Der perspektivische Entwurf. (continued 2)

Fig. 60.

Abb. 7.

31. Wirkung einer zu kleinen Distanz, das Interieur. Es liegt weiter nahe, daß man eine für eine kleine Distanz angefertigte Zeichnung aus einer Entfernung betrachtet, die größer ist als die Distanz. Dann treten übertriebene Tiefenwirkungen auf. In der Tat denken wir uns einen Würfel, der mit der Fläche in der Bildtafel liegt. Das Auge befinde sich in der Erweiterung der unteren Würfelfläche. Fig. 60 (links) stellt den Schnitt mit einer Ebene dar, die durch das Auge senkrecht zur Bildebene geht. Das Bild des Würfels wird dann durch a, b, c' angedeutet. Ist nun umgekehrt das Bild a, b, c' gegeben, so ist vorauszuschicken, daß natürlich durch ein Bild der Körper nicht bestimmt sein kann. Wenn wir aber z. B. noch wissen oder stillschweigend annehmen, daß es sich um einen rechtwinklig begrenzten Körper handelt, so können wir aus dem einen Bild den Körper rekonstruieren.

Abb. 8.

Es möge nun das Bild a, b, c' aus einem Punkte O₁ betrachtet werden (Fig. 60 rechts), der weiter von der Bildebene entfernt liegt als O. Der zum Punkte c' gehörige Raumpunkt c liegt dann einerseits auf der Linie O₁c', andererseits aber wegen der rechtwinkligen Natur des Körpers auf der Senkrechten in b zur Bildebene. Statt des Würfels erhalten wir einen viel längeren, rechteckigen Quader abcd. Es scheint also der Körper viel tiefer zu sein, als er wirklich ist.

Abb. 9.

Diese unnatürliche Vertiefung (Tunnelperspektive) kann man z. B. an photographischen Bildern beobachten, die mit Objektiven von kleiner Brennweite hergestellt werden, weil solche Darstellungen eben meistens aus einer zu großen Entfernung betrachtet werden. So erscheint in Abb. 7 (S. 70) das Gebäude viel länger als in Wirklichkeit. Ein einfaches Mittel, von solchen Photographien ein richtiges Bild zu bekommen, besteht darin, daß man sie durch ein Vergrößerungsglas betrachtet. Dann wird mit dem Bilde auch die Distanz vergrößert, und man gewinnt eher die richtige Entfernung für das Auge.

Eine ganz entsprechende Verkürzung des Objektes der Tiefe nach tritt ein, wenn man unter der gleichen Annahme wie oben ein perspektivisches Bild aus einer zu kleinen Distanz betrachtet.

Eine kleine Distanz bevorzugt man bei der Darstellung eines Innenraumes, also beim Interieur, weil dadurch die Vorstellung erweckt wird, daß der Beschauer sich noch im Innern des betreffenden Raumes befindet.

Prüft man beispielsweise in dem Fresko von Raffael (1485–1520), die »Schule von Athen« (Abb. 8, S. 71), das die eine Wand der camera della segnatura im Vatikan in Rom einnimmt, auf Grund einer großen Photographie die perspektivische Konstruktion, so stimmt diese allerdings nicht vollständig genau. Als mittlerer Wert ergibt sich aber für die Distanz, daß sie etwas größer ist als die Breite des Bildes (ungefähr = 1⅐ der Bildbreite). Man beachte aber, welche unvergleichlich großartige Raumwirkung der Künstler durch den Kuppelraum mit den beiden Schiffen und die Vordergrundsszene erzielt. Kleiner als die größere Seite des Bildausschnittes wird man aber die Distanz nicht wählen.

Fig. 61.

Auch bei manchen Holländern des 17. Jahrhunderts, z. B. bei van der Meer van Delft (1632–1675), finden wir Interieurs mit kleiner Distanz.5 So ist bei dem in Abb. 9 wiedergegebenen Bilde, das sich im kgl. Schloß in Windsor befindet und eine Musikstunde darstellt, die Distanz wenig größer als die Höhe des Bildes (etwa 1¹/₁₇ derselben). Man kann aber hier schon die unangenehme Folgeerscheinung beobachten, daß bei solchen Bildern mit kurzer Distanz der Boden im Vordergrund sich nach abwärts zu neigen, sich herunterzuklappen scheint.

Abb. 10.

32. Das photographische Bild. Was die Bilder des photographischen Apparates betrifft, so liefern Objektive mit großer Brennweite Darstellungen, die einer großen Distanz entsprechen, Objektive mit kleiner Brennweite, sogenannte Weitwinkel, geben Bilder mit kleiner Distanz. Die übertriebene Perspektive solcher Weitwinkel erklärt sich abgesehen von der eben erwähnten Wahl eines falschen Standpunkts direkt durch die Wirkung der kleinen Distanz. In der Tat sind ab und cd etwa zwei gleichgroße Objekte, O und O' die Zentren der Perspektive (Fig. 61) und a'b', c'd' ihre Bilder in der durch eine Gerade dargestellten Tafel, so bemerkt man den Unterschied, je nachdem die Distanz klein ist wie in der oberen Figur oder groß wie in der unteren. In der oberen Figur ist c'd' mehr als doppelt so groß wie a'b', in der unteren nicht ganz doppelt so groß. Dadurch daß das fernere Objekt beim Weitwinkel so stark verkleinert wird, erscheint das nähere gleichzeitig unverhältnismäßig groß. Die Abb. 10 gibt uns die Aufnahme einer sitzenden Person, wobei sich der Apparat sehr nahe an der Person befand. Die an und für sich richtige Perspektive führt zu komischen Wirkungen. Doch lassen sich, wie Abb. 11 zeigt, mit dem gleichen Objektiv etwas bessere Bilder erzielen, wenn man nur einen größeren Abstand von dem Objekt wählt. Für Landschaftsaufnahmen sind diese Überlegungen von großer Bedeutung. Ein Weitwinkel läßt ferne, hohe Berge zu unbedeutenden Hügeln zusammenschrumpfen, er treibt den Hintergrund zurück, wie die Photographen sagen, und betont den Vordergrund. Ein Objektiv mit großer Brennweite dagegen gibt ferne Berge groß, es »zieht den Hintergrund nach vorn« und läßt den Vordergrund weniger in die Erscheinung treten.

Abb. 11.

§ 12. Unzugängliche Distanz- und Fluchtpunkte.

33. Unzugänglicher Distanzpunkt. Den Augpunkt einer Darstellung werden wir naturgemäß in der Mittellinie des Bildausschnittes annehmen, da man bei Betrachtung eines Bildes doch ganz von selbst vor die Mitte tritt. Dann folgt aber aus unseren Erörterungen und aus den Figuren 55 bis 59 ohne weiteres, daß die Distanzpunkte nicht mehr in dem Bildausschnitt liegen, sondern weit darüber hinaus fallen. Verwendet man also nicht eine viel größere Zeichenfläche, z. B. ein sehr großes Reißbrett, so sind die Distanzpunkte nicht mehr zu erreichen. Das gleiche gilt für Fluchtpunkte horizontaler Geraden, die, wie z. B. schon die Fig. 48 erkennen läßt, häufig weit auf dem Horizont hinausfallen, wenn die Figur nicht absichtlich darnach eingerichtet wird. Es fragt sich nun, wie man die Konstruktionen, die sich auf solche über die Zeichenfläche hinausfallende Punkte beziehen, trotzdem erledigen kann. Das ist die wichtigste Aufgabe der praktischen Perspektive.

Fig. 62.

