GÉOMÉTRIE.
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Extrait du Rapport lu par M. GASTON DARBOUX, en décernant a M. PAUL APPELL, au nom de l'Académie des Sciences, le Prix BORDIN pour son «Mémoire sur les Déblais et les Remblais», le 21 décembre 1885.
Dans la question proposée en 1884, comme sujet du prix Bordin (Géométrie), l'Académie demandait aux concurrents, soit l'étude générale du problème des déblais et des remblais, soit la solution dans un cas simple choisi par l'auteur du Mémoire.
L'étude de ce beau problème remonte à Monge qui, dans un Mémoire publié en 1781, où se trouvent développées d'une manière incidente la théorie des lignes de courbure et les propriétés des systèmes de rayons rectilignes, s'était posé la question générale suivante:
Deux volumes équivalents étant donnés, les décomposer en parcelles infiniment petites et deux à deux équivalentes, se correspondant suivant une loi telle que, si l'on multiplie le chemin parcouru par chaque parcelle, transportée sur celle qui lui correspond, par le volume de cette parcelle, la somme des produits ainsi obtenus soit un minimum.
Dans le cas où les volumes peuvent être assimilés à des aires planes situées dans le même plan, Monge résout complètement le problème en remarquant que les routes de transport, lorsqu'elles forment un système continu, doivent détacher dans le déblai et dans le remblai des aires égales. Dans le cas où les routes ne peuvent former un système continu, il présente quelques remarques, complétées depuis par Dupin dans un Mémoire sur le même sujet, qui fait partie des Applications d'Analyse, de Géométrie et de Méchanique. Enfin Monge, abordant le cas le plus difficile, celui où le déblai et le remblai sont des volumes, nécessairement équivalents, fait connaître la proposition suivante, qui est la pierre angulaire de cette théorie:
Les routes de transport doivent servir chacune à une infinité de parcelles, et elles sont nécessairement normales à une famille de surfaces parallèles.
Mais il faut avouer que les raisonnements par lesquels Monge est conduit à ce beau théorème n'entraînent, en aucune manière, l'adhésion; ce point essentiel, malgré l'étude nouvelle qui en a été faite par Dupin, attendait encore une démonstration solide et appelait de nouvelles recherches.
La Commission espérait donc rencontrer, dans quelques-uns des Mémoires soumis à son examen, la preuve complète et l'étude générale du théorème de Monge; elle désirait aussi, sans trop oser l'espérer à cause de la difficulté de la question, obtenir l'intégration complète, dans un cas suffisamment étendu, de l'équation aux dérivées partielles du second ordre, déjà formée par Monge, qui sert à déterminer la surface normale à toutes les routes.
Le Mémoire inscrit sous le nº 5 répond d'une manière complète aux espérances aussi bien qu'aux vœux de la Commission. C'est un travail de haute valeur où sont employées, alternativement et avec le plus grand succès, les ressources de la Géométrie et les méthodes de l'Analyse moderne; il réalise un progrès considérable dans l'étude de la question mise au concours. Au début de son Mémoire, l'auteur s'élève de la considération d'un système de points isolés à celle des masses continues. Il énonce, sous le nom de principe de translation, principe de symétrie, etc., un certain nombre de propositions élégantes et simples, dont l'application rendra certainement de grands services dans la pratique. Nous signalerons plus particulièrement deux propositions faisant connaître deux systèmes différents de routes, d'une définition très générale et réalisant, l'un et l'autre, le minimum absolu du prix de transport.
Dans la deuxième Partie de son travail, l'auteur du Mémoire nº 5, après avoir démontré que les routes forment un système continu ou se décomposent en plusieurs systèmes continus, applique la méthode des variations au problème de Monge, et il établit le théorème fondamental, sans même supposer que la densité soit constante à l'intérieur du déblai ou du remblai. Enfin il examine le cas où les routes se partagent en plusieurs systèmes continus et il indique les moyens de déterminer les surfaces séparatrices, c'est-à-dire les surfaces auxquelles viennent aboutir les routes appartenant à deux systèmes différents et continus.
Dans le cas des aires planes, nous l'avons déjà rappelé, le problème de Monge peut recevoir une solution complète où ne figurent que des quadratures. On devait se demander si, dans l'espace, l'équation aux dérivées partielles donnée par Monge n'est pas, elle aussi, intégrable dans tous les cas et d'une manière générale. Les résultats obtenus par l'auteur du Mémoire donnent une réponse complète à cette question difficile. Dans le cas où, par exemple, les volumes se réduisent à des aires planes situées dans des plans parallèles, l'intégration de l'équation de Monge est ramenée à celle des surfaces minima si les aires ont même densité, et à celle des surfaces à courbure constante si les densités sont différentes.
