Note 29 — COSMOGRAPHIE. (continued 2)

Note 29:

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Mesure d'un arc de méridien.

Définitions.

On nomme

méridien

ou

courbe méridienne

, sur la surface de la terre, la courbe suivant laquelle cette surface est coupée par un plan mené par la ligne des pôles. Deux lieux A et B sont sur le même méridien quand la même étoile passe au méridien dans les deux lieux à la même heure de l'horloge sidérale.

Un arc de 1°, 2°, 3°,.... du méridien est un arc A'B' (fig. 37), tel que les deux normales à la courbe, autrement dit les verticales, A'I, B'I, menées à ses extrémités, font entre elles un angle A'IB' de 1°, 2°, 3°...... Cet angle A'IB' est précisément égal à la différence des latitudes des lieux A' et B', si ces lieux sont sur le même hémisphère; puisque la latitude d'un lieu, (nº 64), est égale à l'angle que fait la verticale du lieu avec sa projection sur l'équateur; A'IB' = A'Ie-B'Ie.

Le nombre des degrés d'un arc AB étant connu, il faut mesurer cet arc avec l'unité linéaire, la toise, par exemple. Si l'arc AB est sur une surface unie, découverte, on procède à cette mesure à la manière des arpenteurs, en employant seulement des instruments de mesure plus précis et plus de précautions. Mais dans le cas d'obstacles intermédiaires s'opposant à cette mesure, ce qui arrive presque toujours, on établit ce qu'on nomme un réseau géodésique.

On choisit, dans le voisinage des lieux où l'on suppose que l'arc AB doit passer, des points C, D, E, F,...... placés de manière à pouvoir être aperçus de loin (fig. 38). Concevons que les points A, C, D, E, F, etc.. soient liés entre eux comme la figure l'indique, par des triangles que traverse la direction de l'arc AB. Parmi les côtés de ces triangles on choisit celui qui peut être mesuré le plus aisément; supposons que ce soit EG; c'est ce qu'on appelle une base. Connaissant EG et les angles E et G du triangle EGF, on peut résoudre ce triangle. Connaissant EF et les angles E et F du triangle EDF, on peut résoudre ce triangle. Connaissant ED et les angles D et E du triangle EDC, on peut résoudre ce triangle. Enfin, pour la résolution du triangle ACD, on connaît AC et AD. Connaissant, à partir de A, la direction de la méridienne, dont tous les segments AL, LM, MO,..... à cause de leur peu d'étendue, sont considérés comme des lignes droites, on peut mesurer les angles CAL, DAL; on peut donc résoudre le triangle ALD; ce qui donne le segment AL et la longueur DL. Connaissant DL, l'angle D et l'angle DLM du triangle DLM, on résout le triangle, et on calcule le segment LM et la longueur DM. Dans le triangle EMO, on connaît EM, l'angle E et l'angle M; ainsi de suite jusqu'à ce qu'on arrive à la fin du réseau. Ayant la longueur de AB en toises, on la divise par le nombre de degrés de cet arc pour avoir la longueur d'un degré.

De ce que la longueur du degré va en augmentant avec la latitude, on conclut (fig. 37) que chaque méridien s'aplatit, c'est-à-dire que sa courbure diminue quand on va de l'équateur au pôle. Voici une manière, entre plusieurs, d'expliquer ce fait: Soit AB (fig. 37) un arc de 1°, voisin de l'équateur; A'B' un autre arc de 1°, voisin du pôle; on sait que A'B' > AB. On peut, à cause du faible aplatissement de l'ellipse méridienne, regarder chacun des arcs AB, A'B' comme confondu avec l'arc de cercle qui passerait par son milieu et ses extrémités. À ce point de vue, AB et A'B' sont des arcs de 1° appartenant à des circonférences de rayons différents r, r'. Puisque l'on a A'B' > AB, on doit avoir r' > r; (360 A'B' = circ. r' > 360 AB = circ. r). Cela posé, pour comparer les courbures de ces deux arcs, rapprochons-les comme il suit: sur une ligne indéfinie X'X (fig. 39) élevons une perpendiculaire GH, et prenons à partir de G, GO = r. GO' = r'; puis des points O et O' comme centres avec les rayons OG, O'G', décrivons deux arcs de cercle passant en G; ces deux arcs sont tangents à X'X en G. Si on prend QGP = 1°, Q'GP' = 1°, le milieu étant en G, ces arcs ne seront évidemment que la reproduction des arcs AB, A'B' rapprochés l'un de l'autre. L'arc Q'GP' ou A'B' se rapprochant plus de la ligne droite X'GX que QGP ou AB, est moins convexe ou plus aplati que AB.

Nous avons pris AB = 1°; on peut, pour éviter toute objection, supposer AB aussi petit que l'on veut.