Wir wollen zunächst sehen, wie man die Aufgabe 5, also die Konstruktion eines Tiefenmaßstabes, durchführen kann, wenn die Distanzpunkte nicht mehr erreichbar sind. War auf einer gegebenen Tiefenlinie T von ihrer Spur t aus eine Strecke anzutragen, so machten wir auf der Grundlinie ts = dieser Strecke (Fig. 62) und verbanden den Punkt s mit einem Distanzpunkt D₁; die Verbindungslinie schnitt aus T' den gesuchten Punkt p' aus (vgl. die frühere Fig. 21 b). Halbieren wir nun aber die Strecke AD₁ und bezeichnen die Mitte mit ^D₁/₂. Verbinden wir weiter diesen Punkt ^D₁/₂ mit p', so möge diese Linie die Grundlinie im Punkte q treffen. Dann gilt die Proportion:

tq : qs = A ^D₁/₂ : D ^D₁/₂ = 1 : 1.

Es ist mithin auch q die Mitte von ts und

tq = qs = ^ts/₂.

Fig. 63.

Wir können zum Punkte p' also auch gelangen, wenn wir die halbe Strecke tq auf der Grundlinie antragen, den Endpunkt q mit dem Punkte ^D₁/₂ verbinden und diese Linie mit T' zum Schnitt bringen. Soll demnach z. B. auf der Tiefenlinie T' ein Maßstab gezeichnet werden, dessen Einheit gegeben ist, und kann man ^D₁/₂ noch erreichen (Fig. 63), so tragen wir die halbe Einheit auf der Grundlinie wiederholt ab und projizieren diese Punkte aus ^D₁/₂ auf T'. Dann erhält man den verlangten Tiefenmaßstab.

Fig. 64 a.

Fig. 64 b.

Rückt die Teilung auf der Grundlinie zu weit hinaus, so kann man z. B. durch 2' eine Parallele l zur Grundlinie ziehen und die auf dieser Parallelen ausgeschnittene kleinere Strecke 2'3'' auf l wiederholt antragen und aus ^D₁/₂ projizieren.

Der Punkt ^D₁/₂ heißt ein »Teil-Distanzpunkt«. Selbstverständlich könnte man die ganze Strecke AD₁ auch in drei gleiche Teile teilen und den ersten Teilpunkt von A aus mit ^D₁/₃ bezeichnen. Dann hätte man statt der ganzen Strecke bloß den dritten Teil auf der Grundlinie anzutragen. Mit ^D₁/₃ verbunden liefern diese Punkte auch wieder den Tiefenmaßstab usf.

34. Unzugängliche Fluchtpunkte. Erstes Verfahren. Die Ermittlung des Fluchtpunktes einer beliebigen, horizontalen Geraden beruhte wesentlich auf den Überlegungen von (16), die zu der in der Fig. 24 gegebenen Konstruktion führten. Ist nun in dieser Figur der Fluchtpunkt f_a nicht zugänglich, so kann man diese Schwierigkeit in folgender Weise umgehen: wir verkleinern die ganze Figur, indem wir sie sich gegen den Punkt A zusammenziehen lassen.

Der aus der Geometrie hierbei anzuwendende Satz ist in den Fig. 64 a und 64 b noch eigens veranschaulicht. Es ist hier zu dem Vieleck abcde in folgender Weise ein neues konstruiert worden. Ein Punkt o wird beliebig gewählt und mit allen Ecken a, b, c … verbunden. Auf diesen Verbindungslinien werden die Punkte a', b', c' … dadurch bestimmt, daß man alle Strecken oa, ob, oc … im gleichen Verhältnis teilt, also beispielsweise immer

a'o = ⅔ ao, b'o = ⅔ bo, c'o = ⅔ co …

macht. Das neue Vieleck a', b', c' … hat dann folgende Eigenschaften:

a) Entsprechende Seiten der beiden Vielecke sind stets parallel, d.h. es ist

ab ∥ a'b', bc ∥ b'c', cd ∥ c'd' usf.

b) Alle Verhältnisse der Seiten sind die gleichen, d. h. es ist

ab : bc = a'b' : b'c' usf.

Fig. 65.

Wenn also z. B. die Seite ab doppelt so groß ist wie bc, so ist auch a'b' doppelt so groß wie b'c'. Die Figuren abcde und a'b'c'd'e' nennt man ähnlich und ähnlich liegend und o den Ähnlichkeitspunkt.

Im vorliegenden Falle benutzen wir A als Ähnlichkeitspunkt. Zunächst ist in Fig. 65 die frühere Konstruktion wiederholt. Auf der Linie von A nach D₃ wählen wir nun einen Punkt ^D₃/₃ so, daß

A ^D₃/₃ = ⅓ AD₃

und verkleinern die ganze Figur auf ein Drittel.

Fig. 66.

Wir verbinden also a mit A, teilen diese Linie in drei gleiche Teile und bezeichnen den ersten Teilpunkt von A aus mit ^a/₃, so daß

A ^a/₃ = ⅓ Aa.

Ziehen wir dann durch den Punkt ^D₃/₃ eine Parallele zu f_aD₃, so schneidet diese auf dem Horizont einen Punkt ^f_a/₃ aus, der die Eigenschaft hat, daß auch

A ^f_a/₃ = ⅓ ⋅ Af_a

und es ist weiter dann auch

af_a ∥ ^a/₃ ^f_a/₃.

Hat man die verkleinerte, punktierte Figur gezeichnet, so kann man A' finden, wenn ein Punkt, etwa die Spur a, bekannt ist, indem man durch a eine Parallele zu ^a/₃ ^f_a/₃ zieht.

Dies ist in der Figur 66 ausgeführt. Vermittels des Punktes ^D₃/₃ wurde zunächst ^f_a/₃ ermittelt, in dem man zur Verschiebung (A) der Geraden eine Parallele zog; verschafft man sich weiter die Spur a der Geraden und dazu den Hilfspunkt ^a/₃ auf der Verbindungslinie aA, so ist das Bild A' parallel zur Linie ^a/₃ ^f_a/₃, kann also als eine Parallele durch a zu dieser Linie gezeichnet werden.

Wie stark wir die Figur verjüngen wollen, steht natürlich in unserem Belieben; statt auf ⅓ zu verkleinern, können wir auch die Verjüngung auf ¼ wählen oder bloß auf ½. Nur darf die neue Figur nicht zu klein werden. Wir geben eine praktische Anwendung in der folgenden

Aufgabe 18. Eine Zimmerecke samt dem quadratisch getäfelten Fußboden darzustellen, wenn der Teil-Distanzpunkt ^D₁/₄ noch zugänglich ist.

Auf der Senkrechten, die im Augpunkt A zum Horizont gezogen werden kann, nehmen wir den Punkt ^D₃/₄ an (Fig. 67); außerdem soll gegeben sein die Eckkante p'q', also die Höhe des Zimmers und die eine Bodenkante A' durch p'.

Zunächst haben wir eine Linie B der Grundebene zu zeichnen, welche im Punkte p auf A senkrecht steht, vgl. Aufgabe 9. Da ^D₃/₄ gegeben und noch zugänglich, verjüngen wir die ganze Figur auf ¼. Dementsprechend verbinden wir den Punkt p' mit A, teilen diese Strecke in 4 gleiche Teile und bezeichnen den ersten an A gelegenen Teilpunkt mit ^p'/₄. Durch diesen Punkt ^p'/₄ ziehen wir eine Parallele zur gegebenen Geraden A', welche in ^f_a/₄ den Horizont treffen möge. Es ist also

^p'/₄ ^f_a/₄ ∥ A'.

