VII. Zur Interpretation der binären Formen.

VII. Zur Interpretation der binären Formen.

Es mag hier der übersichtlichen Gestalt gedacht werden, welche, unter Zugrundelegung der Interpretation von x + iy auf der Kugelfläche, dem Formensysteme der cubischen und der biquadratischen binären Form ertheilt werden kann.

Eine cubische binäre Form f hat eine cubische Covariante Q, eine quadratische Δ , und eine Invariante R³⁸. Aus f und Q setzt sich eine ganze Reihe von Covarianten sechsten Grades Q² + λ ⋅ Rf² zusammen, unter denen auch Δ ³ enthalten ist. Man kann zeigen³⁹, dass jede Covariante der cubischen Form in solche Gruppen von sechs Puncten zerfallen muss. Insofern λ complexe Werthe annehmen kann, gibt es zweifach unendlich viele derselben.

Das ganze so umgrenzte Formensystem kann auf der Kugel nun folgendermaßen repräsentirt werden. Durch geeignete lineare Transformation der Kugel in sich selbst bringe man die drei Puncte, welche f repräsentiren, in drei äquidistante Puncte eines grössten Kreises. Derselbe mag als Aequator bezeichnet sein; auf ihm haben die drei Puncte f die geographische Länge 0°, 120°, 240°. So wird Q durch die Puncte des Aequators mit der Länge 60°, 180°, 300°, Δ durch die beiden Pole vorgestellt. Jede Form Q² + λRf² ist durch 6 Puncte repräsentirt, deren geographische Breite und Länge, unter α und β beliebige Zahlen verstanden, in dem folgenden Schema enthalten ist:

(α, β), (α, 120 + β), (α, 240 + β) , ( − α, − β), ( − α, 120 − β), ( − α, 240 − β)

Verfolgt man diese Punctsysteme auf der Kugel, so ist es interessant, zu sehen, wie f und Q doppelt, Δ dreifach zählend aus denselben entsteht.

Eine biquadratische Form f hat eine ebensolche Covariante H, eine Covariante sechsten Grades T, zwei Invarianten i und j. Besonders zu bemerken ist die Schaar biquadratischer Formen iH + λjf, die alle zu dem nämlichen T gehören, und unter denen die drei quadratischen Factoren, in welche man T zerlegen kann, doppelt zählend enthalten sind. —

Man lege jetzt durch den Mittelpunct der Kugel drei zu einander rechtwinklige Axen OX, OY, OZ. Ihre 6 Durchstosspuncte mit der Kugel bilden die Form T. Die 4 Puncte eines Quadrupels iH + λjf sind, unter x, y, z Coordinaten eines beliebigen Kugelpunctes verstanden, durch das Schema

vorgestellt. Die vier Puncte bilden jedesmal die Ecken eines symmetrischen Tetraeders, dessen gegenüberstehende Seiten von den Axen des Coordinatensystems halbirt werden, wodurch die Rolle, welche T in der Theorie der biquadratischen Gleichungen als Resolvente von iH + λjf spielt, gekennzeichnet ist.

Erlangen im October 1872.

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