt, L a g r a n g e habe beobachtet, daß die sphärische Geometrie von dem Euklidischen Postulate unabhängig sei, und gehofft, aus dieser Beobachtung eine Art und Weise ableiten zu können, den Ungelegenheiten der Euklidischen Methode zu entgehen, indem er die ebene Geometrie als die Geometrie auf einer Kugel mit unendlich großem Radius betrachtete.

[671] Briefwechsel zwischen Gauss und Schumacher, herausgegeben von P e t e r s, 6 Bände (Altona, 1860-1865); die betreffenden Stellen dieses Briefwechsels sind von H o ü e l ins Französische übersetzt und seiner 1866 erschienenen französischen Übersetzung von L o b a t s c h e w s k y s Geometrischen Untersuchungen (vgl. Note 10) zugefügt.

[672] Vgl. die Gedächtnisschrift auf G a u ß von S c h e r i n g in den Göttinger Abh. 22 (1877).

[673] Göttingische Gelehrte Anzeigen, 1816 und 1822; oder Gauss' Werke 4 (1873), S. 364 und 368. Vgl. auch S a r t o r i u s v o n W a l t e r s h a u s e n, Gauss zum Gedächtnis (Leipzig, 1856), S. 81. — Möge es gestattet sein, hier die Mitteilung anzuschließen, daß G a u ß das alte Problem der Kreisteilung, in dem man seit zwei Jahrtausenden nicht vorwärts gekommen war, durch Untersuchungen auf einem Gebiete wesentlich gefördert hat, das ohne Zusammenhang mit diesem Problem schien und auf welchem man solchen Gewinnst für die Geometrie nicht erwartete (Disquisitiones arithmeticae, Leipzig, 1801; Werke 1; vgl. B a c h m a n n, Die Lehre von der Kreisteilung, Leipzig, 1872), indem er zeigte, daß die Teilung in n Teile mit Hilfe von Lineal und Zirkel auch noch möglich ist, wenn n eine Primzahl von der Form 2^m +1 ist. Man sehe hierzu auch L e g e n d r e, Éléments de trigonométrie, Anhang; R i c h e l o t, S t a u d t, S c h r ö t e r, Journ. für Math. 9, 24, 75; A f f o l t e r, Math. Ann. 6.

[674] Courier von Kasan, 1829-1830; Abhandlungen der Universität Kasan, 1835, 1836, 1837, 1838; Geometrische Untersuchungen über die Theorie der Parallellinien (Berlin, 1810); Journ. für Math. 17.

[675] Die Schrift von J o h a n n B o l y a i erschien als Anhang des Werkes von W. B o l y a i: Tentamen juventutem studiosam in elementa matheseos purae ..... introducendi, 2. Bd. (Maros-Vásárhely 1833), wurde dann ins Französische übersetzt von H o ü e l (Mémoires de Bordeaux), ins Italienische von B a t t a g l i n i (Giorn. di Matem. 5).

[676] Es ist das Verdienst H o ü e l s (?—1886) und B a t t a g l i n i s, die Werke von L o b a t s c h e w s k y und B o l y a i durch Übersetzungen und vorzügliche Kommentare (s. Note 7 und 11 und Giorn. di Matem. 5 und 8) verbreitet zu haben. — Heute ist es leicht, die Nicht-Euklidische Geometrie zu lernen, da F l y e S^te M a r i e (Etudes analytiques sur la théorie des parallèles, Paris, 1871), F r i s c h a u f (Elemente der absoluten Geometrie, Leipzig, 1876) und d e T i l l y (Essai sur les principes fundamentaux de la géométrie et de la mécanique, Bordeaux, 1879) methodische Bearbeitungen derselben geschrieben haben. In England wurden die neuen Ideen über die Prinzipien der Geometrie bearbeitet und herrlich dargestellt von C l i f f o r d; man sehe die Schrift Lectures and Essays, sowie die von S m i t h den Mathematical Papers by W. K. Clifford (London, 1882) vorausgeschickte Einleitung.

[677] Göttinger Abh. 13 (1867), oder Gesammelte Werke (Leipzig, 1876), ins Französische übersetzt von H o ü e l (Annali di Matem. II, 3), ins Englische von C l i f f o r d (Nature 8 oder Mathematical Papers S. 55).

[678] In der Abhandlung Über die Thatsachen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Göttinger Nachr. 1868).