Nun können wir den Punkt ^f_a/₄ mit ^D₃/₄ verbinden und im Punkte ^D₃/₄ eine Senkrechte zu dieser Linie zeichnen, welche aus dem Horizont den Punkt ^f_b/₄ ausschneidet. Verbinden wir ^p'/₄ mit diesem Teilfluchtpunkt ^f_b/₄, so gibt diese Linie die Richtung von B'; es ist also:

B' ∥ ^p'/₄ ^f_b/₄,

womit die zweite Bodenkante konstruiert ist. Die an der Decke laufenden Kanten finden wir, wenn wir zum Punkte q' den Hilfspunkt ^q'/₄ zeichnen. Eine Vertikale durch ^p'/₄ liefert ihn sofort auf der Verbindungslinie Aq'. Dadurch sind die Verbindungslinien ^q'/₄ ^f_a/₄ und ^q'/₄ ^f_b/₄ bestimmt und zu ihnen laufen die Deckenkanten durch q' beziehungsweise parallel.

Fig. 67.

Man beachte auch, wie sich ein solcher gegen den Beschauer vorspringender rechter Winkel im Bilde darstellt: seine beiden Schenkel laufen von den betreffenden Fluchtpunkten weg. Dagegen kommen bei der Darstellung einer Gebäudeecke, wie in Fig. 53 oder 72, wo der rechte Winkel von außen betrachtet wird, die Teile der Schenkel zur Verwendung, welche die Fluchtpunkte tragen.

Fig. 67 a.

Nun sei weiter die Seite p'1' eines Quadrates des Fußbodens gegeben. Um diese Teilung auf der Geraden A' fortzusetzen, verfahren wir wie folgt: wir denken uns durch die Punkte 1, 2, 3 … der Kante A in irgendeiner Richtung parallele Gerade gelegt und bringen diese in I, II, III … zum Schnitt mit einer parallelen zur Grundlinie, wie die Nebenfigur 67 a dies andeutet. Dann sind auch die Abschnitte pI, I II, II III usf. gleich groß und umgekehrt werden gleich große Abschnitte p 1, 1 2, 2 3 … auf A erzeugt, wenn man durch gleich große Strecken pI, I II, II III … die Parallelen legt. Im Bilde gehen diese Parallelen dann in Linien über, welche durch einen Punkt des Horizonts laufen.

Dementsprechend ziehen wir durch p' eine Parallele zur Grundlinie und wählen als Punkt des Horizontes etwa A. Die Verbindungslinie von 1' nach A schneidet auf der Parallelen den Punkt I aus und wir machen p'I = I II = II III … Dann liefern die Punkte II, III aus A projiziert die Bilder 2', 3' … 6'.

Um die durch diese Punkte gehenden Fußbodenlinien zu finden, verschaffen wir uns die zugehörigen Hilfspunkte. Verbinden wir z. B. 6' mit A, so erhalten wir auf der Linie ^p'/₄ ^f_a/₄ den entsprechenden Hilfspunkt ^6'/₄. Die durch 6' gehende Linie des Fußbodenmusters ist dann aber parallel zur Verbindungslinie des Punktes ^6'/₄ mit dem Punkte ^f_b/₄.

Die zweite Schar von Parallelen des Fußbodens wollen wir unter Benutzung des Diagonalpunktes (vgl. S. 57) zeichnen. Halbieren wir den Winkel bei ^D₃/₄, so schneidet diese Linie auf dem Horizont den Teil-Diagonalpunkt ^D_g/₄ aus. Daraus erhalten wir demnach den Diagonalpunkt D_g selbst, wenn wir

AD_g = 4 ⋅ A ^D_g/₄

machen, also die Strecke A ^D_g/₄ noch dreimal von ^D_g/₄ aus nach links antragen. Durch D_g laufen dann aber alle Diagonalen der einen Art in den Quadraten des Fußbodens, so daß dieser leicht gezeichnet werden kann. Gleichzeitig ergeben sich viele Kontrollen.

35. Unzugängliche Fluchtpunkte. Zweites Verfahren. Wir wollen für die Aufgabe 9 noch eine Lösung geben, die auch wieder auf dem Gedanken beruht, an Stelle der ursprünglichen Figur eine verkleinerte, ähnliche zu benutzen.

Fig. 68.

Ist F_a der Fluchtpunkt der gegebenen Geraden A', auf welcher im Punkt p' eine Senkrechte B' errichtet werden soll, so konstruieren wir z. B. den Punkt D₄ (Fig. 68) und tragen im Punkte D₄ einen rechten Winkel von F_aD₄ aus an; dann schnitt der zweite Schenkel dieses rechten Winkels den Fluchtpunkt F_b aus, so daß die gesuchte Gerade B' den Punkt p' mit F_b verband.

Fällt nun aber F_a nicht mehr auf das Zeichenblatt, so führen wir einen neuen Horizont hh ein, der parallel zu hh so gewählt sei, daß sich mit A' ein erreichbarer Schnittpunkt f_a ergibt. Die ganze Figur lassen wir sich jetzt um den Punkt p' zusammenziehen, so daß hh in hh übergeht. Wir konstruieren also eine kleinere ähnliche Figur mit p' als Ähnlichkeitspunkt. Die Punkte dieser neuen Figur bezeichnen wir mit den entsprechenden kleinen Buchstaben. Zunächst liefern D₁, A und F_b aus p' auf hh projiziert die Punkte d₁, a und f_b.

Ferner sind in ähnlichen und ähnlich liegenden Figuren entsprechende Gerade stets parallel (S. 78). Ziehen wir also durch a eine Parallele zur Linie AD₄, so schneidet diese auf der Verbindungsgeraden p'D₄ den entsprechenden Punkt d₄ aus und es ist dann

f_ad₄ ∥ F_aD₄

und

f_bd₄ ∥ F_bD₄.

Nun ist in der großen Figur AD₁ = AD₄, also ist auch in der verkleinerten Figur ad₁ = ad₄. Wir wollen jetzt annehmen, daß auch der Punkt D₁ nicht mehr auf das Zeichenblatt fällt, wohl aber der Teil-Distanzpunkt ^D₁/₂. Konstruieren wir auch zu ihm den entsprechenden Punkt ^d₁/₂, so ist

d₁ ^d₁/₂ = a ^d₁/₂

und weiter

ad₄ = 2 ⋅ a ^d₁/₂.

Daraus ergibt sich folgende Konstruktion (Fig. 69).

Fig. 69.

Wir zeichnen den neuen Horizont hh, welcher die gegebene Gerade A' in f_a und die Verbindungslinie von p' nach A in a trifft. Dann errichten wir zu a eine Senkrechte in hh und machen diese doppelt so groß als die Strecke a ^d₁/₂. Ist d₄ der zweite Endpunkt dieser Senkrechten, so ist also

ad₄ = 2 a ^d₁/₂.

An die Verbindungslinie f_ad₄ tragen wir einen rechten Winkel an, dessen zweiter Schenkel den Horizont hh in f_b schneidet. Das Bild B' der gesuchten Senkrechten verbindet nun den Punkt p' mit f_b.

Man kann diese Figur auch benutzen, um z. B. den Diagonalpunkt zu ermitteln, wenn man sich den rechten Winkel zu einem Quadrat ergänzt denkt. Wir dürfen ja nur den Winkel f_ad₄f_b halbieren, so liefert uns die Halbierungslinie auf hh den Hilfspunkt d_g und wenn wir diesen mit p' verbinden, so schneidet diese Linie auf dem Horizont den Diagonalpunkt D_g selbst aus. Der Beweis ergibt sich leicht aus der Figur 68, denn es ist

d₄4d_g ∥ D₄D_g

und da D₄D_g den Winkel F_aD₄F_b halbiert, so muß die Parallele den Winkel f_ad₄f_b halbieren.