Ces exemples sont précieux, parce qu'ils prouvent qu'on doit renoncer à intégrer dans tous les cas l'équation du second ordre de Monge; mais aussi parce qu'ils ont permis à l'auteur de signaler avec netteté les difficultés nouvelles et sérieuses qu'on rencontrera, même après avoir intégré cette équation.
Ces difficultés sont de la nature de celles qui se présentent dans la théorie des surfaces minima. Si l'on considère toutes les surfaces formant une nappe continue passant par une courbe fermée, le calcul des variations apprend que la surface d'aire minimum aura, en chaque point, ses rayons de courbure égaux et de signes contraires. L'équation aux dérivés partielles de cette surface une fois intégrée, la condition à laquelle elle est assujettie de passer par la courbe ne permet pas de déterminer complètement les deux fonctions arbitraires dont elle dépend. Il existe une infinité de surfaces minima contenant la courbe; mais ces surfaces ne satisfont pas toutes, on le sait, à la condition, supposée cependant par le calcul des variations, de former une nappe continue reliant les uns aux autres tous les points de la courbe. On ne peut déterminer les deux fonctions arbitraires qu'en employant des considérations tout à fait indépendantes de la méthode des variations, puisque la condition à laquelle il s'agit de satisfaire est supposée remplie au moment même où commence l'application de cette méthode. Le problème auquel on est ainsi conduit arrête aujourd'hui encore les efforts des géomètres et n'a pu être résolu que dans quelques cas particuliers.
La solution du problème de Monge présente des difficultés analogues et peut-être plus grandes. Les fonctions arbitraires d'une variable, qui entrent dans les équations du système des routes, doivent être déterminées par la condition que les routes forment un système continu, permettant de transporter dans l'ensemble du remblai la totalité des parcelles qui composent le déblai. La condition, évidente a priori, que les routes limites soient tangentes à la fois à la surface du déblai et à celle du remblai ne fait connaître qu'une de ces deux fonctions et il n'existe, comme dans la théorie des surfaces minima, aucune règle fixe et précise conduisant à la solution complète de la question proposée. Des exemples bien choisis jettent beaucoup de lumière sur cette discussion délicate.
Les indications rapides qui précèdent suffiront à montrer toute l'importance des résultats obtenus par l'auteur du Mémoire nº 5....
La Commission propose de partager le prix Bordin entre les Mémoires nº 5 et nº 1 en attribuant deux mille francs à l'auteur du Mémoire nº 5....
Les conclusions de ce Rapport sont adoptées.
L'auteur du Mémoire inscrit sous le nº 5 est M. P. Appell.
C R, t. 101, 21 déc. 1885, p. 1312-1316.
MÉMOIRES. NOTES.
Géométrie infinitésimale.
1. Sur les propriétés des cubiques gauches et le mouvement hélicoïdal d'un corps solide.
Thèse pour le grade de Docteur ès Sciences mathématiques, soutenue devant la Faculté des Sciences de Paris le 20 juin 1876.
M. P. Appell établit les propriétés des pôles et des plans polaires par rapport à une cubique gauche. Et il étudie les deux problèmes suivants: 1º Étant donné un mouvement hélicoïdal, déterminer les cubiques gauches correspondantes; 2º Étant donnée une cubique définie par certaines équations, déterminer le mouvement hélicoïdal correspondant.
A S E N, 2e s., t. 5, juil., août 1876, p. 245-274.
Paris, G.-V., 1876, in-4, IV-35 p.
Analyse: B S M, 2e s., t. 1, 1re p., août 1877, p. 257-259.
Analyse par Sturm: J F M, Bd. 8, J. 1876, S. 510-512.
2. Sur une propriété caractéristique des hélices.
A M P G, 64. Teil, 30 janv. 1879, S. 19-23.
3. Mémoire sur les Déblais et les Remblais des systèmes continus ou discontinus.
Ce Mémoire, présenté par M. P. Appell à l'Académie des Sciences pour le Concours du Prix Bordin (Géométrie) pour 1884, a été couronné.
M S A S, t. 29, nº 3, 1887, p. 1-208.
Rapport de M. G. Darboux: C R, t. 101, 21 déc. 1885, p. 1312-1316.
Analyse par E. Lampe: J F M, Bd. 20, J. 1888, S. 375-377.
4. Surfaces telles que l'origine se projette sur chaque normale au milieu des centres de courbure principaux.
A J M, v. 10, 1888, p. 175-186.
Analyse par August: J F M, Bd. 19, J. 1887, S. 825-829.
Géométrie analytique.
1. Note sur les cubiques gauches.
C R, t. 82, 3 janv. 1876, p. 70-72.
