APPENDIX I BIBLIOGRAPHY

The following is a list of the memoirs by Abel, Liouville and Tschebyschef which have reference to the subject matter of this tract.

N. H. Abel

1. 'Über die Integration der Differential-Formel , wenn und ganze Funktionen sind', Journal für Mathematik, vol. 1, 1826, pp. 185—221 (Œuvres, vol. 1, pp. 104—144).

2. 'Précis d'une théorie des fonctions elliptiques', Journal für Mathematik, vol. 4, 1829, pp. 236—277, 309—348 (Œuvres, vol. 1, pp. 518—617).

3. 'Théorie des transcendantes elliptiques', Œuvres, vol. 2, pp. 87—188.

J. Liouville

1. 'Mémoire sur la classification des transcendantes, et sur l'impossibilité d'exprimer les racines de certaines équations en fonction finie explicite des coefficients', Journal de mathématiques, ser. 1, vol. 2, 1837, pp. 56—104.

2. 'Nouvelles recherches sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique', ibid., vol. 3, 1838, pp. 20—24 (previously published in the Comptes Rendus, 28 Aug. 1837).

3. 'Suite du mémoire sur la classification des transcendantes, et sur l'impossibilité d'exprimer les racines de certaines équations en fonction finie explicite des coefficients', ibid., pp. 523—546.

4. 'Note sur les transcendantes elliptiques considérées comme fonctions de leur module', ibid., vol. 5, 1840, pp. 34—37.

5. 'Mémoire sur les transcendantes elliptiques considérées comme fonctions de leur module', ibid., pp. 441—464.

6. 'Premier mémoire sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique', Journal de l'École Polytechnique, vol. 14, cahier 22, 1833, pp. 124—148 (also published in the Mémoires présentés par divers savants à l'Académie des Sciences, vol. 5, 1838, pp. 76—151).

7. 'Second mémoire sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique', ibid., pp. 149—193 (also published as above).

8. 'Mémoire sur les transcendantes elliptiques considérées comme fonctions de leur amplitude', ibid., cahier 23, 1834, pp. 37—83.

9. 'Mémoire sur l'intégration d'une classe de fonctions transcendantes', Journal für Mathematik, vol. 13, 1835, pp. 93—118.

P. Tschebyschef

1. 'Sur l'intégration des différentielles irrationnelles', Journal de mathématiques, ser. 1, vol. 18, 1853, pp. 87—111 (Œuvres, vol. 1, pp. 147—168).

2. 'Sur l'intégration des différentielles qui contiennent une racine carrée d'une polynome du troisième ou du quatrième degré', ibid., ser. 2, vol. 2, 1857, pp. 1—42 (Œuvres, vol. 1, pp. 171—200; also published in the Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St-Pétersbourg, ser. 6, vol. 6, 1857, pp. 203—232).

3. 'Sur l'intégration de la différentielle ', ibid., ser. 2, vol. 9, 1864, pp. 225—241 (Œuvres, vol. 1, pp. 517—530; previously published in the Bulletin de l'Académie Impériale des Sciences de St-Pétersbourg, vol. 3, 1861, pp. 1—12).

4. 'Sur l'intégration des différentielles irrationnelles', ibid., pp. 242—246 (Œuvres, vol. 1, pp. 511—514; previously published in the Comptes Rendus, 9 July 1860).

5. 'Sur l'intégration des différentielles qui contiennent une racine cubique' (Œuvres, vol. 1, pp. 563—608; previously published only in Russian).

Other memoirs which may be consulted are:

A. Clebsch

'Über diejenigen Curven, deren Coordinaten sich als elliptische Functionen eines Parameters darstellen lassen', Journal für Mathematik, vol. 64, 1865, pp. 210—270.

J. Dolbnia

'Sur les intégrales pseudo-elliptiques d'Abel', Journal de mathématiques, ser. 4, vol. 6, 1890, pp. 293—311.

Sir A. G. Greenhill

'Pseudo-elliptic integrals and their dynamical applications', Proc. London Math. Soc., ser. 1, vol. 25, 1894, pp. 195—304.

G. H. Hardy

'Properties of logarithmico-exponential functions', Proc. London Math. Soc., ser. 2, vol. 10, 1910, pp. 54—90.

L. Königsberger

'Bemerkungen zu Liouville's Classificirung der Transcendenten', Mathematische Annalen, vol. 28, 1886, pp. 483—492.

L. Raffy

'Sur les quadratures algébriques et logarithmiques', Annales de l'École Normale, ser. 3, vol. 2, 1885, pp. 185—206.

K. Weierstrass

'Über die Integration algebraischer Differentiale vermittelst Logarithmen', Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1857, pp. 148—157 (Werke, vol. 1, pp. 227—232).

G. Zolotareff

'Sur la méthode d'intégration de M. Tschebyschef', Journal de mathématiques, ser. 2, vol. 19, 1874, pp. 161—188.

Further information concerning pseudo-elliptic integrals, and degenerate cases of Abelian integrals generally, will be found in a number of short notes by Dolbnia, Kapteyn and Ptaszycki in the Bulletin des sciences mathématiques, and by Goursat, Gunther, Picard, Poincaré, and Raffy in the Bulletin de la Société Mathématique de France, in Legendre's Traité des functions elliptiques (vol. 1, ch. 26), in Halphen's Traité des fonctions elliptiques (vol. 2, ch. 14), and in Enneper's Elliptische Funktionen. The literature concerning the general theory of algebraical functions and their integrals is too extensive to be summarised here: the reader may be referred to Appell and Goursat's Théorie des fonctions algébriques, and Wirtinger's article Algebraische Funktionen und ihre Integrale in the Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften, ii} B 2.