[679] Hierzu sehe man Populäre wissenschaftliche Vorträge von H e l m h o l t z (Braunschweig, 1871-1876); Revue des cours scientifiques, 9. Juli 1870 etc.

[680] Giorn. di Matem. 6. Dieser Artikel wurde ins Französische übersetzt von H o ü e l und veröffentlicht in den Ann. Éc. norm. 6, 1869.

[681] Man vergleiche hierzu die Worte, mit denen d ' A l e m b e r t die Meinung zurückwies, daß die Wahrheiten der Mechanik experimentelle seien (Traité de Dynamique, Paris, 1858, Discours préliminaire, S. XII), mit den folgenden von C l i f f o r d (The Common Sense of the Exact Sciences, London, 1885, International Scientific Series 51): »In derselben Weise, wie wir, um irgend einen Zweig der Physik zu schaffen, von der Erfahrung ausgehen und auf unsere Experimente eine gewisse Anzahl von Axiomen stützen, welche solchergestalt die Grundlage desselben bilden, so sind die Axiome, die wir als Grundlage der Geometrie nehmen, wenn auch weniger offenbar, in der That ein Ergebnis der Erfahrung.« Man sehe auch das Werk von H o ü e l, Du rôle de l'expérience dans les sciences exactes (Prag, 1875), oder die Übersetzung, die davon in Grunerts Arch. 59 veröffentlicht wurde.

[682] Ich bemerke, daß, wer die Ausdehnungslehre des großen deutschen Geometers und Philologen H e r m a n n G r a ß m a n n liest, mit Erstaunen sehen wird, daß er schon 1844 zu Schlüssen gelangt war, die von den im Texte angegebenen nicht sehr verschieden sind. Aber wer weiß nicht, daß, um geschätzt zu werden, dieses ausgezeichnete Werk nötig hatte, daß andere auf einem anderen Wege zu den äußerst originellen Wahrheiten gelangten, die es enthält? — Hier scheint es mir angebracht zu sein, eine Erklärung zu geben, welche zu meiner Rechtfertigung dient. Bei dieser kurzen Geschichte der Kämpfe, welche die Geometer in diesen letzten Zeiten ausgefochten haben, traf es sich selten und nur flüchtig, daß ich Arbeiten von G r a ß m a n n zitierte, und ich glaube nicht, daß ich noch Gelegenheit haben werde, diesen Namen auszusprechen. Das heißt nicht, daß dieser Geometer nicht der Erwähnung würdig sei, daß seine Entdeckungen und seine Methoden nicht verdienten, bekannt zu werden; aber es liegt daran, daß der Formalismus, in den er seine Gedanken gekleidet, sie den meisten unzugänglich gemacht und ihnen fast jede Möglichkeit genommen hat, irgend einen Einfluß auszuüben. G r a ß m a n n war während eines großen Teiles seines Lebens ein Einsiedler in der Mathematik; nur während seiner letzten Jahre befaßte er sich damit, etliche seiner Produktionen in modernem Gewande zu veröffentlichen, um deren Verwandtschaft mit denen seiner Zeitgenossen zu zeigen (man sehe Math. Ann. 10, 12; Göttinger Nachr. 1872; Journ. für Math. 84); daher ist es natürlich, daß ihn zu nennen demjenigen selten widerfährt, welcher sich vornimmt, die Errungenschaften zu beschreiben, die man den vereinten Anstrengungen der modernen Geometer verdankt. — Man vergleiche P e a n o, Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle operazioni della logica deduttiva (Turin, 1888). — Über die wissenschaftlichen Verdienste G r a ß m a n n s sehe man einen Artikel von C r e m o n a in den Nouv. Ann. I, 19, dann den 14. Bd. der Math. Ann. und den 11. Bd. des Bulletino di Bibliografia e di Storia delle Scienze matematiche. Ein Vergleich zwischen den Methoden G r a ß m a n n s und anderen moderneren wurde von S c h l e g e l in der Zeitschr. f. Math. 24 gemacht.

[683] Über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie (Math. Ann. 4).

[684] Nouv. Ann. 12.

[685] Phil. Trans. 149; vgl. C l i f f o r d, Analytical Metrics (Quart. Journ. 1865, 1866 oder Mathematical Papers, S. 80).

