Note (57) — Front matter

57) Το δόγμα τούχο επολεμήθη σφοδρώς, λόγω ότι, αν είναι 2:4:8, ανάλογα θα είναι και τα τετράγωνα 4:16:64 και οι κύβοι 8:64:512 μεθ' ενός μόνου μέσου. Αλλ' όμως επειδή πρόκειται περί των στοιχείων, ο Πλάτων έχει προ οφθαλμών ως πλευράς μεν τους πρώτους αριθμούς, ως επιπέδους δε και στερεούς τα πολλαπλάσια των πρώτων. Μόνον επί τοιούτων αριθμών ισχύει το ρηθέν, ότι μεταξύ δύο επιπέδων μία μόνη μεσότης εξαρκεί, διότι δυνατόν ενίοτε να είναι πλείονες, αλλά πάντοτε είναι μία μόνη, όταν οι αριθμοί είναι μεν πολλαπλάσια πρώτων αριθμών, αλλά τετράγωνοι. Έστωσαν πρώτοι 5 και 7, τα τετράγωνα αυτών είναι 25 και 49, μέσος δε ανάλογος τετραγωνικός τούτων είναι το γινόμενον των ριζών 5×7. Τω όντι 25:35 = 35:49, ένθα 25×49 = 35×35 = 1225. Αλλά, και αν λάβωμεν τα τετράγωνα 9 και 16 έχοντα πλευράς ή ρίζας τους 3 και 4, ων ο 4 είναι πολλαπλάσιον του 2, πάλιν θα έχωμεν ένα μόνον μέσον, τον 3×4 = 12, ήτοι θα έχωμεν 9:12 = 12:16 (Πρόκλ. 148 C). Εάν όμως αμφότεραι αι ρίζαι είναι πολλαπλάσια πρώτων και δη τετράγωνα, τότε οι μέσοι ανάλογοι θα είναι πλείονες. Έστωσαν ρίζαι τα τετράγωνα 4 και 9. Τούτων τα τετράγ. 16 και 81 έχουσι μέσον ανάλογον το γινόμ. των ριζών 4×9 = 36, και ούτος δύναται να εξαρκή προς αναλογίαν, 16:36 = 36:81. Εν τούτοις οι αριθμοί 4 και 9 ως τετράγ. έχουσι μέσον ανάλογον το γινόμ. των ριζών 2×3 = 6, δι' ου ευρίσκομεν άλλους δύο μέσους μεταξύ 16 και 81, τους 4×6 = 24 και 6×9 = 54. Έχομεν άρα 16:24 = 54:81. Λοιπόν προς την δι' αναλογίας σύνδεσιν δύο επιφανειών τετραγώνων μία μεσότης δύναται να εξαρκή, εάν όμως τα τετράγ. ταύτα ρίζας έχωσι πρώτους αριθμούς, τότε μία μόνη μεσότης δύναχαι να υπάρχη.