Note 9 — PHILOSOPHIE POSITIVE. (continued 3)
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Note 9:
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Je crois devoir, au sujet de la théorie des équations, signaler ici une lacune de quelque importance. Le principe fondamental sur lequel elle repose, et qui est si fréquemment appliqué dans toute l'analyse mathématique, la décomposition des fonctions algébriques, rationnelles, et entières, d'un degré quelconque, en facteurs du premier degré, n'est jamais employé que pour les fonctions d'une seule variable, sans que personne ait examiné si on doit l'étendre aux fonctions de plusieurs variables, ce que néanmoins on ne devrait pas laisser incertain. Quant aux fonctions de deux ou de trois variables, les considérations géométriques décident clairement, quoique d'une manière indirecte, que leur décomposition en facteurs est ordinairement impossible; car il en résulterait que chaque classe correspondante d'équations ne pourrait représenter une ligne ou une surface
sui generis
, et que son lieu géométrique rentrerait toujours dans le système de ceux appartenant à des équations de degré inférieur, de telle sorte que, de proche en proche, toute équation ne produirait jamais que des lignes droites ou des plans. Mais, précisément à cause de cette interprétation concrète, ce théorème, quoique purement négatif, me semble avoir une si grande importance pour la géométrie analytique, que je m'étonne qu'on n'ait pas cherché à établir directement une différence aussi caractéristique entre les fonctions à une seule variable et celles à plusieurs variables. Je vais rapporter ici sommairement la démonstration abstraite et générale que j'en ai trouvée, quoiqu'elle fût plus convenablement placée dans un traité spécial.
1º Si ∫(x,y) pouvait se décomposer en facteurs du premier degré, on les obtiendrait en résolvant l'équation ∫(x,y)=0. Or, d'après les considérations indiquées dans le texte, cette équation, résolue par rapport à x, fournirait des formules qui contiendraient nécessairement divers radicaux, dans lesquels entrerait y. Les fonctions de y, renfermées sous chaque radical, ne sauraient évidemment être en général des puissances parfaites. Or, il faudrait qu'elles le devinssent pour que les facteurs élémentaires correspondans de ∫(x,y), et qui sont déjà du premier degré en x, fussent aussi du premier degré, ou même simplement rationnels, relativement à y. Cela ne pourra donc avoir lieu que dans certains cas particuliers, lorsque les coefficiens rempliront les conditions plus ou moins nombreuses, mais constamment déterminées, qu'exige la disparition des radicaux. Le même raisonnement s'appliquerait évidemment, à bien plus forte raison, aux fonctions de trois, quatre, etc. variables.
2º Une autre démonstration, de nature très-différente, se tire de la mesure du degré de généralité des fonctions à plusieurs variables, lequel s'estime par le nombre de constantes arbitraires entrant dans leur expression la plus complète et la plus simple. Je me bornerai à l'indiquer pour les fonctions de deux variables; il serait aisé de l'étendre à celles qui en contiennent davantage.
On sait que le nombre de constantes arbitraires contenues dans la formule générale d'une fonction du degré m à deux variables, est
m(m+3) 2.
Or, si une telle fonction pouvait seulement se décomposer en deux facteurs, l'un du degré n, et l'autre du degré m-n, le produit renfermerait un nombre de constantes arbitraires égal à
n(n+3)
+
(m-n)
(m-n+3)
2 2
Ce nombre étant, comme il est aisé de le voir, inférieur au précédent de n(m-n), il en résulte qu'un tel produit, ayant moins de généralité que la fonction primitive, ne peut la représenter constamment. On voit même qu'une telle comparaison exigerait n(m-n) relations spéciales entre les coefficiens de cette fonction, qu'on trouverait aisément en développant l'identité.
Ce nouveau genre de démonstration, fondé sur une considération ordinairement négligée, pourrait probablement être employé avec avantage dans plusieurs autres circonstances..