[686] Eine spätere Abhandlung von K l e i n unter demselben Titel (Math. Ann. 6) ist zur Ergänzung einiger Punkte der ersteren bestimmt. An dieselbe knüpfen sich die wichtigen Untersuchungen von L ü r o t h und Z e u t h e n (Math. Ann. 7), von T h o m a e (vgl. die 2. Aufl. der Geometrie der Lage von R e y e), von D a r b o u x (Math. Ann. 17), von S c h u r (das. 18), d e P a o l i s (Lincei Mem. 1880-1881) und von R e y e (3. Aufl. der Geometrie der Lage) über den Fundamentalsatz der projektiven Geometrie.

[687] Études de mécanique abstraite (Mémoires couronnées par l'Académie de Belgique 21, 1870).

[688] Bulletin de l'Académie de Belgique II, 36; Torino Mem. II, 29; Mem. de la società italiana delle scienze III, 2.

[689] Wiener Ber. 1874. Man sehe auch die schöne Abhandlung von B e l t r a m i: Sulle equazioni generali dell' elasticità, in den Annali di Matem. II, 10.

[690] Sull' applicabilità delle superficie degli spazii a curvatura costante (Lincei Atti III, 2).

[691] Lincei Rend. 1873 und 1876.

[692] Annali di Matem. II, 6, 7; Giorn. di Matem. 13; Torino Atti, 1876; Lincei Mem. III, 3; Lombardo Rend. 1881.

[693] Lincei Mem. 1877-1878.

[694] Lombardo Rend. II, 14, 15.

[695] Math. Ann. 5.

[696] Math. Ann. 7.

[697] Göttinger Nachr. 1873.

[698] Amer. Journ. 2, 4, 5.

[699] Die Massfunktionen in der analytischen Geometrie. Programm (Berlin, 1873).

[700] Math. Ann. 10.

[701] Quart. Journ. 18.

[702] On the theory of screws in elliptic space. (Proc. math. Soc. 15 und 16).

[703] Die interessantesten von den mir bekannten sind die von S e g r e, Sulle geometrie metriche dei complessi lineari e delle sfere, veröffentlicht in den Torino Atti, 1883.

[704] Das Produkt zweier Strecken ist eine Fläche, das dreier ein Körper, was ist das geometrische Bild des Produktes von vieren? — Die analytischen Geometer der Cartesischen Epoche bezeichneten dasselbe durch das Wort »sursolide« (überkörperlich), welches sich in ihren Schriften findet; man kann sie daher als diejenigen ansehen, welche zuerst die im Texte erwähnte Richtung eingeschlagen haben.

[705] S. C a y l e y, A memoir on abstract Geometry (Phil. Trans. 1870); vgl. auch Cambridge Journ. 4, 1845.

[706] Comptes rendus, 1847.

[707] Überdies scheint es außer Zweifel zu stehen, daß G a u ß ausgedehnte und bestimmte Ideen über die Geometrie von mehreren Dimensionen gehabt hat; vgl. S a r t o r i u s v o n W a l t e r s h a u s e n, a. O. S. 81 (s. Note 673 des vor. Abschn.).

[708] Théorie des fonctions analytiques (Paris, an V, S. 223).

[709] Ich darf nicht verschweigen, daß schon 1827 M ö b i u s einen Einblick hatte, wie durch Zulassung der Existenz eines vierdimensionalen Raumes ein unerklärlicher Unterschied zwischen der Ebene und dem Raume aufgehoben wird; dieser Unterschied besteht darin, daß, während man zwei in Bezug auf eine Gerade symmetrische ebene Figuren immer zur Deckung bringen kann, es nicht möglich ist, zwei räumliche in Bezug auf eine Ebene symmetrische Figuren zusammenfallen zu lassen. Später bemerkte Z ö l l n e r beiläufig, wie die Existenz eines vierdimensionalen Raumes gewisse Bewegungen zulassen würde, die wir für unmöglich halten; die folgenden Resultate können als Beispiele zu dieser Beobachtung dienen: N e w c o m b zeigte (Amer. Journ. 1), daß, wenn es einen Raum von vier Dimensionen giebt, es möglich ist, die beiden Seiten einer geschlossenen materiellen Fläche umzuwechseln, ohne dieselbe zu zerreißen. K l e i n bemerkte (Math. Ann. 9), daß bei dieser Voraussetzung die Knoten nicht erhalten bleiben könnten, und V e r o n e s e führte (in der 1881 an der Universität zu Padua gehaltenen Prolusione) die Thatsache an, daß man dann aus einem geschlossenen Zimmer einen Körper herausnehmen könne, ohne die Wände desselben zu zerbrechen. H o p p e gab (Grunerts Arch. 64) Formeln an, welche die Beobachtungen K l e i n s illustrierten. Diese Formeln erforderten einige Modifikationen, die von D u r è g e angegeben wurden (Wiener Ber. 1880); vgl. auch Grunerts Arch. 65 und die synthetischen Betrachtungen von S c h l e g e l, Zeitschr. f. Math. 28.