36. Unzugängliche Fluchtpunkte. Drittes Verfahren. Das Wesentliche an den eben durchgeführten Betrachtungen bestand darin, daß wir gelernt haben, das Bild eines rechten Winkels zu zeichnen auch dann, wenn die beiden Fluchtpunkte seiner Schenkel unzugänglich waren. Ist nun das Bild eines solchen Winkels gegeben, so kommt es häufig vor, daß man weitere Linien nach den unzugänglichen Fluchtpunkten zu ziehen hat. Wir behandeln dementsprechend die

Aufgabe 19. Ein Punkt ist gegeben als der nicht zugängliche Schnittpunkt zweier Geraden G' und hh (Fig. 71); man zeichne die Linie, welche diesen unzugänglichen Punkt mit einem weiter gegebenen Punkte p' verbindet.

Fig. 70.

Die Lösung gelingt leicht, wenn wir uns an einen bekannten Satz der Geometrie erinnern. Schneidet man drei durch einen Punkt s gehende Gerade A, B, C mit irgend zwei parallelen Geraden, so werden die beiden Parallelen in gleichem Verhältnis geteilt, d. h. es ist Fig. 70

ab : bc = de : ef.

Teilt man umgekehrt die zwei Parallelen im gleichen Verhältnis, so daß also diese Gleichung erfüllt ist, so geht die Verbindungslinie be durch den Schnittpunkt s der beiden Geraden hindurch.

Fig. 71.

Man kann diese beiden Sätze auch in folgender Weise ausdrücken:

Teilt man die Strecke de beispielsweise in vier gleiche Teile und verbindet die Teilpunkte 2, 3, 4 mit s, so wird auch die Strecke ab in vier gleiche Teile geteilt. Setzt man beide Teilungen auf den Parallelen fort, so gehen die Verbindungslinien gleich numerierter Punkte immer durch s. Daraus ergibt sich für die obige Aufgabe folgende Lösung (Fig. 71). Wir ziehen durch den gegebenen Punkt p' irgendeine Linie df und zu ihr in nicht zu geringer Entfernung eine Parallele, welche in a und c die zwei Geraden trifft. Durch p' werde eine Parallele zu hh gelegt, welche die Verbindungslinie cd in g schneidet. Durch diesen Punkt g ziehen wir eine Parallele zu G' und erhalten auf ac den Punkt b. Dann geht die Verbindungslinie p'b durch den unzugänglichen Schnitt von G' und hh hindurch, ist also die verlangte.

Denn wir entnehmen unmittelbar aus der Figur:

ab : bc = dg : gc

und

dg : gc = dp' : p'f

folglich auch

ab : bc= dp' : p'f.

Fig. 72.

Ist eine größere Zahl von Linien nach einem unzugänglichen Punkte zu zeichnen, so wäre das eben beschriebene Verfahren zu umständlich. Man wird dann den zweiten oben angeführten Satz benutzen, um solche Linien zu erhalten. Das folgende Beispiel mag dies erläutern.

Aufgabe 20. Gegeben ist das Bild eines rechten Winkels bei p' (vordere Ecke eines Gebäudes); man zeichne Parallelen zu den Schenkeln dieses Winkels.

Wir verlängern die durch p' gehende Vertikale, die Vorderkante des Gebäudes, bis sie in p₀ den Horizont trifft (Fig. 72), ferner wählen wir rechts und links am Rande die Punkte q' und r' auf den Schenkeln des rechten Winkels und ziehen durch sie die Senkrechten r'r₀ und q'q₀ bis zum Horizont. Teilen wir die drei Strecken p'p₀, q'q₀, r'r₀ in eine gleiche Anzahl von Teilen, z. B. jede in vier Teile, so gehen die Verbindungslinien gleich numerierter Punkte bzw. durch die Fluchtpunkte des rechten Winkels. Setzt man die Teilungen auf den Geraden p'p₀, q'q₀, r'r₀ über den Horizont hinaus fort, so gehen auch die Verbindungslinien 6.6, 7.7 usf. wieder durch die unzugänglichen Fluchtpunkte. Die Linien 7.7 mögen das Gebäude unten abschließen.

Man erhält aber weiter auch Linien durch die Fluchtpunkte, wenn man entsprechende Abschnitte wiederum in gleichviel Teile teilt, also beispielsweise von den Strecken 1.2 je das an den Punkten 2 gelegene Drittel nimmt. (Siehe Figur.) Hat man dann durch einen vorgegebenen Punkt eine Linie nach einem der zugänglichen Fluchtpunkte zu zeichnen, so kann man das nach dem Augenmaß ausführen, indem man das Lineal so anlegt, daß es gleichnumerierte Strecken im gleichen Verhältnis teilt. Die genaue Lösung dieser Aufgabe haben wir ja in der Aufgabe 19 gegeben.

Auf der linken Seite der Figur sind noch zwei Fensterreihen eingezeichnet. Das erste an der Vorderkante p'p₀ gelegene Fenster wurde willkürlich angenommen; die anderen Fenster sollen ebensogroß sein und voneinander ebensoweit abstehen als das erste Fenster von der Kante p'p₀ entfernt ist. Wir bringen die vertikalen Kanten der Fenster mit der Linie 7.7 zum Schnitt und verfahren nun ebenso wie in 34. (Fig. 67 a.) Als beliebiger Punkt auf dem Horizont wurde 5 gewählt. Dadurch erhalten wir auf der durch 7 gezogenen Parallele zum Horizont zwei Strecken, die abwechselnd angetragen die Fenster liefern. Auf der rechten Seite des Gebäudes ist ebenso eine Tür und ein Fenster konstruiert.

Endlich mag noch erwähnt werden, daß es auch eigene Apparate, sogenannte »Fluchtpunkt-Lineale«, gibt, um Gerade nach unzugänglichen Punkte damit zu zeichnen.

§ 13. Gleichzeitige Anwendung der verschiedenen Methoden.

37. Verbindung der Schnittmethode mit den Fluchtpunktmethoden. Wir können aber auch die früher behandelte Schnittmethode (vgl. 8) mit den Konstruktionen, die sich aus der Benutzung der Fluchtpunkte ergeben (17, 18 u. f.), verbinden und erhalten dadurch das für Darstellung architektonischer Objekte brauchbarste Verfahren. Wir werden dasselbe am besten an einem Beispiele kennen lernen:

Aufgabe 21. Ein Postament ist durch Grund- und Aufriß gegeben (Fig. 73); die neue Bildebene, in der eine Perspektive dieses Objektes entworfen werden soll, steht auf der Grundrißebene senkrecht, geht durch die Achse des Postaments und mag durch die Linie h₁h₁ bestimmt sein. Außerdem sind der Augpunkt A und der Horizont hh je durch ihre Risse gegeben. Man zeichne das Bild des Körpers, wenn die Distanz 12 cm beträgt.

Wir wählen in der neuen Darstellung die Grundlinie gg und darüber in der durch den Aufriß gegebenen Höhe den Horizont hh (Fig. 74) und auf ihm den Augpunkt A. Dann zeichnen wir den Schnitt der Bildebene mit dem Körper, was unter Benutzung der Schnittpunkte 1, 7, 13, 14, 8, 2 von h₁h₁ mit dem Grundriß und unter Heranziehung des Aufrisses leicht geschehen kann. Denn die durch A gelegte Vertikale ist die Achse des Körpers. Schneidet sie die Grundlinie in n, so machen wir nx = A₁1.

In x zeichnen wir wieder die Senkrechte und machen xy gleich der aus dem Aufriß zu entnehmenden Höhe des Sockels usf. Auf diese Art erhält man die Schnittfigur der Bildebene mit dem Körper, die in Fig. 74 durch Schraffierung am Rande hervorgehoben ist.

Fig. 73.

Um jetzt den Grundriß des Körpers in das Bild zu übertragen, verfahren wir in folgender Weise: Wir führen eine Parallelebene zur Grundrißebene ein, welche aus der Bildebene die Parallele ll zum Horizont ausschneiden möge. In diese neue Ebene projizieren wir den Grundriß. Das kommt darauf hinaus, daß der Grundriß um das Stück hl in die Höhe geschoben wird. Wir zeichnen nun zunächst das Bild dieses verschobenen Grundrisses.