2. 3. Sur une classe particulière de courbes gauches unicursales du quatrième ordre.
C R, t. 83, 18 déc. 1876, p. 1209-1211.
A M P G, 62. Teil, 1878, S. 175-182.
4. Théorème général sur les courbes unicursales.
A M P G, 60. Teil, 1877, S. 125-127.
5. Théorème concernant les courbes dont les tangentes font partie d'un complexe de droites du premier ordre.
A M P G, 60. Teil, 1877, S. 274-275.
6. Sur l'homographie d'ordre supérieur.
B S P, 7e s., t. 4, 1879-1880, 25 oct. 1879, p. 18-20.
7. Sur une représentation des points imaginaires en Géométrie plane.
A M P G, 61. Teil, 16 août 1877, S. 359-360.
8. Sur les familles de courbes orthogonales uniquement composées de coniques.
A M P G, 63. Teil, 1879, 4 août 1878, S. 50-55.
Analyse par August: J F M, Bd. 11, J. 1879, S. 501-503.
9. Sur les points d'intersection d'une conique fixe par une conique mobile passant par deux points fixes.
N A M, 3e s., t. 8, janv. 1889, p. 48-56.
10. Sur les courbes dont les tangentes appartiennent à un complexe linéaire.
N A M, 3e s., t. 11, mars 1892, p. 115-119.
11. Sur les courbes autopolaires par rapport à une conique donnée.
B S M F, t. 22, 7 fév. 1894, p. 27.
12. Courbes autopolaires.
N A M, 3e s., t. 13, mai 1894, p. 206-210.
13. Sur le degré de réalité d'une courbe algébrique à coefficients réels.
A M P G, d. R., 4. Bd., 1903, 19 juin 1902, S. 20-21.
14. Sur les lignes asymptotiques de la surface représentée par l'équation XYZ = T³.
A M P G, 61. Teil, 21 mars 1877, S. 144-145.
15. Sur les conditions qui expriment qu'un système de trois axes est trirectangle.
N A M, 3e s., t. 13, fév. 1894, p. 41-43.
16. Exercices sur les courbes de direction.
Laguerre a appelé courbes de direction les courbes algébriques f(x, y) = 0, telles que les cosinus directeurs de la tangente en un point puissent être exprimés rationnellement en fonction de x et de y.
N A M, 3e s., t. 15, nov. 1896, p. 491-495.
17. Exercice sur la détermination du point double d'une cubique plane unicursale.
R M S, t. 4, 8e a., juin 1898, p. 505-506.
18. Exercices sur la détermination des points doubles d'une quartique plane unicursale.
R M S, t. 4, 8e a., sept. 1898, p. 585-589.
19. Sur le cylindroïde.
R M S, t. 3, 5e a., juin 1895, p. 129-130.
20. Propriété caractéristique du cylindroïde.
Il existe un conoïde droit, signalé par Plücker et par Cayley, nommé cylindroïde, jouissant de la propriété que le lieu des projections d'un point fixe quelconque sur ses génératrices est une courbe plane. M. P. Appell démontre que, réciproquement, toute surface réglée non cylindrique possédant cette propriété est un cylindroïde.
B S M F, t. 28, 20 juin 1900, p. 261-265.
21 à 32. Principales Notes dans l'Ouvrage intitulé «Leçons de Géométrie analytique par C. Briot et J.-C. Bouquet».
Pages.
142. Sur les fonctions des coefficients de l'équation d'une conique et de l'angle des axes qui ne changent pas quand on fait une transformation de coordonnées. 159-163
143. Application au calcul des axes d'une conique à centre, du paramètre d'une parabole. 163-166
306. Coordonnées tangentielles. 319-321
330. Coordonnées homogènes, points à l'infini. 344-351
331. Coordonnées trilinéaires. 351-360
332. 333. Intersection de deux coniques. Discussion de l'équation en λ par la méthode de M. Darboux. 364-383
Signification géométrique de certaines relations simples entre les racines de l'équation en λ. 374-382
369 bis. Remarques sur la construction des courbes. Régions. 444-451
Notions sur les courbes unicursales. 492-501
598. Courbes gauches du troisième ordre et du quatrième ordre. 712-719
599. Notions sur les complexes de droites. 723-730
Nota.—De nombreux exercices ont été ajoutés dans le texte, notamment à propos des coordonnées tangentielles, des coordonnées homogènes, de l'équation en λ, des courbes unicursales et des complexes.
Paris, C. D., 19e éd., 1907, gr. in-8.
ARTICLE.
1. Le Problème des Déblais et des Remblais.
R O, t. 1, 28 fév. 1890, p. 97-99.