[710] Annali di Matem. II, 2 und 5.

[711] Journ. für Math. 65; Annali di Matem. II, 5.

[712] Journ. für Math. 83.

[713] Amer. Journ. 2.

[714] Die Nicht-Euklidischen Raumformen in analytischer Behandlung, Leipzig, 1885.

[715] Math. Ann. 27.

[716] Annali di Matem. II, 4.

[717] Proc. math. Soc. 7 oder Mathematical Papers, S. 236.

[718] Bull. sciences math. 11, 1876.

[719] Comptes rendus, 79.

[720] Journ. für Math. 70 flgg., Quart. Journ. 12.

[721] Proc. math. Soc. 9.

[722] Berliner Dissertation, 1880.

[723] Phil. Trans. 175.

[724] Journ. für Math. 98.

[725] Nach L i p s c h i t z hatte L e j e u n e - D i r i c h l e t (1805-1859) das allgemeine Gravitationsgesetz im elliptischen Raume studiert. Diese Studien wurden dann von Schering bearbeitet und in den Göttinger Nachr. 1870 und 1873 veröffentlicht.

[726] Comptes rendus 79.

[727] Math. Ann. 19.

[728] H o p p e machte analoge Untersuchungen für die Kurven des vierdimensionalen Raumes (Grunerts Arch. 64).

[729] Amer. Journ. 4.

[730] Berliner Ber. 1869.

[731] Math. Ann. 7; Zeitschr. f. Math. 20, 21, 24.

[732] Journ. für Math. 70 und 72.

[733] Journ. für Math. 70.

[734] Math. Ann. 24.

[735] Bull. sciences math. I, 4.

[736] Math. Ann. 26.

[737] Collectanea mathematica; Annali di matem. II, 10.

[738] Göttinger Nachr., 1871.

[739] Math. Ann. 5.

[740] Journ. für Math. 81; Comptes rendus 82.

[741] Amer. Journ. 4.

[742] Journ. für Math. 74 oder Quart. Journ. 12. Ich füge noch hinzu, daß S a l m o n und C a y l e y sich der Räume von mehreren Dimensionen in ihren Untersuchungen über die Theorie der Charakteristiken (§ IV) bedient haben, daß M e h l e r, Journ. für Math. 84, eine Anwendung von der Betrachtung eines vierdimensionalen Raumes für Untersuchungen über dreifache Systeme orthogonaler Oberflächen, und daß L e w i s davon eine ähnliche Anwendung machte bei der Betrachtung einiger Trägheitsmomente (Quart. Journ. 16). Dann fand W o l s t e n h o l m e, daß die Zahl der Normalen, die man von einem Punkte eines d-dimensionalen Raumes an eine Oberfläche von der n^ten Ordnung ziehen kann,

n { (n - 1)^d - 1 }

n - 2

beträgt (Educational Times 10).

[743] Von den Elementen und Grundgebilden der synthetischen Geometrie (Bamberg, 1887).

[744] Grunerts Arch. 64.

[745] Bull. Soc. math. 10.

[746] Grunerts Arch. 70.

[747] Amer. Journ. 3.

[748] Grunerts Arch. 66, 67, 68, 69.

[749] Nova Acta der Leopold.-Carol. Akademie 44.

[750] Die polydimensionalen Grössen und die vollkommenen Primzahlen.

[751] Von Körpern höherer Dimensionen (Kaiserslautern, 1882).

[752] Wiener Ber. 90.

[753] Wiener Ber. 89 und 90.

[754] Diese bilden eine der merkwürdigsten von den durch L. Brill in Darmstadt veröffentlichten Serien von Modellen.

[755] Journ. für Math. 31, S. 213. Liest man die wenigen Seiten, welche die Abhandlung von C a y l e y bilden, so gewinnt man die Überzeugung, daß er schon 1846 einen klaren Einblick von der Nützlichkeit hatte, welche der gewöhnlichen Geometrie der Lage die Betrachtung des Raumes von mehreren Dimensionen bringen könne.

[756] Histoire de l'astronomie moderne 2, S. 60.