Der Grundriß besteht aus zwei Systemen paralleler Geraden und wir werden die beiden Fluchtpunkte zu ermitteln haben, die zu diesen Parallelen gehören. Wir errichten in Fig. 73 im Punkte A₁ eine Senkrechte zu h₁h₁ und tragen auf ihr etwa ein Viertel der Distanz an, machen also

A₁ ^O₁/₄ = 3 cm.

Ziehen wir sodann durch ^O₁/₄ eine Parallele zu 5.6, so schneidet diese auf dem Horizont den Riß des Teilfluchtpunktes ^F_a/₄ aus. Demnach erhalten wir in Fig. 74 den Fluchtpunkt F_a, indem wir AF_a = 4 A₁ ^F_a/₄ auf dem Horizont antragen.

Der Fluchtpunkt F_b der anderen Richtung 6.3, der weit über die Zeichenebene hinausfällt, möge nach der in 35 erörterten Methode bestimmt werden. Wir ziehen durch F_a irgendeine Linie, wählen auf ihr den Punkt p' beliebig und zeichnen einen neuen Horizont, der in f_a die Linie von F_a nach p' trifft. Nun ermitteln wir eine horizontale Linie, welche im Punkte p auf der Linie F_ap senkrecht steht. (Aufgabe 9.) Zunächst zeichnen wir den Teildistanzpunkt ^D₁/₄, indem wir aus Fig. 73 die Strecke A₁ ^O₁/₄ entnehmen und A ^D₁/₄ = A₁ ^O₁/₄ antragen. Dann mögen die Verbindungslinien von p' nach A und ^D₁/₄ den neuen Horizont in a und ^d₁/₄ treffen. Wir errichten gemäß der früheren Ableitung in a eine Senkrechte zum neuen Horizont und machen dieselbe viermal so lang als die Strecke a ^d₁/₄, so daß also

ad₄ = 4 ⋅ a ^d₁/₄.

Verbinden wir d₄ mit f_a, so schneidet eine Senkrechte zu dieser Linie im Punkte d₄ den Punkt f_b aus und die Verbindungslinie von f_b mit p' geht nach dem Fluchtpunkte F_b.

Weitere Linien nach F_b können wir nach dem dritten in 36 angegebenen Verfahren ermitteln. Zu diesem Zwecke sind in der Figur rechts und links zwei Vertikale gezeichnet. Die Verbindungslinie p'f_b schneidet auf diesen die Punkte 0 aus; die Abschnitte bis zum Horizont sind rechts und links je in zwölf gleiche Teile geteilt; alle Linien nach F_b teilen entsprechende Abschnitte der beiden Vertikalen im gleichen Verhältnis. Es braucht wohl kaum bemerkt zu werden, daß die Nummern auf den beiden Vertikalen bloß dem Zwecke dienen, Linien nach dem Fluchtpunkt F_b zu liefern, und daß diese Nummern ganz unabhängig sind von den übrigen Ziffern der Figur.

Die Konstruktion des Bildes des verschobenen Grundrisses kann nun wie folgt erfolgen. Die Punkte 1, 7, 13, 14, 8, 2 auf der Linie ll ergeben sich sofort, indem man die entsprechenden Strecken von h₁h₁ überträgt. Ist also m der Schnittpunkt der Achse des Körpers mit ll, so ist

m1 = A₁1, m7 = A₁7 usf.

Fig. 74.

Verbinden wir dann die Punkte 1 und 2 mit F_a, so sind dies zwei Seiten des äußeren Viereckes. Die auf der Linie von 2 nach F_a gelegenen Ecken 3 und 4 bestimmen wir nun etwa durch Tiefenlinien. Wir zeichnen zunächst im Grundriß (Fig. 73) die Senkrechte durch 3 zu h₁h₁, welche in s₁ die Bildtafel trifft. Machen wir in Fig. 74 ms = A₁s₁, so ist s die Spur in der Parallelebene und As das Bild der Tiefenlinie. Diese Linie As schneidet dann auf der Linie 2.F_a den Punkt 3' aus. Ebenso mag man die übrigen Ecken 4', 5', 6' ermitteln und es nun als Kontrolle benutzen, daß 4'.5' und 3'.6' durch F_b gehen müssen.

Man kann auch die Spuren der Geraden, soweit sie bequem erreichbar sind, hinzunehmen. Um das Bild des zweiten Vierecks 9, 10, 11, 12 zu zeichnen, ist im Grundriß die Spur t₁ der Linie 9. 12 gezeichnet. Machen wir in Fig. 74 mt = A₁t₁, so ist t die Spur der Linie 9. 12 und 9'. 12' geht verlängert durch t.

Endlich können wir auch noch die Eigenschaft verwenden, daß die Verbindungslinien 5'.3', 6'.4', 9'.11', 10'.12' usf. alle durch m gehen müssen.

Ist auf diese Art das Bild des verschobenen Grundrisses oben konstruiert, so liefern die Vertikalen durch die Ecken 3', 4', 5', 6' usf. je einen ersten Ort, auf dem die Bilder des Grundrisses selbst gelegen sein müssen. Unter Benutzung der Schnittfigur mit der Bildebene ist das Bild des Körpers dann aber leicht fertigzustellen. So liefert z. B. der Punkt x mit F_a verbunden die untere, linke Kante des Sockels und die Senkrechten durch 5' und 6' schneiden auf ihr die betreffenden Ecken aus.

Wie wir bei dieser Aufgabe die Grundebene nach oben verschoben (Deckenriß), so kann man unter Umständen auch unterhalb der Grundebene eine Parallelebene wählen, in diese den Grundriß projizieren (sog. Kellergrundriß) und dessen Bild zur Konstruktion benutzen.

§ 14. Die Darstellung des Kreises.

38. Der Kreis in einer zur Tafel parallelen Ebene. Bis jetzt haben wir uns immer mit der Abbildung gerader Linien beschäftigt, wobei uns die Eigenschaft zustatten kam, daß das Bild einer geraden Linie wieder eine Gerade ist. Wir wollen nun auch das Bild einer krummen Linie zeichnen, nämlich das des Kreises. Es ist dann allerdings nötig, daß wir uns von einer Anzahl von Punkten, die auf dem Kreise angenommen werden, die Bilder zeichnen und diese durch einen Linienzug verbinden. Wir wollen mit dem einfachsten Falle beginnen, der sich ergibt, wenn das Bild des gegebenen Kreises wieder ein Kreis ist.

Fig. 75.

Der abzubildende Kreis liege in einer zur Tafel parallelen Ebene (Fig. 75). Die vom Auge nach den Punkten des Kreises gehenden Sehstrahlen bilden einen Kegel, der die Tafel nach einer Figur schneiden muß, die zu dem gegebenen Kreise ähnlich ist (S. 45); diese Schnittfigur ist also selbst wieder ein Kreis. Der Mittelpunkt des gegebenen Kreises bildet sich wieder in den Mittelpunkt des neuen Kreises ab, der Radius des neuen Kreises wird je nach der Entfernung des gegebenen Kreises verschieden verkürzt werden. Wir führen die Konstruktion durch an folgender

Aufgabe 22. Ein Punkt m ist gegeben durch sein Bild m' und durch die Spur a der durch ihn gehenden Tiefenlinie A (Fig. 76). Man zeichne das Bild des Kreises, der um m mit gegebenem Radius r beschrieben wird und in einer zur Tafel parallelen Ebene liegt.

Fig. 76.

