Note (54) — Front matter

54) Η γεωμετρική. Τρεις κύριαι αναλογίαι υπάρχουσιν. 1) Η αριθμητική, ως 2:4 = 4:6, όπου ο μέσος υπερέχει τον ένα άκρον και υπερέχεται υπό του ετέρου κατά το αυτό ποσόν· 2) Η γεωμετρική, ως 2:4 = 4:8, όπου ο μέσος είναι, τοσάκις μείζων του ενός άκρου, οσάκις είναι ελάσσων του έτερου, και 3) Η αρμονική, ως 6:8 = 8:12, όπου ο μέσος είναι μείζων ενός άκρου κατά κλάσμα (μέρος) τούτου, ίσον προς το κλάσμα, καθ' ό ο μέσος υπερέχεται υπό του άλλου άκρου. Ούτως ο 8 είναι ίσος προς 6+6/3 = 8 και ίσος προς 12 — 12/3 = 8· ώστε ο 8 υπερέχει τον 6 κατά το 1/3 αυτού και υπερέχεται υπό του 12 κατά το αυτό μέρος, ήτοι κατά το 1/3 αυτού. Ο Πλάτων ορίζων τας αναλογίας ορμάται εκ του μέσου αναλόγου, διότι ούτος αποτελεί τον δεσμόν. Η αναφορά λοιπόν της αριθμητικής αναλογίας είναι η της ισότητος, η της γεωμετρικής είναι η της ταυτότητος, και η της αρμονικής η της ομοιότητος. Η γεωμετρική κυρίως λέγεται αναλογία, αι άλλαι δύο λέγονται μεσότητες.