[757] Phil. Trans. 1878 oder Mathematical Papers S. 305.

[758] Math. Ann. 19.

[759] Unter den in der Abhandlung von V e r o n e s e bearbeiteten Untersuchungen sind die über die Konfigurationen besonderer Erwähnung wert, ferner die Formeln, welche — als eine Erweiterung derer von P l ü c k e r und C a y l e y — die gewöhnlichen Singularitäten einer Kurve eines n-dimensionalen Raumes unter einander verknüpfen, die Erzeugung von in einem solchen Raume enthaltenen Oberflächen durch projektive Systeme und die Anwendung derselben auf das Studium einiger Oberflächen unseres Raumes; dann kann ich nicht stillschweigend übergehen die Studien über die in einem quadratischen Gebilde von n Dimensionen enthaltenen linearen Räume, die V e r o n e s e gemacht hat, um einige Sätze von Cayley zu erweitern (Quart. Journ. 12), indem er die von Klein (Math. Ann. 5) verallgemeinerte stereographische Projektion anwandte, ferner nicht etliche wichtige Resultate über die Kurven, von denen übrigens einige schon C l i f f o r d (Phil. Trans., 1878) auf einem anderen Wege erhalten hatte.

[760] Annali di Matem. II, 11; Lincei Mem. 1883-1884; Atti dell' Istituto Veneto V, 8. Letztere Abhandlung ist der darstellenden Geometrie des Raumes von 4 Dimensionen gewidmet und kann daher als die Ausführung eines Gedankens angesehen werden, den S y l v e s t e r im Jahre 1869 in seiner Rede vor der British Association angedeutet hat.

[761] Torino Mem. II, 36.

[762] Lincei Mem. 1883-1884; Torino Mem. II, 37; Lincei Rend. 1886.

[763] Torino Atti 19.

[764] Torino Atti 19, 20, 21; Math. Ann. 27.

[765] Math. Ann. 24.

[766] Torino Atti 20.

[767] Lombardo Rend. 1886; Lincei Rend. 1886. Man sehe auch desselben Verfassers wichtige Note: Sui sistemi lineari, Lombardo Rend. 82.

[768] Lombardo Rend. 1885, 1886.

[769] Napoli Rend. 1885, 1886. Vgl. auch R o d e n b e r g, Math. Ann. 26.

[771] Math. Ann. 2, 8. Man sehe auch die Abhandlung von S. K a n t o r, Sur les transformations linéaires successives dans le même espace à n dimensions (Bull. Soc. math. 8).

[772] Bull. Soc. math. 2. Unter den in dieser Arbeit erhaltenen Resultaten heben wir folgendes hervor: »Wenn man in einem Raume von r - 1 Dimensionen zwei algebraische Mannigfaltigkeiten vom Grade μ und ν ins Auge faßt, bezüglich von m und n Dimensionen, so ist der Schnitt derselben eine Mannigfaltigkeit von n + m - (r-1) Dimensionen und vom Grade μν, wofern m + n >= r - 1, und die beiden Mannigfaltigkeiten nicht eine solche von m + n - r + 2 oder mehr Dimensionen gemeinsam haben«, um den vollständigen Beweis desselben anzuführen, den N ö t h e r in den Math. Ann. 11 geliefert hat.

[773] Lincei Mem. 1876-1877; vgl. auch J o r d a n (Bull. Soc. math. 3). — Hier will ich eine Notiz machen, die im Texte nicht Platz finden konnte: Von vielen wurde behauptet, daß in einem Raume von konstanter positiver Krümmung zwei geodätische Linien, wenn sie sich treffen, im allgemeinen zwei Punkte gemeinsam haben; das ist nun nicht wahr, und dieses wurde zuerst von K l e i n beobachtet (Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik 9, S. 313), dann von N e w c o m b (Journ. für Math. 83) und von F r a n k l a n d (Proc. math. Soc. 8). Über dasselbe Thema sehe man eine Abhandlung von K i l l i n g (Journ. für Math. 86 und 89).

[774] Math. Ann. 26; Acta math. 8. — Der Abhandlung von V e r o n e s e gehen noch die Untersuchungen von S p o t t i s w o o d e (1825-1883) voran, über die Darstellung der Figuren der Geometrie von n Dimensionen vermittelst correlativer Figuren der gewöhnlichen Geometrie (Comptes rendus 81).

[775] Mémoire de Géométrie sur deux principes généraux de la science.