Auf dem Bilde A' der Tiefenlinie A ist die Spur a von A und das Bild m' des Mittelpunktes gegeben. Wir denken uns (Fig. 75) den Durchmesser np des Kreises gezogen, der zum Horizont parallel läuft, und ziehen durch seine beiden Endpunkte n und p die Tiefenlinien B und C. Die Spuren b und c dieser beiden Tiefenlinien erhalten wir in Fig. 76 ohne weiteres, wenn wir durch a eine Parallele zum Horizont ziehen und auf dieser Parallelen ab und ac je gleich dem gegebenen Radius r des Kreises antragen. Verbinden wir b und c mit A, so sind dies die Bilder B' und C' der Tiefenlinien B und C und sie schneiden auf der Parallelen durch m' zum Horizont die Punkte n' und p' aus. n'p' ist der Durchmesser des Bildes des Kreises, das also daraus gezeichnet werden kann.

Als Anwendung dieser Konstruktion geben wir in Fig. 77 das Bild einer ringförmigen Platte, die mit ihrer vorderen Fläche in der Bildtafel liegt, m ist der Mittelpunkt für die beiden vorderen Kreise. Ziehen wir durch m die Parallele zum Horizont und tragen auf ihr eine Strecke mx ab, welche gleich der gegebenen Dicke der Platte ist, so liefert x mit D₁ verbunden auf der Linie mA den Punkt t', welcher der Mittelpunkt für die beiden rückwärtigen Kreise ist; deren Radien ergeben sich wie in Fig. 76.

Fig. 77.

39. Der Kreis in einer Horizontalebene. Wir gehen nun zu dem Falle über, daß der abzubildende Kreis in einer horizontalen Ebene gelegen ist, z. B. in der Grundebene. Es sei zu behandeln folgende

Aufgabe 23. Ein Kreis von gegebenem Radius liegt in der Grundebene so, daß er die Grundlinie berührt. Das Bild des Kreises zu zeichnen.

Fig. 78.

Die Fig. 78 zeigt die Anordnung im Raume; in Fig. 79 ist der Kreis in der Verschiebung gezeichnet. Es ist nun vorteilhaft, sich nicht nur Punkte des Bildes zu verschaffen, sondern auch Linien, welche das Bild berühren, sogenannte Berührungslinien oder »Tangenten«. Zu diesem Zwecke umschreiben wir dem Kreise das Quadrat (1)(2)(3)(4), dessen Seiten den Kreis in den Punkten (5), (6), (7) und (8) berühren. Das Bild dieses Quadrates ist leicht zu zeichnen, (1)(4) und (2)(3) sind Tiefenlinien; ihre Bilder laufen also nach A; die Linie (2)(4) aber geht im Bilde nach dem linksseitigen Distanzpunkte D₁ (vgl. 14). Ferner ist auch (6)(8) eine Tiefenlinie und ihr Bild schneidet auf der Linie 2.4' das Bild m' des Punktes m aus. Die Linie (5)(7) geht in eine Parallele durch m' über, welche auf den Linien 1.4' und 2.3' die Punkte 5' und 7' liefert. Das Bild des Kreises wird in diesem Falle eine Ellipse, welche dem Vierecke 1 2 3' 4' einbeschrieben ist und dessen Seiten in den Punkten 6, 7', 8', 5' berührt.

Fig. 79.

Ohne Beweis sei erwähnt, daß m' nicht der »Mittelpunkt« der Ellipse ist, daß dieser vielmehr in die Mitte der Strecke 6.8' fällt.

Bringt man die Diagonalen (2)(4) und (1)(3) des Quadrates mit dem Kreise zum Schnitt, so erhält man die Punkte 9, 10, 11, 12 und auch deren Bilder 9', 10', 11', 12' lassen sich leicht ermitteln, da (9) und (10) sowie (11) und (12) je auf einer Tiefenlinie liegen. Sich noch weitere Punkte der Ellipse aus den Punkten des Kreises zu verschaffen ist gar nicht nötig.

Es wird nützlich sein, wenn der Leser sich auch das Bild eines Kreises zeichnet, der auf der rechten Seite des Hauptpunktes gelegen ist.

Die Figur ist dann weiter benutzt, um das Bild eines Umdrehungs-Zylinders, also einer Walze, zu zeichnen. Ist die Höhe des Zylinders durch die Strecke 6.6^* gegeben, so schneidet die Deckfläche des Zylinders die Bildebene in der Linie ll, welche durch 6^* parallel zur Grundlinie geht. Die Konstruktion des Bildes des Deckkreises des Zylinders erfolgt genau in der gleichen Weise; entsprechende Punkte z. B. 3' und 3'^* liegen übrigens immer auf Vertikalen, was viele Kontrollen liefert. Endlich wird das Bild des Zylinders vollendet, indem man auf beiden Seiten die berührenden Vertikalen an beide Ellipsen zeichnet.

40. Der Kreis in einer vertikalen Tiefenebene. In ganz ähnlicher Weise wie ein horizontaler Kreis kann auch ein Kreis abgebildet werden, der in einer lotrechten Tiefenebene liegt. Wir behandeln diesen Fall in der folgenden

Aufgabe 24. In einer lotrechten Tiefenebene, die durch ihre Spur S gegeben ist, liegt ein Kreis von gegebenem Radius, der die Grundebene und die Bildtafel berührt. Das Bild dieses Kreises zu zeichnen.

Fig. 80.

Die Figur 78 zeigt rückwärts den Kreis in seiner Lage gegen Grundebene und Bildtafel. Wir umschreiben demselben wieder das Quadrat 1 2 3 4, von dem die Seite 1.2 in der Spur S der Ebene, 1.4 in der Grundebene liegt. Um den Kreis auch in seiner wahren Gestalt vor uns haben, denken wir uns seine Ebene wie eine Türe nach außen um die Spur S in die Bildebene hineingedreht, wie dies der Pfeil in Figur 78 andeutet. In dieser Lage ist der Kreis, sowie das umschriebene Quadrat 1 2 (3) (4) in Fig. 80 gezeichnet. Das Bild des Kreises ergibt sich dann wie folgt. Die Tiefenlinien 1.4 und 2.3 haben als Bilder die Linien von 1 nach A und von 2 nach A. Die letzte Quadratseite 3.4 kann ferner durch folgende Überlegung gefunden werden. Ziehen wir die Diagonale 1.3, welche durch den Mittelpunkt m geht, so ist diese Linie unter 45° gegen die Grundebene geneigt. Die Parallele durch O zu dieser Linie schneidet den Fluchtpunkt derselben aus und derselbe muß nach Satz 24 auf der Senkrechten durch A liegen und von A um die Distanz abstehen. Der Fluchtpunkt ist also der schon früher gezeichnete Punkt D₄. Ganz ebenso ergibt sich als Fluchtpunkt der anderen Diagonale 2.4 der Punkt D₃, der in Fig. 80 eingezeichnet ist. Wenn wir also in Fig. 80 die Linien 1.D₄ 2.D₃ ziehen, so schneiden diese auf den Bildern 2.A und 1.A die Bilder 3' und 4' aus. Zur Probe dient, daß 3'.4' lotrecht sein muß. Ferner ist der Schnittpunkt von 1.D₄ und 2.D₃ das Bild m'. Die Vertikale durch m' liefert auf den Linien 2.A und 1.A die Berührungspunkte 5' und 7'; die Linie 6.A muß von selbst durch m' gehen und gibt den Berührungspunkt 8'.

Fig. 81.

In dem hier vorliegenden Falle ist das Bild des Kreises wieder eine Ellipse; m' ist nicht ihr Mittelpunkt; derselbe liegt vielmehr auf der Linie 6.8' in der Mitte zwischen 6 und 8'.

Die Bilder der Punkte 9, 10 usw. lassen sich wie im vorigen Falle bestimmen. Auch die Tangente im Punkte 9' an die Ellipse ist leicht zu zeichnen. Da nämlich die Tangente im Punkte 9 an den Kreis parallel zur Linie 1.(3) verläuft, so muß das Bild dieser Tangente nach D₄ fliehen, also ist die Linie 9'.D₄ diese Tangente.

Als Anwendung dieser Aufgabe geben wir in Fig. 81 das Bild eines Rundbogens, der in einer lotrechten Tiefenebene gelegen ist; S sei die Spur dieser Tiefenebene. Von dem Rundbogen ist links oben die Hälfte in der Umlegung in die Tafel gegeben. Zur Konstruktion soll der Teildistanzpunkt D₁/2 verwendet werden. Tragen wir die Hälfte der Strecke 1(m) auf der Horizontalen durch 1 nach rechts ab und verbinden den Endpunkt mit D₁/2, so erhalten wir (Aufg. 4) auf der Tiefenlinie 1.A das Bild m'; in entsprechender Weise ergeben sich für die weiteren Punkte (3) … die Bilder. Die Parallele durch (2) schneidet S in einem Punkte, der mit A verbunden die Berührungslinie im Scheitel 2' des Bogens liefert, wobei 2' auf der Vertikalen durch m' gelegen ist. Der ganze Rundbogen ist dann in 7 gleiche Teile geteilt und es sind die Bilder der Fugen eingetragen. Diese Fugen laufen alle durch m'.

Schließlich sei noch erwähnt, daß das Bild eines Kreises nicht immer eine Ellipse zu sein braucht, sondern auch eine sogenannte »Hyperbel« oder eine »Parabel« sein kann, worauf wir aber nicht weiter eingehen können.

§ 15. Einfache Schattenkonstruktionen.

41. Schatten bei parallelem Lichte. Die undurchsichtigen Körper haben die Eigenschaft, daß sie das auf sie fallende Licht irgendeiner Lichtquelle nicht durchgehen lassen, sondern es aufhalten oder verschlucken (absorbieren), so daß sich hinter dem Körper ein lichtleerer Raum, der Schatten, ausbildet. Indem wir den Unterschied von Licht und Schatten auch im Bilde etwa durch Schraffierung der beschatteten Teile einigermaßen wiedergeben, erreichen wir eine größere Naturtreue.

Fig. 82.

Was die Lichtquelle betrifft, so wollen wir uns vorstellen, die Sonne ziehe sich zu einem Punkte zusammen, etwa auf ihren Mittelpunkt, und stehe außerdem fest am Himmel. Die dann entstehende Beleuchtung können wir durch folgende Bestimmung ersetzen. Wir geben uns eine Gerade s beliebig im Raume (Fig. 82) und nehmen an, daß alle Lichtstrahlen zu dieser Geraden s parallel sind. Der ganze Raum ist erfüllt von diesen parallelen Lichtstrahlen. Wir nennen dies eine »Beleuchtung durch parallele Lichtstrahlen«.

Es sei jetzt eine Stange pq gegeben, die auf der Grundebene senkrecht steht (Fig. 82). Wie können wir den Schatten ermitteln, den sie in die Grundebene wirft? Alle auf die Gerade pq treffenden Lichtstrahlen werden aufgehalten und bilden fortgesetzt eben den Schatten der Geraden pq. Wir haben demnach durch die Punkte der Geraden pq die parallelen zur Geraden s zu zeichnen. Alle diese Parallelen liegen aber, wie man leicht erkennt, in einer Ebene und diese Ebene schneidet aus der Grundebene den Schatten der Geraden pq aus, der also eine Gerade ist. Offenbar geht dieser Schatten durch den Fußpunkt q der Stange. Das Ende des Schattens aber erhalten wir, wenn wir durch den Endpunkt p den Lichtstrahl legen. Trifft dieser in p_* die Grundebene, so ist p_* der Schatten des Punktes p und qp_* wird der Schatten der Geraden pq. Im Gegensatz zu dem Schatten, den die Gerade pq unter Umständen auf andere Körper wirft, nennen wir den Schatten qp_* auf der Grundebene den »Grundschatten«. Eine zweite, ebenfalls auf der Grundebene senkrechte Gerade rt liefert ganz in der gleichen Weise den Grundschatten tr_* und man sieht ohne Mühe ein, daß tr_* ∥ qp_*. Allgemein kann man sagen:

Satz 26. »Parallele Gerade liefern parallele Grundschatten auf der Grundebene.«

Fig. 83.

Weiter handelt es sich nun darum, die Bilder dieser Schatten zu zeichnen. Wir beachten zu diesem Zwecke, daß die Lichtstrahlen parallele, schiefe Gerade sind, wie wir sie im § 9 betrachtet haben. Diese parallelen Geraden haben also einen Fluchtpunkt, den wir erhalten, wenn wir durch das Auge O eine Parallele zur Geraden s ziehen und den Schnittpunkt S dieser Parallelen mit der Tafel ermitteln. Hat der in O befindliche Beschauer die (punktförmige) Lichtquelle im Rücken, so befindet sich der Fluchtpunkt S unterhalb des Horizonts. Fällen wir von S aus in der Bildebene eine Senkrechte zum Horizont und nennen S_h ihren Fußpunkt, so können wir die Betrachtung von 27 ohne weiteres auch hier anwenden und sehen, daß OS_h ∥ qp_* ∥ tr_*.

Fig. 84.

Mit anderen Worten:

Satz 27. »Der Punkt S_h, die Projektion des Fluchtpunktes S der parallelen Lichtstrahlen auf den Horizont, ist der Fluchtpunkt der Grundschatten.«

Die Bilder der Grundschatten fliehen also alle nach S_h (Satz 23). Damit erledigt sich nun leicht folgende

Aufgabe 25. Eine auf der Grundebene senkrechte Gerade pq ist im Bilde gegeben; man zeichne ihren Grundschatten, wenn das parallele Licht durch den Punkt S gegeben ist.

Durch die Annahme des Punktes S (Fig. 83) ist die Beleuchtung vollständig gegeben, da damit die Richtung der Lichtstrahlen bestimmt wird. Fällen wir von S ein Lot zum Horizont, so liefert dies den Fluchtpunkt S_h der Grundschatten. Ist p'q' das gegebene Bild (wir nehmen an, es wäre bereits gefunden), so gibt die Verbindungslinie von q' nach S_h den Grundschatten. Der durch p gehende Lichtstrahl muß aber einerseits durch p', andererseits durch den Fluchtpunkt S gehen; demnach schneidet die Verbindungslinie von S nach p' auf der Linie von q' nach S_h den Endpunkt q_*' des Grundschattens aus. Es ist q'p_*' das Bild des Grundschattens. Die einfache Regel lautet also: p_*' ist der Schnittpunkt der Linien q'S_h und p'S.

Damit ist aber auch die Aufgabe gelöst: den Schatten eines beliebigen Punktes in der Grundebene zu zeichnen. Denn wir brauchen ja nur von dem Punkte das Lot auf die Grundebene zu fällen und dessen Fußpunkt zu ermitteln. Dann können wir nach der obigen Aufgabe den Schatten dieser Senkrechten ermitteln. Wir wenden das an in folgender

Aufgabe 26. Den Schatten zu zeichnen, den ein Obelisk in die Grundebene wirft.