[776] Beiträge zur Geometrie der Lage, § 29.

[777] Vierteljahrsschrift der naturforschenden Gesellschaft zu Zürich 15, oder Die darstellende Geometrie.

[778] Vgl. die interessante Abhandlung von F i e d l e r, Geometrie und Geomechanik, erschienen in der genannten Vierteljahrsschrift, und in französischer Übersetzung in Liouvilles Journ. III, 4 veröffentlicht.

[779] Den Nutzen, welcher der Geometrie durch die Annahme einiger Begriffe, die man jetzt noch als der Mechanik angehörig betrachtet, erwachsen würde, bezeugen der Exposé géométrique du calcul différentiel et intégral (Paris, 1861), von L a m a r l e (1806-1875) verfaßt, die von M a n n h e i m der kinematischen Geometrie gewidmeten Partien in seinem Cours de géométrie descriptive (Paris, 1880) und das schöne jüngst veröffentlichte Buch meines Freundes P e a n o mit dem Titel: Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale (Turin, 1887).

[780] Man sehe die Anhänge der Proc. math. Soc. seit Bd. 14.

[781] Nouv. Ann. II, 1, 2; Liouvilles Journ. II, 7; Berliner Abh. 1865, 1866; Berliner Ber. 1872 oder Borchardts Gesammelte Werke, S. 179, 201, 233.

[782] Insbesondere Journ. für Math. 24 oder Werke, Bd. II, S. 177, 241.

[783] S. Acta Societatis scientiarum Fennicae, 1866; Bull. de l'Académie de St. Pétersbourg 14; Math. Ann. 2; Nouv. Ann. II, 10; Zeitschr. f. Math. 11; Göttinger Nachr. 1882 oder Bull. sciences math. II, 7; Journ. für Math. 96, 97; Göttinger Nachr. 1884; Grunerts Arch. II, 2; Giorn. di Matem. 26.

[784] Mémoires de l'Académie de Berlin, 1761; vgl. L e g e n d r e s Eléments de Géometrie, Note IV der älteren Auflagen.

[785] Berliner Ber. 1882; Math. Ann. 20; vereinfacht durch W e i e r s t r a ß, Berliner Ber. 1885; man vgl. auch R o u c h é, Nouv. Ann. III, 2.

[786] Die einzigen rein synthetischen Untersuchungen über die Kurven und Oberflächen von höherer als zweiter Ordnung, die ich kenne, sind die von R e y e (Geometrie der Lage) über die ebenen kubischen Kurven, einige von T h i e m e (Zeitschr. f. Math 24; Math. Ann. 20, 28), von M i l i n o w s k i (Zeitschr. f. Math. 21, 23; Journ. für Math. 89, 97) und von S c h u r (Zeitschr. f. Math. 24). Ihnen könnte man die beiden folgenden Arbeiten hinzufügen, die im Jahre 1868 von der Berliner Akademie gekrönt sind: H. J. S. S m i t h, Mémoire sur quelques problèmes cubiques et biquadratiques (Annali di Matem. II, 3); K o r t u m, Über geometrische Aufgaben dritten und vierten Grades (Bonn, 1869). Die Geometer erwarten ungeduldig die Veröffentlichung einer Schrift von E. K ö t t e r, die 1886 von der Berliner Akademie den Steinerschen Preis erhielt und dazu berufen erscheint, in das Gebiet der reinen Geometrie die allgemeine Theorie der ebenen algebraischen Kurven zu versetzen. (Sie ist während der Anfertigung der Übersetzung vorliegender Schrift in den Berliner Abh. 1887 unter dem Titel: Grundzüge einer rein geometrischen Theorie der algebraischen ebenen Kurven erschienen.)

[787] Die Angemessenheit des gleichzeitigen Gebrauches der Geometrie und Analysis, auch in den Fragen der angewandten Mathematik, wurde ausdrücklich von L a m é mit folgenden Worten erklärt: »Quand on médite sur l'histoire des mathématiques appliquées, on est effectivement conduit à attribuer leurs principales découvertes, leurs progrès les plus décisifs à l'association de l'analyse et de la géométrie. Et les travaux, que produit l'emploi de chacun de ces instruments, apparaissent alors comme des préparations, des perfectionnements, en attendant l'époque qui sera fécondée par leur réunion.« (Leçons sur les coordonnées curvilignes, 1859, S. XIII und XIV.)

[788] P o i n s o t, Comptes rendus 6 (1838) S. 809.