Das Bild des Obelisken, der auf der Grundebene steht, ist nach dem Früheren gezeichnet (Fig. 84). Um den Schatten in der Grundebene zu ermitteln, geben wir uns den Punkt S und seine Projektion S_h. Zunächst zeichnen wir von der in der Tafel liegenden Kante 1.2 des Sockels nach der oben abgeleiteten Regel den Schatten 1.2_*'; ebenso finden wir den Schatten 4.3_*' der Kante 3.4. Die Verbindungslinie 2_*'.3_*' ist dann der Schatten der Kante 2.3 und sie flieht, wie man leicht erkennt, nach A. Nun sind die Schatten der 4 Kanten des Obelisken zu zeichnen. Die durch 5 gehende Kante verlängern wir bis zu ihrem Schnittpunkt 6 mit der Grundebene und erhalten in 6.5_*' ihren Schatten. Ebenso wird 8.7_*' der Schatten der Kante 7.8. Die Schatten der beiden anderen Kanten fallen, wie die Konstruktion zeigt, zwischen diese beiden Schatten hinein, so daß also 6.5_*' und 8.7_*' den Schatten in der Grundebene begrenzen. Zeichnen wir noch den Schatten 9_*' der Spitze 9, indem wir die Senkrechte 9.10 benutzen, so ist der »Schlagschatten« des Obelisken in der Grundebene fertiggestellt, wenn man 9_*' mit 5_*' und 7_*' verbindet.

Es bildet sich aber auch auf dem Körper ein Gegensatz von Licht und Schatten aus, in dem gewisse Teile des Körpers in Schatten gesetzt werden (Eigenschatten). Schneidet die Linie 6.5_*' die Kante 1.4 in 11, so geht die Begrenzung des Schattens auf dem Sockel senkrecht in die Höhe nach 12. Auf der oberen Fläche des Sockels gibt dann die Linie von 13 nach 12 die Grenze des Schattens und es kann zur Kontrolle dienen, daß sie als ein Grundschatten nach S_h laufen muß. Ferner befinden sich die durch die Kante 13.5 gehende Fläche des Obelisken und die daran sich schließende durch 5.9 gehende Deckfläche im Schatten, was durch Schraffierung angedeutet ist.

Endlich mag noch bemerkt werden, daß man den Punkt S auch oberhalb des Horizonts annehmen kann. Dann hat der Beschauer die Lichtquelle vor sich und die Schatten bilden sich im Bilde nach vorne aus.

§ 16. Künstlerische Freiheiten.

42. Freiere Gestaltung des Bildes. Am Schlusse unserer Betrachtungen angelangt, wollen wir uns noch darüber klar werden, was die Lehre von der Perspektive uns bietet, so daß wir uns von einer Überschätzung dieser Wissenschaft in gleicher Weise fernhalten wie von einer Unterschätzung. Die Aufgabe der Perspektive haben wir darin erkannt, daß sie uns ein gesetzmäßig definiertes Bild eines Gegenstandes liefern soll, das uns soweit als möglich den Gesichtseindruck ersetzt, den wir von dem Gegenstand erhalten. Tatsächlich besteht nun aber das Betrachten irgendeines Körpers darin, daß wir seine einzelnen Teile der Reihe nach ins Auge fassen und unseren Blick von einer Stelle zur anderen gleiten lassen. Was wir dabei zunächst beurteilen und abschätzen, sind die Gesichtswinkel, welche die Blicklinien nach den einzelnen Punkten des Körpers miteinander einschließen. Aus allen diesen Beobachtungen und Eindrücken setzen wir dann das Bild des Körpers im Auge zusammen.

Da nun aber Winkel durch Kreisbögen gemessen werden, so gelangen wir naturgemäß dazu, um das Auge O eine Kugel mit einem beliebigen Radius zu beschreiben und die nach den einzelnen Punkten des Objektes gehenden Blicklinien mit dieser Kugel zum Schnitt zu bringen. Das heißt dann aber nichts anderes, als daß wir das Objekt aus dem Mittelpunkt auf die Kugelfläche projizieren. Ein solches auf der Innenseite einer Kugelfläche gelegenes Bild, das aus dem Mittelpunkt der Kugel betrachtet wird, genügt allen Ansprüchen. Es kann für beliebig große Teile des Raumes hergestellt werden: ein Panorama könnte z. B. in dieser Weise eingerichtet sein. Die geraden Linien des Raumes gehen in größte Kreise auf der Kugel über. In den allermeisten Fällen aber verlangen wir aus Bequemlichkeitsgründen, daß die Abbildung des Gegenstandes auf einer ebenen Fläche erfolgt; wir wollen das Bild in einem Buche, in einer Mappe oder an der Wand haben und deswegen ist das auf einer Kugel gelegene Bild für gewöhnlich nicht zu gebrauchen. Dann liegt es aber nahe, die Kugelfläche durch eine Ebene zu ersetzen in der Weise, daß wir eine Ebene einführen, welche im Punkte a der Kugel auf dem Radius oa senkrecht steht (Fig. 85). Man nennt diese Ebene eine Berührungsebene oder Tangentialebene der Kugel. Statt auf die Kugel projizieren wir nun die Gegenstände auf diese Ebene und sind damit zu der Abbildung gelangt, wie sie die Perspektive liefert. In der Nachbarschaft des Punktes a schmiegt sich die Berührungsebene der Kugel an und beide Abbildungen, die auf der Kugel und die auf der Ebene, stimmen so ziemlich überein. Je größer aber der Ausschnitt des Raumes wird, den wir abbilden, um so stärker weichen die beiden Abbildungen voneinander ab.

Fig. 85.

Es ist aber wohl zu beachten, daß die Blickrichtung bei Betrachtung des ebenen Bildes immer mit Oa zusammenfallen muß. Drehen wir den Kopf seitwärts, so daß wir z. B. in der Richtung Ob sehen, so müssen wir uns die in b berührende Ebene als Tafel eingeführt denken. Man könnte nun auf den Gedanken kommen, die Bilder, wie sie den Blickrichtungen oa, ob, oc … und den in diesen Punkten konstruierten Berührungsebenen entsprechen, einfach zu einem Gesamtbild zu vereinigen. Aber auch dieser Versuch würde auf große Schwierigkeiten stoßen. Nehmen wir etwa an, es wäre eine Reihe gleichgroßer vertikaler Pfeiler (I, II, III …) wie in Fig. 36, 37 darzustellen. Dann wäre das Bild des mittleren Pfeilers III am größten und nach beiden Seiten zu würden die Bilder kleiner werden. Die Verbindungslinien der oberen und der unteren Endpunkte wären keine Geraden mehr, sondern krumme Linien, die obere würde sich nach unten, die untere nach oben krümmen. Wir müßten also dann den Grundsatz opfern, daß gerade Linien sich wieder in gerade Linien abbilden und damit würde die Herstellung solcher Bilder ungemein erschwert.

Das schließt nun aber nicht aus, daß gewisse Einzelheiten in einem perspektivischen Bilde, namentlich gegen den Rand zu, nicht so gezeichnet werden dürfen, wie es mehr der direkten Blickrichtung entspricht. Namentlich für menschliche Figuren ergeben sich unangenehm wirkende Verzerrungen, indem die Köpfe und Körper zu breit werden und zu allen Zeiten haben sich die Künstler dann einer freieren Darstellung bedient. Eine Reihe gleichgroßer Säulen, die parallel zur Bildebene angeordnet sind, werden im Bilde gleichgroß wiedergegeben, während die äußeren breiter sein müßten, eine Kugel, die seitwärts im Bilde zu sehen ist, wird durch einen Kreis wiedergegeben und nicht durch eine Ellipse. In Raffaels Schule von Athen (Abb. 8, Seite 71) sind, um ein Beispiel zu geben, rechts bei der Gruppe der Astronomen zwei Kugeln dargestellt: die obere wird durch eine Ellipse, die untere wohl durch einen Kreis wiedergegeben.

Diese und ähnliche Milderungen der perspektivischen Schablone kann man ruhig dem Geschmack des Künstlers überlassen. Wenn er sich nur über die Hauptgesetze der Linienführung im klaren ist, wird er auch die eine oder andere Abweichung als zweckdienlich erkennen. Denn die perspektivische Zeichnung ist nicht Selbstzweck, sondern nur ein Mittel zum Zweck. Es wird aber auch hier das Wort gelten:

Und das Gesetz nur kann uns Freiheit geben.